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La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales.

Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

Aquí tenemos un caso, donde se ven los elementos homólogos (ángulos y lados) con la igualdad o congruencia de sus ángulos y la proporcionalidad de los lados:

En los triángulos semejantes se cumplen las condiciones siguientes:

Para saber si dos triángulos son semejantes no es necesario conocer sus tres ángulos y sus tres lados. Existen tres criterios para asegurarlo.

Criterios de semejanza de dos triángulos

1. Que tengan dos ángulos iguales. (El tercero lo será, porque los tres tienen que sumar 180°).

Si α = α' y β = β', entonces los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes.

Criterios de igualdad de los ángulos:

Los tres lados homólogos son paralelos. (figura superior).

Los tres lados de un triángulo son perpendiculares a los homólogos del otro triángulo.

2. Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos sea igual.

Entonces:

Y, además, α =% α', entonces los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes.

3. Que tengan sus tres lados correspondientes proporcionales.

Entonces:

Tenemos también que los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes.

Triángulos en posición de Tales

Cuando dos triángulos tienen un ángulo común y sus lados opuestos a ese ángulo son paralelos entre sí, entonces esos triángulos son semejantes.

Esta condición es la que establece el primer teorema de Tales.

Y, por tanto, se cumple que:

Ejercicio 1

Los dos triángulos de la figura tienen sus lados de longitudes: 7,6 cm, 4,18 cm y 6,65 cm, el primero de ellos, mientras que los lados del segundo triángulo miden 4 cm, 2,2 cm y 3,5 cm. Se pregunta si estos triángulos son semejantes.

Solución:

Como se saben los tres lados de los dos triángulos, aplicamos el tercer criterio de semejanza.

Como la razón entre los lados correspondientes de los dos triángulos es la misma (razón de semejanza = 1,9) los dos triángulos son semejantes.

Ejercicio 2

Tenemos dos triángulos: el mayor dos lados de 10 cm y 5,5 cm concurren en el ángulo γ de 70°, mientras que del menor se conocen sus tres lados, de 4 cm, 2,2 cm y 3,5 cm. Se pregunta si estos triángulos son semejantes.

Solución:

En este caso, los tres datos conocidos de cada triángulo no se corresponden al mismo criterio de los tres expuestos. Para hallar el lado c desconocido en el triángulo mayor recurrimos al procedimiento expuesto en resolución de triángulos, en el apartado de "conocer dos lados y el ángulo que forman", en el que hay que aplicar el teorema del coseno.

El lado c mide 9,64 cm.

Como ya conocemos los tres lados de cada triángulo, obtendremos la razón entre cada par de lados homólogos, para ver si es la misma razón, que confirmará si estos triángulos son semejantes o no:

Se comprueba que los tres lados no son proporcionales. Por lo tanto, estos dos triángulos no son semejantes.

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La semejanza de triángulos es una característica que hace que dos o más triángulos sean semejantes. Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales. Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

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Congruencia en general

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Observe los siguientes dos triángulos:

(a)

(b)

Figura 4.1

Estos triángulos tienen las mismas dimensiones. Ellos no son iguales, pues el triángulo en (a) está orientado en forma diferente al triángulo en(b) y en una ubicación diferente. Posiblemente nos vemos tentados a decir que son "iguales", esto significaría un mal uso de la palabra "igual".
Si decimos que dos cosas son iguales, en matemática, se quiere decir que realmente son la misma cosa. Por otro lado, los triángulos de la figura 4.1 son muy parecidos en muchas cosas: las longitudes de sus lados y ánguloscorrespondientes. son iguales. Podríamos decir que uno es una copia exacta del otro. En geometría, este concepto se llama congruencia, informalmente dos figuras son congruentes si mediante traslaciones y rotaciones una puede hacerse coincidir con la otra exactamente sin cambiar sus formas. (Este concepto de trasladar figuras en el plano, fue usado por Euclides en los Elementos y es una de las fallas que se le atribuye, pues algunas de las operaciones que realiza no están amparadas por las nociones comunes, axiomas o proposiciones previamente enunciadas).

La notación que se utiliza para congruencia es , entonces para denotar que dos triángulos y son congruentes escribimos:

Si sabemos que dos triángulos son congruentes tenemos seis elementos de comparación entre ellos, las medidas de los lados correspondientes y las medidas de los ángulos correspondientes. A menudo, figuras complejas pueden descomponerse en triángulos y si podemos establecer que los triángulos que las forman son congruentes, entonces podríamos establecer relaciones entre éstas.

