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Problemas resueltos

Problema introductorio

Para poder aplicar el teorema de Pitágoras es importante distinguir la hipotenusa de los catetos. Señalad la hipotenusa de los siguientes triángulos:

En el rojo, la hipotenusa es \(b\).

En el azul, la hipotenusa es \(a\).

En el verde, la hipotenusa es \(a\).

En el naranja no podemos hablar de hipotenusa y catetos porque no se trata de un triángulo rectángulo (es un triángulo obtusángulo).

Problema 1

1. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros.

2. Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 centímetro.

Apartado 1: sabemos la medida de los catetos (\(a\) y \(b\)):

$$ a = 3 \text{ cm,} \, b = 4\text{ cm} $$

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos calcular la hipotenusa:

Por tanto, la hipotenusa mide 5 centímetros. Representación del triángulo:

Apartado 2: sabemos la medida de los catetos (\(a\) y \(b\)):

$$ a = b = 1 \text{ cm} $$

Aplicamos Pitágoras:

Por tanto, la hipotenusa mide \(\sqrt{2}\) centímetros o, aproximando, 1.41 centímetros. Representación del triángulo:

Problema 2

Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro lado?

Llamamos a los catetos \(a\) y \(b\) y a la hipotenusa \(h\). Luego los datos que tenemos son:

Por Pitágoras, sabemos que tiene que cumplirse

Sustituimos los valores de \(a=1\) y \(h = 2\) en la fórmula:

Ahora, despejamos la \(b^2\) en la ecuación:

Tenemos la \(b\) al cuadrado, para calcularla, hacemos la raíz cuadrada:

Nota: hemos escrito los signos positivo y negativo porque es lo que matemáticamente debemos hacer, pero como \(b\) representa la longitud de un cateto, no puede ser un número negativo. Por tanto, el cateto mide

Podemos dejar la raíz cuadrada o aproximarla:

Representación del triángulo:

Problema 3

Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden y .

Llamamos a los catetos \(a\) y \(b\) y a la hipotenusa \(h\) (aunque no importan los nombres siempre que apliquemos bien la fórmula del teorema).

Los datos que tenemos son

Por el teorema de Pitágoras, sabemos que la hipotenusa es

Sustituimos en la fórmula los valores conocidos (\(a\) y \(b\)):

Tenemos que calcular los cuadrados de las raíces cuadradas. Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz):

Nota: observad que hemos usado la propiedad del producto de las raíces.

Por tanto, la hipotenusa es

La hipotenusa mide aproximadamente 2,24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m...) ya que no se indica en el enunciado.

Representación del triángulo:

Problema 4

En un campo de fútbol se han izado una bandera de España y una de México en unos mástiles de 25 metros de altura. Los mástiles se sujetan con dos cables que parten del mismo punto del suelo situado a 11 y 20 metros de distancia de los mástiles hasta cada uno de los extremos de los mismos. Calcular la longitud de ambos cables.

Representamos los triángulos rectángulos y las medidas que conocemos:

Tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras dos veces, sin confundir que hemos llamado a y b a las hipotenusas (no son los catetos).

Calculamos la longitud del cable que sujeta la bandera de España:

Calculamos la longitud del cable que sujeta la bandera de México:

Problema 5

Calcular el perímetro del siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12:

Calcular la altura \(h\) del triángulo isósceles cuya base mide 10 y cuyos lados miden 13:
Apartado a
En primer lugar, recordad que el perímetro es la suma de todos los lados del polígono y que todos los lados de un rombo miden lo mismo.

Podemos dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales (determinados por las diagonales del rombo):

Recordad que en los rombos todos los lados miden lo mismo y los ángulos interiores son iguales dos a dos. Además, como hemos realizado una división simétrica, sabemos que los catetos miden 8 y 6 en cada triángulo.

Observad que los lados del rombo son las hipotenusas de los 4 triángulos rectángulos. Como los triángulos son iguales, sólo hay que calcular una hipotenusa.

Para calcular la hipotenusa aplicamos el teorema de Pitágoras:

Por tanto, cada lado del rombo (o sea, cada hipotenusa) mide 10.

El perímetro es la suma de todos los lados. Como éstos son iguales, sólo tenemos que multiplicar por 4:

Perímetro = 4·10 = 40
Apartado b
Es muy fácil ver que la altura \(h\) del triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos de catetos \(5\) y \(h\) e hipotenusa 13. Por tanto, aplicando Pitágoras, la altura del triángulo isósceles es 12:

Nota: ha sido premeditado llamar \(h\) a la altura (por el inglés, height), pero no hay que confundirla con la \(h\) de hipotenusa al aplicar el teorema. Por eso en el radicando hay una resta: cuadrado de la hipotenusa menos cuadrado del cateto conocido.

