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Secundaria / Números y operaciones: Proporcionalidad simple - Proporcionalidad compuesta - Problemas de porcentajes

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Secundaria / Números y operaciones: Proporcionalidad simple - Proporcionalidad compuesta - Problemas de porcentajes

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Secundaria

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Matemáticos

Matesfacil, ejercicios resueltos de matemáticas

ISSN: 2659-8442

Matesfacil es una publicación seriada no periódica de didáctica de las matemáticas cuyo objetivo es proporcionar recursos relacionados con su enseñanza y aprendizaje, destinada, sobre todo, a los estudiantes de educación secundaria y universitaria.

Redacción y administración:

José Luis Llopis Fabra.
Valencia - España.

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MATESFACIL, EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS

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Teoria, ejemplos, ejercicios y problemas resueltos paso a paso de matematicas para secundaria, bachillerato y universidad. Las matemáticas son fáciles si te las enseñan bien.

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Proporcionalidad directa e inversa y regla de tres

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Proporcionalidad directa e inversa y regla de tres

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Explicamos la relación de proporcionalidad simple directa e inversa y cómo aplicar una regla de tres, con ejemplos y problemas resueltos.
Índice:

1. Ejemplos introductorios

2. Proporcionalidad directa

3. Proporcionalidad inversa

4. Regla de tres

5. Problemas resueltos

1. Ejemplos introductorios

Veamos un par de ejemplos con los que entenderemos fácilmente qué es una relación de proporcionalidad.

Proporcionalidad directa:

En una fábrica de balones, cada trabajador fabrica \(5\) balones al día. Si la empresa contrata más trabajadores, el número de balones que se fabrica será mayor.

Escribimos una tabla con el número de trabajadores y el de balones fabricados al día:

A medida que aumenta el número de trabajadores, lo hace el número de balones.

Estas dos magnitudes (número de trabajadores y de balones) mantienen una relación de proporcionalidad directa.

Si dividimos el número de balones entre el de trabajadores, obtenemos un resultado constante:

Este número se denomina constante de proporcionalidad o razón.

Proporcionalidad inversa:

El tiempo que se tarda en construir una casa entre \(2\) obreros es \(10\) meses. Si el número de obreros aumenta, el tiempo que se tarda es menor.

Estas dos magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa: cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye y viceversa.

La constante de proporcionalidad se calcula multiplicando las magnitudes:

2. Proporcionalidad directa

Ya hemos visto que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando

Al aumentar una, también aumenta la otra.

Al disminuir una, también disminuye la otra.

Las variaciones de las magnitudes deben producirse según la constante de proporcionalidad.

Ejemplo

Si en tres bolsas de naranjas caben \(36\) naranjas, ¿cuántas bolsas necesitamos para guardar \(48\) naranjas?

Solución:

Como la proporcionalidad es directa (cuantas más naranjas, más bolsas), la constante de proporcionalidad es el cociente de las magnitudes:

La constante de proporcionalidad debe ser la misma, así que

Despejando,

Necesitamos \(4\) bolsas.

3. Proporcionalidad inversa

Ya hemos visto que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando

Al aumentar una, la otra disminuye.

Al disminuir una, la otra aumenta.

Ejemplo

Si tardamos \(3\) minutos en recorrer una distancia a una velocidad de \(20 km/h\), ¿cuánto tardaremos en recorrer dicha distancia si circulamos a \(30 km/h\)?

Solución:

Como la proporcionalidad es inversa (cuanta más velocidad, menos tiempo), la constante de proporcionalidad es el producto de las magnitudes:

La constante de proporcionalidad debe ser la misma, así que

Despejando,

Tardaremos \(2\) minutos.

4. Regla de tres

Existe una regla que nos permite calcular una de las magnitudes a partir de la otra. Esta regla se denomina regla de tres (directa o inversa).

Proporcionalidad directa:

Nos ayudamos de un ejemplo.

Si en \(3\) horas llueven \(60\) litros de agua, ¿cuántos lloverán en \(5\) horas?

