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Sciences

Les étoiles, les planètes, les galaxies où encore les humains sont faits de différents atomes. Mais lequel est le plus abondant dans l'univers ? C'est à cette question que tente de répondre la chaîne durant cette courte vidéo.

L'élément chimique le plus abondant dans notre univers est aussi le plus simple, c'est l'. Composé d'un proton et d'un électron, il est l'atome le plus léger existant. C'est aussi le principal constituant de la plupart des étoiles, des nébuleuses et des planètes gazeuses.

On estime que 92 % des de l'univers sont des atomes d'hydrogène. Si l'on s'en tient à la matière ordinaire (baryonique, disent les hysiciens), c'est-à-dire si l'on oublie la matière noire (cinq fois plus abondante !), alors ce petit atome représente 75 % de la masse de l'univers observable (rappelons-nous que nous ignorons la taille de l'univers...).

L'hydrogène compose également 63 % des atomes du corps humain. Après le , l'univers était principalement constitué de cet élément chimique, il est ensuite devenu l'élément essentiel des galaxies, des étoiles de notre planète, etc.

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Quel est l'élément le plus abondant dans l'univers ?

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Sciences Les étoiles, les planètes, les galaxies où encore les humains sont faits de différents atomes. Mais lequel est le plus abondant dans l'univers ? C'est à cette question que tente de répondre la chaîne durant cette courte vidéo. L'élément chimique le plus abondant dans notre univers est aussi le plus simple, c'est l'.

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La vallée de la stabilité, la physique nucléaire animée

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Crystals are beautiful, but more beautiful are the processes of forming crystals, i.e. crystallization. This film recorded the crystallization processes of 5 salts. We first added droplets of saturated salt solutions on glass slides. The evaporation of water initiated the crystallization processes inside the droplets, which were captured by time-lapse photography.

For more films, please go to http://envisioningchemistry.com

Making-of:
http://petapixel.com/2016/09/14/stunning-macro-timelapse-captures-beauty-crystallization-close/

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De quoi sont faites les étoiles ? (Chercheuses d’étoiles Ep. 1/4)

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Autorité de sûreté nucléaire et de radioprotection

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La radioactivité naturelle : L'épopée du radium

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1°-Activité Comment sont répartits les éléments

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Le carbone 14, est radioactif ; sa radioactivité décroît au fil du temps à un rythme parfaitement régulier. Les scientifiques s’en servent comme « chronomètre » pour estimer l’âge d’objets très variés : œuvres d’art, roches, fossiles…

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Enseignement scientifique de première générale.

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Ce livret GeoGebra fournit une collection de ressources numériques pour les quatre thèmes de l'enseignement scientifique de la classe de Première gén...

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Cristal de Chlorure de sodium.

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Ce livret GeoGebra fournit une collection de ressources numériques pour les quatre thèmes de l'enseignement scientifique de la classe de Première gén...

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1-2 Structure cristalline : Cubique (simple et à faces centrées)

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1-2 Structure cristalline : Cubique (simple et à faces centrées)

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Ce programme représente le mouvement des planètes dans le plan de l'écliptique en supposant que le plan de chaque orbite est confondu avec le plan de l'écliptique. Chaque orbite elliptique est tracée par pas de 6° à partir des données du tableau ci-dessous.
Comme l'excentricité des planètes est faible (sauf pour Mercure et Pluton et dans une moindre mesure pour Mars), les orbites sont pratiquement des cercles légèrement décentrés par rapport au soleil.

Repère héliocentrique :
Soit l'orbite de foyer F, de périhélie A, de centre O et d'excentricité e, T la durée de révolution de la planète sur son orbite et P(t) la position de la planète sur son orbite à l'instant t. Soit φ la valeur de l'angle AOP.
On peut montrer ( équation de Kepler) que : φ − e.sin(φ) = 2π.t / T.
La résolution numérique de cette équation transcendante permet de déterminer la position de la planète sur son orbite au temps t.

Repère géocentrique :
Pour obtenir les trajectoires dans ce repère, on détermine à chaque pas la position de la Terre et des autres planètes dans le repère héliocentrique. On en déduit la position du Soleil et des planètes par rapport à la Terre.

On pourra comparer les trajectoires obtenues avec celles qui résultent du modèle de Ptolémée ou le déférent est un cercle et non une ellipse.

