# data[].attributes.headline
Procent - genomgångar, filmer och övningsuppgifter

# data[].attributes.subject
Procent - genomgångar, filmer och övningsuppgifter

# data[].attributes.body
Grundkurs och högre

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I kapitlet om procent övar vi på sambandet mellan andelen, delen och det hela, och använder det när vi räknar med ökningar och minskningar. Vi lär oss även att använda förändringsfaktorer när vi räknar, och övar på hur vi anger förändringar i procent och procentenheter.

# data[].attributes.attachment_link.description
I kapitlet om procent övar vi på sambandet mellan andelen, delen och det hela, och använder det när vi räknar med ökningar och minskningar. Vi lär oss även att använda förändringsfaktorer när vi räknar, och övar på hur vi anger förändringar i procent och procentenheter.

# data[].attributes.headline
Förklaring och genomgång - Räkna med förändring

# data[].attributes.subject
Förklaring och genomgång - Räkna med förändring

# data[].attributes.body
Grundkurs

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi kan räkna med procent, till exempel när vi vill beräkna hur många procent en viss del utgör av det hela. Det kunde röra sig om att beräkna att 50 kr av 200 kr utgör 25 %.

Nu ska vi gå vidare och undersöka hur vi kan räkna på procentuella förändringar, det vill säga när något ökar eller minskar med en viss procentsats.

Räkna med procentuell minskning

Tänk dig att du är i en klädbutik och ser ett par byxor som vanligtvis har priset 400 kr. Men denna vecka har butiken rea på just dessa byxor, så priset har sänkts med 20 %. Du undrar hur stor prissänkningen är i kronor räknat. Du undrar också hur mycket byxorna kostar under rean.

I det här fallet känner vi till hur mycket byxorna vanligtvis kostar, vilket är 400 kr. Detta kan vi se som det hela. Vi vet också att priset sänkts med 20 %, vilket är andelen som är sänkningen. Vad vi vill ta reda på är hur stor delen är, det vill säga hur stor prissänkningen är i kronor räknat.

För att ta reda på det kan vi tänka på samma sätt som vi gjorde i det förra avsnittet, då vi beräknade delen när vi kände till andelen och det hela. Sambandet ser då ut så här:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Med det här sambandet räknar vi ut hur stor prissänkningen var i kronor:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=20\,\%\cdot 400\,kr=$$

$$=0,20\cdot 400\,kr=$$

$$=0,10\cdot 2\cdot 400\,kr=$$

$$=0,10\cdot 800\,kr=80\,kr$$

Vad vi har räknat ut nu är att 20 % av 400 kr är 80 kr. Prissänkningen på 20 % var alltså i kronor räknat 80 kr.

Vi är också intresserade av att räkna ut vad byxorna kostar under rean.

Eftersom vi vet att prissänkningen var 80 kr blir det nya priset skillnaden mellan det gamla priset och prissänkningen i kronor räknat:

$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset-prissänkningen=$$

$$=400\,kr-80\,kr=320\,kr$$

Priset på byxorna under rean var alltså 320 kr.

På motsvarande sätt kan vi räkna även på andra procentuella minskningar än prissänkningar.
I en klädbutik kostar en viss jacka 700 kr. Sedan sänks priset på jackan med 25 %. Beräkna vad jackan kostar efter prissänkningen.
Vi börjar med att beräkna hur stor prissänkningen är i kronor räknat. Det gör vi med sambandet som vi visade tidigare i avsnittet:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Delen utgörs i det här fallet av prissänkningen i kronor. Som vi såg i avsnittet om andelen, delen och det hela är 25 % samma sak som 1/4, vilket betyder att vi kan beräkna prissänkningen så här:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=0,25\cdot 700\,kr=$$

$$=\frac{1}{4}\cdot 700\,kr=\frac{700}{4}\,kr=$$

$$=\frac{\,\,\frac{700}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{4}{{\color{Red} 2}}}\,kr=\frac{350}{2}\,kr=175\,kr$$

Prissänkningen var alltså 175 kr.

Det nya priset på jackan blir skillnaden mellan det gamla priset och prissänkningen, så vi beräknar det nya priset som

$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset-prissänkningen=$$

$$=700\,kr-175\,kr=525\,kr$$

Det nya priset efter prissänkningen blev alltså 525 kr.