Problema 6

Calcular la altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.

Hay que tener en cuenta que las unidades de medida no son las mismas. Podemos escribirlas todas en metros, así 70 centímetros son 0.7 metros:

El triángulo que tenemos es

La altura es uno de los catetos (\(a\)). Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcularla:

Por tanto, haciendo la raíz cuadrada,

Pero como \(a\) es la altura, debe ser positiva. Por tanto, la altura será, aproximadamente 2.92 metros:

Problema 7

Supongamos que la Tierra (azul), Marte (rojo) y el Sol (amarillo) se encuentran por un momento formando un triángulo rectángulo. Calcular la distancia entre la Tierra y Marte sabiendo que:

La distancia Tierra-Sol es 150 millones de kilómetros.

La distancia Marte-Sol es de 225 millones de kilómetros.

La distancia buscada es la hipotenusa \(h\). Aplicamos Pitágoras:

Por tanto, la distancia entre la Tierra y Marte sería de unos 270.42 millones de kilómetros.

Problema 8

La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros:

Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm, ¿de cuántas pulgadas de diagonal debe ser el televisor?

Para calcular las pulgadas que caben en el hueco, debemos calcular cuánto mide su diagonal y escribir el resultado en pulgadas.

Como la diagonal del hueco es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras:

Por tanto, la diagonal mide unos 124,32cm.

Nota: deberíamos redondear la raíz cuadrada a la baja para que el televisor quepa en el hueco.

Pasamos de centímetros a pulgadas aplicando una regla de tres:

Luego 124,32 centímetros son 51,8 pulgadas:

Por tanto, el televisor que debe comprar David no puede exceder las 48,94 pulgadas.

Problema 9

Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?

Imaginamos un triángulo rectángulo de modo que

su base, \(b\), es la sombra del árbol,

su altura, \(a\), es la altura del árbol y

su hipotenusa, \(h\), es la distancia desde el árbol al extremo de la sombra.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura, \(a\):

Finalmente, hacemos la raíz cuadrada:

Por tanto, la altura del árbol es, aproximadamente, 3,12 metros.

Problema 10

Un clavadista (saltador de trampolín) está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud.

Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma (desde el nivel del agua)?

Según la representación, la profundidad de la piscina es de 2,4 metros.

Tenemos un rectángulo de altura 2,4 m y cuya diagonal mide 8,8 m. Dicho de otro modo, tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 8,8 m y uno de sus catetos mide 2,4 m. Calculamos el otro cateto b por Pitágoras (es la base del rectángulo):

Pero como el clavadista cae a 1 metro de la plataforma, la longitud de la piscina es de 9,46 metros.

Para calcular la altura \(a\) de la plataforma nos ayudamos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 11,2m y cuya base mide 9,46m:

Por tanto, la altura de la plataforma es de unos 6 metros por encima del nivel del agua.

Problema 11

Un parque de diversiones quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte desde la base superior de una columna con forma cilíndrica. Si el radio de la columna es \(R = 2\) metros y el área de su lateral es de 120 metros cuadrados, calcular la longitud del cable de la tirolesa para que alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.

Tenemos un triángulo rectángulo de base 40m cuya hipotenusa coincide con la tirolesa. La altura de la columna, \(h\), la podemos calcular a partir de su área lateral y su radio, \(R\).

El área lateral del cilindro es la del rectángulo de altura \(h\) y cuya base es el diámetro de la base del cilindro, es decir, dos veces el radio.

Por tanto, el área del lateral de la columna es

Sustituimos el área (\(A =120m^2\)) y el radio (\(R=2m\)) y resolvemos la ecuación:

Luego la altura de la columna es de 30 metros.

Finalmente, calculamos la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras:

Nota: hemos llamado \(L\) a la hipotenusa para no confundirla con la altura \(h\) de la columna.

El cable de la tirolesa debe medir 50 metros de longitud.

Problema 12

Demostrad el teorema de Pitágoras con la ayuda de la siguiente figura:

Ayuda: necesitaréis

Primero, observemos la figura:

Está formada por 4 triángulos rectángulos iguales cuyos catetos miden \(a\) y \(b\) y la hipotenusa, \(h\).

El lado del cuadrado exterior es \(L = a+b\) y su área coincide con la suma del área de los triángulos y la del cuadrado interior de lado \(h\).

La fórmula que tenemos que demostrar es la del teorema de Pitágoras:

Demostración:

El lado del cuadrado exterior es

Por tanto, el área de dicho cuadrado es

Esta área ha de coincidir con la suma de las áreas de los 4 triángulos y la del cuadrado interior. Vamos a calcular estas áreas.
Cuadrado interior:
El cuadrado interior tiene lado \(h\), así que su área es
Triángulos:
Los triángulos son rectángulos y sus catetos son la altura y la base. Luego el área de cada uno de los triángulos es

Como el área del cuadrado exterior es igual a la suma de las áreas de los otros polígonos, tenemos:

Nota: en el lado derecho hemos escrito la suma del área del cuadrado interior y 4 veces el área de uno de los triángulos.

Ahora, en la fórmula anterior sustituimos las fórmulas de área que hemos visto:

Aplicamos la fórmula del cuadrado de la suma en el lado izquierdo:

El sumando \(2ab\) aparece en ambos lados, así que lo podemos eliminar:

Por tanto, queda demostrado el teorema de Pitágoras:

Problema 13

1. Si los dos catetos de un triángulo rectángulo miden lo mismo, ¿cuánto mide la hipotenusa? Da un ejemplo.

2. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide el doble que el otro, ¿cuánto mide la hipotenusa? Da un ejemplo.

3. ¿Puede la hipotenusa de un triángulo medir exactamente lo mismo que la suma de sus catetos? Da un ejemplo o contraejemplo.

En los tres apartados llamaremos \(a\) y \(b\) a los catetos y \(h\) a la hipotenusa.
Apartado a
Como los catetos miden lo mismo, \(a = b\).

Por Pitágoras,

Ejemplo: si los catetos miden 1, \(a = 1\), entonces la hipotenusa mide
Apartado b
Como uno de los catetos mide el doble que el otro, \(b = 2\cdot a\).

Por Pitágoras,

Ejemplo: si los catetos miden 1 y 2, \(a = 1\) y \(b = 2\cdot 1 = 2\), entonces la hipotenusa mide
Apartado c
Debe cumplirse que la suma de los catetos es igual a la hipotenusa:

Calculamos el cuadrado de la hipotenusa:

Sin embargo, por Pitágoras,

Pero entonces, como \(h^2 = h^2\), tenemos

Es decir,

Pero esto sólo sería posible si a = 0, o bien, b = 0, lo cual es una posibilidad imposible, dado que a y b son las longitudes de los catetos. Luego hemos demostrado por reducción al absurdo la falsedad del apartado c.

Contraejemplo: si los catetos miden 1 y la hipotenusa mide 2, no se cumpliría el teorema de Pitágoras ya que

Problema 14

Dificultad muy alta: se requiere resolver un sistema de ecuaciones no lineales.

Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo que sus lados miden , y su base 3.

Para poder calcular la altura del triángulo, \(a\), tenemos que dividirlo en dos triángulos rectángulos (para poder aplicar el teorema de Pitágoras).

Los dos triángulos son los siguientes:

La base del triángulo (que mide 3) se divide en dos partes no iguales (la base de cada triángulo). No sabemos cuánto mide cada base, pero sí que sabemos que las dos bases suman 3:

Aplicamos Pitágoras al primer triángulo y obtenemos una ecuación:

Nota: no conocemos ninguno de los dos catetos implicados (\(a\) y \(x\)).

Procediendo del mismo modo para el otro triángulo, obtenemos

Es decir, tenemos las siguientes ecuaciones:

Se trata de un sistema de ecuaciones no lineales ya que algunas de las incógnitas se encuentran elevadas al cuadrado.

Podemos aislar fácilmente la \(y\) en la tercera ecuación, obteniendo

En la segunda ecuación tenemos una \(y\), que sabemos que es \(3-x\), así que sustituimos en ella:

Como tenemos una resta al cuadrado, aplicamos la fórmula del binomio de Newton (diferencia al cuadrado), que recordamos que es la siguiente:

Operamos aplicando la fórmula anterior:

Ahora despejamos \(a^2\):

Recordemos que también teníamos la ecuación

Despejamos también en ella \(a^2\):

Es decir, las dos ecuaciones que tenemos son

Y como \(a^2 = a^2\), podemos igualar ambas expresiones algebraicas obteniendo una ecuación de primer grado fácil de resolver:

Sabiendo el valor de \(x\) podemos obtener el de \(y\):

Ya sabemos cuánto mide cada base y podemos ahora calcular la altura.

La primera de las ecuaciones era

Como sabemos que \(x = 1\), podemos calcular \(a\):

Y como \(a\) es la altura, no puede ser negativa. Por tanto, la altura del triángulo es \(a = 1\).

Problema 15

¿Uno o ambos catetos de un triángulo rectángulo pueden medir más que la hipotenusa? Dad algún ejemplo.

