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Spiegazione teorica esempio 1

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Spiegazione teorica esempio 2

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Ricordiamo che un' equazione di 2° grado in un'incognita può sempre essere scritta nella forma $$ax^2+bx+c=0$$con i coefficienti $a$, $b$ e $c$ reali e $a \neq 0$.
Definizione
Si chiama (o soluzione) dell'equazione di secondo grado un valore che, sostituito all'incognita $x$, rende vera l'uguaglianza.

Per esempio, consideriamo l'equazione $7x^2-3x-4=0$.

Sostituiamo a $x$ il valore $1$ nell'equazione: $7 \cdot 1^2-3\cdot 1-4=0$. Svolgendo i calcoli al primo membro otteniamo $0=0$, che è un'uguaglianza vera. Perciò $x=1$ è soluzione dell'equazione data.

Sostituiamo a $x$ il valore $-1$ nell'equazione: $7 \cdot (-1)^2-3\cdot (-1)-4=0$. Svolgendo i calcoli al primo membro otteniamo $6=0$, che è un'uguaglianza falsa. Perciò $x=-1$ non è soluzione dell'equazione data.

In generale un'equazione di 2° grado può avere due radici, oppure può averne una, oppure può anche non averne. Indichiamo con $x_1$ e $x_2$ le eventuali radici dell'equazione.
Per risolvere un'equazione di 2° grado basta applicare la seguente formula risolutiva, che non dimostriamo, ma che è importante imparare a memoria: $$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$Il simbolo $\pm$ significa che la soluzione $x_1$ si ottiene inserendo il segno $+$ prima del simbolo di radice, mentre la soluzione $x_2$ si ottiene inserendo il segno $-$ prima del segno di radice.

Ritorniamo all'equazione $7x^2-3x-4=0$ dell'esempio precedente; abbiamo che $a=7$, $b=-3$ e $c=-4$. Applichiamo la formula risolutiva: $$x_{1,2}=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 7 \cdot (-4)}}{2 \cdot 7}=\frac{3\pm 11}{14}$$Allora $x_1=\frac{3+11}{14}=1$ e $x_2=\frac{3-11}{14}=-\frac{8}{14}=-\frac{4}{7}$.
Abbiamo così ritrovato la soluzione che avevamo già individuato, e ne abbiamo trovata anche una seconda. Si può facilmente verificare che anche $x_2=-\frac{4}{7}$ è soluzione, sostituendo il valore nell'equazione iniziale.
Il discriminante
Osservando la formula risolutiva, ci accorgiamo che c'è una quantità sotto radice, e non è detto che questa quantità sia positiva! Le soluzioni dell'equazione di secondo grado esistono, quindi, solo se tale quantità è maggiore o uguale a zero.
Definizione
Data un'equazione di 2° grado $ax^2+bx+c=0$, la quantità $\Delta=b^2-4ac$ si dice discriminante dell'equazione.

Possiamo distinguere tre casi:

se $\Delta > 0$, l'equazione ha due radici reali $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$;

se $\Delta=0$, le due soluzioni coincidono: $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$;

se $\Delta < 0$, l'equazione non ha radici reali.

Facciamo alcuni esempi.

Data l'equazione $7x^2-3x-4=0$ dell'esempio precedente, $\Delta=(-3)^2-4\cdot 7\cdot (-4)=121 > 0$: abbiamo nuovamente la conferma che l'equazione ha due soluzioni distinte.

Data l'equazione $4x^2-4x+1=0$, abbiamo $\Delta = (-4)^2-4\cdot 4 \cdot 1=0$: l'equazione ha due soluzioni coincidenti. Queste soluzioni sono $x_1 = x_2 = \frac{-4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}$.

Data l'equazione $x^2+2x+3=0$, abbiamo $\Delta = 2^2-4\cdot 1 \cdot 3=-8$: l'equazione non ha soluzioni reali.

Formula risolutiva ridotta
A volte i calcoli previsti dalla formula risolutiva sono lunghi e complicati, e si rischia di sbagliare. Per questo motivo a volte è conveniente servirsi della formula risolutiva ridotta, che è comoda da applicare quando il coefficiente $b$ è pari: $$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}$$Facciamo un esempio: consideriamo l'equazione $5x^2-4x-1=0$. I coefficienti sono $a=5$, $b=-4$ e $c=-1$. Essendo $-4$ un numero pari (non importa il segno), ci conviene applicare la formula ridotta, dove $\frac{b}{2}=-2$: $$x_{1,2}=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-5\cdot (-1)}}{5}=\frac{2 \pm 3}{5}$$Svolgendo i calcoli, si ha che le soluzioni sono $x_1=1$ e $x_2=-\frac{1}{5}$.
Con la formula completa avremmo avuto lo stesso risultato, ma i conti sarebbero stati più complessi.
Risoluzione di equazioni particolari
Per alcune equazioni non è necessario ricorrere alla formula risolutiva.
I primi casi particolari riguardano le equazioni incomplete (cioè quelle che hanno almeno un coefficiente uguale a zero).

