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SOLUCIÓN PASO A PASO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

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SOLUCIÓN PASO A PASO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES UTILIZANDO EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

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PASO 1: Se tienen las ecuaciones
En este caso,   g1 (t)=t+1= g2 (t)

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Se despeja a y

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Se sustituye en la segunda ecuación

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En el lado izquierdo se aplica la derivada y en el lado izquierdo se opera

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Se reordenan los términos

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La ecuación diferencial de segundo orden no homogénea a resolver es

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Para obtener la función x(t) primero se debe resolver el caso homogéneo y posteriormente se aplicará el método de coeficientes indeterminados para resolver el caso no homogéneo. Haciendo la acotación que la solución general será la superposición de ambos resultados.

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Para el caso homogéneo la ecuación que se debe resolver es

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La ecuación auxiliar es

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Como las raíces son reales y distintas la forma de la solución es:

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Entonces la solución complementaria es

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La ecuación no homogénea es

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En este caso la función g es g(x)=−2t−1, la cual corresponde a un polinomio de grado 1, entonces se propone que la solución particular tiene, de igual manera, la forma de un polinomio de grado 1, esto es:

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Con A y B constantes por determinar. La primera y segunda derivada están dadas como

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Se sustituye en la ecuación diferencial

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Reordenando se tiene que:

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Para que se cumpla la igualdad es necesario que ocurra que

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Se sustituye Ec. 3 en Ec. 1

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Se elimina y despejando Ec 2

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Usando la segunda Ley de Newton y la Ley de Hooke

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APLICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES A UN EJEMPLO EN LA MECÁNICA

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APLICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES A UN EJEMPLO EN LA MECÁNICA

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Tres resortes idénticos con constante de resorte k y dos masas idénticas m se unen en línea recta con los extremos de los resortes exteriores fijos. Determinar  los modos normales del sistema.

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Por lo tanto, la solución general al sistema lineal no homogéneo es

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De donde se obtiene finalmente que la solución y(t) es

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Operando, se tiene que

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Se sustituye este resultado en la ecuación de y

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Y por lo tanto, la solución general a la ecuación diferencial de x es

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De la primer igualdad se obtiene que A=-1/3, sustituyendo este resultado en la segunda igualdad se obtiene que B=1/9, por tanto la solución particular es

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Se halla la ecuación auxiliar

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Se obtiene la solución general:

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Se despeja y(t) en Ec. 1 y se sustituye Ec. 3 , se tiene: