# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Яндекс Дзен | Блогерская платформа

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, 99% из Вас уже догадались, о чем будет идти речь в этой статье. Конечно, мы вспомним теорему, с популярностью которой в широких кругах не сравнится ни одно математическое утверждение - теорему Пифагора! И не только вспомним, но и узнаем о ней много интересного, что, может быть, было пропущено за школьной скамьей. ! Поехали

Формулировка теоремы Пифагора

Всем и каждому известная: "сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы!". Популярна еще формулировка, согласно которой сумма площадей квадратов построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе:

Доказательства

Первое доказательство теоремы появилось еще в 300 году до нашей эры и принадлежит Евклиду . Интересно, что существует легенда, согласно которой Пифагор в честь открытия своей теоремы закатил пир, . заклав для праздничного стола целых 100 быков

Со времени открытия теорема обросла несколькими сотнями вариантов доказательства (более 400), зачастую использующих достижения не только арифметики и геометрии, но и математического анализа.

Теорема Пифагора позволяет формализовать расчеты расстояний между точками на плоскости, да и вообще в любом n-мерном пространстве:

На самом деле Пифагор придумал свою теорему отнюдь не из геометрических соображений , которые, кстати, были частично известны еще древнеегипетским строителям. Он был больше увлечен алгебраическими методами нахождения троек чисел:

Еще один интересный факт: особую популярность в Российской империи теорема Пифагора приобрела после выхода в 1915 году юмористической оперы "Иванов Павел":

Дело в том, что опера не только сделала летучей фразу "Смотрю в книгу, вижу фигу" , но и одно из самых компактных изложений теоремы Пифагора, также ушедшее в широкие массы:

...Пифагоровы штаны, /да штаны/ 2 раза,

На все стороны равны да равны, да!..

Эти теоремы /да теоремы/ 2 раза

Так нежно любим с детства все мы...

Спасибо! А какие воспоминания связаны у Вас с теоремой Пифагора?

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора. Её знает и использовал каждый

# data[].attributes.attachment_link.description
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Я думаю, 99% из Вас уже догадались, о чем будет идти речь в этой статье. Конечно, мы вспомним теорему, с популярностью которой в широких кругах не сравнится ни одно математическое утверждение - теорему Пифагора! И не только вспомним, но и узнаем о ней много интересного, что, может быть, было пропущено за школьной скамьей.

# data[].attributes.attachment_link.provider_name
Моя Школа - сайт №1 для школьников

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Теорема Пифагора - одна из самых известных геометрических теорем, которая устанавливает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Большинство ученых считают, что теорема Пифагора была доказана древнегреческим математиком и философом Пифагором (или Питагором). Однако есть версия, что теорему знали и до его рождения. Доказательством этого является то, что в Древнем Египте знали, что треугольник, у которого стороны имеют 3 см, 4 см и 5 см, является прямоугольным. А о других теоремах можно узнать в учебнике по геометрии за 8 класс А.Г. Мерзляка.

Видео дня

История теоремы Пифагора
Еще в детстве Пифагор отличился интересом к точным наукам. Впоследствии он переехал жить на остров Лесбос, где познакомился с Фалесом Милетским - древнегреческим философом и математиком, который доказал теоремы о трех точках на окружности и пропорциональных отрезках. За время, когда Пифагор учился в Милетской школе, он изучал астрологию, медицину, прогнозы затмений и другие важные в то время науки. Лекции Фалеса и его ученика Анаксимандра сыграли важную роль для Пифагора.

После обучения в Египте, плена в Вавилоне, в 60 лет Пифагор решает вернуться домой, чтобы поделиться своими знаниями с народом. Впоследствии он открыл собственную школу, в которой геометрия впервые выступает как самостоятельная наука.
Формулы
О том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, знали задолго до рождения Пифагора. Но именно он считается первым ученым, который доказал соотношение сторон треугольника.

В теореме Пифагора говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть ВС = а; АС = b; АВ = с.