La respuesta es NO, como ya hemos indicado al comienzo de la página, pero veamos por qué.

Llamaremos \(a\) y \(b\) a los catetos y \(h\) a la hipotenusa.

Supongamos que \(a\) mide más (o lo mismo) que la hipotenusa, entonces tenemos

Como \(a \ge h\), sus cuadrados también cumplen esta relación:

Por Pitágoras sabemos que \(h^2 = a^2 + b^2\), con lo que tenemos que

Es decir,

Pero esto no puede ser cierto ya que \(a^2 + b^2\) es un número mayor que \(a^2\) (porque \(b^2 > 0\)).

Hemos supuesto que \(a \ge h\) y hemos obtenido una falsedad, lo que significa que \(a \ge h\) no puede ser cierto. Por tanto, necesariamente \(a < h\).

Lo visto para \(a\) también es aplicable para \(b\):
Ninguno de los catetos puede medir lo mismo o más que lo que mide la hipotenusa.
Contraejemplo: supongamos que tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 2 y uno de sus catetos mide 3. Es decir, tenemos \(a = 3\) y \(h = 2\). No nos importa cuánto mide el otro cateto, \(b\).

Por Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es

Sustituimos los datos en la ecuación:

Observad que la igualdad nunca será cierta porque el lado izquierdo de la igualdad (4) es siempre menor que el derecho (que es mayor que 9).

Más problemas: Problemas de Pitágoras (PyE).

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TEOREMA DE PITAGORAS: PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS: ESO

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Problemas resueltos de aplicación del Teorema de Pitágoras para secundaria. Calcular los lados de rectángulos; calcular la hipotenusa; calcular los lados de un cuadrado sabiendo su área; calcular la altura de un triángulo equilátero; etc. Test en línea sobre el teorema de Pitágoras.

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Colaboradores de los proyectos Wikimedia

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Teorema de Pitágoras - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas, el teorema de Pitágoras es una relación en geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos (los otros dos lados que no son la hipotenusa). Este teorema se puede escribir como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados ‘a’, ‘b’ y ‘c’. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.[1]​ El teorema de Pitágoras establece que, en todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.

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Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa").

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.

Si diversas rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son proporcionales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Teorema primero
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Aplicación

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro "O", distinto de A y de C. Entonces, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo donde < ABC = 90º. Según su circunferencia

Este teorema ( véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostración

En la circunferencia de centro O y radio r ( véase fig 2.3), los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior entre dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Corolarios

(Corolario 1) " En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la misma. "

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig 2.3).

(Corolario 2) " La circunferencia circunscrita a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma. "

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la fig 2.2 '

Aplicación del segundo teorema

El "segundo teorema" ( de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma ( véase figura).

Se supondrá que una tangente cualquiera t ( por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T ( también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el "corolario 2 del teorema segundo de Tales" podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar ( gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

Según la leyenda relatada por Plutarco,​ Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (las de Keops, Kefren y Micerino), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos ( y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide ( conocible) y la longitud de su altura ( desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara ( clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

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Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C. El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a partir de uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa").

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Semejanza de polígonos, ejemplos, 2º de ESO, 4º de ESO.

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La escala es la relación de proporción entre las dimensiones reales de un objeto y las del dibujo que lo representa. Por ejemplo, si una escala indica una proporción 1:15 000 significa que un centímetro del mapa representa 15 000 cm en el mundo real.

La primera forma es la relación entre el tamaño del globo generador y el tamaño de la Tierra. El globo generador es un modelo conceptual al que se reduce la Tierra y a partir del cual se proyecta el mapa. La relación entre el tamaño de la Tierra y el del globo generador se denomina escala nominal (= escala principal = fracción representativa). Muchos mapas indican la escala nominal e incluso pueden mostrar una escala de barras (a veces llamada simplemente escala) para representarla.

El segundo concepto distinto de escala se aplica a la variación de la escala en un mapa. Es la relación entre la escala del punto cartografiado y la escala nominal. En este caso 'escala' significa el factor de escala (= escala de puntos = escala particular).

Si la región del mapa es lo suficientemente pequeña como para ignorar la curvatura de la Tierra, como en el caso de un plano de una ciudad, se puede utilizar un único valor como escala sin provocar errores de medición. En los mapas que cubren áreas más grandes, o toda la Tierra, la escala del mapa puede ser menos útil o incluso inútil para medir distancias. La proyección del mapa se convierte en algo fundamental para comprender cómo varía la escala en todo el mapa.​​ Cuando la escala varía notablemente, se puede contabilizar el factor de escala. La indicatriz de Tissot se utiliza a menudo para ilustrar la variación de la escala de puntos en un mapa.