Utilisation :
Le premier jeu de boutons radio permet de choisir entre une représentation héliocentrique et géocentrique.
Le second permettent de visualiser soit les planètes telluriques ( Mercure tango, Vénus vert, Terre cyan, Mars rouge) soit les planètes joviennes ( Jupiter magenta, Saturne blanc, Uranus orange, Neptune bleu, Pluton gris).
Dans ce cas, l'orbite de la Terre est tracée afin de donner une idée de l'échelle utilisée pour le tracé.

A coté du nom de la planète, le programme affiche en unités astronomiques (UA) la distance de la planète au Soleil ou à la Terre.
Pour les planètes telluriques, le pas de calcul est égal à deux jours terrestres, pour les joviennes le pas est égal à 30 jours terrestres.

La position initiale des planètes correspond à la date du 1 janvier 2000.
Éléments du système solaire

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Ce programme représente le mouvement des planètes dans le plan de l'écliptique en supposant que le plan de chaque orbite est confondu avec le plan de l'écliptique. Chaque orbite elliptique est tracée par pas de 6° à partir des données du tableau ci-dessous.

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Phases de Mercure et de Vénus

Cette animation présente de façon très simplifiée les phases des planètes intérieures :
On suppose que les trajectoires sont circulaires et contenues dans le plan de l'écliptique et on laisse la Terre immobile !

Quand les positions relatives du Soleil, de la Terre et de Mercure ou de Vénus correspondent à celle de l'animation, le programme donne l'aspect de Mercure et de Vénus vue de la Terre.

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Phases de Mercure et de Vénus Cette animation présente de façon très simplifiée les phases des planètes intérieures : On suppose que les trajectoires sont circulaires et contenues dans le plan de l'écliptique et on laisse la Terre immobile !

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Épicycloïdes et hypocycloïdes

Épicycloïde :
C'est le lieu d'un point P d'un disque de rayon r qui roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon R. La courbe est fermée si le rapport N = R / r des rayons est rationnel.
h = k.r est la distance du point P au centre du cercle de rayon r.
Les équations paramétriques de la courbe sont :

Hypocycloïde :
C'est le lieu d'un point P d'un disque de rayon r qui roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon R. h est la distance du point P au centre du cercle de rayon r.
La courbe est fermée si le rapport N = R / r des rayons est rationnel.
Les équations paramétriques de la courbe sont :

En toute rigueur les courbes représentées sont des trochoïdes.
Pour obtenir des hypocycloïdes (qui sont un cas particulier des hypotrochoïdes et qui présentent des points de rebroussement), il faut prendre h = r (k = 1).

Utilisation : Seuls les cas N entier ou demi-entier sont étudiés ici.
Choisir la valeur de N avec la liste de choix et celle de h avec le slider (valeurs comprises entre 0 et 1).

Corrections le 24/08/2018

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Épicycloïdes et hypocycloïdes Épicycloïde : C'est le lieu d'un point P d'un disque de rayon r qui roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon R. La courbe est fermée si le rapport N = R / r des rayons est rationnel.

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1543, la Révolution Copernicienne (1/3) : d'Aristote à Ptolémée

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1543, la Révolution Copernicienne (2/3) : de Ptolémée à Copernic

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1543, la Révolution Copernicienne (3/3) : de Kepler et Galilée à Newton

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La première manière de déterminer la distance d'une étoile proche est de mesurer ce que l'on appelle sa parallaxe.

Parallaxe d'une étoile proche

Lorsque la Terre est dans une certaine position, par exemple à l'équinoxe de printemps, elle voit l'étoile proche dans une certaine direction dans le ciel (par rapport à des étoiles lointaines). Six mois plus tard, à l'équinoxe d'automne, la même étoile semblera s'être déplacée par rapport aux étoiles lointaines (qui, elles, n'auront pas bougé). Si l'on connaît les propriétés optiques de l'ensemble télescope +caméra+détecteur, on peut estimer de quel angle sur le ciel l'étoile s'est déplacée par rapport aux étoiles lointaines et fixes d'arrière plan. On peut alors mesurer de combien l'étoile proche s'est déplacée par rapport aux étoiles lointaines et fixes d'arrière-plan.

Ainsi, connaissant les propriétés optiques de l'instrument utilisé (télescope + détecteur), on peut calculer la dimension du pixel en secondes d'angle (1 second d'arc vaut la 3600ème partie d'un degré d'angle). On peut donc mesurer 2 theta, où theta est la parallaxe de l'étoile (voir schéma ci-dessus).

