# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x₀, сходящейся к точке x₀(lim x n = x ₀), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A. см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.
Вычислить указанные пределы:

1. = .

2.

=

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 - корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.
6. - не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; .
Следовательно, - не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а) =
Ответ: 1/5

б)
Ответ: 1/6

в)

= e-2/2 = e⁻¹

Ответ: 1/e
г)
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 - корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x²+2x-3=0
D=2²-4*1*(-3)=16
,
Найдем корни второго многочлена: x²-1=(x-1)(x+1)
Получаем:

Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
предел функции

# data[].attributes.attachment_link.title
Предел функции онлайн

# data[].attributes.attachment_link.description
Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0 , если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x0 , сходящейся к точке x0 (lim x n = x 0), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A. см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.Примеры.Вычислить указанные пределы: 1.

# data[].attributes.attachment_link.title
Пределы функций для чайников. Свойства пределов. Примеры решения

# data[].attributes.headline
Формулы приведения

# data[].attributes.subject
Формулы приведения

# data[].attributes.body
Новая тема "Формулы приведения"
1. Тригонометрия. Формулы приведения
https://www.youtube.com/watch?v=j-ofo5K2fm4

2. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ тригонометрия https://www.youtube.com/watch?v=-0kA_JYNcxg

# data[].attributes.headline
Формулы приведения. Таблица

# data[].attributes.subject
Формулы приведения. Таблица

# data[].attributes.attachment_link.title
формулы приведения

# data[].attributes.headline
Задание на закрепление новой темы!

# data[].attributes.subject
Задание на закрепление новой темы!

# data[].attributes.attachment_link.title
дз по формулам приведен

# data[].attributes.headline
Задание на повторение

# data[].attributes.subject
Задание на повторение

# data[].attributes.attachment_link.title
задание 1Тригонометрические  функции острого угла прямоуг треугольника

# data[].attributes.headline
Справочник по математике. Алгебра

# data[].attributes.subject
Справочник по математике. Алгебра

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел - бесконечное множество. Каждое составное число можно разложить на простые множители, причем, единственным способом.
Натуральные числа это числа, возникающие естественным образом при счёте: 1, 2, 3,..., n, n 1,... . Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
Множество целых чисел N={...-2, -1, 0, 1, 2,.... Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3...), чисел вида -n и числа нуль.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два - нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.
Признаки делимости на 3 и 9. Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.
Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.
Признак делимости на 10. Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Отношение - это частное от деления одного числа на другое. Округление десятичных дробей Наименьшее общее кратное. Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК).
Правило: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
Пропорция - это равенство двух отношений. Например, 12 : 20 = 3 : 5; a : b = c : d . Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции; a и d - во второй.
Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции; b и с - во второй. Рациональные числа
- это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Их множество обозначают символом Q.

Число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n , где m и n целые числа. Каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной, периодической, десятичной дроби. Например, 3/4=0,75000...=0,75(0).

Каждую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную: в случае чистой периодической дроби к целой части прибавляют обыкновенную дробь, в числителе которой записывают
период, а в знаменателе - цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде; в случае же смешанной периодической дроби предварительно переносят запятую к началу периодической части, затем обращают полученную чистую периодическую дробь б обыкновенную и делят последнюю на 10 k, где k - число разрядов, на которые перенесена запятая вправо.

Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение (лучше наиболее длинное) одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.

Деление многчленов уголком

Рациональные корни многочлена

Прогрессии
Интерактивная таблица

Степенная функция

# data[].attributes.attachment_link.title
Справочник по математике. Алгебра

# data[].attributes.attachment_link.description
Натуральные числа это числа, возникающие естественным образом при счёте: 1, 2, 3,..., n, n 1,... . Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число. Множество...

# data[].attributes.headline
Тригонометрический круг

# data[].attributes.subject
Тригонометрический круг

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом, и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, - то вот он, тригонометрический круг:

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.

Тригонометрический круг - не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул... А оно ведь, как, - незаладилось вначале, и... пошло-поехало... сплошное непонимание...

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций, - мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит тригонометрический круг! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге - ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.

Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения ... А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга - вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

А теперь такой:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем - . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего - восстановим эту "лесенку-чудесенку".

И зачем оно нам?

Эта цепочка - и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча "0-Старт" откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип, который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ - прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ= ). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Наконец, что такое синус, косинус в прямоугольном треугольнике?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М - значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) - осью синусов. Про тангенс и котангенс позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ тригонометрический круг , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в следующей статье.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
перевод градусов в радианы

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
перевод радиан в градусы

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
табличные значения тригонометрических функций

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
таблица значений тригонометрических функций

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
картинка тригонометрический круг

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг фото

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг синус и косинус

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг знаки

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг тангенс

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрия

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
значения тригонометрических форму

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрический круг

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
шпаргалки-таблицы

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
справочные материалы

# data[].attributes.attachment_link.title
Тригонометрический круг. Основные значения тригонометрических функций

# data[].attributes.attachment_link.description
Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом, и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, - то вот он, тригонометрический круг: Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом. Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул...

# data[].attributes.headline
Тригонометрические формулы

# data[].attributes.subject
Тригонометрические формулы

# data[].attributes.body
https://zen.yandex.ru/media/mathematic/kak-legko-zapomnit-sinus-kosinus-tangens-i-kotangens-uglov-5ec01d52ce25c80f460235b4?utm_source=serp

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Яндекс Дзен | Блогерская платформа

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Приветствую на канале "Математика не для всех", уважаемый Читатель! Прежде чем перейдем к сути вопроса хотелось бы сообщить, что теперь каждой статье будет ставиться в соответствие определенный уровень сложности. Таким образом я хочу облегчить Ваш путь и не забрасывать знаниями, к которым Вы еще не готовы. Чаще всего такое переполнение приводит к отрицанию математики, чего не хотелось бы. Вот перечень уровней сложности вышедших на канале материалов:

Список материалов для начинающего математика:

Список материалов для обыкновенного математика:

На моем канале пока нет действительно сложных материалов, но скоро они появятся. Плашка для них такая:

Уже листая ленту, будет видно , к какому уровню сложности относится материал.

А ТЕПЕРЬ ПЕРЕЙДЕМ К ДЕЛУ: К ТРИГОНОМЕТРИИ!

Несмотря на небольшое, в целом, количество углов, требующих запоминания, наизусть вызубрить их достаточно сложно, в то время как применяются они повсеместно: начиная со школьной статьи и заканчивая строительством.

Правила, которые позволяют запоминать сложные формулы на уровне интуиции и представления называются мнемоническими .

Для начала стоит запомнить знаки, которые соответствуют четвертям и тригонометрическим функциям:

Я еще в школе на уровне подсознания сопоставил положительному синусу - верх, а положительному косинусу - право, ну а тангенс и котангенс из этого выводится легко. Ниже представлена таблица значений тригонометрических функций.

В принципе опять, важны для запоминания только синус и косинус (останется только поделить их друг на друга). С одной стороны запомнить не так сложно: используется то всего несколько цифр. Но педагогика на то и педагогика, что позволяет и этот процесс мнемонически упростить:

Если сопоставить мизинцу угол 0 градусов, а большому пальцу 90, то остальные три пальца чудесным образом лягут на 30, 45 и 60 градусов. Пронумеруем пальцы начиная с мизинца : 0,1,2,3,4.

Общая формула такова: sin a = (Корень из порядкового номера пальца)/2.

Проверьте, получается все правильно. Для косинуса особо замороченные предлагают перенумеровать пальцы, но я считаю, что это лишняя путаница. Во-первых по основному тригонометрическому тождеству можно вычислить и так, а можно запомнить, что если синус "плохой" (т.е. с корнем), то косинус его "хороший" (дробное число), естественно не касаясь угла 45, который плох везде))).

Вот так просто и быстро мы запомнили синусы и косинусы углов от 0 до 90 градусов

Минуточку, а вдруг вы оказались наедине с углом в 55 градусов, синус которого Вам жизненно важно знать, а калькулятора под рукой нет? Выход есть, формула Тейлора:

Три поправочки : угол x надо представить в радианах (гифка в конце этой статьи) и еще знать что такое факториал. Ну и как бы придется вычислить для хорошего приближения хотя бы 5-ую степень числа. Но это нас не остановит, не так ли? Проверим формулу для угла 30 градусов.

С помощью этой формулы можно перевести градусы в радианы и наоборот. Например, угол 30 градусов это пи/6.

Реальное значение равно 1/2 - неплохая формула!