Consideriamo l'equazione pura $5x^2-1=0$.
"Trasportando" il termine noto $c=-1$ a destra dell'uguale cambiato di segno e dividendo poi per il coefficiente $a=5$ otteniamo $x^2=\frac{1}{5}$, cioè $x=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$.
Questo procedimento vale per ogni equazione pura $ax^2+c$, le cui soluzioni sono quindi $x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, se $-\frac{c}{a} \geq 0$. Altrimenti l'equazione è impossibile.

Consideriamo l'equazione spuria $4x^2+9x=0$.
Possiamo raccogliere $x$ ottenendo $x(4x+9)=0$.
Un prodotto è uguale a zero se uno dei fattori è uguale a zero, quindi le soluzioni di questa equazione si ottengono ponendo $x=0$ oppure $4x+9=0$. Perciò $x_1=0$ e $x_2=-\frac{9}{4}$.
Questo procedimento vale per ogni equazione spuria $ax^2+bx=0$, le cui soluzioni sono sempre due: $x_1=0$ e $x_2=-\frac{b}{a}$.

Consideriamo l'equazione monomia $25x^2=0$.
Affinché il prodotto tra 25 e un numero sia uguale a zero, tale numero deve essere zero. Perciò $x^2=0$, cioè $x=0$.
Questo procedimento vale per ogni equazione monomia $ax^2=0$, che ha sempre un'unica soluzione: $x_1=x_2=0$.

Esistono altri casi in cui non è necessario utilizzare la formula risolutiva.

Consideriamo l'equazione $9x^2-12x+4=0$.
Possiamo accorgerci che il primo membro è lo sviluppo del quadrato del binomio $(3x-2)^2$. Questa quantità è uguale a zero quando $3x-2=0$. Perciò la soluzione dell'equazione è $x=\frac{2}{3}$.
Possiamo operare analogamente tutte le volte in cui riconosciamo un quadrato di binomio al primo membro.

Consideriamo l'equazione $x^2+8x+12=0$.
In questo caso il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare, uguale al prodotto $(x+6)(x+2)$. L'equazione è soddisfatta quando uno dei due fattori $x+6$ o $x+2$ è uguale a zero. Le soluzioni sono quindi $x_1=-6$ e $x=-2$.
Possiamo operare analogamente tutte le volte in cui riconosciamo un trinomio particolare al primo membro.

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L'equazione di secondo grado: formula risolutiva e formula ridotta

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Ricordiamo che un' equazione di 2° grado in un'incognita può sempre essere scritta nella forma $$ax^2+bx+c=0$$con i coefficienti $a$, $b$ e $c$ reali e $a \neq 0$. Definizione Si chiama (o soluzione ) dell'equazione di secondo grado un valore che, sostituito all'incognita $x$, rende vera l'uguaglianza. Per esempio, consideriamo l'equazione $7x^2-3x-4=0$.

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Esempio 1

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Prima di passare agli esercizi svolti, vediamo un po' di teoria. Se però hai già le basi per risolvere le " equazioni di secondo grado" puoi saltare queste prime righe e passare direttamente agli esercizi svolti proposti.

Le equazioni di secondo grado o quadratica, sono equazioni algebriche ad una sola incognita x con grado pari a 2 e si presentano nella seguente forma:

con i coefficienti a,b e c che rappresentano valori noti.

Ridotta alla forma canonica, un'equazione di secondo grado si dice:

1. completa, quando a, b e c sono tutti diversi da zero;

2. spuria, se il coefficiente c è uguale a zero, e l'equazione si presenta dunque nella forma ;

3. pura, quando il coefficiente b vale zero, e l'equazione si presenta nella forma

4. monomia, quando i coefficienti b e c valgono zero.

Risoluzione equazioni di 2° grado:

1. Equazione completa.

Se l'equazione canonica è nella forma completa, la soluzione si trova applicando la seguente formula risolutiva:

Esempio:

x²+5x+4=0 ;

Se il coefficiente b è un numero pari si può utilizzare una formula risolutiva ridotta che semplifica leggermente i calcoli da effettuare. La formula risolutiva ridotta delle equazioni di secondo grado è la seguente:

2. Equazione spuria.

Risolviamo, mettendo in evidenza la x e applicando la legge di annullamento del prodotto. Per comprendere meglio vediamo un esempio concreto.
Messa in evidenza:

Applicazione della legge di annullamento del prodotto:

sostanzialmente, poniamo uguale a zero ognuno dei due fattori

otteniamo così due soluzioni, una delle due, come si vede, sempre uguale a zero:

x₁=0e x₂=-b/a

Esempio:

Ricordate dunque che quando l'equazione di secondo grado è in forma spuria, una delle due soluzioni è sempre uguale a zero.

3. Equazione pura.

Se l'equazione di secondo grado è pura, si risolve portando al secondo termine il termine noto (ovvero il termine c) e quindi si calcola la radice quadrata.ax²+c=0 -> ax²=-c

a questo punto possono presentarsi due casi diversi:

1° caso: -c/a è un numero negativo, allora l'equazione non ammette soluzioni reali;

2° caso: -c/a è un numero positivo, allora l'equazione è risolta da:

Esempio:

2x²-18=0;

2x²=18; -> x²=18/2=9;

x1,2=±√9; -> x1,2=±3;

x₁=3; e x₂=-3;

4. Equazione monomia.
Quando l'equazione è monomia, ax²=0, la soluzione è unica e doppia, x₁=x₂=0.

Esempio:

10x²=0; -> x₁=x₂=0.