On peut écrire : tan θ = ST / SE, et comme θ est un angle très petit on peut l'assimiler à sa tangente, à condition de le convertir en radians. D'où: θ (rad) = ST/SE. Comme on connaît ST (distance moyenne Terre-Soleil) et que l'on peut mesurer θ, on en déduit SE = distance de l'étoile au Soleil (ou à la Terre, la différence est minime).

La difficulté d'appliquer cette méthode est due au fait que les parallaxes θ sont des angles très petits, donc difficiles à mesurer, et seulement mesurables pour les étoiles proches. Au-delà les angles deviennent trop petits et impossibles à mesurer.

Le satellite Hipparcos a mesuré les parallaxes, et donc les distances d'environ 100.000 étoiles au début des années 1990, et le futur satellite Gaia devrait en mesurer dix fois plus d'ici quelques années. Il est très important de bien connaître la distance des étoiles, car il devient alors possible d'estimer leurs propriétés intrinsèques à partir des observations.

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La première manière de déterminer la distance d'une étoile proche est de mesurer ce que l'on appelle sa parallaxe. Parallaxe d'une étoile proche Lorsque la Terre est dans une certaine position, par exemple à l'équinoxe de printemps, elle voit l'étoile proche dans une certaine direction dans le ciel (par rapport à des étoiles lointaines).

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Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres.
On a tous fait sonner un instrument de musique, ne serait-ce que sa propre voix ; pourtant, sait-on comment l'harmonie se produit ? En route pour un voyage dans l'univers des sons pour construire une gamme à la manière de Pythagore et découvrir les secrets de la gamme tempérée !

Quand on songe aux nombres dans l'Antiquité, on pense assez naturellement à Pythagore. Et qui dit Pythagore dit rapidement harmonie des sphères, voire harmonie tout court. Vous l'avez sans doute compris : ce deuxième épisode est consacré à la construction mathématique de la gamme pythagoricienne.

Si vous voulez voir comment construire de la musique avec des mathématiques, vous pouvez consulter un article sur la musique dodécaphonique en cliquant ici. Mais pour comprendre comment construire la gamme, rien ne sert de connaître des propriétés arithmétiques des nombres premiers : il suffit de savoir faire des multiplications.

Si vous avez regardé la vidéo, vous savez pourquoi figure un loup hurlant sur l'affiche de cet épisode. C'est en rapport avec la fameuse " quinte du loup " qui pose problème dans la gamme pythagoricienne. Vous aurez noté que toute la construction de la gamme est basée sur le rapport 3/2 (rapport qui correspond à la quinte), et cela n'a rien d'étonnant car pour Pythagore " les principes sont d'une part les nombres et leurs rapports (qu'il appelle aussi harmonies) et, d'autre part, les éléments composés des deux, qu'il appelle géométriques "[1].

L'un de ses disciples, Philolaos, ira même plus loin : " il pense que tout est produit par la nécessité et l'harmonie "[2]. L'harmonie est en effet une notion centrale pour les pythagoriciens qui n'hésitèrent pas à parler d'une " harmonie des sphères " pour caractériser les sons émis par les planètes. Pure fantaisie direz-vous ? Et pourtant : la NASA a récemment enregistré les sons de l'univers, et en particulier ceux aux abords des planètes.

Mais les pythagoriciens vont même plus loin en voyant l'harmonie également dans notre être. En effet, " pour Pythagore et Philolaos, l'âme est l'harmonie "[3]. Pour autant, l'histoire ne dit pas si l'harmonie de l'âme est basée sur la gamme pythagoricienne ou la gamme tempérée...

[1] Aétius, Opinions, I, iii, 8.

[2] Diogène Laërce, Vies, VIII, 85.

[3] Macrobe, Commentaire sur le Songe de Scipion, I, xiv, 19.

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Article et vidéo initialement publiés sur La vie des classiques, le portail dédié aux humanités des éditions Les Belles Lettres. On a tous fait sonner un instrument de musique, ne serait-ce que sa propre voix ; pourtant, sait-on comment l'harmonie se produit ?

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Manuel numérique max
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Le Manuel numérique max - Belin Education

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Votre manuel numérique partout, tout le temps par Belin Éducation. Accès libre gratuit sur internet. Conçu par et pour les enseignants et les élèves. Conforme RGPD et CNIL, compatible GAR et ENT.

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Korg poursuit sa lancée dans le secteur de l'analogique à prix abordable avec la série Volca. Volca est une série de 3 modèles analogiques et d'un modèle de séquence d'échantillons :

- Le synthétiseur "Volca Keys"

- Le synthétiseur de basse "Volca Bass"

- La boite à rythmes "Volca Beats"

- Séquenceur d'échantillons 'Volca Sample"

Chacun des modules offre une synchro MIDI pour s'interfacer avec son logiciel préféré et une Sync in/out pour chaîner plusieurs Volca ensemble. Il peut s'emmener partout grâce à son fonctionnement sur batterie et son mini haut-parleur.

Le SYNC jack et le connecteur MIDI IN permettent l’exécution synchronisée avec plusieurs unités ou avec votre DAW. En utilisant le SYNC jack, vous pouvez profiter de la lecture synchronisée avec des Volca multiples ou avec un Monotribe.

Vous pouvez également utiliser l’application "SyncKontrol" (iPhone) pour contrôler sans fil le tap tempo, les paramètres de swing et la lecture synchronisée avec les applications de musique iOS via WIST. Le connecteur MIDI IN vous permet de synchroniser avec d’autres appareils, ainsi que jouer le Volca à partir de n’importe quel clavier MIDI. Vous pouvez également envoyer des messages de note de votre DAW et utiliser le Volca comme un module sonore analogique.

Les Volca vous permettront de créer un large éventail de sons purs et gras à souhait. Des petits sons «Minimal» aux sons bien «Techno Acid», les Volca vous permettront de vous exprimer assez facilement et intuitivement notamment grâce à leur séquenceur. En effet, vous allez pouvoir générer des boucles à la volée...

Synthétiseur analogique avec 3 notes de polyphonie, ce qui est unique à ce niveau de prix. Le VOLCA KEYS possède 27 touches, 3 oscillateurs, une section de filtre basée sur le miniKORG700S, un délai, un séquenceur de boucles et un séquenceur de mouvements qui enregistre les éditions en temps réel. D'autres fonctions sont présentes, notamment Flux et Active Step pour ajouter de la dynamique aux séquences. Comme les deux autres boites, il possède un step sequencer très simple à utiliser.

Lead polyphonique

27 touches

3 oscillateurs

Filtre du légendaire MiniKorg700S

Delay

Séquenceur de boucles

Séquenceur de mouvements

Flux et active Step

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Korg - Volca Keys Synthétiseurs Analogiques - Hurricanemusic.fr

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Module VOLCA Synthe analogiqueKorg poursuit sa lancée dans le secteur de l'analogique à prix abordable avec la série Volca. Volca est une série de 3 modèles analogiques et d'un modèle de séq

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Le système de gamme naturelle repose sur la même idée que la gamme de Pythagore :

partir d'une note de départ ;

construire la gamme en ajoutant des notes à partir d'intervalles purs.

Toutefois, au lieu de n'utiliser que la quinte et la quarte, nous considérons également la tierce majeure pure (5/4) et la tierce mineure pure (6/5).

L'idée étant d'atteindre la pureté acoustique en ne jouant que des intervalles purs.

Il existe bien des façons de construire une gamme en n'utilisant que des intervalles purs. En général, on cite en exemple le procédé de Gioseffo Zarlino.

Construire la gamme de Zarlino

Partons d'une note de départ arbitraire, que nous nommerons « do » dans un but purement pédagogique.

Ajoutons les notes issues des intervalles fondamentaux de quarte et quinte.

Les trois notes génératrices de la gamme naturelle de Zarlino.

Prenant chacune de ces trois notes comme point de départ, nous allons ajouter une tierce pure et une quinte pour combler les trous et générer une gamme diatonique complète.

À partir des trois notes de départ, on ajoute des tierces et des quintes pour compléter la gamme.

On pourrait s'amuser à compléter la gamme pour obtenir une vraie gamme chromatique, mais vous avez compris l'idée.

Une gamme purement théorique

Cette gamme, bien que séduisante sur le papier, est en pratique assez peu utilisable.

D'abord, les intervalles entre notes successives sont très différents, donc la transposition est impossible.

Ensuite, il est en pratique impossible de ne jouer que des intervalles purs.

Imaginons que je veuille jouer la mélodie suivante :

do, sol, ré, la, mi, do

Si on analyse les intervalles qui composent cette mélodie :

quinte (do ~ sol) ;

quarte descendante (sol ~ ré) ;

quinte (ré ~ la) ;

quarte descendante (la ~ mi) ;

tierce descendante (mi ~ do).

Ce qui nous donne les fréquences suivantes, avec une fréquence initiale de « do » arbitrairement placée à 100 Hz.

1. do = 100 Hz

2. sol = 100 × 3/2 = 150 Hz

3. ré = 150 × 3/4 = 112.5 Hz

4. la = 112.5 × 3/2 = 168.75 Hz

5. mi = 168.75 × 3/4 = 126.5625 Hz

6. do = 126,5625 × 4/5 = 101.25 Hz

On constate que des combinaisons d'intervalles purs vont fatalement arriver à une dérive.

Dans cet exemple, il faudrait que mon dernier « do » soit légèrement différent du « do » de départ.

Ces inconvénients font que les gammes naturelles n'ont jamais été vraiment utilisées dans l'histoire.

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Les gammes naturelles : quand les notes se mettent au bio

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Les gammes naturelles viennent d’une volonté de construire des gammes parfaites uniquement composées d’intervalles purs.

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L'idée révolutionnaire de Joseph Fourier est que les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent de décomposer n'importe quelle fonction. Découvrez-la à l'aide d'exemples imagés.

Au début du XIX e siècle, Joseph Fourier étudie la propagation de la chaleur et est le premier à décrire son évolution mathématiquement par l' équation de la chaleur. Dans le cas d'une tige, cette équation admet des solutions particulières s'exprimant à l'aide des fonctions trigonométriques sinus et cosinus. L'idée révolutionnaire de Joseph Fourier est que ces fonctions particulières permettent de décomposer n'importe quelle fonction et de décrire ainsi l'évolution de la chaleur dans n'importe quelle situation : c'est la décomposition en série de Fourier, que l'on retrouve pour la résolution de l'équation de la chaleur mais aussi dans les fichiers MP3, dans l'analyse de signaux, dans l'imagerie médicale... Le but de cet article est de découvrir à l'aide d'exemples imagés cette décomposition introduite par Joseph Fourier.

La famille des fonctions sinus

La décomposition de Fourier que nous allons voir s'appuie sur une famille de fonctions sinus. Les sinus font partie des fonctions trigonométriques et ont donc une longue histoire. Ils apparaissent dans les problèmes géométriques utilisant des angles et ont surtout été développés pour l'astronomie, une science très importante dans l'Antiquité. Pour aboutir à leur forme actuelle, ils sont partis de la Grèce antique, allés jusqu'en Inde pour revenir par la Perse et l'Arabie et enfin en Europe à la Renaissance. L'utilisation de ces sinus par Joseph Fourier n'est pas liée à un problème géométrique mais plutôt à leurs propriétés mathématiques, comme nous l'expliquerons plus loin. La famille des sinus qui nous intéresse ici est plus précisément définie comme suit : pour chaque entier n, on regarde la fonction qui à x entre 0 et 1 associe sin(nπx). Pour nous familiariser avec ces fonctions, traçons le graphe de quelques-unes d'entre elles.

On peut bien sûr continuer ainsi : sin(5πx) forme cinq bosses, sin(10πx) forme dix bosses... Pour diversifier les formes obtenues avec ces fonctions, on peut les combiner en sommes pondérées par des coefficients.

Pour mieux comprendre comment la forme du graphe se crée grâce à la combinaison des fonctions sinus, voici en animation deux exemples de combinaisons de trois fonctions sinus. Le premier correspond à l'exemple précédent, le deuxième à -0.2sin(2πx)-0.5sin(3πx)-0.4sin(8πx).

On peut ainsi créer différentes formes en combinant ces différents sinus. Mais jusqu'où peut-on aller ? C'est là que se trouve l'idée révolutionnaire de Joseph Fourier.

