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La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.

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Los problemas que dieron origen al cálculo infinitesimal surgieron en el siglo III a. C, por ello existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen a lo que se le conoce como cálculo diferencial:
1-  El problema de la tangente a una curva que se le atribuye a Apolonio de Perga.

2-  El Teorema de los extremos: máximos y mínimos que se le atribuye a Pierre de Fermat.

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Johannes  Kepler y Bonaventura Cavalieri perdieron el miedo que los griegos le tenían a los infinitos y  fueron  los  primeros  en usarlos donde a mediados del siglo XVII darían con el descubrimiento del cálculo infinitesimal.

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La historia de la matemática reconoce a Isaac Newton y Gottfried Leibniz como los creadores del cálculo diferencial e integral, quienes partieron de las teorías y conceptos establecidos por sus antecesores para poder llevar acabo sus propias aplicaciones y métodos.
Ellos desarrollaron reglas para manipular las derivadas e Isaac Barrow demostró que la derivación y la integración

son operaciones inversas.

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Newton desarrolló su propio método para el cálculo de tangentes y en 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat, donde a finales del mismo año se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, quien intentaba desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión ( variación de la velocidad respecto al tiempo).

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Leibniz formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. En  su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la  pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Es el inventor de diversos símbolos matemáticos entre ellos los símbolos de derivada y el símbolo Integral.

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Escribir el concepto:

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Algunas de las  propiedades de las derivadas son:
1.    DERIVADA DE LA SUMA O RESTA DE FUNCIONES:
Es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

Suma:
f(x)= u+ v -> f(x)=u´+ v´
Resta:
f(x)= u+v -> f´(x)=u´+ v´

2. LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada.

f(x)= uv  -> f´(x) = u´v+uv’

3. LA DERIVADA DE LA DIVISIÓN DE DOS FUNCIONES:
Es igual al cociente de la derivada de la función numerador por la función del denominador sin derivar, menos la función del numerador sin derivar por la del denominador derivada; todo esto entre la función del denominador al cuadrado.

f(x)=u/v -> f´(x)=(u´v – uv´) / v 2

4. LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE K POR UNA FUNCIÓN:
Es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

f(x)=uv -> f´(x) = u´v + uv´

5. LA DERIVADA DE LA DIVISIÓN DE UNA CONSTANTE K ENTRE UNA FUNCIÓN:

Es igual al cociente de menos la constante k por la derivada de la función del denominador entre la función del denominador al cuadrado.

f(x)=k/v -> f´(x) = (-kv´)/v 2

6.DERIVACIÓN DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN:

Sea f una función real de variable real que tiene función inversa f⁻¹(x), la derivada de la función inversa de f(x) es:

(f⁻¹)'(x)=1/f'(f⁻¹(x))

7. REGLA DE LA CADENA:

sean f(x), u y v tres funciones reales de variable real, de modo que f(x)=(u∘v)(x)=u(v(x)). La fórmula que nos dará f'(x) es

(u∘v)'(x)=u'(v(x))·v'(x)

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Escribir Aplicaciones:

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Presentar ejemplos: