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Studiano i movimenti celesti . A loro si deve il sistema di numerazione sessagesimale (60) come combinazione dei sistemi naturali a base dieci e a base sei. Nella tavoletta babilonese della Plimpton Collection risalente al 1900-1600 a.c.,è riportata una serie di numeri corrispondenti ai valori della secante al quadrato di angoli compresi fra 31° e 45°.

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Esercizi 9 e 10

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Esercizi 5,6 e 7

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Esercizi 7 e 8

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Esercizi 3 e 4

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Esercizi 1 e 2

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MAPPA CONCETTUALE

Felice Giulia cl 3^A RIM
IT "A.ZANON" Udine
anno scolastico 2014/2015

GEOMETRIA
ANALITICA
Elementi fondamentali:
retta
circonferenza
parabola
LA
PARABOLA
DEFINIZIONE
La parabola è analiticamente il
luogo geometrico
di tutti i punti equidistanti dal
fuoco F
e dalla
direttrice d
; geometricamente è una curva piana. la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama
asse della parabola.
LA
CIRCONFERENZA
DEFINIZIONE
La circonferenza è il
luogo
geometrico
, ovvero l'insieme di tutti
i punti che sono equidistanti dal
centro. La distanza tra il
centro C
e
un punto P è chiamata
RAGGIO.

LA RETTA
DEFINIZIONE
Dal punto di vista analitico la retta è una
FUNZIONE LINEARE

(di primo grado) perché ad ogni elemento di x corrisponde un solo elemento di y.
Graficamente è una sequenza infinita di punti allineati che giace sul piano cartesiano. In essa è stabilito
un
VERSO
e una
DIREZIONE
.

EQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE GENERALE IN FORMA ESPLICITA.
(Individua rette che sono funzioni)
y=mx+q

dove:
m=coefficiente angolare
q=intercetta.
Graficamente è il
punto di intersezione con l'asse y.
CASI
:
se
q=0
---> y=mx ---> retta passante per l'origine
se
y=x
---> bisettrice primo terzo quadrante
se
y= -x
---> bisettrice secondo quarto quadrante
se
m=0
---> y=q ---> fascio di rette parallele all'asse x
se
m=0 e q=0
---> y=0 ---> equazione asse x
caso 1
fig.1
caso 2
caso 3
EQUAZIONE DELLA RETTA
FORMA IMPLICITA
(individua tutte le rette)

ax+by+c=0
dove:
m= -a/b
q= -c/b
CASI:
Se c=0 ---> ax+by=0 ---> y= -a/bx ---> retta passante per l'origine
Se a=0 ---> by+c=0 ---> y= -c/b ---> eq fascio di rette parallele all'asse x
Se a=0 e c=0 ---> by=0 ---> eq dell'asse x
Se b=0 ---> ax+c=0 ---> x= -c/a ---> eq fascio di rette parallele all'asse y
Se b=0 e c=o ---> ax=0 ---> eq dell'asse y

POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE
RETTE PARALLELE

Due rette sono tra loro parallele quando soddisfano la condizione
mr=ms,ovvero quando hanno lo stesso coefficiente angolare.
Algebricamente, risolvendo il sistema formato dalle eq delle rette r e s non
otteniamo alcuna soluzione perciò graficamente non ci sono punti di
intersezione fra le stesse.

RETTE PERPENDICOLARI

Due rette sono perpendicolari quando soddisfano la condizione mr= -1/ms,
ovvero quando il coefficiente angolare di una delle due rette è l'antireciproco
dell'altra. Algebricamente, risolvendo il sistema formato
dalle eq delle rette r ed s otteniamo una coppia ordinata di soluzioni (x;y) che
graficamente,rappresenta il punto di intersezione tra esse.

RETTE COINCIDENTI

Due rette sono coincidenti quando hanno stesso coefficiente
angolare(mr=ms) e stessa intercetta (qr=qs). Risolvendo il sistema
formato dalle eq delle rette r e s otteniamo un sistema indeterminato perché
le possibili soluzioni sono infinite in quanto graficamente le due rette hanno infiniti
punti di intersezione.

EQUAZIONE DELLA RETTA
PASSANTE PER DUE PUNTI

Fromula Generale:

Se i due punti hanno la stessa ascissa r: X=Xa
(retta parallela all'asse y)

Se i due punti hanno la stessa ordinata r: Y=Ya
(retta parallela all'asse x)

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E DI NOTO COEFFCIENTE ANGOLARE

Formula: è necessario sostituire le
coordinate del punto P(x;y) nella
formula data al fine di trovare
l'equazione.

DISTANZA DI UN PUNTO
DALLA RETTA

formula: dove x0 e y0 sono coordinate
del punto P e a,b,c i parametri
dell'equazione della retta
in forma implicita.

Se la retta r è parallela all'asse x o all'asse y,
la distanza di P da r è la differenza delle ordinate o delle ascisse di P e H.

FASCI DI RETTE
FASCIO IMPROPRIO
È l'insieme di tutte le rette parallele alla retta data.
Se q=0 abbiamo la retta del fascio passante per l'origine.
Per ottenere altre rette basta attribuire dei valori a q e
sostituirli di volta in volta nell'equazione del fascio, y=x+q.

FASCIO PROPRIO
È l'insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P, detto centro del fascio. Per ogni valore reale attribuito ad m otteniamo una retta del fascio, tranne per la parallela all'asse che ha equazione x=x1.Per ottenere rette proprie è necessario sostituire nell'eq y-y0=m(x-x0) le coordinate di P.

EQUAZIONE
DELLA CIRCONFERENZA
(caso generale)
NOTI IL CENTRO(X;Y) E IL RAGGIO

FORMA CANONICA
:
da cui possiamo ricavare

CASI PARTICOLAR
I
a=o ---> ---> circonferenza traslata sull'asse y
b=0 ---> ---> circonferenza traslata sull'asse x
c=0 ---> ---> circonferenza passante per l'origine
a=0 e b=0 ---> ---> circonferenza con centro coincidente con l'origine (0;0)
a=0 e c=0 ---> ---> circonferenza passante per origine e traslata sull'asse y
b=0 e c=0 ---> ---> circonferenza passante per l'origine e traslata sull'asse x
caso 1
caso 2
caso 3
caso 4
NOTO IL C(x1;y1) E IL PUNTO P(x1;y2)

1.trovare il raggio con la
formula :

2. applicare la formula generale
sostituendo le coordinate del
centro e del raggio.
NOTI GLI ESTREMI DI UN DIAMETRO A(Xa;Ya) B(Xb;Yb).

1. Trovare il centro applicando la formula
del punto medio ossia:

2. trovare il raggio;
3. applicare la formula generale.
NOTI TRE PUNTI A(Xa;Ya) B(Xb;Yb) C(Xc;Yc) NON ALLINEATI
1. è necessario risolvere un sistema di primo grado di tre equazioni in tre incognite, sostituendo ad x e y le coordinate dei tre punti.
POSIZIONE DI UNA
RETTA
RISPETTO ALLA CIRCONFERENZA

(3 CASI)
1.RETTA SECANTE
Per trovare le soluzioni, che analiticamente sono le coordinate dei punti di intersezione, bisogna risolvere il sistema formato dalle equazioni della circonferenza e della retta, mediante il metodo della sostituzione:
se otteniamo
due soluzioni reali distinte
, che graficamente sono i due punti (A;B) di intersezione della retta con la circonferenza. La retta si dice secante rispetto alla circonferenza.
2. RETTA ESTERNA
Se il sistema
no
n ammette
soluzioni reali
perciò graficamente la retta non ha nessun punto in comune con la circonferenza. La retta si dice quindi esterna rispetto alla circonferenza.
3. RETTA TANGENTE
se otteniamo
due soluzioni reali coincidenti
che graficamente rappresentano il punto di intersezione della retta con la circonferenza. La retta si dice tangente.
la distanza OH è maggiore del raggio
la distanza OH è minore del raggio
la distanza OH coincide con il raggio
METODI per calcolare l'equazione della retta tangente alla circonferenza
Primo metodo:
METODO ALGEBRICO
procedimento risolutivo:
1. ricavare il centro e il raggio dall'eq della circonferenza data
applicando le rispettive formule;
2. trovare l'eq del fascio di rette passanti per il punto P
sostituendo ad essa le coordinate del punto stesso;
3. risolvere il sistema formato dall' eq del fascio e da quella
della circonferenza e porre in forma canonica l'eq ottenuta;
4. applicare la condizione di tangenza ossia
5. sostituire il valore del coefficiente angolare m nell'eq del
fascio.