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.

# data[].attributes.attachment_link.title
Как легко запомнить синус, косинус, тангенс и котангенс углов?

# data[].attributes.attachment_link.description
Приветствую на канале "Математика не для всех", уважаемый Читатель! Прежде чем перейдем к сути вопроса хотелось бы сообщить, что теперь каждой статье будет ставиться в соответствие определенный уровень сложности. Таким образом я хочу облегчить Ваш путь и не забрасывать знаниями, к которым Вы еще не готовы.

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анна Малкова

# data[].attributes.attachment_link.title
06. Тригонометрический круг - самая удобная шпаргалка по тригонометрии

# data[].attributes.headline
формулы приведения

# data[].attributes.subject
формулы приведения

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анна Малкова

# data[].attributes.attachment_link.title
11. Тригонометрия на ЕГЭ по математике.  Формулы приведения

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анна Малкова

# data[].attributes.attachment_link.title
ЕГЭ. Тригонометрический круг

# data[].attributes.headline
Практическая геометрия

# data[].attributes.subject
Практическая геометрия

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Яндекс Дзен | Платформа для авторов, издателей и брендов

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Я каждый раз сталкиваюсь с домашним заданием своей детворы, где требуется посчитать периметр, высоту, площадь, углы или провести прочие расчеты какого-либо абстрактного треугольника, трапеции или любой другой фигуры, начерченной в задачке учебника.

Меня уже дочь замучила вопросами, а зачем ей всё это надо и как применять в жизни, так как учитель понимая тему, все равно не рассказывает на уроках и не приводит конкретные примеры?

И конечно же, как родитель, нацеленный на эффективность образования своих детей, - пытаешься выдать им максимум информации, разжевать каждую задачку, что-то придумать и смоделировать на ходу, перекладывая все вычисления на какие-либо объекты, встречающиеся в реальной жизни, благо строительство дома под носом...

почему до сих пор в учебниках не строят содержание всех задач, исходя из реальных условий, окружающих нашу жизнь (таких задач единицы)? Ведь основная цель образования, это практическая часть для подготовки детей к взрослой жизни. Словно, пудрят детям мозги - выкручивая задачи так, что порой и условие корректно понять невозможно даже взрослому человеку.

Ведь согласитесь, если перед глазами "живой" треугольник или иная фигура, то всё естественней понимается и запоминается, ученику легче с пользой делать расчет, чем просто с голой фигурой:

Почему нет? Ведь массу задач можно увязать с реалиями жизни. Выхлоп колоссальный и практический урок усваивается человеком вперед на несколько лет!

У меня есть серия статей на применение математики, геометрии и тригонометрии в жизни, ведь это же гораздо проще понимать подростку, и перед ним складывается естественная картина - наглядность и визуализация реальны. Считаю, что это очень занимательно и интересно, во всяком случае мои дети взахлеб прочитали все мои статьи на эту тему!

К примеру, статья, разбирающая свойства подобных треугольников и некоторые физические процессы, применимые в реальной жизни, такие как "угол падения и угол отражения" или "путь тела в свободном падении": Как определить высоту объекта на расстоянии? (5 способов!)

Далее, о равных диагоналях не только в прямоугольниках и квадратах, но и других фигурах: Если диагонали равны, то это не значит, что у вас ровный дом. Почему? Рассказываю историю!

Еще статья о построении прямых углов различными способами (по Пифагору, с циркулем, с разметочной шкалой рулетки или просто имеющимся отрезком веревки) : Как построить прямой угол на местности? Способы, о которых вы возможно не знали

Статья, описывающая применение тригонометрических функций при строительстве кровель: Зная тригонометрию, вам не придётся скакать по крыше с рулеткой. Практические примеры

Друзья, еще есть такая очень классная штука - угольник Свенсона о котором знают единицы (он изобретен в 1925 году) , а потому что ни учитель геометрии, ни учитель труда об этом не говорили (сужу по себе и по детям). Возможно, в силу его специфических функций, но всё же трудовик рассказать должен был (если не он, то кто расскажет?)...

