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 Resolución de triángulos 4.4.  problemas de trigonometría📌

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 Resolución de triángulos 4.4.  problemas de trigonometría📌

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En trigonometría, el teorema de los senos o también conocido como ley de los senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de sus respectivos ángulos opuestos.
VÍDEO📽
https://youtu.be/r2DZSxFLRK0

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El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos ,es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos oblicuos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
VIDEO📽
https://youtu.be/CYHWl_7dIdw

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La resolución de triángulos es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos. El triángulo se encuentra en un plano o en una esfera.

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VÍDEOS📽
▪️https://youtu.be/0yVxLxAFalw
▪️https://youtu.be/7Hzp2Fdi__Y

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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones trigonométricas - Vitutor

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Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones trigonométricas , resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas. Enseñanza secundaria, ESO y Bachillerato.

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VÍDEOS UNICOOS📽
▶️https://youtu.be/VkKqxGarYw0https://youtu.be/VkKqxGarYw0
▶️https://youtu.be/vNN-3jkKlH0
▶️https://youtu.be/3RzvkD0XJw8

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Fórmulas y ecuaciones trigonométricas, ejercicios resueltos

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Fórmulas trigonométricas del ángulo doble, ángulo mitad y sus aplicaciones para resolver ecuaciones trigonométricas, ejemplos y ejercicios resueltos.

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Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

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Las identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas recíprocas (o recíprocas) son los inversos multiplicativos de las razones trigonométricas. Éstas son:

Cosecante (csc): es la razón inversa del seno. Es decir, csc α · sen α=1.

Secante (sec): la razón inversa del coseno. Es decir, sec α · cos α=1

Cotangente (cot): es la razón inversa de la tangente. También en este caso, cot α · tan α=1

Relación entre razones trigonométricas

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2 R) de la circunferencia ( L) en la que se circunscribe el triángulo.

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado ( a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo ( A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a ² = b ²+ c ². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados ( a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

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Las identidades trigonométricas son ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c. Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

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Transformaciones de suma de razones trigonométricas en productos❌

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Transformaciones de suma de razones trigonométricas en productos❌

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Transformaciones de sumas en productos y productos en sumas

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Transformaciones de sumas en productos A veces nos interesa transformar la suma de senos o cosenos en productos, para resolver las ecuaciones que introducire...

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Razones trigonométricas del ángulo mitad💔

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Razones trigonométricas del ángulo mitad💔

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α. En particular, del coseno de α.

Ejercicio

Sea un ángulo α=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo mitad son:

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

¿Cómo se obtienen?

Seno del ángulo mitad

De las fórmulas conocidas:

Si hacemos β=α/2, se transformarán en:

Restando ambas igualdades obtendremos que:

Por lo que la fórmula del seno del ángulo mitad es:

Coseno del ángulo mitad

De las fórmulas conocidas:

Si hacemos β=α/2 (de igual forma que con el seno, se transformarán en:

Sumando ambas igualdades tendremos:

Y se obtiene la fórmula del coseno del ángulo mitad:

Tangente del ángulo suma

La tangente del ángulo mitad es igual al seno dividido por el coseno.

Por lo que la fórmula de la tangente del ángulo mitad es:

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Razones trigonométricas del ángulo mitad

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α. En particular, del coseno de α. Sea un ángulo α=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo mitad son: Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

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Razones trigonométricas del ángulo doble❗️

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Razones trigonométricas del ángulo doble❗️

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Las razones trigonométricas del ángulo doble se deducen fácilmente de las razones trigonométricas del ángulo suma. Solo hay que sustituir β por α.

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

Las razones trigonométricas del ángulo doble se deducen fácilmente de las razones trigonométricas del ángulo suma. Solo hay que sustituir β por α.

Ejercicio

Sea un ángulo α=30º. Las razones trigonométricas de su ángulo doble son:

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 60º.

¿Cómo se obtienen?

Seno del ángulo doble

Sea la fórmula del seno del ángulo suma:

Con la transformación β = α, tendremos el seno del ángulo doble.

Coseno del ángulo doble

De la fórmula del coseno del ángulo suma se puede obtener el del ángulo doble.

Se aplica la transformación β = α y obtenemos la fórmula:

Tangente del ángulo doble

Sea la fórmula de la tangente del ángulo suma:

Con la transformación β = α, se obtiene la tangente del ángulo doble.

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Razones trigonométricas del ángulo doble

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo doble (2α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α. Las razones trigonométricas del ángulo doble se deducen fácilmente de las razones trigonométricas del ángulo suma. Solo hay que sustituir β por α. Sea un ángulo α=30º.

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Razones trigonométricas de la resta de ángulos✔️

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Razones trigonométricas de la resta de ángulos✔️

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Sean α y β dos ángulos. Las razones trigonométricas del ángulo resta (α-β) se puedes expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Ejercicio

Sean dos ángulos, α=60º y β=30º. Las razones trigonométricas de su ángulo resta son:

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

¿Cómo se obtienen?

Se pueden obtener fácilmente las razones trigonométricas del ángulo resta a partir de las razones trigonométricas del ángulo suma sustituyendo β por -β.

Se sabe que:

Seno del ángulo resta

Sea la fórmula del seno del ángulo suma:

Se aplica la transformación β = -β, tendremos el seno del ángulo resta.

Coseno del ángulo resta

De la fórmula del coseno del ángulo suma se puede obtener el del ángulo resta.