Räkna med procentuell ökning

Hur skulle vi göra för att beräkna det nya priset på en produkt om priset istället ökade med en viss procent?

När priset ökar får vi beräkna hur stor ökningen är i kronor räknat. Sedan beräkna vi summan av det gamla priset och prisökningen i kronor för att få det nya priset.

Till exempel kan priset på ett par byxor från början vara 400 kr. Sedan höjer butiken priset på byxorna med 20 %. Vi vill nu ta reda på vilket det nya priset på byxorna kommer att vara.

Först beräknar vi hur stor del i kronor räknat som andelen 20 % av 400 kr är. Vi får på samma sätt som tidigare i det här avsnittet

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=0,20\cdot 400\,kr=80\,kr$$

Prisökningen i kronor räknat är alltså 80 kr. Det gamla priset var ju 400 kr, så det nya priset efter prisökningen blir

$$det\,nya\,priset=det\,gamla\,priset+prisökningen=$$

$$=400\,kr+80\,kr=480\,kr$$
Ett visst år är hyran för en lägenhet 3 000 kr per månad. Året därefter höjs hyran med 2 %. Beräkna vad den nya hyran för lägenheten blir efter hyreshöjningen.
För att beräkna den nya hyran beräknar vi först hur stor hyreshöjningen är i kronor räknat.

Hyreshöjningen är 2 % av den gamla hyran, som var 3 000 kr. Hyreshöjningen i kronor kan vi därför beräkna som andelen 2 % av det hela (3 000 kr). Därför blir hyreshöjningen i kronor räknat

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=0,02\cdot 3\,000\,kr=$$

$$=0,01\cdot 2\cdot 3\,000\,kr=$$

$$=0,01\cdot 6\,000\,kr=60\,kr$$

Hyreshöjningen är 60 kr per månad.

Den nya hyran kan vi beräkna som summan av den gamla hyran och hyreshöjningen i kronor räknat, vilket ger oss det här:

$$den\,nya\,hyran=den\,gamla\,hyran+hyreshöjningen= $$

$$=3\,000\,kr+60\,kr=3\,060\,kr$$

Den nya hyran blev alltså 3 060 kr per månad.

Videolektioner

I den här videon går vi igenom procentuella förändringar med hjälp av ett exempel.

I den här videon går vi igenom ett exempel på en prissänkning.

I den här videon går vi igenom ett exempel på en hyreshöjning.

# data[].attributes.attachment_link.title
Procentuella förändringar (Årskurs 7, Bråk och procent) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det här avsnittet lär vi oss hur vi räknar när något ökar eller minskar med en viss procentsats. Det kan vara priset på en produkt i affären som ökar eller minskar med till exempel 10 %, 20 % eller kanske 50 %.

# data[].attributes.body
Grundkurs

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det här avsnittet ska vi bygga vidare på det genom att räkna mer med procent.

Avrundning av procent

Som vi såg i avsnittet om bråktal är det inte alltid möjligt att genomföra en division så att den går jämnt ut.

Till exempel vet vi att bråket 1/3 har det decimala värdet

$$ \frac{1}{3}=0,3333...$$

Med andra ord har bråket 1/3 oändligt många decimaler då det är skrivet i decimalform.

Ett sätt att tolka bråket 1/3 är förhållandet mellan delen (1) och det hela (3). Det decimala värdet 0,3333... kan vi se som 33,33... %.

Ibland vill vi ange ett avrundat procentvärde, till exempel avrundat till hela procent. Då får vi

$$ \frac{1}{3}=0,3333...=33,33... \%\approx33\,\%$$

En tredjedel är därför ungefär 33 %, avrundat till hela procent.
Skriv dessa tal i procentform.
Avrunda till tiondels procent.

1. $$0,875$$
När vi ska omvandla ett tal från decimalform till procentform får vi tolka vad siffrorna i decimaltalet är värda.
Heltalssiffran är 0, vilket betyder att talet i procentform blir mindre än 100 %.

Tiondelssiffran är 8, vilket ger oss 80 %.

Hundradelssiffran är 7, vilket ger oss ytterligare 7 %.

Tusendelssiffran är 5, vilket slutligen ger oss ytterligare 0,5 %.

Sammanlagt blir talet i procentform summan

$$ 80\,\%+7\,\%+0,5\,\%=87,5\,\%$$

Talet 0,875 skrivet i procentform är 87,5 %. I det här fallet behövde vi inte avrunda talet i procentform, eftersom det redan står skrivet i den form vi är ute efter.

2. $$\frac{2}{3}$$
I det här fallet har vi ett tal i bråkform. Hur kan vi komma fram till hur många procent det är?
Jo, vi kom tidigare fram till hur vi kan skriva 1/3 i procentform:

$$ \frac{1}{3}=0,3333...=33,33... \%\approx33\,\%$$

När vi har bråktalet 2/3 är det dubbelt så mycket som 1/3. Därför kan vi skriva det så här:

$$\frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=2\cdot 0,3333...= $$

$$=0,6666...=66,66...\,\%$$

Eftersom vi ska avrunda vårt svar till tiondels procent, tittar vi på siffran som anger hundradels procent, vilket är en 6:a. Reglerna för avrundning säger oss att en 6:a betyder att vi ska öka avrundningssiffran med 1.

Därför får vi det här närmevärdet när vi avrundar till tiondels procent:

$$\frac{2}{3}=66,66...\,\%\approx66,7\,\%$$

Räkna procent i affären

Om du går till en klädbutik med 300 kr i plånboken och köper en tröja för 120 kr, hur många procent av de 300 kronorna gick då åt när du köpte tröjan? Hur många procent av de 300 kronorna återstod efter köpet?

Vi tänker tillbaka på sambandet mellan andelen, delen och det hela, som vi gick igenom i ett tidigare avsnitt:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

Om vi ser de 300 kronorna som det hela och tröjans pris på 120 kr som delen, då kan vi beräkna hur stor andel av det hela som 120 kr är. Vi får då det här:

$$ andelen=\frac{120}{300}=\frac{\,\,\frac{120}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{40}{100}=40\,\%$$

Priset för tröjan, 120 kr, var alltså 40 % av de 300 kronorna du hade i plånboken när du gick in i butiken.

Hur många procent av de 300 kronorna återstår efter köpet?

Eftersom de 300 kronorna är 100 % av de pengar du hade och du sedan köpte för 40 % av pengarna, återstår 100 % minus 40 %:

$$ 100\,\%-40\,\%=60\,\%$$

De pengar som återstår i plånboken är alltså 60 % av de pengar du hade med dig när du gick in i butiken. Vi kunde räkna på det här sättet eftersom vi redan hade beräknat hur stor andel av pengarna som gått åt i köpet.

Ett annat sätt att beräkna hur många procent av pengarna som återstår är att först beräkna hur stor del av det hela som det är. Sedan kan vi beräkna hur stor andel som detta är:

Först hade du 300 kr. Sedan köpte du för 120 kr. Då hade du så här mycket pengar kvar i plånboken:

$$ 300\,kr-120\,kr=180\,kr$$

Hur stor andel av 300 kr utgör 180 kr? Vi använder sambandet mellan andelen, delen och det hela. I det här fallet är delen 180 kr, eftersom vi undersöker hur mycket pengar som är kvar.

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{180}{300}=\frac{\,\,\frac{180}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{300}{{\color{Red} 3}}}=\frac{60}{100}=60\,\%$$

Hur stor är delen?

Vi har tidigare beräknat hur många procent av det hela som en viss del utgör. Till exempel kan det vara hur många procent som delen 120 kr av 300 kr är, vilket är 40 %.

Nu ska vi titta på en liknande situation, där vi kan beräkna hur stor delen är.

Syskonen Michael och Therese har sparat pengar för att köpa en fin cykel tillsammans. Eftersom Therese kommer att använda cykeln mer än Michael, har syskonen kommit överens om att hon ska betala 60 % av priset för cykeln, medan Michael ska betala 40 %.

Therese undrar nu hur mycket hon kommer att behöva betala i kronor räknat, om cykeln kostar 600 kr.

I det fallet vet vi hur mycket cykeln kostar, vilket är 600 kr. Därför kan vi se 600 kr som det hela. Vi vet också att den andel av 600 kr som Therese ska betala är 60 %. Vad vi vill ta reda på är hur stor delen är, som Therese ska betala.