Escribimos los tres datos en una tabla, cada magnitud en su columna correspondiente:

Observad las flechas representadas en forma de cruz. Los datos de la flecha doble se multiplican y el resultado se divide entre el dato de la flecha simple:

Lloverán \(100\) litros en \(5\) horas.

Proporcionalidad inversa:

Nos ayudamos de un ejemplo.

Si \(3\) trabajadores tardan \(2\) horas en cargar un camión, ¿cuánto tardarían en hacerlo \(4\) trabajadores?

Escribimos los tres datos en una tabla, cada magnitud en su columna correspondiente:

Observad las flechas paralelas. Los datos de la flecha doble se multiplican y el resultado se divide entre el dato de la flecha simple:

Dos obreros tardarían una hora y media.

5. Problemas resueltos

Problema 1

Determinar si las relaciones de proporcionalidad entre las siguientes magnitudes son directas o inversas:

Tiempo necesario en recorrer una distancia y la velocidad a la que se circula.

Tiempo necesario en recorrer una distancia y la distancia a recorrer.

Tiempo necesario para llenar una piscina y el número de mangueras de agua que se emplean.

Número de trabajadores y cantidad de trabajo realizado.

Número de trabajadores que realizan una actividad en grupo y el tiempo necesario para realizar dicha actividad.

Problema 2

Un grupo de \(3\) alumnos tarda \(45\) minutos en hacer un proyecto de clase. ¿Cuánto se tardaría si el grupo es de \(5\) alumnos?

Problema 3

Si el \(15\%\) de una cantidad es \(300\), ¿cuánto es el \(35\%\) de dicha cantidad?

Problema 4

En un examen de tipo test, Alberto obtuvo una nota de \(80\), lo que corresponde a \(120\) respuestas correctas. Si la nota de Leo fue \(66\), ¿cuántas respuestas correctas tuvo?

Problema 5

Leo y Alberto tardan \(15\) horas en pintar la casa de Leo. ¿Cuánto tardarían en pintarla si Teresa les ayuda?

Más problemas similares: proporcionalidad simple y proporcionalidad compuesta.

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Proporcionalidad directa e inversa y regla de tres

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Explicamos la relación de proporcionalidad simple directa e inversa y cómo aplicar una regla de tres, con ejemplos y problemas resueltos. Índice: Ejemplos introductorios Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Regla de tres Problemas resueltos Veamos un par de ejemplos con los que entenderemos fácilmente qué es una relación de proporcionalidad.

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Regla de Tres Simple Directa e Inversa + Ejercicios y Problemas【PDF】

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Entender la regla de tres simple. Saber cuando es directa o inversa. Ejemplos y problemas de proporcionalidad para Primaria.

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Proporcionalidad simple directa e inversa

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Proporcionalidad simple directa e inversa

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Contenido de esta página:

Enlace: Calculadora de porcentajes.

Introducción
Proporcionalidad directa:
Dos magnitudes \(a\) y \(b\) son directamente proporcionales cuando existe una constante \(k\) tal que

$$ \frac{a}{b} = k$$

La constante \(k\) se denomina constante de proporcionalidad o razón.

Se dice que \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad directa.

En este tipo de proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra también; y lo mismo ocurre cuando alguna de las dos disminuye.
Ejemplo:
En un movimiento con velocidad constante \(v\), la distancia recorrida viene dada por la ecuación

$$ distancia = v \cdot tiempo $$

La distancia es directamente proporcional al tiempo puesto que

$$ \frac{distancia}{tiempo} = v $$

En este ejemplo, la velocidad es la constante de proporcionalidad.

Cuando el tiempo aumenta, la distancia también lo hace y viceversa.
Regla de tres (directa)
Si dos magnitudes \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad directa, una regla de tres simple directa (o simplemente regla de tres directa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.

Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:

Como la relación de proporcionalidad directa debe ser constante, ha de cumplirse que

$$ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$$

De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.
Proporcionalidad inversa:
Dos magnitudes \(a\) y \(b\) son inversamente proporcionales cuando existe una constante \(k\) tal que

$$ a\cdot b= k $$

La constante \(k\) se denomina constante de proporcionalidad.

En esta proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra disminuye y viceversa.
Ejemplo:
Si un trabajador pinta una valla en 10 horas, entonces para pintar la misma valla entre dos trabajadores se necesitan 5 horas.

Se trata de una proporcionalidad inversa puesto que cuando aumenta el número de trabajadores, el número de horas necesarias disminuye. La constante de proporcionalidad es 10 porque

$$ 1\cdot 10 =10 =2\cdot 5 $$

Es decir, si \(a\) es el número de trabajadores y \(b\) el número de horas, entonces

$$ a\cdot b = 10$$
Regla de tres (inversa)
Cuando dos magnitudes \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad inversa, una regla de tres simple inversa (o simplemente regla de tres inversa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.

Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:

Como la relación de proporcionalidad indirecta debe ser constante, se cumple que

$$ a_1\cdot b_1 = a_2\cdot b_2$$

De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.

Nota: en ocasiones se utilizan los signos (+) y (-) en las tablas escritas anteriormente para denotar que se trata de una proporcionalidad directa e indirecta, respectivamente.

Primero se calculan razones entre dos números y reglas de tres. Después, problemas en los que hay que encontrar la relación de proporcionalidad y aplicar una regla de tres, ya sea directa o inversa.
Problema 1
Calcular la razón de los números
Problema 2
Calcular el valor de la incógnita en cada una de las relaciones de proporcionalidad:

Nota: por ejemplo, la igualdad

$$ \frac{3}{7} = \frac{18}{42} $$

significa que la razón de los números 3 y 7 es la misma que la razón de los números 18 y 42. Es decir, la relación de proporcionalidad es la misma.
Problema 3
Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean directamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.
Problema 4
Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean directamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.
Problema 5
El precio de un paquete de 13 rotuladores es de 9.75€. ¿Cuántos rotuladores podemos comprar con un presupuesto de 15.75€?
Problema 6
José marca 5 goles cada 25 minutos de partido. Calcular mediante una regla de tres cuántos goles marcará en una hora. Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.
Problema 7
El precio por kilo de queso azul es de 23.35€. ¿Cuánto nos costarán 150g de queso? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.
Problema 8
Un autobús recorre 70km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345km? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.
Problema 9
La puntuación de Sandra (sobre 10) en un examen de matemáticas de 39 preguntas es 3.3333... puntos. ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente?
Problema 10
Si tardamos 3 horas en estudiar los 5 primeros temas del examen, ¿cuántas horas más necesitamos para terminar de estudiar si en total hay 17 temas?
Problema 11
Para obtener el certificado de inglés se necesita obtener un 7 sobre 10 en un test de 243 preguntas. Calcular el número mínimo de preguntas correctas necesarias para obtenerlo.
Problema 12
Tres personas tardan 12 horas en pintar un muro. ¿Cuántas personas se necesitan si se quiere finalizar la tarea en tan solo 4 horas?
Problema 13
El precio de un barril de 100 litros de petróleo es de 65€. ¿Cuál es el precio de 3 barriles de 75 litros?
Problema 14
Completar la tabla para que las magnitudes de la primera fila sean inversamente proporcionales a las de la segunda e indicar cuál es la constante de proporcionalidad.
Problema 15
Cinco operarios tardan 9 horas en revisar el motor de todos los trenes de la estación. ¿Cuánto se tardaría en realizar el mismo trabajo si se contratan a dos operarios más?
Problema 16
Cuando abrimos la manguera el nivel del depósito de agua desciende 20cm cada 5 minutos. Calcular el tiempo que tarda en vaciarse el depósito si su nivel máximo es de 2.3m.
Problema 17
Tres trabajadores recolectan 100 manzanos en 5 horas. Uno de ellos ha sufrido un accidente laboral y no puede continuar con su tarea. Calcular cuánto se tardará en recolectar los 300 manzanos restantes entre los dos trabajadores activos.
Problema 18
Una empresa de refrescos dispone de 3 máquinas embotelladoras, que son suficientes para satisfacer un pedido diario de 2400 botellas. En verano el pedido diario asciende a 5600 botellas. Calcular cuántas máquinas embotelladoras han de alquilarse para asumir el incremento de la demanda.
Problema 19
Un camión realiza todos los días el mismo recorrido entre dos almacenes. Se sabe que tarda 3 horas y 20 minutos porque mantiene una velocidad constante de 90km/h. Mañana se debe entregar un paquete urgente, pero el camión no puede superar la velocidad máxima de 110km/h.

Se pide:

Calcular el tiempo que tarda en realizar el envío a velocidad máxima.

Calcular la distancia entre los almacenes.

Problema 20
Calcular el precio de una maleta de 130€ a la que se le aplicará una rebaja de un 60%.
Problema 21
En una tienda se aplica un mismo tanto por ciento de descuento en todos sus productos. Si pagamos 7€ por una camiseta que antes costaba 10€, ¿cuál era el precio inicial de unos pantalones que ahora cuestan 15€?

Proporcionalidad simple directa e inversa: regla de tres - (c) - matesfacil.com

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Proporcionalidad simple directa e inversa

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Contenido de esta página: Enlace: Calculadora de porcentajes. Proporcionalidad directa: Dos magnitudes \(a\) y \(b\) son directamente proporcionales cuando existe una constante \(k\) tal que $$ \frac{a}{b} = k$$ La constante \(k\) se denomina constante de proporcionalidad o razón. Se dice que \(a\) y \(b\) mantienen una relación de proporcionalidad directa.

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(con problemas resueltos)

En esta página explicamos cómo calcular porcentajes y resolvemos problemas de aplicación.
Índice:

1. Recordatorio

2. Calcular porcentajes (regla de tres)

3. 15 problemas resueltos

Enlace: Calculadora online de porcentajes.

1. Recordatorio

Un porcentaje es una forma de indicar una proporción tomando como referencia al número 100. Concretamente, el \(n\%\) es equivalente a la proporción \(n/100\), es decir, significa "\(n\) de cada 100".

Ejemplo

"La mitad de la población mundial son hombres" es lo mismo que decir que "50 de cada 100 personas son hombres", o bien, que "el 50% de la población son hombres".

Observad que, como se trata de una proporción, no importa el total. En el ejemplo, no hemos indicado el número total de la población, sino la proporción.

2. Calcular porcentajes (regla de tres)

Los porcentajes son relaciones de proporcionalidad directa. Siguiendo con el ejemplo anterior, esto quiere decir que, si la proporción de hombres aumenta, entonces el porcentaje también lo hace y, si decrece, el porcentaje también decrece. Por tanto, para trabajar con porcentajes tenemos que utilizar reglas de tres directas.

Para aplicar una regla de tres (directa), escribimos una tabla con dos columnas: una para las cantidades y otra para los porcentajes. El 100% debe identificarse con el total de la población:

Ejemplo 1

En un pueblo de 5000 habitantes, 3750 de ellos son hombres. Calculamos el porcentaje de hombres de dicho pueblo:

El 75% de los habitantes del pueblo son hombres.

¡Observad que hemos multiplicado en cruz!

Ejemplo 2

En otro pueblo de 7000 habitantes, el 75% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay?

Hay 5250 mujeres.

¡Observad que el tanto por ciento coincide en ambos pueblos, pero las cantidades son distintas porque el número total de habitantes es distinto!

3. Problemas resueltos

Problema 13

Colores de los ojos de un grupo 260 personas con la misma edad:

Calcular el número de personas que tienen los ojos verdes, azules y marrones.

Problema 15

Escribir las siguientes proporciones en forma de porcentajes:

Más problemas de porcentajes:

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En esta página explicamos cómo calcular porcentajes y resolvemos problemas de aplicación. Índice: Recordatorio Calcular porcentajes (regla de tres) 15 problemas resueltos Enlace: Calculadora online de porcentajes. Un porcentaje es una forma de indicar una proporción tomando como referencia al número 100. Concretamente, el \(n\%\) es equivalente a la proporción \(n/100\), es decir, significa "\(n\) de cada 100".