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Os dados a seguir são componentes de Avaliação da disciplina Estatística do Centro de Tecnologia da Universidade Federal de Alagoas (CTEC-UFAL), ministrada pelo Profº Marllus Neves. Tendo como autores Daniel Muniz de Almeida, Dayana Gomes de Almeida, Matheus Lucas Silva Lima e Vicente Matheus de Almeida Teixeira, graduandos dos cursos de Engenharia.

Na disciplina, veremos tópicos que serão fundamentais para a construção deste trabalho como:
-Noções de Estatística Descritiva, onde serão abordados medidas de tendência, de variação e distribuição de frequência;
-Probabilidade, aprenderemos sobre variáveis aleatórias e modelos probabilísticos;
-Estatística Inferencial, veremos como estimar parâmetros e realizar testes de hipóteses;
-E finalmente, em Correlação e Regressão iremos ver como utilizar regressão linear e também intervalos de predição.

OBJETIVO
Este trabalho tem como propósito estabelecer uma relação entre conceitos da Estatística e dados reais sobre rendimento de glicose e TDH, bem como o potencial hidrogeniônico (pH) à amostras de efluentes submetidas a reatores de produção de hidrogênio. Através dessa relação, pretende-se demonstrar por meio de gráficos e  tabelas as diferenças no comportamento de V em função de F, correlacionando-os a VE.

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Os Reatores de Compartimentos Anaeróbios são reatores utilizados frequentemente na indústria de Tratamento de Efluentes, chamados ETE´s. Mais especificamente o reator R2CA, que foi empregado nestas análises para coletas de dados, tem aplicação na obtenção de hidrogênio sendo observadas as concentrações de glicose (mg/L), Demanda Química de Oxigênio (DQO), Tempo de Detenção Hidráulica(TDH), pH, vazão média (mL/L) e produção (mL/h). São feitas relações entre esses parâmetros que são capazes de determinar por meio de intervalos de tempo o rendimento (mol H2/mol glicose), tomando como base amostras de afluente e efluente.

Para este trabalho foram considerados três parâmetros:
- Rendimento de mol H2/mol glicose, definido para análise como variável V;
- Tempo de Detenção Hidráulica(TDH), tendo o reator operado com tempo decrescente. O TDH será função F em relação à V;
- pH do efluente, que servirá para estudo de correlação definido como VE.

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Tabela de dados obtidos a patir do reator (R2CA)

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Observando os dados da tabela, é possível notar que à medida que os valores são examinados a partir do TDH de forma decrescente de 8h a 1h, o rendimento e pH respondem a uma variação não tão ampla, porém relacionadas:
*8h= pH de 4,71 a 7,51; rendimento de 0,52 a 2,98
*6h= pH de 4,40 a 6,91; rendimento de 0,67 a 1,71
*4h= pH de 4,95  a 5,60; rendimento de 0,43 a 2,71
*2h= pH de 5,23 a 6,59; rendimento de 2,12 a 3,31
*1h= pH de 4,60 a 5,09; rendimento de 1,58 a 2,45

Não houve correlação linear entre os rendimentos (variável V) e o pH (variável VE). Para que uma correlação entre dados seja admitida, o valor dessa correlação deve variar entre -1 e 1, onde quanto mais próximo for desta variação mais estabelecida seja uma correlação forte.

Nos dados analisados, a correlação linear é igual a 0,0833, sendo aceitável verificar essa relação entre o pH e o rendimento de outras formas, como:
1) No gráfico abaixo, de correlação linear entre rendimento/pH, não é possível traçar uma linha interligando os dados, ou seja, eles estão espalhados e podemos supor que não tem relação;
2) Em algumas situações, o valor de pH e rendimento estão consideravelmente altos e em outros casos, o pH está baixo e o rendimento está razoavelmente alto, comprovando que este comportamento de correlação não é constante.

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Gráifco de Correlação Linear entre Rendimento e pH

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Para que esses resultados pudessem ser compreendidos de forma clara, foi aplicado o Diagrama de Caixa que faz um resumo de dados por meio caixas verticais. Este diagrama é capaz de elencar um conjunto de cinco valores, organizando-os do mínimo ao máximo e estabelecendo uma mediana, que é o valor central deste conjunto.