Secondo metodo:
METODO GEOMETRICO

procedimento risolutivo:
1. ricavare il centro e il raggio dall'eq della circonferenza
data applicando le rispettive formule;
2. trovare l'eq del fascio (forma implicita) sostituendo ad
essa le coordinate del punto P;
3. ricavare la distanza tra il fascio e il centro applicando la
formula:

4. porre la condizione di tangenza d=r ed elevare entrambi
i membri al quadrato;
5. sostituire m all' eq del fascio.
Terzo metodo:
RETTA TANGENTE IN P COME PERPENDICOLARE AL RAGGIO PC
procedimento risolutivo:
1. trovare il centro;
2. trovare il coefficiente angolare della retta r
passante per P e per C con la formula:

3. applicare condizione di perpendicolarità:

4. scrivere l'eq della retta tangente noto il
coefficiente angolare.
se r=0, la circonferenza degenera nel suo centro C.
CARATTERISTICHE DELLA PARABOLA
concavità e "apertua della parabola"

a>0 parabola rivolta verso l'alto
a<0 parabola rivolta verso il basso. all'aumentare di a diminuisce l'apertura della parabola.

vertice

asse di simmetria

fuoco

direttrice
EQUAZIONE DELLA PARABOLA IN FORMA CANONICA
Il parametro a deve essere diverso da zero altrimenti si ottiene l'equazione di una retta.
CASI PARTICOLARI
1. b=0 e c=0 ---> --->
parabola con vertice all'origine e con
l'asse di simmetria coincidente con l'asse y

2. se b=0 ---> --->
parabola traslata sull'asse y

3. se c=0 ---> --->
parabola passante per l'origine

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DI UNA PARABOLA
Procedimento:
1. stabilire la concacità ovvero se a>0 oppure se
a<0;
2. calcolare il vertice applicando la formula;
3. calcolare eventuali intersezioni con l'asse x
risolvendo il sistema:

4. calcolare le intersezioni con l'asse delle y
risolvendo il sistema:

5. calcolare l'asse di simmetria mediante la
formula.
-se delta>0 --> 2 soluzioni ovvero due intersezioni
-se delta=0 ---> 1 soluzione cioè 1 intersezione
-se delta<0 --> nessuna soluzione
POSIZIONE RETTA E PARABOLA
Una parabola e una retta possono essere secanti in due punti(r2), essere tangenti in un punto(r4), non intersecarsi in alcun punto(r1) oppure, se la retta è parallela all'asse della parabola(r3), intersecarsi in un solo punto.
Supponendo che la retta data non sia parallela all'asse y, per determinare la sua posizione rispetto ad una parabola, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e parabola, possiamo procedere in modo algebrico risolvendo il seguente sistema:
Sostituendo l'espressione dell'ordinata della
retta nell'equazione della parabola otteniamo un'equazione di secondo grado in x

si ha che:
retta esterna
retta secante
retta tangente
LE RETTE TANGENTI ALLA PARABOLA
Se per un punto P si possono tracciare due rette tangenti si dice che P è esterno alla parabola(fig.2); se la retta è una sola, P è sulla parabola(fig.1); se da P non è possibile tracciare rette tangenti, allora P si dice interno alla parabola(fig.3).
P
.
fig.3
Per determinare l'equazione di una retta tangente a una parabola passante per un punto P assegnato si utilizza il metodo generale (metodo algebrico), già descritto nella circonferenza e che ricordiamo è detto generale proprio perché è valido per qualsiasi conica.

METODO GENERALE:

si verifica dapprima se il punto P appartiene alla parabola
se vi appartiene allora da quel punto si può condurre una ed una sola retta tangente alla parabola
se non vi appartiene, ossia P è esterno, allora esistono due rette tangenti alla parabola

1. si scrive l'equazione della generica retta passante per un punto noto P(x1; y1):
y - y1 = m ( x - x1)

2. si imposta il sistema fra le equazioni della parabola e della generica retta:
3. per confronto o sostituzione si ottiene l'equazione risolvente il sistema di 2° grado
4. si pone ∆ = 0 (condizione di tangenza) affinché la retta diventi tangente alla parabola
5. si risolve l'equazione così ottenuta nell'incognita m e indicate con m1 e m2 le soluzioni
si hanno i seguenti due casi:
m1 ≠ m2 , cioè esistono due rette tangenti, quando il punto P è esterno alla parabola
m1 = m2 , cioè esiste una sola retta tangente, quando P appartiene alla parabola
6. si sostituisce la soluzione o le soluzioni trovate nell'equazione della generica retta

caso 5
caso 6
CONDIZIONI PER DETERMINARE L'EQUAZIONE DI UNA PARABOLA
NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE
1. Applicare la definizione ovvero sia:
PF=PH ;
2. Elevare entrambi i membri al
quadrato;
3. oppure risolvere il seguente sistema
mediante sostituzione e/o riduzione:

