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Excelente trabajo Stiven
incluye los elementos solicitados.

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calificación 5,0

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En matemáticas, la transformada de Laplace es una transformada integral que convierte una función de variable real � (normalmente el tiempo) a una función de variable compleja �. Tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En particular, transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Transformada de Laplace - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Ecuaciones homogéneas

Un sistema de ecuaciones en las variables

se llama homogéneo si todos los términos constantes son cero, es decir, si cada ecuación del sistema tiene la forma

Claramente

es una solución para tal sistema; se llama la solución trivial. Cualquier solución en la que al menos una variable tenga un valor distinto de cero se llama solución no trivial. Nuestro objetivo principal en esta sección es proporcionar una condición útil para que un sistema homogéneo tenga soluciones no triviales. El siguiente ejemplo es instructivo.

Ecuaciones homogéneas | Calculo21

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Una ecuación diferencial inexacta es una ecuación diferencial de la forma  La solución a tales ecuaciones llegó con la invención del factor integrador por Leonhard Euler en 1739.
Método de solución Para resolver la ecuación, necesitamos transformarla en una ecuación diferencial exacta . Para hacer eso, necesitamos encontrar un factor integrador por el cual multiplicar la ecuación. Comenzaremos con la ecuación en sí. , así lo conseguimos . Necesitaremos satisfacer . Obtenemos Después de simplificar obtenemos Dado que se trata de una ecuación diferencial parcial , en su mayoría es extremadamente difícil de resolver, sin embargo, en algunos casos obtendremos o , en cuyo caso solo necesitamos encontrar con una ecuación diferencial lineal de primer orden o una ecuación diferencial separable , y como tal tampoco o Ecuación diferencial inexacta -   Ecuación diferencial inexacta - Inexact differential equation - abcdef.wiki

LINK DEL VIDEO:
https://drive.google.com/file/d/1uHFRBt14rNy0Hzw-dSLnj9WNt0sP324s/view?usp=drivesdk

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Los diferenciales exactos sientan una base para definir una nueva clasificación para las ecuaciones diferenciales. Formalmente, si consideramos una ecuación diferencial ordinaria expresada de la forma

Diremos que esta es una Ecuación Exacta si  es un diferencial exacto.

A continuación veremos entonces un criterio que nos determinará las condiciones que deben cumplir las funciones  y  para que estás definan un diferencial exacto.
BILIOGRAFIA:
Ecuaciones Exactas y No Exactas – totumat

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El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas". Es uno de los métodos más productivos de la física matemática para buscar soluciones a problemas físicos descritos mediante ecuaciones diferenciales de derivadas parciales.

El mismo nombre se aplica a la forma de buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de cierto tipo que permite resolverlas por cuadraturas de funciones que contienen las variables separadas.

BIBLIOGRAFIA: Ecuación diferencial - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En la matemática aplicada, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía y la biología.

En las aplicaciones de las matemáticas, a menudo surgen problemas en los que se desconoce la dependencia de un parámetro con respecto a otro, pero es posible escribir una expresión para la tasa de cambio de un parámetro en relación con otro (derivada). En este caso, el problema se reduce a encontrar una función por su derivada relacionada con algunas otras expresiones.
Ecuación diferencial - Wikipedia, la enciclopedia libre