För att ta reda på det kan vi använda en variant av sambandet mellan andelen, delen och det hela, som ser ut så här:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Med hjälp av det här sambandet kan vi räkna ut hur stor del av priset i kronor räknat som Therese ska betala. Vi börjar med att skriva om andelen 60 % i decimalform, som 0,60:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=60\,\%\cdot 600\,kr=$$

$$=0,60\cdot 600\,kr=$$

$$=0,10\cdot 6\cdot 600\,kr=$$

$$=0,10\cdot 3600\,kr=360\,kr$$

Vad vi har beräknat nu är att den del av cykelns pris som Therese ska betala är 360 kr.
Beräkna hur mycket

1. $$15\,\%\,av\,300\,kr\,är.$$
Vi använder sambandet mellan andelen, delen och det hela, där 15 % är andelen och 300 kr är det hela. Vi får att 15 % av 300 kr är
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=0,15\cdot 300\,kr=$$

$$=0,01\cdot 15\cdot 300\,kr=$$

$$=0,01\cdot 4500\,kr=45\,kr$$

Svar: 15 % av 300 kr är alltså 45 kr.

2. $$7\,\%\,av\,800\,kr\,är.$$
På samma sätt som i den förra deluppgiften, använder vi här sambandet mellan andelen, delen och det hela, där 7 % är andelen och 800 kr är det hela. Vi får att 7 % av 800 kr är
$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=0,07\cdot 800\,kr=$$

$$=0,01\cdot 7\cdot 800\,kr=$$

$$=0,01\cdot 5600\,kr=56\,kr$$

Svar: 7 % av 800 kr är alltså 56 kr.

Videolektioner

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar andelen.

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar delen.

I den här videon går vi igenom hur vi beräknar det hela.

Här har vi ett par exempel på prissänkningar.

# data[].attributes.attachment_link.title
Räkna med procent (Årskurs 7, Bråk och procent) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det här avsnittet ska vi bygga vidare på det genom att räkna mer med procent. Som vi såg i avsnittet om bråktal är det inte alltid möjligt att genomföra en division så att den går jämnt ut.

# data[].attributes.headline
Förklaring och film - Andel, del och helhet

# data[].attributes.subject
Förklaring och film - Andel, del och helhet

# data[].attributes.body
Grundkurs

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det förra avsnittet lärde vi oss om hur vi kan använda procent för att ange antalet hundradelar av någonting.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss närmare med procent och sambandet mellan andelen, delen och det hela. Det sambandet kommer vi att ha användning för längre fram, då vi lär oss om procentuella förändringar.

Skriva bråktal i procentform

Vi har tidigare kommit fram till att 100 % är samma sak som det hela, det vill säga hundra hundradelar av någonting.

Eftersom det hela är 100 %, kan vi med hjälp av förlängning komma fram till att till exempel hälften av det hela är lika med 50 %, det vill säga

$$ \frac{1}{2}=\frac{1\,{\color{Red} {\cdot \,50}}}{2\,{\color{Red}{ \cdot \,50}}}=\frac{50}{100}=50\,\%$$

På samma sätt kan vi komma fram till hur vi skriver ett antal andra användbara bråktal i procentform:

$$\frac{1}{100}=1\,\%$$

$$\frac{1}{10}=\frac{10}{100}=10\,\%$$

$$\frac{1}{5}=\frac{20}{100}=20\,\%$$

$$\frac{1}{4}=\frac{25}{100}=25\,\%$$
Skriv detta bråktal i procent
$$ \frac{1}{25}$$
Lösningsförslag:
Vi skriver om bråktalet genom att vi förlänger talet så att nämnaren blir lika med 100. Då är talet skrivet så att täljaren anger antalet procent. Förlänger vi bråket med 4 så får vi det här:

$$ \frac{1}{25}=\frac{1\,{\color{Red} {\cdot \,4}}}{25\,{\color{Red} {\cdot \,4}}}=\frac{4}{100}=4\,\%$$

Svar: 1/25 detsamma som 4 %.