Тогда имеем такую формулу, которая применяется при нахождении неизвестной стороны в прямоугольном треугольнике, когда две другие - известны:

Когда мы определили квадрат гипотенузы, нужно найти квадратный корень. Такую же формулу мы можем применить к неизвестному катету:
Доказательство теоремы Пифагора 1. Алгебраическое доказательство
А больше рисунков и формул можно увидеть в онлайн уроке за 8 класс по геометрии на тему "Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора".

Самый популярный и самый простой метод доказательства теоремы связан с площадями фигуры.

Нужно расположить одинаковые прямоугольные треугольники так, чтобы внутри образовался квадрат. Каждая сторона внешнего квадрата должна состоять из суммы катетов прямоугольного треугольника a + b.

Площадь этого квадрата можно будет найти благодаря формуле:

Внутренний четырехугольник можно считать квадратом, ведь, если добавить два острые углы прямоугольного треугольника, то получится 90°. Следует считать, что площадь внешнего квадрата состоит из площади внутреннего квадрата и четырех площадей одинаковых прямоугольных треугольников. Итак, в заключении:
2. Доказательство Евклида
Итак, теорема Пифагора доказана.

Доказательство Евклида также называется "Пифагоровы штаны". Ее так назвали, потому что сумма площади квадратов, образованных с использованием катетов прямоугольного треугольника равна площади квадрата, который построен на гипотенузе этого же треугольника. Квадраты напоминали ученикам мужские штаны.

На примере приведенных картинок ниже можно увидеть, как оригинально передали суть доказательства Евклида.
Пример задачи на применение теоремы Пифагора
В вашем учебнике не было таких доказательств? Вы можете найти другой в разделе "Учебники по геометрии за 8 класс".

Условия задачи. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90 °, BC = 20 см, AC = 15 см. Найти сторону AB.

Решение. Поскольку в треугольнике АВС ∠С = 90°, следовательно, по теореме Пифагора имеем:

АВ² = BС² + АС²; AВ² = 20² + 15², AВ² = 625, AB = √625| AB = 25 см.

Если вам нужно решить задачу с помощью теоремы Пифагора, а вы сомневаетесь в конечном ответе, тогда можете проверить свои знания благодаря разделу "ГДЗ и решебники по геометрии за 8 класс".

А если вы хотите крепче закрепить знания по другим темам по геометрии, то можете просматривать видео в разделе "Онлайн уроки за 8 класс по геометрии". Узнайте больше о перпендикуляре и наклонной, сумме углов выпуклого треугольника, площадь квадрата и прямоугольника, решение задач методом площадей и тому подобное.

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора: история, формулы и доказательства

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема Пифагора - одна из самых известных геометрических теорем, которая устанавливает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Большинство ученых считают, что теорема Пифагора была доказана древнегреческим математиком и философом Пифагором (или Питагором). Однако есть версия, что теорему знали и до его рождения.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет - одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b - катеты, с - гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

если c2 < a2 + b² , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.

если c2 = a2 + b² , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.

если c2 > a2 +b² , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.

Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A - общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B - общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Сложим полученные равенства:

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.

Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

Проведём отрезок A₁B₁.

Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁² = A₁C₁² + B₁C₁².

Таким образом получится:

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,

2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.

Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Ответ: 11,7.

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Как решаем:

Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

121 ≠ 146

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно - от дробей до теоремы Пифагора - и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
формула теоремы пифагора

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
теорема пифагора для прямоугольного треугольника

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
теория пифагора

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора - формула, доказательство, задачи

# data[].attributes.attachment_link.description
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Гипотенуза - сторона, лежащая напротив прямого угла. Катет - одна из двух сторон, образующих прямой угол. Формула Теоремы Пифагора выглядит так: где a, b - катеты, с - гипотенуза.

# data[].attributes.headline
Все, что нужно знать о теореме Пифагора

# data[].attributes.subject
Все, что нужно знать о теореме Пифагора

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора - урок. Геометрия, 8 класс.