La décomposition de Fourier

Nous venons de voir que les fonctions sin(nπx) engendrent différentes formes si on regarde leurs combinaisons. Avant les travaux de Joseph Fourier, on savait comment utiliser ces combinaisons pour obtenir certaines solutions d'équations. Mais l'idée révolutionnaire de Joseph Fourier est qu'on peut obtenir ainsi toutes les solutions car toutes les fonctions dans l'intervalle [0,1] peuvent être obtenues en combinant des sin(nπx). Daniel Bernoulli avait déjà utilisé ce principe, mais il semble que Joseph Fourier soit le premier à le formaliser mathématiquement.

Théorème : toute fonction f sur l'intervalle [0,1] se décompose comme une combinaison infinie des fonctions sin(nπx) \[f(x)= a_1 \sin(\pi x) + a_2 \sin(2 \pi x) +a_3 \sin(3 \pi x) + a_4 \sin(4 \pi x) + a_5 \sin(5 \pi x) + \ldots\] De plus, les coefficients sont donnés par la formule \[a_n = 2 \int f(x) \sin(n \pi x) dx\]

Pour rendre ce théorème mathématiquement rigoureux, il faudrait préciser ce qu'on entend par cette somme infinie (les "..." ne voulant rien dire en science) et ce que veut dire l'égalité à f (qui est plus subtile que l'on pourrait penser). Joseph Fourier avait bien compris ces problèmes et les avait résolus avec la rigueur en cours à l'époque. Nous n'allons pas entrer dans les détails mathématiques de ce théorème et de ces formules. Pour cet article, ce qu'il nous faut retenir en pratique est que :

1. Toute fonction f peut être approchée par des combinaisons finies de fonctions sin(nπx) avec une erreur aussi petite que voulue.

2. Les coefficients an de cette combinaison sont donnés par une formule explicite et peuvent être calculés facilement.

Illustrons ce principe par un premier exemple. La famille des sinus ne contient que des fonctions formant des bosses lisses, de douces collines. Peut-on obtenir un graphe plus pointu en les combinant ? "Oui" nous dit le théorème ci-dessus, "il suffit de bien ajuster les coefficients de la combinaison".

Prenons un autre exemple. On regarde la fonction f dont le graphe est ci-contre. Il s'agit d'une sorte de creux qui n'occupe que la première moitié du segment. Il ne s'agit pas d'un mode sinusoïdal et en fait, il ne s'agit pas non plus d'une combinaison d'un nombre fini de sin(nπx). Pourtant, on va pouvoir approcher très précisément cette forme par des combinaisons de sin(nπx) comme l'annonce le théorème de Fourier ci-dessus. Les bons coefficients seront difficiles à trouver à la main, mais on dispose de la formule plus haut : il suffit de faire le calcul (ou de le faire faire par un ordinateur).

Dans les exemples ci-dessus, on approche petit à petit la forme voulue à l'aide de six sinus. Plus on va en ajouter, plus la forme sera approchée avec précision. Rappelons que ces approximations comprenant de plus en plus de sinus sont obtenues par des formules. Ce qu'on appelle décomposition de Fourier est donc calculable automatiquement par un ordinateur et de façon très rapide.

Avec dix sinus, cela devient difficile de faire la différence avec l'original, sauf au niveau du raccord entre le creux et la partie plate.

-0.424sin(πx)-0.5sin(2πx)-0.254sin(3πx)+0.06sin(5πx)-0.028sin(7πx)+0.016sin(9πx)-0.011sin(11πx)+0.007sin(13πx)-0.005sin(15πx)

La décomposition de Fourier permet donc de décomposer une fonction en somme de sinus. Cela ouvre la voie à des applications pratiques comme la compression d'images, en dosant le nombre de sinus utilisés, mais aussi de nombreuses autres qui seront abordées dans cette série d'articles. Le théorème de Fourier nous dit que toute fonction peut être ainsi décomposée en sinus. Est-ce que cela fonctionne vraiment pour toutes les fonctions ? Oui, pour toutes les fonctions f, du moins celles qui représentent des données physiques pour lesquelles l'énergie \( \int f^2 \) est définie. Cela fonctionne même pour des fonctions qui ne sont pas continues, c'est-à-dire qui admettent des sauts. Ceci était tellement surprenant pour l'époque que certains mathématiciens ont pris cette propriété comme un argument indiquant que le résultat devait être faux : comment une fonction avec un saut pourrait-elle être approchée par des fonctions qui sont continues ? Mais Joseph Fourier avait bien raison et a fini par imposer son point de vue. Ce type de propriété paradoxale a poussé les mathématiciens à reprendre de façon plus rigoureuse les bases de l'analyse mathématique.