Los fundamentos de la escala cuantitativa de los mapas se remontan a la China antigua, con pruebas textuales de que la idea de la escala de los mapas se comprendía ya en el siglo II a. C. Los antiguos agrimensores y cartógrafos chinos disponían de amplios recursos técnicos para elaborar mapas, como varillas de contar, escuadra de carpintero, plomada, brújulas para dibujar círculos y tubos de mira para medir la inclinación. Los marcos de referencia que postulaban un incipiente sistema de coordenadas para identificar lugares fueron insinuados por los antiguos astrónomos chinos que dividían el cielo en varios sectores o logias lunares. ​

El cartógrafo y geógrafo chino Pei Xiu del período de los Tres Reinos creó un conjunto de mapas de gran superficie que se dibujaban a escala. Elaboró un conjunto de principios que enfatizaban la importancia de la consistencia de la escala, las medidas direccionales y los ajustes en las medidas del terreno que se estaba cartografiando.​

Existen tres tipos de escalas:

Escala natural: Es cuando el tamaño del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar ocupar espacios de reducción.

Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas (E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000.

Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza.

La región en la que la tierra puede considerarse plana depende de la precisión de las mediciones de estudios. Si se mide solo al metro más cercano, entonces la curvatura de la tierra es indetectable en una distancia meridiana de unos 100 kilómetros (62,1 mi) y en una línea este-oeste de unos 80 km (a una latitud de 45 grados). Si se mide con una precisión de 1 milímetro (0 plg), la curvatura es indetectable en un meridiano de unos 10 km y en una línea este-oeste de unos 8 km.​ Así, un plano de la ciudad de Nueva York con una precisión de un metro o un plano de una obra con una precisión de un milímetro satisfarían ambos las condiciones anteriores para el desprecio de la curvatura. Se pueden tratar mediante la topografía plana y se pueden cartografiar mediante dibujos a escala en los que dos puntos cualesquiera a la misma distancia en el dibujo están a la misma distancia en el suelo. Las verdaderas distancias sobre el terreno se calculan midiendo la distancia en el mapa y multiplicando después por el inverso de la fracción de escala o, de forma equivalente, simplemente utilizando divisores para transferir la separación entre los puntos del mapa a una escala de barras en el mapa.

Escala de puntos (o escala particular)

Como se demostró en el Theorema egregium de Gauss, una esfera (o elipsoide) no puede proyectarse sobre un plano sin que se deforme. Esto se ilustra comúnmente con la imposibilidad de alisar una cáscara de naranja sobre una superficie plana sin romperla y deformarla. La única representación real de una esfera a escala constante es otra esfera como un globo terráqueo.

Dado el limitado tamaño práctico de los globos terráqueos, debemos utilizar mapas para realizar una cartografía detallada. Los mapas requieren proyecciones. Una proyección implica una distorsión: Una separación constante en el mapa no se corresponde con una separación constante en el terreno. Aunque un mapa puede mostrar una escala gráfica de barras, la escala debe utilizarse teniendo en cuenta que solo será precisa en algunas líneas del mapa. (Esto se analiza con más detalle en los ejemplos de las siguientes secciones).

Sea P un punto de latitud y longitud en la esfera (o elipsoide). Sea Q un punto vecino y sea el ángulo entre el elemento PQ y el meridiano en P: este ángulo es el ángulo acimut del elemento PQ. Sean P' y Q' los puntos correspondientes de la proyección. El ángulo entre la dirección P'Q' y la proyección del meridiano es el rumbo . En general, . Comentario: esta distinción precisa entre el acimut (en la superficie de la Tierra) y el rumbo (en el mapa) no se observa universalmente, ya que muchos escritores utilizan los términos casi indistintamente.

Definición: la escala de puntos en P es la relación de las dos distancias P'Q' y PQ en el límite en que Q se acerca a P. Lo escribimos como

donde la notación indica que la escala del punto es función de la posición de P y también de la dirección del elemento PQ.

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo meridiano , la escala del meridiano se denota por .

Definición: si P y Q se encuentran en el mismo paralelo , la escala paralela se denota por .

Definición: si la escala del punto depende solo de la posición, no de la dirección, se dice que es isotrópica y convencionalmente se denota su valor en cualquier dirección por el factor de escala paralelo .

Definición: Se dice que una proyección cartográfica es conforme si el ángulo entre un par de líneas que se cruzan en un punto P es el mismo que el ángulo entre las líneas proyectadas en el punto proyectado P', para todos los pares de líneas que se cruzan en el punto P. Un mapa conforme tiene un factor de escala isotrópico. A la inversa, los factores de escala isótropos a través del mapa implican una proyección conforme.

La isotropía de escala implica que los elementos pequeños se estiran por igual en todas las direcciones, es decir, que se conserva la forma de un elemento pequeño. Esta es la propiedad de ortomorfismo, del griego que significa "forma correcta". El calificativo pequeño significa que con una determinada precisión de medida no se puede detectar ningún cambio en el factor de escala sobre el elemento. Dado que las proyecciones conformes tienen un factor de escala isotrópico, también se han denominado proyecciones ortomórficas. Por ejemplo, la proyección Mercator es conforme ya que está construida para preservar los ángulos y su factor de escala es isotrópico, una función de la latitud solamente: Mercator sí preserva la forma en regiones pequeñas.

Definición: en una proyección conforme con una escala isotrópica, los puntos que tienen el mismo valor de escala pueden unirse para formar las líneas de isoescala. Estas no se trazan en los mapas para los usuarios finales, pero aparecen en muchos de los textos estándar. (Véase Snyder​ páginas 203-206.)

Hay dos convenciones utilizadas para establecer las ecuaciones de cualquier proyección. Por ejemplo, la proyección cilíndrica equirectangular puede escribirse como

cartógrafos:

matemáticos:

Aquí adoptaremos la primera de estas convenciones (siguiendo el uso en los estudios de Snyder). Es evidente que las ecuaciones de proyección anteriores definen posiciones en un enorme cilindro envuelto alrededor de la Tierra y luego desenrollado. Se dice que estas coordenadas definen el mapa de proyección que debe distinguirse lógicamente de los mapas reales impresos (o vistos). Si la definición de la escala del punto en la sección anterior es en términos del mapa de proyección, entonces podemos esperar que los factores de escala sean cercanos a la unidad. Para las proyecciones cilíndricas tangentes normales, la escala a lo largo del ecuador es k=1 y, en general, la escala cambia a medida que nos alejamos del ecuador. El análisis de la escala en el mapa de proyección es una investigación del cambio de k lejos de su verdadero valor de unidad.

Consideremos un pequeño círculo en la superficie de la Tierra centrado en un punto P en la latitud y la longitud . Como la escala del punto varía con la posición y la dirección, la proyección del círculo sobre la proyección estará distorsionada. Tissot demostró que, siempre que la distorsión no sea demasiado grande, el círculo se convertirá en una elipse sobre la proyección. En general, la dimensión, la forma y la orientación de la elipse cambiarán sobre la proyección. La superposición de estas elipses de distorsión sobre la proyección del mapa transmite la forma en que la escala de puntos cambia sobre el mapa. La elipse de distorsión se conoce como indicatriz de Tissot. El ejemplo mostrado aquí es la proyección de Winkel-Tripel, la proyección estándar para los mapas del mundo hecha por la National Geographic Society. La mínima distorsión se produce en el meridiano central a latitudes de 30 grados (Norte y Sur). (Otros ejemplos​​).

La terminología de las escalas

Las escalas de los mapas pueden expresarse en palabras (una escala léxica), como una proporción o como una fracción. Algunos ejemplos son:

'un centímetro a cien metros' o 1:10,000 o 1/10,000

'una pulgada a una milla' o 1:63,360 o 1/63,360

'un centímetro a mil kilómetros' or 1:100,000,000 o 1/100,000,000. (La proporción generalmente se abreviaría a 1: 100M)

Además de lo anterior, muchos mapas llevan una o más escalas de barras (gráficas). Por ejemplo, algunos mapas británicos modernos tienen tres escalas de barras, una para kilómetros, millas y millas náuticas.

Una escala léxica en un idioma conocido por el usuario que puede ser más fácil de visualizar que una proporción: si la escala es de una pulgada a dos millas y el usuario del mapa puede ver dos aldeas que están a unas dos pulgadas de distancia en el mapa, entonces es fácil para averiguar que las aldeas están a unas cuatro millas de distancia en el suelo.

Una escala léxica puede causar problemas si se expresa en un idioma que el usuario no comprende o en unidades obsoletas o mal definidas. Por ejemplo, muchas personas mayores entenderán una escala de una pulgada a un furlong (1: 7920) en países donde las unidades imperiales solían enseñarse en las escuelas. Pero una escala de un pouce a una liga puede ser de aproximadamente 1:144,000, dependiendo de la elección del cartógrafo de las muchas definiciones posibles para una liga, y solo una minoría de los usuarios modernos estarán familiarizados con las unidades utilizadas.