# data[].attributes.attachment_link.description
Урок по теме Теорема Пифагора. Теоретические материалы и задания Геометрия, 8 класс. ЯКласс - онлайн-школа нового поколения.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Схема, объясняющая доказательство теоремы Пифагора через равнодополняемость[⇨]

Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот. Теорема Пифагора (длина сторон прямоугольного треугольника)

Теоре́ма Пифаго́ра - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается античному философу Пифагору. Утверждение появляется как Предложение 47 в " Началах" Евклида.

Также может быть выражена как геометрический факт о том, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Верно и обратное утверждение: треугольник, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна квадрату длины третьей стороны, является прямоугольным.

Существует ряд обобщений данной теоремы - для произвольных треугольников, для фигур в пространствах высших размерностей. В неевклидовых геометриях теорема не выполняется.

По мнению историка математики Морица Кантора, в Древнем Египте во времена царя Аменемхета I (около XXIII век до н. э.) было известно о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4, 5 - его использовали гарпедонапты - "натягиватели верёвок". В древневавилонском тексте, относимом ко временам Хаммурапи ( XX век до н. э.), приведено приближённое вычисление гипотенузы. По мнению Ван-дер-Вардена, очень вероятно, что соотношение в общем виде было известно в Вавилоне уже около XVIII века до н. э.

Рисунок из книги Чжоу би суань цзин (500-200 лет до нашей эры)

В древнекитайской книге " Чжоу би суань цзин", относимой к периоду V-III веков до н. э., приводится треугольник со сторонами 3, 4 и 5, притом изображение можно трактовать как графическое обоснование соотношения теоремы. В китайском сборнике задач " Математика в девяти книгах " (X-II веков до н. э.) применению теоремы посвящена отдельная книга.

Общепринято, что доказательство соотношения дано древнегреческим философом Пифагором (570-490 до н. э.). Имеется свидетельство Прокла (412-485 н. э.), что Пифагор использовал алгебраические методы, чтобы находить пифагоровы тройки, но при этом в течение пяти веков после смерти Пифагора прямых упоминаний о доказательстве его авторства не находится. Однако когда Плутарх и Цицерон пишут о теореме Пифагора, из содержания следует, будто авторство Пифагора общеизвестно и несомненно. Существует предание, сообщённое Диогеном Лаэртским, согласно которому Пифагор якобы отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков.

Приблизительно в 400 году до н. э., согласно Проклу, Платон дал метод нахождения пифагоровых троек, сочетающий алгебру и геометрию. Около 300 года до н. э. в "Началах" Евклида появилось старейшее аксиоматическое доказательство теоремы Пифагора.

Формулировки

Сумма площадей квадратов, опирающихся на катеты и , равна площади квадрата, построенного на гипотенузе

Основная формулировка содержит алгебраические действия - в прямоугольном треугольнике, длины катетов которого равны и , а длина гипотенузы - , выполнено соотношение .

Возможна и эквивалентная геометрическая формулировка, прибегающая к понятию площади фигуры: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В таком виде теорема сформулирована в "Началах" Евклида.

Обратная теорема Пифагора - утверждение о прямоугольности всякого треугольника, длины сторон которого связаны соотношением . Как следствие, для всякой тройки положительных чисел , и , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой . Предложение, обратное теореме Пифагора, сформулированное в условной форме: "Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является прямым". Это же предложение в категоричной форме: "Угол треугольника, лежащий против стороны, квадрат которой равен сумме квадратов двух других сторон, прямой". Именно данное корректное предложение, обратное теореме Пифагора, является также теоремой[9].

Доказательства

В научной литературе зафиксировано не менее 400 доказательств теоремы Пифагора, что объясняется как фундаментальным значением для геометрии, так и элементарностью результата. Основные направления доказательств: алгебраическое использование соотношений элементов треугольника (таков, например, популярный метод подобия), метод площадей, существуют также различные экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

Через подобные треугольники

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры[11]. В нём для треугольника с прямым углом при вершине со сторонами , противолежащими вершинам соответственно, проводится высота , при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: и , из чего непосредственно следуют соотношения

При перемножении крайних членов пропорций выводятся равенства

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

Доказательства методом площадей

Большое число доказательств задействуют понятие площади. Несмотря на видимую простоту многих из них, такие доказательства используют свойства площадей фигур, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

Доказательство через равнодополняемость

Доказательство через равнодополняемость использует четыре копии прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой , расположенные таким образом, чтобы образовывать квадрат со стороной и внутренний четырёхугольник со сторонами длиной . Внутренний четырёхугольник в этой конфигурации является квадратом, так как сумма двух противоположных прямому острых углов - 90°, а развёрнутый угол - 180°. Площадь внешнего квадрата равна , он состоит из внутреннего квадрата площадью и четырёх прямоугольных треугольников, каждый площадью , в результате из соотношения при алгебраическом преобразовании следует утверждение теоремы.

