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-RUFFINI. para poder explicar la factorización de polinomios mediante Ruffini, voy a dejar un vídeo que lo explica bastante bien ;)
https://youtu.be/Mn0wvffFqYk

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-Factorización utilizando las identidades notables. A veces, el polinomiio que se va a factorizar es el desarrollo de una identidad notable.
EJ: ·P(x)= x^2-10x+25= (x-5)^2
·Q(x)= x^2-16= (x-4)(x+4)

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- Teorema del factor. Cuando todos los términos de un polinomio poseen un factor común, se puede comenzar su factorización extrayendo dicho factor común.
EJ: P(x)= x^4-3x^2= x^2(x^2-3)

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Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de polinomios irreducibles.

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El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Las raíces o ceros de un polinomio son los valores que anulan el polinomio.
EJ: (x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)
(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0
(x − 3) no es un factor.

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El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:
(x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

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Son los valores que anulan el polinomio.
EJ: P(x) = x2 − 5x + 6
P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

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Este método es utilizado para poder dividir un polinomio P(x) cualquiera entre un binomio de la forma (x-a).
EJ: https://youtu.be/RViiUlWty8M

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La suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
EJ: (a+b)(a-b)=a^2-b^2

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El cuadrado de una diferencia de dos términos es igual al cudrado del primer término más el cuadrado del segundo término menos el doble producto de los dos términos.
EJ: (a-b)^2= a^2+b^2-2ab

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1,Cuadrado de una suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el cuadrado del segundo término más el doble producto de los dos términos.
EJ: (a+b)^2=a^2+b^2+2ab

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Consiste en extraer el monomio que se repite todos los términos.
- 3b² + 4b=  b(3b+4)
- 15x4 -5x2 +10x= 5x(3x³-x+2)
-  3a + 6b +12= 3(a+2b+4)

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Método de Ruffini. Explicado más detallado en el apartado Método de Ruffini.

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4.Multiplicaciones
-Primero se multiplica cada monomio del primer polimio por todos los elementos del segundo polinomios.
EJ:  P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =
-Luego se suman los monomios del mismo grado.
EJ:   = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
-Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
EJ:  Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

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2.Restas
-Las restas de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
EJ: P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x - 3

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1.Sumas
- En primer lugra hay que ordenar los polinomios en caso de que no lo estén.
EJ: Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)

- En segundo agrupamos los monomios del mismo orden.
EJ:P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3
- Y por último sumamos los monomios semejantos.
EJ:P(x) + Q(x)  = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

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Es el resutado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

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ara comenzar un polinomio es la expresión algebraica que constituye la suma o la resta ordenadas de un número finito de términos o monomios.