Contraste con la escala espacial. Un mapa se clasifica en pequeña o gran escala o, a veces, mediana. La pequeña escala se refiere a mapas del mundo o mapas de grandes regiones, como continentes o naciones grandes. En otras palabras, muestran grandes áreas de tierra en un espacio pequeño. Se les llama pequeña escala porque la fracción representativa es relativamente pequeña.

Los mapas a gran escala muestran áreas más pequeñas con más detalle, como los mapas del condado o los planos de la ciudad. Estos mapas se denominan a gran escala porque la fracción representativa es relativamente grande. Por ejemplo, un plano de la ciudad, que es un mapa a gran escala, podría estar en una escala de 1: 10,000, mientras que el mapa del mundo, que es un mapa a pequeña escala, podría estar en una escala de 1: 100,000,000.

La siguiente tabla describe los rangos típicos para estas escalas, pero no debe considerarse autoritario porque no existe un estándar:

Gran escala

1:0 - 1:600.000

1:0,00001 mapa de un virus; 1:5000 mapa peatonal de un pueblo

Escala mediana

1:600.000 - 1:2.000.000

Mapa de un país

Pequeña escala

1:2.000.000 - 1:∞

1:50.000.000 para el mapa del mundo; 1:10 ²¹ para el mapa de la galaxia

A veces los términos se utilizan en el sentido absoluto de la tabla, pero en otras ocasiones se utilizan en sentido relativo. Por ejemplo, un lector de mapas cuyo trabajo se concentra exclusivamente en mapas de gran escala (como se indica en la tabla previa) puede hacer referencia a un mapa de escala 1:500,000 como de escala pequeña.

1. Snyder, John P. (1987). Proyecciones del mapa - Un manual de trabajo. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C.Este documento puede descargarse de USGS pages. Archivado el 16 de mayo de 2008 en Wayback Machine. Ofrece detalles completos de la mayoría de las proyecciones, junto con secciones introductorias, pero no deriva ninguna de las proyecciones a partir de los primeros principios. La derivación de todas las fórmulas de las proyecciones Mercator puede encontrarse en Las proyecciones Mercator.

2. Aplanando la Tierra: Two Thousand Years of Map Projections, John P. Snyder, 1993, pp. 5-8, ISBN 0-226-76747-7. Se trata de un estudio de prácticamente todas las proyecciones conocidas desde la antigüedad hasta 1993.

3. Osborne, Peter (2013), Las proyecciones Mercator. (Suplementos: Archivos Maxima y Código y figuras Latex).

4. Ejemplos de la indicatriz de Tissot. Algunas ilustraciones de la Indicatriz de Tissot aplicadas a una variedad de proyecciones distintas de la cilíndrica normal.

5. Otros ejemplos de la indicatriz de Tissot en Wikimedia Commons.

Saavedra Droguett Camila (2008). Escala (cartografía). Chile: editorial Saint thomas. ISBN 84-9732-428-6.

UNE EN ISO 5455:1996. "Dibujos técnicos. Escalas"

Véase también

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Escala (cartografía) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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La escala es la relación de proporción entre las dimensiones reales de un objeto y las del dibujo que lo representa. Por ejemplo, si una escala indica una proporción 1:15 000 significa que un centímetro del mapa representa 15 000 cm en el mundo real.

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▸ Éste es el teorema básico de las semejanzas. El Teorema de Tales dice: Si dos rectas, no necesariamente paralelas, son cortadas por un sistema de rectas para...

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Criterios de congruencia - Matematicas de volada

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Escuela secundaria Técnica 43 Academia de Matemáticas.

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☺Polígonos en general: clasificación y propiedades

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☺Polígonos en general: clasificación y propiedades

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Elementos de un polígono y clasificación - Geometría

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▸ Partimos de la imagen anterior para definir de manera simple lo que es un polígono. ¿Qué es un polígono? Un polígono es una figura geométrica plana limitada...

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clasificación y propiedades de los cuadriláteros

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clasificación y propiedades de los cuadriláteros, Cuadrilátero Inscriptible, Cuadrilátero Circunscribe, PARALELOGRAMOS, Los Paralelogramos son: figuras cuadriláteras con dos lados paralelos, TRAPECIOS, Los Trapecios son: cuadrilátero con dos lados opuestos paralelos

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Clasificación y propiedades de los triángulos

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Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios: Triángulo equilátero Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden $$60$$ grados). Triángulo isósceles Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

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◘Método algebraico: reducción, igualación, sustitución, regla de cramer

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◘Método algebraico: reducción, igualación, sustitución, regla de cramer

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métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales - Wikillerato

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Estos mismos métodos tambien pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacion de cualquiera de ellos conduciria, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:

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◘Graficación de sistemas de ecuaciones 2 x 2

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◘Graficación de sistemas de ecuaciones 2 x 2

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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas - Vikidia

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Los sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 (llamados comúnmente como sistemas de ecuaciones de 2x2 o sistemas de 2 x 2) se pueden resolver por varios métodos:

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema algebraico de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x ₁, x ₂ y x ₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal, así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Introducción

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas, los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo y son los términos independientes. Es posible reescribir el sistema separando los coeficientes con notación matricial:

(1)

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes. La matriz A se llama matriz de coeficientes de este sistema lineal. A b se le llama vector de términos independientes del sistema y a x se le llama vector de incógnitas.

Sistemas lineales reales

En esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, los sistemas lineales en los cuales los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Representación gráfica

La intersección de dos planos que no son paralelos coincidentes es una recta.

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espacio correspondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta. La solución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de este serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dicha línea o superficie.

Para sistemas de 4 o más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocan desde esta óptica.

Tipos de sistemas lineales

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.

Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Sistema incompatible si no tiene solución.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Podemos averiguar si un sistema es o no compatible mediante el Teorema de Rouché-Frobenius que establece que un sistema de ecuaciones lineales es compatible solo si el rango de su matriz ampliada coincide con el de su matriz de coeficientes. Supongamos que el sistema es compatible. Si el valor común de los rangos de las matrices coincide con el número de variables, el sistema es compatible determinado; en caso contrario, es compatible indeterminado.

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

La condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero, al igual que el rango de la matriz ampliada sea menor al número de incógnitas(y por tanto uno de sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

Rectas que pasan por el punto: (2,4)

Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión dos.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:

1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.

3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.

4. En este último paso hay tres posibilidades:

1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".

2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. "Sistema compatible indeterminado".

3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales pero sí en los complejos.

El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.

Ejemplo de eliminación de Gauss

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

número de hombres

número de mujeres

número de niños

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Eliminación de Gauss-Jordan

Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

Ejemplo de eliminación de Gauss-Jordan

Supóngase que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Inicialmente, se escriben los coeficientes del sistema como una matriz aumentada. Lo que en notación matricial se denota por:

Posteriormente, se reduce la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual se suma la segunda multiplicada por y por , respectivamente.

Por último, se elimina , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por y por , respectivamente:

Llegados a este punto se puede resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si se prefiere, se puede multiplicar las tres filas de la matriz por: , y respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de casos específicos, aunque posteriormente se han desarrollado algoritmos alternativos mucho más eficientes. La mayoría de estos algoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²) (donde n es el número de ecuaciones del sistema). Algunos de los métodos más usados son:

Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o más generalmente un cuerpo , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchas ecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más "económicos" en número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky. Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de Gauss-Seidel.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso se dice que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)

el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

Solución de sistemas lineales en un anillo

Los métodos para resolver el sistema () sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. De hecho, la mayoría de los métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a que no existen inversos multiplicativos.

La existencia de solución del sistema () sobre los enteros requiere varias condiciones:

1. Para cada i es divisor de .

2. Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un conjunto de enteros formado por el conjunto de enteros que satisface la i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección .

Véase también

Enlaces externos

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Sistema de ecuaciones lineales - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema algebraico de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado, definidas sobre un cuerpo.

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plano de coordenadas . Las soluciones de una desigualdad lineal son una región del plano coordenado. Una recta límite , que es la ecuación lineal relacionada, sirve como frontera para la región. Puedes usar una representación visual para encontrar los valores que hacen válida a la desigualdad - y también los que la hacen inválida.

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Matematicas explicadas en un lenguaje sencillo, puzzles, juegos, tests y hojas de ejercicios

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Operaciones con monomios, suma y resta, multiplicación, división, potencia de un monomio, ejemplos, ESO, Bachillerato.

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Operaciones con polinomios, suma, resta, multiplicación y división de polinomios, regla de Ruffini, ejercicios resueltos. ESO y Bachillerato.

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1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.

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♣Resolución de ecuaciones de primer grado ax+b=c

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♣Resolución de ecuaciones de primer grado ax+b=c

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Ecuaciones de primer grado, pasos para resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis, con denominadores, con corchetes, ejemplos, ejercicios resueltos. 2º de ESO, 3º de ESO

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♣Ecuaciones de primer grado o lineales (ax+b)/c=d

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♣Ecuaciones de primer grado o lineales (ax+b)/c=d

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Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es una igualdad de la forma: ax + b = c (a, b, c, son números conocidos) Esta ecuación tiene dos miembros, separados por el signo de igualdad: Primer miembro: ax + b. Segundo miembro: c.

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De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.