Доказательство Евклида

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства - установление конгруэнтности , площадь которых составляет половину площади прямоугольников и соответственно

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства следующая: для прямоугольного треугольника с прямым углом , квадратов над катетами и и квадрата над гипотенузой строится высота и продолжающий её луч , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника и . Доказательство нацелено на установление равенства площадей прямоугольника с квадратом над катетом ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника и устанавливается через конгруэнтность треугольников и , площадь каждого из которых равна половине площади прямоугольников и соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямого угла и угла при ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата над гипотенузой, составленного из прямоугольников и , равна сумме площадей квадратов над катетами.

Доказательство Леонардо да Винчи

Чертёж к доказательству, приписываемому Леонардо да Винчи

К методу площадей относится также доказательство, приписываемое Леонардо да Винчи. По данным немецкого математика Франца Леммермейера ( нем. Franz Lemmermeyer), в действительности это доказательство было придумано Иоганном Тобиасом Майером[13]. Пусть дан прямоугольный треугольник с прямым углом и квадраты , и (см. рисунок). В этом доказательстве на стороне последнего во внешнюю сторону строится треугольник, конгруэнтный , притом отражённый как относительно гипотенузы, так и относительно высоты к ней (то есть и ). Прямая разбивает квадрат, построенный на гипотенузе на две равные части, поскольку треугольники и равны по построению. Доказательство устанавливает конгруэнтность четырёхугольников и , площадь каждого из которых, оказывается, с одной стороны, равной сумме половин площадей квадратов на катетах и площади исходного треугольника, с другой стороны - половине площади квадрата на гипотенузе плюс площадь исходного треугольника. Итого, половина суммы площадей квадратов над катетами равна половине площади квадрата над гипотенузой, что равносильно геометрической формулировке теоремы Пифагора.

Через площади подобных треугольников

Следующее доказательство основано на том, что площади подобных треугольников относятся как квадраты соответственных сторон.

Пусть есть прямоугольный треугольник, - перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла. Треугольники , подобны, так как имеют по прямому углу и ещё общий угол . Значит

Точно также получаем, что

Поскольку треугольники и вместе составляют , сумма площадей и равна площади . Отсюда

или

Доказательство методом бесконечно малых

Существует несколько доказательств, прибегающих к технике дифференциальных уравнений. В частности, Харди приписывается доказательство, использующее бесконечно малые приращения катетов и и гипотенузы . Например, приращение катета при постоянном катете приводит к приращению гипотенузы , так что

Методом разделения переменных из них выводится дифференциальное уравнение , интегрирование которого даёт соотношение . Применение начальных условий определяет константу как , что в результате даёт утверждение теоремы.

Квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов.

Вариации и обобщения

Подобные геометрические фигуры на трёх сторонах

Важное геометрическое обобщение теоремы Пифагора дал Евклид в " Началах", перейдя от площадей квадратов на сторонах к площадям произвольных подобных геометрических фигур: сумма площадей таких фигур, построенных на катетах, будет равна площади подобной им фигуры, построенной на гипотенузе.

Главная идея этого обобщения заключается в том, что площадь подобной геометрической фигуры пропорциональна квадрату любого своего линейного размера и в частности квадрату длины любой стороны. Следовательно, для подобных фигур с площадями , и , построенных на катетах с длинами и и гипотенузе соответственно, имеет место соотношение:

Так как по теореме Пифагора , то выполнено .