Se aplica la transformación β = -β y se obtiene su fórmula:

Tangente del ángulo resta

Sea la fórmula de la tangente del ángulo suma:

Con la transformación β = -β, se obtiene la tangente del ángulo resta.

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Razones trigonométricas del ángulo resta

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Sean α y β dos ángulos. Las razones trigonométricas del ángulo resta (α-β) se puedes expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos. Sean dos ángulos, α=60º y β=30º. Las razones trigonométricas de su ángulo resta son: Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.

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Razones trigonométricas de la suma de ángulos💭

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Razones trigonométricas de la suma de ángulos💭

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Sean α y β dos ángulos. Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos.

Ejercicio

Sean dos ángulos, α=30º y β=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo suma son:

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 90º.

¿Cómo se obtienen?

Seno del ángulo suma

Calcularemos los segmentos DE y EF.

Por otra parte:

Sustituyendo en (1) obtenemos la fórmula:

Coseno del ángulo suma

De la misma manera que en el seno, el coseno del ángulo suma es el segmento AF.

Calcularemos los segmentos AG y EH.

Por otra parte:

Sustituyendo en (2) obtenemos la fórmula:

Tangente del ángulo suma

La tangente del ángulo suma es igual al seno dividido por el coseno.

Si dividimos numerador y denominador por (cos α ⋅ cos β):

Simplificamos y obtendremos la siguiente fórmula:

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Sean α y β dos ángulos. Las razones trigonométricas del ángulo suma (α+β) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de ambos ángulos. Sean dos ángulos, α=30º y β=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo suma son: Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 90º.

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Cálculo de razones de unos ángulos a partir de otros📎

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Cálculo de razones de unos ángulos a partir de otros📎

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Razones trigonométricas de ángulos arbitrarios🤯

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Razones trigonométricas de ángulos arbitrarios🤯

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Los ángulos de arbitrarios son los ángulos comprendidos en el primer cuadrante de la circunferencia trigonométrica, estos son los ángulos que van del 0° al 90°.

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tengo esa duda espero me puedan ayudar que es para que sirve

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Razones trigonométricas de ángulos agudos✏️

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Razones trigonométricas de ángulos agudos✏️

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Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.

seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

Demostración:

cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

2. A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

Demostración:

3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos ²(α) obtenemos que:

Demostración:

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Razones trigonométricas de ángulos agudos

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A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura. Triángulo rectángulo Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

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Existen principalmente tres unidades de medida de ángulos:

El ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se unen en un mismo punto llamado origen. Los ángulos se calculan siempre en sentido contrario a las agujas del reloj.

Radián

El radián es una unidad de medida del Sistema Internacional de Unidades. Es el ángulo de la circunferencia que abarca un arco de longitud igual al radio de la misma. Su símbolo es rad.

La magnitud de un radián sería la de la longitud del arco que delimitan las dos rectas de dicho ángulo si estuviésemos en una circunferencia de radio 1.

Ángulo en radianes = longitud del arco / radio

Una vuelta entera a una circunferencia son 2π radianes.

Grado sexagesimal

Los grados sexagesimal dividen una circunferencia en 360 partes iguales, de manera que una vuelta a la misma son 360º. 360º Su símbolo es °.

Un ángulo recto son 90º (90 grados sexagesimales). Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos (su símbolo es ') y cada minuto sexagesimal se divide en 60 segundos (su símbolo es "). Por ejemplo, podríamos escribir un ángulo sexagesimal como 87º 31' 44". También cabe expresar los grados sexagesimales con notación decimal. El ángulo del ejemplo anterior sería, con notación decimal, 87,5289°.

Grado centesimal (o gradián)

El tercer sistema de medir los ángulos son los grados centesimales (o los gradianes). Divide una circunferencia en 400 partes iguales. Su símbolo es g. Un ángulo recto mide 100 g.

Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales. Su símbolo es m. A su vez, cada minuto centesimal se divide en 100 segundos centesimales. (Su símbolo es s).

Igualmente, podríamos escribir un ángulo centesimal como 87 g 31 m 44 s. En este caso, su expresión decimal sería directamente 87,3144 g.

Equivalencia entre radián, grado sexagesimal y grado centesimal

Sabiendo que una vuelta a la circunferencia son 360º grados sexagesimales, 400 g grados centesimales o 2π radianes, podemos saber la relación entre estas tres unidades:

Equivalencias de algunos ángulos notables:

Las fórmulas de equivalencia entre ángulos son:

¿ Sabías que el grado sexagesimal se lo debemos a los sumerios? En Mesopotamia, antes de que llegasen los babilonios, Gudea, un rey sumerio, desarrolló, aproximadamente en el 2100 a. de Cristo, el sistema duodecimal, o de base 12, o por docenas. El 12 es un número divisible por 2, por 3 y por 4. Ideó un círculo dividido en 4 cuadrantes y en 360 grados. El año lo dividió en 12 meses. Cada dia en 24 horas. Las horas en 60 minutos y los minutos en 60 segundos.

Otras unidades de medida de los sumerios siguen aún vigentes, especialmente en el mundo anglosajón, como la libra (pound), el pié (feet) o la vara de tres pies (yard).

Todo esto, hace más de 4000 años.

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Existen principalmente tres unidades de medida de ángulos: El ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se unen en un mismo punto llamado origen. Los ángulos se calculan siempre en sentido contrario a las agujas del reloj. El radián es una unidad de medida del Sistema Internacional de Unidades.

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Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

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Razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente, signo, tabla de razones trigonométricas, ejercicios resueltos, problemas, fórmulas, definiciones. ESO, Bachillerato.