Pour finir, nous allons nous amuser avec la décomposition de deux fonctions, l'une rouge et l'autre bleue. Nous allons faire apparaître petit à petit plus de sinus de leur décomposition.

Avec 80 sinus, c'est presque parfait, sauf de petites oscillations, surtout proches des endroits où le graphe varie brusquement : c'est de nouveau une manifestation du phénomène de Gibbs.

N'est-ce pas surprenant ? Encore une fois, c'est la puissance de la décomposition de Fourier : on peut partir de n'importe quelle fonction et tous les calculs sont donnés par des formules explicites qu'il n'y a qu'à appliquer. Le point difficile ici était d'avoir une formule pour les courbes du dessin. Ces formules semblent avoir été introduites par un professeur américain en 2011 et une de leurs premières traces se trouve sur le forum reddit. Elles sont maintenant connues sous de nom de Batcurves. On pourra consulter cette page sur Stackexchange pour des explications sur les formules. On pourra aussi trouver cette vidéo qui dramatise un peu l'application de la décomposition de Fourier à la Batcurve. Notez que dans cette vidéo, la décomposition se fait selon des cosinus à la place des sinus, mais le principe est exactement le même.

Application aux cordes vibrantes

La transformation de Fourier a été introduite dans le cadre de l' équation de la chaleur. Comme nous n'avons pas l'habitude de " voir " la chaleur, le tracé des solutions de son équation ne nous serait pas très familier. Dans cet article, nous allons donc plutôt regarder les solutions de l' équation des cordes vibrantes. Il s'agit de décrire les oscillations d'une corde fixée à ses deux bouts : corde de guitare, de piano, corde à sauter... Quel rapport avec la propagation de la chaleur ? C'est la magie des mathématiques ! Les deux problèmes sont physiquement très différents, mais la décomposition de Fourier est un outil mathématique suffisamment puissant pour intervenir dans les deux cas. Jean le Rond d'Alembert et Leonhard Euler avaient introduit et étudié l'équation des cordes vibrantes. Ils savaient qu'elle possède des solutions particulières décrites par notre famille des sinus.

L'animation ci-contre présente une corde vibrant selon la fonction sin(πx). Plus précisément, c'est la fonction cos(πt)sin(πx), qui dépend à la fois du temps t et de l'espace x, qui est solution de l'équation des cordes vibrantes. Cette solution est très particulière dans le sens où la forme de la corde est toujours celle du premier sinus, elle ne fait qu'osciller au cours du temps : l'amplitude du mouvement, en chaque point x, varie dans le temps selon la fonction cos(πt). On appelle cette vibration particulière le premier mode de vibration. Dans le cadre musical, c'est ce mode qui sera responsable de la note produite par la corde. On parle à ce moment-là de mode fondamental.

Si les sinus sont des fonctions importantes pour cette équation des cordes vibrantes, c'est que, comme l'équation de la chaleur, elle fait intervenir des dérivées secondes. Si on dérive deux fois de suite une fonction sinus, on retombe sur la même fonction, à un facteur près. C'est pour cela que le profil de la solution ci-contre reste en permanence celui d'une fonction sinus.

Si on regarde les autres sinus, on obtient encore des solutions particulières de l'équation des cordes vibrantes. Ces solutions ne sont que les sinus vus plus hauts que l'on fait vibrer de plus en plus rapidement. On peut facilement voir ces modes de vibration en faisant osciller une corde que l'on tient par une main. Musicalement, ces modes de vibrations de la corde de guitare (ou piano, ou violon...) sont responsables des harmoniques du son et de ce qu'on appelle le timbre de la note.

Les sinus sont donc responsables de solutions particulières pour l'équation des cordes vibrantes. On retrouve ces modes de vibration sinusoïdaux assez facilement dans les expériences physiques comme dans la vidéo ci-contre.

Source : vidéo Youtube du Scientibus par F. Louradour, Faculté des Sciences de Limoges.