Кроме того, если возможно доказать без привлечения теоремы Пифагора, что для площадей трёх подобных геометрических фигур на сторонах прямоугольного треугольника выполнено соотношение , то с использованием обратного хода доказательства обобщения Евклида можно вывести доказательство теоремы Пифагора. Например, если на гипотенузе построить конгруэнтный начальному прямоугольный треугольник площадью , а на катетах - два подобных ему прямоугольных треугольника с площадями и , то оказывается, что треугольники на катетах образуются в результате деления начального треугольника его высотой, то есть сумма двух меньших площадей треугольников равна площади третьего, таким образом и, применяя соотношение для подобных фигур, выводится теорема Пифагора.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора - это частный случай более общей теоремы косинусов, которая связывает длины сторон в произвольном треугольнике:

где - угол между сторонами и . Если угол равен 90°, то , и формула упрощается до обычной теоремы Пифагора.

Произвольный треугольник

Обобщение, установленное Сабитом ибн Куррой. Нижний рисунок демонстрирует подобие треугольника треугольнику

Существует обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник, оперирующее исключительно соотношением длин сторон. Считается, что оно впервые было установлено сабийским астрономом Сабитом ибн Куррой[17]. В нём для произвольного треугольника со сторонами в него вписывается равнобедренный треугольник с основанием на стороне , вершиной, совпадающей с вершиной исходного треугольника, противолежащей стороне и углами при основании, равными углу , противолежащему стороне . В результате образуются два треугольника, подобных исходному: первый - со сторонами , дальней от неё боковой стороной вписанного равнобедренного треугольника, и - части стороны ; второй - симметрично к нему от стороны со стороной - соответствующей частью стороны . В результате оказывается выполнено соотношение[18][19]

вырождающееся в теорему Пифагора при . Соотношение является следствием подобия образованных треугольников:

Теорема Паппа о площадях

Теорема Паппа о площадях, позволяющая для произвольного треугольника и произвольных параллелограммов на двух его сторонах построить параллелограмм на третьей стороне таким образом, чтобы его площадь была равна сумме площадей двух заданных параллелограммов, также может быть рассмотрена как обобщение теоремы Пифагора: в случае, когда исходный треугольник - прямоугольный, а на катетах в качестве параллелограммов заданы квадраты, квадрат, построенный на гипотенузе оказывается удовлетворяющим условиям теоремы Паппа о площадях.

Многомерные обобщения

Обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного евклидова пространства является теорема де Гуа: если в одной вершине тетраэдра сходятся три прямых угла, то квадрат площади грани, лежащей напротив этой вершины, равен сумме квадратов площадей других трёх граней. Этот вывод может быть обобщён и как "n-мерная теорема Пифагора" для евклидовых пространств высших размерностей[21] - для граней ортогонального -мерного симплекса с площадями ортогональных граней и противолежащей им грани площадью выполнено соотношение:

Ещё одно многомерное обобщение возникает из задачи нахождения квадрата длины диагонали прямоугольного параллелепипеда: для её вычисления необходимо дважды применить теорему Пифагора, в результате она составит сумму квадратов длин трёх смежных сторон параллелепипеда. В общем случае, длина диагонали -мерного прямоугольного параллелепипеда со смежными сторонами с длинами составляет:

как и в трёхмерном случае, результат является следствием последовательного применения теоремы Пифагора к прямоугольным треугольникам в перпендикулярных плоскостях.

Обобщением теоремы Пифагора для бесконечномерного пространства является равенство Парсеваля.

Неевклидова геометрия

Теорема Пифагора выводится из аксиом евклидовой геометрии и недействительна для неевклидовой геометрии - выполнение теоремы Пифагора равносильно постулату Евклида о параллельности.

В неевклидовой геометрии соотношение между сторонами прямоугольного треугольника обязательно будет в форме, отличной от теоремы Пифагора. Например, в сферической геометрии все три стороны прямоугольного треугольника, которые ограничивают собой октант единичной сферы, имеют длину , что противоречит теореме Пифагора.

При этом теорема Пифагора справедлива в гиперболической и эллиптической геометрии, если требование о прямоугольности треугольника заменить условием, что сумма двух углов треугольника должна равняться третьему.