Угольник имеет всевозможные вспомогательные разметочные "фишки", совмещает в одном корпусе угломер, шкалу геодезического уклона и много других полезных насечек, в том числе для разметки кровельных стропильных ног. В простонародье этот треугольник называют угольником кровельщика:

Все шкалы, нанесенные на нем - увязаны между собой определенными тригонометрическими функциями, к примеру: при измерении угла основного наклона крыши или любого другого элемента, нам уже не нужно вычислять арктангенс угла, разметка треугольника показывает готовое значение угла вальмового стропила или ендовы относительно всей кровли (т.е. все запилы стропил можно сделать на земле и не беспокоиться, что углы где-то разойдутся при сооружении стропильной системы):

И это далеко не единственная его функция. Таких хитростей - с десяток о чем и есть в планах у меня написать обзор этого инструмента. Он упрощает работу в разы не только кровельщику, а просто в повседневной жизни рукастому владельцу частного дома и такой инструмент стоит иметь в хозяйстве!

Да и при работе в паре с отвесом, он становится "ядерной" функциональной штуковиной! :-)))

Ну, а, что касается обучения, то мы как родители, несем ответственность за своё чадо и разумеется, пытаемся дать им гораздо больше, чем знаем и имеем сами!

Спасибо за внимание! Буду очень рад, если статья Вам была полезна и подписывайтесь на мой канал!

# data[].attributes.attachment_link.title
Где применить на практике знания по геометрии и чего не хватает детям? (Прикладная геометрия)

# data[].attributes.attachment_link.description
До сих пор львиная доля задач из учебника геометрии - строится не исходя из реальных условий, окружающих нашу жизнь, а по абстрактным треугольникам, трапециям и пр. Почему? Ведь основная цель образования, это практическая часть для подготовки детей во взрослую жизнь...

# data[].attributes.attachment_link.title
КАК БЫСТРО СЧИТАТЬ ПРОЦЕНТЫ В УМЕ

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Яндекс Дзен | Платформа для авторов, издателей и брендов

# data[].attributes.attachment_link.title
Правила решения квадратных уравнений

# data[].attributes.attachment_link.description
Мало просто научиться применять эффективные способы решений квадратных уравнений. Необходимо соблюдать ещё некоторые правила, чтобы знать все тонкости применения этих приёмов и не совершать случайных ошибок. Мы собрали такие правила в отдельный список. Самое простое правило, которое большинство учеников соблюдает.

# data[].attributes.headline
Образовательный флешмоб "Химичим дома вместе"

# data[].attributes.subject
Образовательный флешмоб "Химичим дома вместе"

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Помогая отцу, Филипп нечаянно опрокинул коробку с гвоздями:
- Какой же я косорукий...
- Это не то, что мы говорим, когда гвозди рассыпаются.
- А что нужно сказать? - виновато переспросил сын.
- Нужно сказать: "Гвозди рассыпались - я их соберу!"
- И всё?
- И всё.

Д. Кэрол

# data[].attributes.attachment_link.title
Образовательный флешмоб "Химичим дома вместе" | VK

# data[].attributes.attachment_link.description
Помогая отцу, Филипп нечаянно опрокинул коробку с гвоздями: - Какой же я косорукий... - Это не то, что мы говорим, когда гвозди рассыпаются. - А что нужно сказать? - виновато переспросил сын. - Нужно сказать: "Гвозди рассыпались - я их соберу!" - И всё? - И всё. Д. Кэрол

# data[].attributes.body
"На досуге" номинация вообще не сложная!!  Генератор ребусов

# data[].attributes.body
В 2020 году инженеры скучают дома... и создают телепорт. С 1 апреля по 1 июня мы строим машины Голдберга, «телепортируем» вещи и получаем призы

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
толстовку, диплом участника, телефон с нашей заставкой на экране, флаг, мыло, плед, конфеты, питона...
или надпись с одним из слоганов олимпиады, например "Никогда не сдаюсь" или "Любовь, смерть и кодить",

# data[].attributes.attachment_link.description
толстовку, диплом участника, телефон с нашей заставкой на экране, флаг, мыло, плед, конфеты, питона...или надпись с одним из слоганов олимпиады, например "Никогда не сдаюсь" или "Любовь, смерть и кодить",

# data[].attributes.headline
Апрель              Элементарные функции, их свойства и графики                    

# data[].attributes.subject
Апрель              Элементарные функции, их свойства и графики                    

# data[].attributes.body
Прочитайте, сделайте мини-конспект.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
основные элементарные функции

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
логарифмическая

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
показательная

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
тригонометрические

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
обратные тригонометрические функции

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
котангенсоида

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
арккотангенс

# data[].attributes.attachment_link.title
Основные элементарные функции, их свойства и графики.

# data[].attributes.attachment_link.description
В этой статье перечислены все основные элементарные функции, даны их свойства и построены графики.