É necessário ainda que os quartis, que são correspondentes às caixas, sejam definidos a partir da mediana, sendo a média dos valores à esquerda da mediana o primeiro quartil e a média dos valores à direita da mediana, o terceiro quartil. Uma reta passa pela caixa unindo os valores mínimo e máximo.

Tomamos como base dois conjuntos de dados coletados a partir da tabela de rendimentos do reator, que são o Grupo 1 e o Grupo 2, a titulo de precisão dos valores e melhor visualização dos resultados. Vemos essa aplicação no diagrama de caixa a seguir.

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No Diagrama de Caixa (também conhecido como Diagrama de Bigodes), através de uma linguagem visual sobre a variabilidade de valores em um conjunto de dados, é admissível observar as proporções dos quartis em relação aos TDHs correspondentes ao Grupo 1; o valor mínimo ficou um pouco mais distante do quartil, em função ao máximo. Entretanto, no caso do TDH representado pelo Grupo 2 é evidente a simetria, onde a mediana está centralizada demonstrando o equilíbrio entre os quartis. Isso não ocorre com o Grupo 1, já que há uma distribuição assimétrica entre os quartis.

Através do diagrama também é possível ver que houve um aumento no rendimento de H₂ no TDH do Grupo 2, em que teve o menor valor mínimo e o maior valor máximo, como também seus quartis foram elevados e podemos observar que a maioria de seus dados estão entre os quartis.

Para facilitar a compreensão e obter outros exemplos, basta clicar aqui.

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Quando o conjunto de dados consiste de uma quantidade grande números, é indicado colocá-los numa tabela de distribuição de frequência ou tabela de frequência. Os dados nessa tabela são divididos em classes pré-estabelecidas, anotando-se a frequência de cada classe. Então, uma tabela de frequência é um arranjo tabular dos dados com a frequência correspondente. Elas servem de base para as representações gráficas.

O primeiro passo para construção de uma tabela de frequência é a escolha das classes, em que separamos os resultados dos rendimentos (variável V) e criamos um ROL, que é uma organização de forma crescente desses resultados. Em seguida, pegamos o tamanho da amostra e definimos o número de classes e amplitude, calculamos a média, o desvio padrão, a mediana, a moda e os valores mínimos e máximos do rendimento (variável V).

Logo mais, veremos o gráfico em forma de histograma.

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Com a tabela de frequência e este gráfico histograma, vemos a frequência em que esses dados estabelecidos têm ocasionalidade, ou seja, quantas vezes eles se repetem de acordo com o tamanho da amostra. No Histograma, vemos a variação dessa frequência:
* Da primeira para segunda coluna, vemos uma queda pouco significativa que são os valores de 0,84 a 1,26;
* Depois, um aumento até a quinta coluna em que os valores aparecem com mais frequência, e se mantém numa constante de valores nas duas últimas colunas.

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Na tabela acima, podemos ter um apanhado de resultados baseados no comportamento desses parâmetros em que podemos atribuir valores mínimo e máximo de rendimento por meio dos dados fornecidos pelo TDH ao longo das horas decorridas, permitindo também o cálculo de média e mediana para uma dimensão mais precisa.

Ainda sobre o rendimento, obtivemos o desvio padrão, que caracteriza a uniformidade de um conjunto de dados, e os coeficientes de variação, que nada mais são do que uma maneira de medir quão variáveis são os dados estudados desconsiderando a possível interferência no uso de unidades de medida diferentes.

Como já abordado, a correlação linear entre os  rendimentos e pH são desconsideráveis pelo valor ter sido diferente da faixa aceitável, não havendo uma comunicação congruente entre os seus valores.

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Desta vez, vamos tentar obter a média e a variância dos rendimentos de mol de H2 por mol de glicose a partir dos grupos de amostras selecionados. Tentaremos alcançar especificamente  o intervalo de confiança da média; calcularemos o intervalo de confiança dos dois grupos para se ter certeza e poder assim compará-los.

Primeiro, faremos a inferência sobre a variância dos rendimentos, definindo o intervalo de confiança em 95%, utilizando a fórmula:
- (n-1)*s²)/ X²d), para o limite inferior compreendido como o menor valor;
- (n-1)*s²)/ X²e), para o limite superior compreendido como o maior valor.

Onde:
- n é o tamanho da amostra;
- s² é a variância da amostra;
- X²d e X²e é o valor que corresponde a curva qui-quadrado,  que pode ser visualizada aqui.