Andelen, delen och det hela

Det finns ett samband som vi kan använda oss av för att beräkna hur många procent en viss del av det hela är. Sambandet lyder:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

Med andelen menar vi alltså hur stor del av det hela som något är, vilket vi kan ange i procent.

Om vi till exempel har en skolklass bestående av 20 elever och 12 av dessa elever är pojkar, då kan vi med hjälp av förlängning beräkna hur många procent pojkar det finns i klassen så här:

$$ andelen=\frac{12}{20}=\frac{12\,{\color{Red} {\cdot \,5}}}{20\,{\color{Red} {\cdot \,5}}}=\frac{60}{100}=60\,\%$$

Andelen pojkar i klassen är alltså 60 %.

Istället för att förlänga ett bråk så att nämnaren blir lika med 100, kan vi beräkna värdet av bråket genom att vi dividerar täljaren med nämnaren. Då får vi vanligtvis ett decimaltal. Till exempel kan vi beräkna bråket 1/5 som

$$ \frac{1}{5}=0,2$$

Det decimala talet 0,2 tolkar vi som två tiondelar, vilket är detsamma som 20 %:

$$ 0,2=\frac{2}{10}=\frac{20}{100}=20\,\%$$
Hur mång procent av frukterna är apelsiner?
I en skål med fem stycken frukter är fyra av frukterna apelsiner och en av frukterna är en banan. Räkna ut hur många procent av frukterna som är apelsiner.
Lösningsförslag:
Vi börjar med att undersöka vad som är det hela och vad som är delen.

Det hela är antalet frukter som finns i skålen. Det finns fem stycken frukter i skålen, så detta är det hela.

Delen som vi är intresserade av är antalet apelsiner i skålen. Det finns fyra stycken apelsiner i skålen, så detta är delen.

Vi räknar ut antalet procent genom att dividera delen med det hela:

$$andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{antalet\,apelsiner}{antalet\,frukter}=$$

$$=\frac{4}{5}=\frac{4\,{\color{Red} {\cdot \,20}}}{5\,{\color{Red}{ \cdot \,20}}}=\frac{80}{100}=80\,\%$$

Svar: Andelen apelsiner av frukterna i skålen är 80 %.
Hur många procent av eleverna går i årskurs 7?
I en viss skola går 200 elever. Av dessa elever går 72 stycken i årskurs 7. Räkna ut hur många procent av eleverna går i årskurs 7.
Lösningsförslag:
Vi börjar med att undersöka vad som är det hela och vad som är delen.

Det hela är antalet elever som går i skolan, vilket är 200 stycken elever.

Delen som vi är intresserade av är antalet elever som går i årskurs 7, vilket är 72 stycken elever.

Vi räknar ut antalet procent genom att dividera delen med det hela. I det här fallet är det hela mer än 100, så vi får förkorta bråket:

$$andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{antalet\,elever\,i\,\overset{\,_{\circ}}{a}rskurs\,7}{antalet\,elever\,i\,skolan}=$$

$$=\frac{72}{200}=\frac{\,\,\frac{72}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{200}{{\color{Red} 2}}}=\frac{36}{100}=36\,\%$$

Svar: Andelen elever som går i årskurs 7 är alltså 36 %.

Videolektioner

I den här videon går vi igenom andelen, delen och det hela, samt vad begreppen betyder.

I den här videon går vi igenom sambandet mellan andelen, delen och det hela.

# data[].attributes.attachment_link.title
Andelen, delen och det hela (Årskurs 7, Bråk och procent) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det förra avsnittet lärde vi oss om hur vi kan använda procent för att ange antalet hundradelar av någonting. I det här avsnittet ska vi bekanta oss närmare med procent och sambandet mellan andelen, delen och det hela. Det sambandet kommer vi att ha användning för längre fram, då vi lär oss om procentuella förändringar.

# data[].attributes.attachment_link.title
7 - Procent - En procent är en hundradel

# data[].attributes.attachment_link.title
7 & 9 - Procent - Räkna med procent i decimalform

# data[].attributes.headline
Procent - räkna höjning och sänkning (grundkunskaper)

# data[].attributes.subject
Procent - räkna höjning och sänkning (grundkunskaper)

# data[].attributes.attachment_link.title
8 & 9 - Bråk och Procent - Förändringsfaktor