Pouvons-nous obtenir d'autres solutions que ces modes sinusoïdaux ? Quand on agite une corde, on n'obtient pas forcément de tels modes et c'est donc qu'il existe d'autres solutions (comme on peut le voir dans la vidéo ci-dessus). En fait, l'équation des cordes vibrantes a la propriété mathématique de la linéarité : toute somme de solutions est encore solution de l'équation. Si on part des deux solutions cos(πt)sin(πx) et cos(4πt)sin(4πx), on peut obtenir une nouvelle solution cos(πt)sin(πx)+cos(4πt)sin(4πx)

Nous venons de voir que les fonctions sin(nπx) engendrent des solutions importantes pour l'équation des cordes vibrantes. Comme dit dans l'introduction, il en est de même pour l'équation de la chaleur. Dans les deux cas, on peut aussi obtenir de nouvelles solutions en faisant des combinaisons des solutions données par les sinus. Cette façon d'obtenir des solutions était déjà connue à l'époque de Fourier, par exemple déjà utilisée par Daniel Bernoulli. La révolution apportée par Joseph Fourier est que sa décomposition montre que toutes les solutions de l'équation des cordes vibrantes s'écrivent comme combinaisons des solutions données par les modes en sinus. Si on reprend la forme en creux vue plus haut, on peut obtenir l'évolution d'une corde lâchée selon cette forme.

On commence par décomposer la forme en creux comme une combinaison de fonctions sinus. Nous avons déjà vu cela plus haut. Pour rappel, les coefficients sont donnés par une formule explicite et sont donc calculables facilement.

-0,42sin(πx) - 0.5sin(2πx) - 0,26sin(3πx) + 0.06sin(5πx) - 0.03sin(7πx) +...

On peut aussi utiliser la description de notre courbe initiale en fonction de sinus pour regarder comment se comporte une corde mise initialement suivant notre forme ci-contre. Il suffit de remplacer les sinus dans la décomposition par les modes de vibrations. C'est cette idée qui a poussé Fourier à étudier la décomposition qui porte son nom. Il s'agit d'une méthode efficace toujours utilisée aujourd'hui dans les simulations numériques en recherche et en industrie.

-0,42cos(πt)sin(πx) - 0.5cos(2πt)sin(2πx) - 0,26cos(3πt)sin(3πx) + 0.06cos(5πt)sin(5πx) - 0.03cos(7πt)sin(7πx) +...

Peut-être que la simulation de la vibration de la corde ci-dessus vous semble irréelle. Il est en effet difficile de voir une corde vibrer ainsi car le modèle utilisé ne tient pas compte des amortissements et de la dissipation d'énergie. Si on veut obtenir une simulation plus fine, on peut diminuer petit à petit l'amplitude des oscillations. En outre, dans la réalité, la dissipation est plus forte pour les hautes fréquences, c'est-à-dire les modes sin(nπx) avec n grand. On obtient alors une simulation comme ci-contre qui est plus réaliste. Plus on attend, plus les deux premiers modes sin(2πx) et finalement sin(πx) sont visibles. Encore une fois, cette animation est principalement basée sur la décomposition en différents modes introduite par Joseph Fourier.

Une histoire qui continue

Si les fonctions cosinus et sinus sont connues depuis l'Antiquité, ce n'est qu'au XVIII e siècle qu'on commence à comprendre leur importance en dehors des problèmes géométriques. Vers 1810, Joseph Fourier est le premier à énoncer que toute fonction peut se décomposer comme une somme infinie de ces fonctions trigonométriques cosinus et sinus. Il montre aussi que les calculs pour obtenir cette décomposition sont simples et explicites. Il faudra plusieurs années pour que les mathématiciens s'approprient ce résultat en en comprenant toute sa profondeur et en le rendant plus rigoureux. À partir de la décennie 1980, l'avènement du numérique ouvre un vaste champ d'applications pour la décomposition introduite par Joseph Fourier et pour ses descendantes les ondelettes : traitement du signal, fichier MP3, images JPEG, simulations numériques pour l'ingénierie... L'auteur remercie Christian Jutten ainsi que le comité éditorial d'Interstices pour lui avoir proposé le projet d'article et pour leur relecture attentive. Les images et gif animés ont été produits par l'auteur grâce à un programme Python et au logiciel Gimp.

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L'idée révolutionnaire de Joseph Fourier est que les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent de décomposer n'importe quelle fonction. Découvrez-la à l'aide d'exemples imagés. Au début du XIX e siècle, Joseph Fourier étudie la propagation de la chaleur et est le premier à décrire son évolution mathématiquement par l' équation de la chaleur.

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Galilée et l'astronomie : ses observations | Coop'ICEM

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