Para conhecer melhor a aplicação da curva qui-quadrado, sugerimos o vídeo disponível neste link.

Descobrimos então com as amostras do Grupo 1 que a variância da população está entre 0,30 e 1,18.

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Repetimos o processo anterior para o Grupo 2,substituindo os parâmetros n, s², X²d e X²e. Desta vez, com o mesmo intervalo de confiança vemos que a variância da população está entre 0,34 e 1,08, demonstrando não ser um intervalo distante do Grupo 1.

Se fizermos uma comparação obtemos uma diferença de 0,04 para o limite inferior e 0,10 para o limite superior; observamos também que se fizermos uma análise dos intervalos encontramos uma sobreposição, à maneira que podemos que só existe uma população para as nossas amostras.

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Agora, faremos a inferência sobre a média da população, que é um processo utilizado para obter conclusões, uma espécie de estimativa. Para isso, precisamos de mais um processo, o teste de aderência para comprovar que nossas amostras seguem uma distribuição normal, utilizando o teste qui-quadrado.

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No resultado dos grupos, o Qui-quadrado crítico foi inferior ao Qui-teste, isso nos mostra que as amostras não seguem uma distribuição normal, sendo necessária para aplicação da fórmula para a curva normal ou curva t. A fim de compreendermos a inferência, iremos considerar que a distribuição é normal e demonstrar como seria esse processo.

Para fazer a inferência sobre média da população usaremos a fórmula:
-  X-E, para o limite inferior;
-  X+E, para o limite superior.
Sendo X a média das amostras e E um parâmetro calculado pela  fórmula:
tc(s/(n²)²)
Onde:
- tc é  o valor correspondente a curva t;
- s é o  desvio padrão;
- n é o tamanho da amostra.

Como não conhecemos a variância da população utilizamos a curva t, caso contrário usaríamos a curva normal e E seria definido por:
Zc*&²
Onde:
- Zc corresponde ao valor da curva normal;
- &² é a variância da população.

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Com as amostras do grupo 1 obtemos que a média da população está entre 1,29 e 2,01, para um intervalo de 95% de confiança. Já com o grupo 2, obtemos que a média da população está entre 1,95 e 2,61, para um intervalo de 95%.

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Desta vez, os intervalos entre os dois grupos foram um pouco mais distantes, uma diferença 0,66 para o limite inferior e 0,60 para o limite superior. Se voltarmos a comparar os dois intervalos podemos observar outra sobreposição, neste caso um pouco menor; ainda assim é uma evidência de que só existe uma população para as amostras. Vale salientar que o Grupo 1 tem 21 amostras, já o Grupo 2 tem 18 amostras.

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Tabela de Resultado do Teste de Hipótese para Média

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Agora iremos fazer dois testes para buscar evidências pelo teste de hipótese sobre a média e a variância. Anteriormente, fizemos os testes de aderência para verificar se nossas amostras seguem uma distribuição normal e descobrimos que não; mas, para darmos prosseguimento, continuaremos considerando nossas amostras como uma distribuição normal.

Começamos pela média, mas antes definiremos nossas fórmulas e variáveis como:
- H0= hipótese nula, sendo a hipótese que queremos provar se existe ou não;
- H1= hipótese alternativa;
- Teste: (t)=((X1-X2)-(μ1 - μ2))/√A+B;
- Grau de liberdade: (v) = (A+B)²/((A²/n1-1)+(B²/n2-1));
- A: = s²1/n1 e  B = s²2/n2;
- n1 = 21 e  n2= 18;
- s²1 = 0,52 e s²2= 0,53;
- X1=2,28 e X2=1,65.
O teste de média pode ser melhor compreendido acessando esse vídeo.

A hipótese nula que iremos definir é que μ1 = μ2; nossa hipótese alternativa será μ1 >μ2, onde (μ) é a média populacional.

Calculamos t através da fórmula. Não conhecemos μ, mas como nossa hipótese nula é que eles sejam iguais, os mesmos se anulam. Assim, teremos que t = 2,713 sendo esse o valor de teste. Através da distribuição t student, iremos encontrar o valor crítico e comparar com nosso teste; o grau de liberdade obtido pela fórmula (v) é igual a 37, o valor crítico encontrado na tabela acima foi tc = 1,687.

Para que nossa hipótese H0 fosse aceita, nosso t deveria estar dentro do limite de tc. Porém, nosso t foi maior e, dessa forma, encontramos uma evidência de que houve uma diferença significativa das médias da população.

Há evidência , ao nível de significância de 5% para afirmar que a média mudou após o TDH 4. Isso já era possível de ser observado no nosso boxplot (diagrama de caixas) e no nosso histograma, mas desta vez temos uma evidência estatística para comprovar isso.

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Tabela de Resultado do Teste de Hipótese para Variância

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Vamos buscar agora a evidência da mudança ou não da variância. Um detalhe importante é que iremos mudar a ordem dos nossos grupos para redefinir a variância das nossas amostras, para que nosso cálculo funcione dessa forma assumiremos que s²1=0,53 e s²2 = 0,52.

As definições usadas serão:
-Teste: (F) = S²1/s²2;
- Grau de liberdade: (v1) = n1-1 e (v2) = n2-1;
- n1 = 21 e n2=18.

Desta vez, definimos nossa hipótese nula como δ²1 = δ²2 e nossa hipótese alternativa como δ²1 > δ²2 , onde δ² representa a variância populacional. Aplicamos a fórmula e encontramos F = 1,01; esse valor já era esperado pois as duas variâncias são muito próximas, para encontrarmos nosso valor crítico usaremos a tabela F para 5%, que pode ser acessada aqui.

Utilizamos os graus de liberdade v1 = 20 e v2 = 17. Desta forma, nosso valor crítico é Fc = 2,23; fizemos uma interpolação dos valores na tabela em que nosso F foi inferior ao Fc, ou seja, aceitamos a hipótese nula. Isso é algo interessante pois, mesmo com as médias diferentes, não encontramos uma evidência significativa entre as variâncias. Se olhássemos somente para os gráficos e para a média talvez esperássemos um resultado contrário. Sendo assim, concluímos que: há evidência, ao nível de significância de 5% que a variância não mudou após o THD 4.

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No início desse trabalho fizemos uma introdução a correlação e regressão, supondo que o rendimento de glicose não tinha correlação com o valor do pH, dessa vez iremos provar se há correlação ou não. Como já temos um conhecimento bem mais maior a respeito de estatística não iremos explicar minuciosamente as fórmulas e termos; sugerimos então que assistam a playlist do Prof. Marllus do Centro de Tecnologia  da Universidade Federal de Alagoas ( CTEC - UFAL) , as formulas a serem usadas estão na tabela abaixo:

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Retomando, iremos mostrar novamente o gráfico de correlação entre o rendimento de glicose e o pH, desta vez traçamos uma reta de tendência, testamos outras curvas como a logarítmica e a exponencial, mas nenhuma se comportou de uma maneira agradável; isso mostra que nossos dados estão bastante dispersos e com pouca tendência. Então usamos as fórmula e calculamos Sxx = 13,09; Sxy = 1,24; β0 = 1,46; β1 = 0,09. Com esses valores obtemos a equação da reta para o Y estimado Ye =  β0 + β1*X, logo, Ye = 1,46 + 0,09x.

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O coeficiente de correlação de Pearson r = 0,08, mostra que temos pouca correlação linear entre o rendimento de glicose e o pH, pois quanto mais o r se aproxima de 1 maior será a correlação e, quanto mais próximo de -1 há uma correlação negativa e perfeita entre os dois dados; se for 0 não há correlação. O coeficiente de Pearson necessita  de uma distribuição normal, para entender melhor clique aqui. Sendo assim, iremos fazer o teste de hipótese para o coeficiente de correlação de Sparman, pois ele depende do posto da amostra e é mais eficiente, para entender melhor clique aqui.
Onde:
- H0: ps = 0 e H1:  ps ≠ 0 , encontramos que Rs = 0,145 e Rsc = 0,317.

Dessa forma aceitamos H0, pois Rs foi menor que Rsc, o que nos diz que ps=0. Há evidência em um nível de significância de 5% de não haver correlação entre o rendimento de glicose e pH. Vale lembrar que a correlação não significa necessariamente causalidade, ou seja, o fato dos dados terem correlação não diz que um é causado pelo outro.

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Outra coisa que devemos fazer é definir a equação para a margem de erro:
E(x) = 2,03√(0,26²(1/39+(x-5,62)²/13,09).