# data[].attributes.headline
Подобие треугольников(ч.2)

# data[].attributes.subject
Подобие треугольников(ч.2)

# data[].attributes.attachment_link.title
четырехугольники

# data[].attributes.headline
Задание на повторение

# data[].attributes.subject
Задание на повторение

# data[].attributes.body
решить к 18.04.2020. Удачи!!!

# data[].attributes.attachment_link.title
Задание на повторение_Реши уравнение

# data[].attributes.headline
Основное тригонометр

# data[].attributes.body
Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Онлайн калькуляторы

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Тригонометрические тождества - это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

\[ \dfrac{1}{cos^{2}\alpha} = tg^{2} \alpha\]

\[ \dfrac{1}{sin^{2}\alpha} = ctg^{2} \alpha\]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а отношение \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Например: \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2}+\pi z \), а \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - для угла \( \alpha \), отличного от \( \pi z \), \( z \) - является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2} z \). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac{y}{x} \), а \( ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \). Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) - сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \), отличных от \( \dfrac{\pi}{2}+ \pi z \).

\( 1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) - сумма \( \alpha \), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \), отличного от \( \pi z \).

Формулы приведения

Формулы понижения степени
В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
основные тригонометрические тождества

# data[].attributes.attachment_link.title
Основные тригонометрические тождества

# data[].attributes.attachment_link.description
Тригонометрические тождества - это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

# data[].attributes.body
выполнить к 7.03

# data[].attributes.attachment_link.description
При выполнении заданий с кратким ответом впишите в поле для ответа цифру, которая соответствует номеру правильного ответа, или число, слово, последовательность букв (слов) или цифр. Ответ следует записывать без пробелов и каких-либо дополнительных символов. Дробную часть отделяйте от целой десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно.

# data[].attributes.headline
Четырехугольники

# data[].attributes.subject
Четырехугольники

# data[].attributes.attachment_link.title
задания четырехугольники

# data[].attributes.headline
Домашнее задание

# data[].attributes.subject
Домашнее задание

# data[].attributes.body
Теорема Виета
№ 145-149, № 153 (4-6)

# data[].attributes.attachment_link.title
теорема Виета

# data[].attributes.headline
Домашнее задание от 21.12 

# data[].attributes.subject
Домашнее задание от 21.12 

# data[].attributes.body
Решить карточку "Проверь себя сам" № 5-10

# data[].attributes.body
Доброго времени суток!!Выполнить 2 и 3 варианты.
Подготовиться к математическому диктанту по свойствам квадратного корня и проверим, вспомним свойства  степеней!!
Желаю удачи!! :)

# data[].attributes.headline
Решить к следующему уроку

# data[].attributes.subject
Решить к следующему уроку

# data[].attributes.attachment_link.title
Пределы №2 Раскрытие неопределенностей 0 на 0 и ∞ на ∞

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Кафедра математики. On-line

# data[].attributes.attachment_link.title
Первый замечательный предел. Часть 1

# data[].attributes.headline
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

# data[].attributes.subject
Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Яндекс Дзен | Платформа для авторов, издателей и брендов

# data[].attributes.attachment_link.title
Антимагия. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

# data[].attributes.attachment_link.description
В одной из прошлых статей мы показали, как решаются квадратные уравнения в общем виде. Там мы рассмотрели, что такое дискриминант, откуда он появляется и зачем он нужен. Однако помимо общей формулы для решения квадратных уравнений есть и частные случаи, для которых есть свои более удобные способы решения.

# data[].attributes.attachment_link.title
Пределы №3 Первый замечательный предел

# data[].attributes.headline
Кроссворды  по химии

# data[].attributes.subject
Кроссворды  по химии

# data[].attributes.body
можно сделать здесь

# data[].attributes.attachment_link.title
LearningApps - interactive and multimedia learning blocks

# data[].attributes.attachment_link.description
LearningApps - interactive and multimedia learning blocks

# data[].attributes.attachment_link.title
Пределы №7 Правило Лопиталя