Soluzioni delle equazioni di secondo grado

Alla luce di quanto visto sopra, appare chiaro che, per la soluzione di un' equazione di secondo grado è di fondamentale importanza il calcolo della radice quadrata √il cui argomento prende il nome di discriminante che d'ora in poi indicheremo con la lettera greca delta Δ.

Possiamo distinguere allora tre casi, a seconda che il discriminante sia maggiore, uguale o minore di zero e affermare che:

se Δ>0, allora vi sono due soluzioni (anche dette radici) reali e distinte x₁≠x₂;

se Δ=0, allora le soluzioni sono reali e coincidenti x₁=x2;

se Δ<0, l'equazione non ha soluzioni reali, ma ha soluzioni appartenenti all'insieme dei numeri complessi. In particolare, x₁ e x₂ saranno coniugate e complesse.

Somma e prodotto delle soluzioni

Si può dimostrare che la somma delle soluzioni di un'equazione di secondo grado è uguale a -b/a ovvero: s=x1+x2=-b/a;

mentre il prodotto delle soluzioni è uguale a c/a ovvero: p=c/a.

Scomposizione in fattori del trinomio

Prendiamo il polinomio completo di secondo grado , questo può essere scomposto in fattori con la seguente formula:

che nel caso di delta =0, ovvero di soluzioni coincidenti diventa:

Regola dei segni di Cartesio

Si può determinare il segno delle soluzioni di un' equazione di secondo grado con la cosidetta regola dei segni o regola di Cartesio, a patto però, che il discriminante (il delta) dell'equazione non sia negativo. La regola si basa sullo studio dei segni dei coefficienti dell'equazione eventualmente ridotta alla formula canonica ax2+bx+c=0.

Si considerano, in pratica, nell'ordine, i segni dei coefficienti a,b e c assumendo a>o (se non lo è moltiplicare tutto per -1). Si moltiplicano dunque i segni dei coefficienti (ex. a=1, b=-2, c=3 -> +*−*+) annotando che:

a variazione di segno corrisponde soluzione positiva;

a permanenza di segno corrisponde soluzione negativa.

Un esempio chiarirà il tutto:

2x2-5x+2=0;

Δ=25-16=9; verifichiamo che il delta non sia negativo!

Studio dei segni: +*−*+ -> abbiamo una variazione (+*−) e una seconda variazione (−*+)

quindi due radici positive.

Equazioni di secondo grado fratte

Le equazioni di secondo grado fratte si risolvono allo stesso modo delle altre ma facendo attenzione alle condizioni di accettabilità.

Per prima cosa dobbiamo scrivere l'equazione nella forma seguente:

Fatto questo, sarà sufficiente:

porre D(x) diverso da 0 e appuntare i risultati perchè eventuali soluzioni dell'equazione coincidenti con questi sono da scartare, perchè porterebbero a dividere per zero;

risolvere N(x) = 0, come una normale equazione di secondo grado;

confrontare le soluzioni di N(x)=0 con quelle di D(x) diverso da 0 viste al primo punto e scartare le eventuali soluzioni coincidenti.

Esercizi svolti sulle equazioni di 2° grado

Gli esercizi sono progressivamente più complessi.

Esercizio svolto 1 - equazioni di secondo grado

-2x²=-4; abbiamo portato il termine noto a destra dell'uguale ;

-2xabbiamo diviso tutto per 2 e poi moltiplicato per -1 perché vogliamo che il coefficiente di x²/2=-4/2; -> -x²=-2; -> x²=2; ² sia 1;

x1,2=± √2 -> x₁=√2; e x₂=-√2; quindi applichiamo la formula risolutiva.

Esercizio 2 - equazioni di secondo grado

x²-9x-22=0; applichiamo la formula risolutiva;

x₁=2; e x₂=-11;

Esercizio 3 - equazioni di secondo grado

Esercizio 4 - equazioni di secondo grado

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Equazioni di secondo grado esercizi svolti

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Prima di passare agli esercizi svolti, vediamo un po' di teoria. Se però hai già le basi per risolvere le " equazioni di secondo grado" puoi saltare queste prime righe e passare direttamente agli esercizi svolti proposti.

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Esempio 1

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Soluzione equazioni di secondo grado

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Soluzione geometrica

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risoluzione grafica equazioni secondo grado

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come si risolvono le equazioni di secondo grado

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risolvere graficamente equazioni di secondo grado

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Risoluzione grafica delle equazioni di secondo grado

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Risoluzione grafica delle equazioni di secondo grado

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Approfondimento geometrico

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risoluzione grafica equazioni secondo grado

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come si risolvono le equazioni di secondo grado

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risolvere graficamente equazioni di secondo grado

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Risoluzione grafica delle equazioni di secondo grado: un esempio

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Risoluzione grafica delle equazioni di secondo grado: un esempio