4. sostituire i parametri a,b,c ottenuti nell'eq
generale della parabola.

ascissa del fuoco
ordinata del fuoco
eq della direttrice
NOTE LE COORDINATE DI TRE PUNTI
1. Risolvere un sistema di tre equazioni in tre
incognite a,b,c sostituendo ad x e y,(nella eq della
parabola), le coordinate delle ascisse e delle
ordinate dei tre punti;
2. procedere con il metodo della sostituzione e/o
della riduzione;sostituire i parametri a,b,c ottenuti
nell'eq genrale della parabola.
NOTE LE COORDINATE DEI PUNTI A, B E DELL'ASSE DI SIMMETRIA
1. Risolvere il seguente sisitema mediante sostituzione e/o riduzione:
NOTI UN PUNTO E IL VERTICE
1. Risolvere il sistema, sostituendo ad x e y
nell'eq generale della parabola le coordinate
del punto P e del vertice come nell' esempio;
2. procedere sostituendo e/o riducendo mebro a
membro;
3. sostituire i parametri a,b,c ottenuti nell' eq
generale della parabola.
NOTI IL VERTICE E IL FUOCO
1. Risolvere il sistema sostituenso ad x e y, nell'eq generale
della parabola, le coordinate del vertice e del fuoco;
2. procedere con i metodo della sostituzione e/o riduzione;
3. sostituire i parametri a,b,c ottenuti nell' eq
generale della parabola.
ascissa V e F
condizione di passaggio per V
(ordinata V)
condizione di passaggio per F
(ordinata F)
Dati un punto P (x0;y0) e una circonferenza, si possono presentare tre casi:
P è esterno alla circonferenza ---> da esso possiamo condurre 2 rette tangenti;
P appartiene alla circonferenza ---> 1 retta tangente;
P è interno alla circonferenza

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MAPPA CONCETTUALE Felice Giulia cl 3^A RIMIT "A.ZANON" Udineanno scolastico 2014/2015 GEOMETRIA ANALITICA Elementi fondamentali: rettacirconferenzaparabola LA PARABOLA DEFINIZIONELa parabola è analiticamente il luogo geometrico di tutti i punti equidistanti dal fuoco F e dalla direttrice d; geometricamente è una curva piana. la retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.

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Retta e circonferenza nel piano cartesiano

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Nel piano come possono trovarsi la retta e la circonferenza:tangenti, secanti, esterne

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Formulario completo di geometria analitica

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Formulario completo di geometria analitica

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Raccolta esercizi svolti di geometria analitica

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Raccolta esercizi svolti di geometria analitica

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posizione circonferenza e retta attraverso le condizioni analitiche

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posizione circonferenza e retta attraverso le condizioni analitiche

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Le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza nel piano sono tre: retta esterna, retta secante e retta tangente. Per ciascuna di tali posizioni esiste una specifica relazione algebrica tra le equazioni di retta e circonferenza.

Dopo aver studiato le formule della circonferenza nel precedente formulario vogliamo ora approfondire lo studio e analizzare le possibili posizioni tra una retta e una circonferenza nel piano cartesiano. Come vedremo tra un istante ogni posizione corrisponde ad una precisa condizione algebrica.

Posizioni retta-circonferenza nel piano cartesiano

Data una coppia retta-circonferenza nel piano cartesiano, abbiamo tre possibili posizioni che la retta può assumere rispetto alla circonferenza:

1) retta esterna alla circonferenza

2) retta secante la circonferenza

3) retta tangente alla circonferenza

Le possibili posizioni tra una retta e una circonferenza nel piano.

In ciascuna delle tre eventualità abbiamo un determinato numero di intersezioni tra retta e circonferenza:

1) Retta esterna alla circonferenza : nessun punto di intersezione

2) Retta secante la circonferenza : due punti di intersezione

3) Retta tangente alla circonferenza : un unico punto di intersezione (due punti coincidenti).

Posizioni tra retta e circonferenza in termini algebrici

Per determinare la posizione di una data retta rispetto ad una circonferenza, e dunque per determinare il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza, possiamo procedere anche in modo algebrico. Supponiamo di disporre dell' equazione della retta

e dell' equazione della circonferenza in forma canonica

Per individuare i punti di intersezione tra retta e circonferenza ci basta considerare il sistema di due equazioni in due incognite

Sostituendo l'espressione dell'ordinata della retta nell'equazione della circonferenza otteniamo un' equazione di secondo grado in , detta equazione risolvente

Facendo i conti e raccogliendo i coefficienti di possiamo calcolare il Delta (o discriminante) dell'equazione di secondo grado (qui non li riportiamo, perché nel caso generico l'equazione appare inutilmente complicata, mentre negli esercizi con i numeri è tutto più semplice).