Basta substituir os valores que já obtemos durante nossa inferência. Se compararmos os valores esperados de Y e os valores reais de Y, obteremos resíduos, o qual pode ser para mais ou menos do valor real. Também podemos fazer algumas observações a respeito deles. Primeiro plotaremos um gráfico dos valores dos resíduos em relação ao pH (eixo x), para que os resíduos sigam uma distribuição normal devem ter média 0 e variância δ². Já deixamos uma playlist explicando isso minuciosamente.

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Nosso gráfico se comportou bem, mas podemos fazer um teste de hipótese para avaliar melhor, então, definindo nossa hipótese nula como H0 = 0 e nossa hipótese alternativa como H1 ≠ 0. Dessa vez queremos aceitar H0, com os cálculos usados para o teste de hipótese para média mostrados na etapa 3 obtemos o teste t = 1,56 , com 37 graus de liberdade o tc correspondente na curva t student tc = 2,026. Como nosso t foi inferior ao tc aceitamos H0, há evidencia que nossa média se manteve constante igual a 0. Agora faremos um teste de hipótese da variância onde v1 = 18, v2 = 19, H0 = δ² e H1 = δ². Obtemos no teste F = 1,16 e na tabela F para 5% Fc = 2,18, Novamente nosso  teste foi positivo pois aceitamos H0, já que nosso F foi menor que Fc.

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Por fim, encontramos nosso R² que representa de forma mais simples o que fizemos nessa etapa através de um número; vale lembrar que não necessariamente o R² pode definir a correlação ou não, mas é um grande indício. Nosso R² = 0,01 , com tudo que fizemos até aqui podemos sim assumir e garantir através de dados estatísticos que não há correlação e regressão entre o rendimento de glicose e o pH, ou seja, esse modelo não serve. Por fim,  nosso gráfico fica dessa forma:

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1. OLIVEIRA, Raul. Estatística: O que é, para quê serve. Mundo Educação. Disponível em:<https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/estatistica.htm>.
2. CONHEÇA a diferença entre afluente e efluente. Terra Ambiental, 2020. Disponível em:<https://www.teraambiental.com.br/blog-da-tera-ambiental/diferenca-entre-afluente-e-efluente>.
3. BATISTA, Carolina. O que é pH. Toda Matéria. Disponível em:<https://www.todamateria.com.br/o-que-e-ph/>.
4. REVISÃO do diagrama de caixa. Khan Academy. Disponível em:<https://pt.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data/box-whisker-plots/a/box-plot-review>.
5.  NOVAES, Jean. Média, moda e mediana: aprenda a calcular. Matemática Básica. Disponível em:<https://matematicabasica.net/media-moda-e-mediana/>.
6. GOUVEIA, Josimar. Desvio Padrão: o que é, fórmula, como calcular e exercícios, 2021. Toda Matéria. Disponível em:<https://www.todamateria.com.br/desvio-padrao/>.
7. RIGONATTO, Marcelo. Coeficiente de Variação. Mundo Educação. Disponível em:<https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/coeficiente-variacao.htm>.
8. SHIMAKURA, Silvia. Inferência estatística. LEG/UFPR. Disponível em:<http://www.leg.ufpr.br/~silvia/CE003/node26.html>.
9. RODRIGUES, Leonardo. O que é Distribuição Normal?. Blog Voitto.  Disponível em:<https://www.voitto.com.br/blog/artigo/distribuicao-normal>.
10. Tabela de Distribuição Normal Padrão Acumulada. Disponível em:<http://www.im.ufrj.br/probest/Tabelas_de_probabilidade.pdf>.
10. NEVES, Marllus. Exercícios de Testes de Aderência Qui-Quadrado e KS. Youtube. 15 de Novembro de 2019. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=qi6IXNZgNYA>.
11. SILVA, Aneirson. Aula 3 Teste de Aderência. Youtube. 02 de Março de 2011. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=dgyiUpMPhw8 >.
12. Como entender os testes t: valores-t e distribuições-t. Blog da Minitab. Disponível em: <https://blog.minitab.com/pt/como-entender-os-testes-t-valores-t-e-distribuicoes-t#:~:text=Os%20testes%20t%20s%C3%A3o%20testes,teste%20t%20para%20duas%20amostras.>.
13. Tabela de Distribuição F de Snedecor. Disponível em:<http://www.uel.br/pessoal/biz/pages/arquivos/Agronomia/Distribuicao%20F%205.pdf>.