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Medición de un ángulo cuando el equipo no se puede ubicar en el vértice

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Medición de un ángulo cuando el equipo no se puede ubicar en el vértice

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Teorema de Tales Ejercicio de Aplicación 2

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Teorema de Tales Ejercicio de Aplicación 2

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Teorema de Tales | Ejercicio de aplicación 2

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Teorema de Tales Ejercicio de Aplicación

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Teorema de Tales Ejercicio de Aplicación

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Teorema de Tales | Ejercicio de aplicación 5

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El teorema de Euclides demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo al trazar una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y, a su vez, son semejantes al triangulo original; entonces, existe una relación de proporcionalidad.

Euclides fue uno de los más grandes matemáticos y geómetras de la edad antigua que realizó varias demostraciones de teoremas importantes. Uno de los principales es el que lleva su nombre, que ha tenido una amplia aplicación.

Esto ha sido así porque, a través de ese teorema, explica de forma sencilla las relaciones geométricas existentes en el triángulo rectángulo, donde los catetos de este están relacionados con sus proyecciones en la hipotenusa.

El teorema de Euclides propone que en todo triangulo rectángulo, cuando se traza una recta -que representa a la altura que corresponde al vértice del ángulo recto con respecto a la hipotenusa- se forman dos triángulos rectángulos a partir del original.

Estos triángulos serán semejantes entre sí y también serán semejantes con el triángulo original, lo que significa que sus lados semejantes son proporcionales entre sí:

Los ángulos de los tres triángulos son congruentes; es decir, que al ser rotados a 180 grados sobre su vértice, coincide un ángulo sobre el otro. Esto implica que todos serán iguales.

De esa forma también se puede verificar la semejanza que existe entre los tres triángulos, por la igualdad de sus ángulos. Desde la semejanza de triángulos, Euclides establece las proporciones de estos a partir de dos teoremas:

- Teorema de la altura.

- Teorema de los catetos.

Este teorema tiene una amplia aplicación. En la Antigüedad fue usado para calcular alturas o distancias, representando un gran avance para la trigonometría.

Actualmente es aplicado en diversas áreas que se basan en la matemática, como ingeniería, física, química y astronomía, entre muchas otras áreas.

En este teorema se establece que en cualquier triangulo rectángulo, la altura trazada desde el ángulo recto con respecto a la hipotenusa es la media proporcional geométrica (el cuadrado de la altura) entre las proyecciones de los catetos que determina sobre la hipotenusa.

Es decir, el cuadrado de la altura será igual a la multiplicación de los catetos proyectados que forman la hipotenusa:

Dado un triángulo ABC, que es rectángulo en el vértice C, al trazar la altura se generan dos triángulos rectángulos semejantes, ADC y BCD; por lo tanto, sus lados correspondientes son proporcionales:

De tal forma que la altura h c que corresponde al segmento CD, corresponde a la hipotenusa AB = c, así se tiene que:

A su vez, esto corresponde a:

Despejando la hipotenusa (h c), para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:

Así, el valor de la hipotenusa es dado por:

En este teorema se establece que, en todo triangulo rectángulo, la medida de cada cateto será la media proporcional geométrica (el cuadrado de cada cateto) entre la medida de la hipotenusa (completa) y la proyección de cada uno sobre este:

Dado un triángulo ABC, que es rectángulo en el vértice C, de tal forma que su hipotenusa es c, al trazar la altura (h) se determinan las proyecciones de los catetos a y b, que son los segmentos m y n respectivamente, y que se encuentran sobre la hipotenusa.

Así, se tiene que la altura trazada sobre el triángulo rectángulo ABC genera dos triángulos rectángulos semejantes, ADC y BCD, de forma que los lados correspondientes son proporcionales, así:

DB = n, que es la proyección del cateto CB sobre la hipotenusa.

AD = m, que es la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa.

Entonces, la hipotenusa c es determinada por la suma de los catetos de sus proyecciones:

Por la semejanza de los triángulos ADC y BCD, se tiene que:

Lo anterior es lo mismo que:

Despejando el cateto "a" para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:

Así, el valor del cateto "a" es dado por:

De igual forma, por la semejanza de los triángulos ACB y ADC, se tiene que:

Lo anterior es igual a:

Despejando el cateto "b" para multiplicar los dos miembros de la igualdad, se tiene que:

Así, el valor del cateto "b" es dado por:

Relación entre los teoremas de Euclides

Los teoremas con referencia a la altura y los catetos se relacionan entre sí porque la medida de ambos se hace respecto a la hipotenusa del triángulo rectángulo.