Сферическая геометрия

Сферический треугольник

Для любого прямоугольного треугольника на сфере радиусом (например, если угол в треугольнике прямой) со сторонами соотношение между сторонами имеет вид[27]

Это равенство может быть выведено как особый случай сферической теоремы косинусов, которая справедлива для всех сферических треугольников:

Применяя ряд Тейлора в функции косинуса ( ) можно показать, что если радиус стремится к бесконечности, а аргументы , и стремятся к нулю, то сферическое соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике приближается к теореме Пифагора.

Геометрия Лобачевского

Гиперболический треугольник

В геометрии Лобачевского для прямоугольного треугольника со сторонами со стороной , противолежащей прямому углу, соотношение между сторонами будет следующим[28]:

где - гиперболический косинус[29]. Эта формула является частным случаем гиперболической теоремы косинусов, которая справедлива для всех треугольников[30]:

где - угол, вершина которого противоположна стороне .

Используя ряд Тейлора для гиперболического косинуса ( ) можно показать, что если гиперболический треугольник уменьшается (то есть, когда , и стремятся к нулю), то гиперболические соотношения в прямоугольном треугольнике приближаются к соотношению классической теоремы Пифагора.

Применение

Расстояние в двумерных прямоугольных системах

Важнейшее применение теоремы Пифагора - определение расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат: расстояние между точками с координатами и равно

Для комплексных чисел теорема Пифагора даёт естественную формулу для нахождения модуля комплексного числа - для он равен длине радиус-вектора на комплексной плоскости к точке :

Расстояние между комплексными числами и также представляется в форме теоремы Пифагора[31]:

.

Здесь R - радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch - гиперболический косинус.

Евклидова метрика

Евклидова метрика - функция расстояния в евклидовых пространствах, определяемая по теореме Пифагора, непосредственным её применением в двумерном случае, и последовательным в многомерном; для точек -мерного пространства и расстояние между ними определяется следующим образом:

Теория чисел

Пифагорова тройка - набор из трёх натуральных чисел , которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника, то есть натуральные числа, удовлетворяющие диофантову уравнению . Пифагоровы тройки играют важную роль в теории чисел, задача их эффективного нахождения породила широкий пласт работ, начиная с древнейших времён и вплоть до современности. Формулировка Великой теоремы Ферма аналогична задаче нахождения пифагоровых троек для степени более 2.

Единственная пифагорова тройка, состоящая из трёх последовательных чисел - это 3, 4 и 5: [32].

В массовой культуре

С одним из изображений доказательства теоремы связано популярное в русском школьном фольклоре выражение "Пифагоровы штаны на все стороны равны", получившее особенную известность благодаря комической опере 1915 года " Иванов Павел ".

Примечания

Литература

Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - М., 1959.

Глейзер Г. И. История математики в школе. - М., 1982.

Еленьский Щ. По следам Пифагора. - М.: Детгиз, 1961. - 486 с. : ил., карт.

Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. - М.: Де Агостини, 2014. - 152 с. - (Мир математики: в 45 томах, том 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8.

Литцман В. Теорема Пифагора. - М., 1960.
Сайт о теореме Пифагора с большим числом доказательств, материал взят из книги В. Литцмана, большое число чертежей представлено в виде отдельных графических файлов.

Скопец З. А. Геометрические миниатюры. - М., 1990

Euclid. The Elements (3 vols.) / Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Thomas L. Heath. - Reprint of 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (Books I and II). - ISBN 0-486-60088-2.

Heath S. A History of Greek Mathematics (2 Vols.). - Edition of Dover Publications, Inc. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8.

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора - Википедия

# data[].attributes.attachment_link.description
Теоре́ма Пифаго́ра - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника: сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Соотношение в том или ином виде предположительно было известно различным древним цивилизациям задолго до нашей эры; первое строгое доказательство приписывается античному философу Пифагору.

# data[].attributes.headline
Теорема Пифагора

# data[].attributes.subject
Теорема Пифагора

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Академия Шпаргалок

# data[].attributes.attachment_link.title
Теорема Пифагора