Il problema diventa quindi puramente algebrico: il numero di punti di intersezione tra retta e circonferenza equivale al numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado risultante

1) nessuna soluzione dell'equazione → nessun punto di intersezione

2) due soluzioni distinte dell'equazione → due punti di intersezione

3) un'unica soluzione (due soluzioni coincidenti) → un unico punti di intersezione (punto di tangenza)

Nel caso 3) si dice in termini rigorosi che la soluzione ha molteplicità algebrica pari a 2.

A seconda dei casi 2), 3) si possono poi calcolare i valori di ascissa dei punti di intersezione (soluzioni dell'equazione di secondo grado) e sostituirli nell'equazione della retta per determinare le corrispondenti ordinate dei punti di intersezione. In questo modo si individuano le coordinate di tutti i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza.

Osservazione: nel caso di una retta verticale, di equazione della forma , il procedimento è del tutto analogo.

Esempi sulla posizione retta circonferenza

A) Determinare la posizione della retta rispetto alla circonferenza di equazione .

Svolgimento: come previsto dal metodo, consideriamo il sistema tra le equazioni della retta e della circonferenza

e procediamo sostituendo l'espressione di della prima equazione nella seconda

da cui, sviluppando il quadrato del binomio, ricaviamo

Calcoliamo il Delta:

Poiché il discriminante dell'equazione è negativo, concludiamo che la retta è esterna alla circonferenza e non vi è alcun punto di intersezione.

Esempio di retta esterna ad una circonferenza.

B) Stabilire qual è la posizione della retta rispetto alla circonferenza di centro e raggio .

Svolgimento: per prima cosa esprimiamo la retta in forma esplicita

e scriviamo l'equazione della circonferenza

da cui determiniamo la forma canonica

A questo punto impostiamo il sistema per le eventuali intersezioni tra retta e circonferenza

L'equazione risolvente si ottiene per sostituzione

Proviamo a calcolarne direttamente le soluzioni con la formula del discriminante (anche se più semplicemente potremmo effettuare un raccoglimento totale su e successivamente applicare la legge di annullamento del prodotto)

Capiamo così che la retta è secante la circonferenza perché ci sono due punti di intersezione, di cui non ci resta che calcolare le ordinate

e i punti di intersezione hanno coordinate .

Esempio di retta secante una circonferenza.

Osservazione (generalità del metodo)

Il metodo del sistema e del discriminante dell'equazione risolvente non si applica solamente per individuare le intersezioni tra una retta e una circonferenza, ma più in generale per studiare la posizione reciproca tra una retta ed un qualsiasi luogo geometrico che si esprime mediante un'equazione di secondo grado in due incognite.

Così, ad esempio, lo stesso metodo potrà essere utilizzato per stabilire qual è la posizione di una retta rispetto ad una parabola, ad un' ellisse o ad un' iperbole. Un metodo analogo si può applicare in generale per risolvere i sistemi di equazioni per confronto grafico.

È tutto! Se volete esercitarvi vi raccomandiamo di consultare la scheda correlata di esercizi svolti, e nel caso non bastassero di usare la barra di ricerca interna per recuperarne molti altri. Qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi e... A proposito: c'è anche un utilissimo tool per calcolare le intersezioni dei luoghi geometrici online! ;)

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Tags: posizioni di una retta rispetto a una circonferenza, retta tangente, esterna e secante - punti di intersezione tra retta e circonferenza e equazioni di secondo grado.

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Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

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Le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza nel piano sono tre: retta esterna, retta secante e retta tangente. Per ciascuna di tali posizioni esiste una specifica relazione algebrica tra le equazioni di retta e circonferenza.

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La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano che si trovano alla stessa distanza da un punto fisso, chiamato centro.Per trovare

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come si ottengono i valori di seno e coseno di 30° 60° e 45°

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come si ottengono i valori di seno e coseno di 30° 60° e 45°

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Trigonometria   seno e coseno di 30, 60, 45 gradi  / Student For You Math

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Trigonometria - seno e coseno di 30, 60, 45 gradi

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Tutte le formule sugli archi associati (o angoli associati) per le principali funzioni goniometriche, con esempi e grafici.

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Tabella valori seno e coseno etc degli angoli

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Tabella valori seno e coseno etc degli angoli

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Da gradi a radianti e viceversa