A través de la relación de los teoremas de Euclides el valor de la altura también puede ser hallado; eso es posible despejando los valores de m y n del teorema de los catetos y se reemplazan en el teorema de la altura. De esa forma se cumple que la altura es igual a la multiplicación de los catetos, divididos entre la hipotenusa:

En el teorema de la altura se reemplaza m y n:

Dado el triángulo ABC, rectángulo en A, determinar la medida de AC y AD, si AB = 30 cm y BD = 18 cm

En este caso se tienen las medidas de uno de los catetos proyectados (BD) y de uno de los catetos del triángulo original (AB). De esa forma se puede aplicar el teorema de los catetos para hallar el valor del cateto BC.

El valor del cateto CD puede ser hallado sabiendo que BC = 50:

CD = 50 - 18 = 32 cm

Ahora sí es posible determinar el valor del cateto AC, aplicando nuevamente el teorema de los catetos:

AC = √1600 = 40 cm

Para determinar el valor de la altura (AD) se aplica el teorema de la altura, ya que los valores de los catetos proyectados CD y BD son conocidos:

Determinar el valor de la altura (h) de un triángulo MNL, rectángulo en N, sabiendo las medidas de los segmentos:

Se tiene la medida de uno de los catetos proyectados sobre la hipotenusa (PM), así como también las medidas de los catetos del triángulo original. De esa forma se puede aplicar el teorema de los catetos para hallar el valor del otro cateto proyectado (LN):

Como ya se conoce el valor de los catetos y la hipotenusa, a través de la relación de los teoremas de la altura y los catetos se puede determinar el valor de la altura:

1. Braun, E. (2011). Caos, fractales y cosas raras. Fondo de Cultura Economica.

2. Cabrera, V. M. (1974). Matemáticas modernas, Volume 3.

3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). Matemática de 3er año. Caracas: Santillana.

4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Enciclopedia hispánica: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.

5. Euclid, R. P. (1886). Euclid's Elements of Geometry.

6. Guardeño, A. J. (2000). El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton, los genios a través de sus libros. Universidad de Sevilla.

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Teorema de Euclides: Demostración, Aplicación y Ejercicios - Lifeder

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El teorema de Euclides demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo al trazar una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectángulos que sonEl teorema de Euclides demuestra las propiedades de un triángulo rectángulo al trazar una línea que lo divide en dos nuevos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y, a su vez, son semejantes al triangulo original; entonces, existe una relación de proporcionalidad.

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Teorema de Euclides - Teorema de la ALTURA y del CATETO

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Medición de distancia con obstáculo río - Casos C

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Se puede recurrir a dos métodos de cálculo, según el lado del obstáculo estemos

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Medición de distancia con obstáculo río - Casos A y B

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Teorema de Thales 2 - Problema tipo Universidad Nacional de Colombia

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Teorema de TALES 📐 SEMEJANZA de Triángulos

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C a D. Para eso vamos a buscar un triángulo que contenga dicho lado y que utilizaremos para calcular CD. Podemos usar dos triángulos que contengan ese lado. El triángulo ACD o el BCD. Yo voy a optar por el primero. De ahí conocemos sólo el ánguloA de 20º. Tendremos que calcular los lados AC y AD para posteriormente aplicar el teorema del coseno y calcular el lado CD. Para calcular el lado AC usaremos el triánguloABC. Pincha en la animación en el recuadro ABC para ver dicho triángulo. Es fácil averiguar el ángulo C () . Aplicando el teorema de los senos tendríamos: Una vez calculado AC pasamos a calcular AD. Para eso usaremos el triángulo ABD. Pincha en la animación en el recuadro ABD para ver dicho triángulo. Es fácil averiguar el ángulo D (). Aplicando el teorema de los senos tendríamos: Calculados los dos lados y aplicando el teorema del coseno tendríamos el lado CD:

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C a D . Para eso vamos a buscar un triángulo que contenga dicho lado y que utilizaremos para calcular CD. Podemos usar dos triángulos que contengan ese lado. El triángulo ACD o el BCD . Yo voy a optar por el primero. De ahí conocemos sólo el ánguloA de 20º.

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Determinación de la intersección de dos rectas

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Determinación de la intersección de dos rectas

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Distancia entre dos puntos cuando no puede medirse directamente

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