Laboratorio 2 En el siguiente laboratorio exploraremos, ¿cuál es el mínimo de información que necesitamos conocer acerca de dos triángulos para tener la posibilidad de concluir que son congruentes? Suponga que tiene medidas 5cm, 6cm y 7cm, dibuje triángulos diferentes usando las medidas dadas y verifique si son congruentes. Haga los dibujos usando regla con escala, usando laconstrucción 1 y usando el sketchpad.

Axioma 3 ( )

Dados dos triángulos, tales que los tres lados de un triángulo tienen la misma medida que los tres lados correspondientes del otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Nota: ( ) Significa lado-lado-lado.

Laboratorio 3 Suponga que dos triángulos tienen un lado que mide y ángulos que miden y .

1. Represente en una hoja dos triángulos con las medidas dadas, tal que en uno de ellos el lado que mide esté entre los ángulos de medida y y el otro tal que el lado que mide sea opuesto al ángulo de . Verifique si son congruentes.

2. Represente en una hoja dos triángulos con las medidas dadas, tal que en uno de ellos el lado que mide esté entre los ángulos de medida y y el otro tal que el lado que mide sea opuesto al ángulo de . Verifique si son congruentes.

3. Represente dos triángulos tal que el lado de esté entre los ángulos de y .

4. ¿Qué podríamos concluir con respecto a la congruencia de triángulos?

El anterior es un caso concreto del segundo criterio de Euclides para congruencia.

Definición 20

1. Un ángulo incluido por dos lados de un triángulo es un ángulo cuyos rayos coinciden con esos lados.

2. Un lado incluido por dos ángulos de un triángulo es el lado cuyos puntos finales coinciden con los vértices de los ángulos.

Axioma 4 ( )

Si las medidas de dos ángulos de un triángulo y el lado incluido por ellos son respectivamente iguales a las medidas de dos ángulos y al lado incluido por ellos de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Nota: ( ) significa ángulo - lado - ángulo.

Ejercicio

Dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa de igual longitud y un ángulo agudo de la misma medida, demuestre que son congruentes.

Hemos considerado la situación donde dos ángulos y el lado adyacente a estos tienen la misma medida en dos triángulos, ahora vamos a considerar el caso de dos lados y un ángulo que tienen la misma medida en dos triángulos.

Laboratorio 4 Suponga que en un triángulo dos de sus lados miden y y uno de sus ángulos .

1. Dibuje dos triángulos, tal que en uno de ellos la medida del ángulo dado esté entre los lados con medidas dadas y en el otro el ángulo de medida dada esté en el lado opuesto a uno de los lados de medidas dadas. Verifique si son congruentes.

2. Dibuje dos triángulos, tales que el ángulo dado esté entre los lados con medidas dadas. Verifique si son congruentes.

3. Considerando las comparaciones hechas anteriormente, ¿que podría concluir con respecto a la congruencia de triángulos?.

Axioma 5 ( )

Si dos lados de un triángulo y el ángulo incluido entre ellos son respectivamente de igual medida a los lados y el ángulo que incluyen de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Nota: ( ) significa lado - ángulo - lado.

Teorema 8:

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo tienen igual medida a la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Demostración:

Figura 4.6

Sean y dos triángulos tales que y son rectos y que:

Se quiere demostrar que . Así, se construirá una copia de junto a y se demostrará que dicha copia es congruente con .
Sea un punto en la prolongación de tal que y trace .

Ejercicio

Dos segmentos de línea recta, y se intersecan en y se bisecan entre ellos como se muestra en la figura 4.7, pruebe que .

Figura 4.7

Ejercicio

es un punto en el rayo bisector del ángulo , ver figura 4.8, el segmento es perpendicular a uno de los rayos del ángulo y el segmento es perpendicular al otro rayo del ángulo, pruebe que.

Figura 4.8

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Observe los siguientes dos triángulos: (a) (b) Figura 4.1 Estos triángulos tienen las mismas dimensiones. Ellos no son iguales, pues el triángulo en (a) está orientado en forma diferente al triángulo en(b) y en una ubicación diferente. Posiblemente nos vemos tentados a decir que son "iguales", esto significaría un mal uso de la palabra "igual".

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Congruencia geométrica

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Congruencia

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Congruencia y semejanza

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Congruencia y semejanza de triángulos│diferencia

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Semejanza

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Congruencia