# data[].attributes.attachment_link.title
Алгебра и начала мат. анализа. 10кл._Никольский С.М. и др_2009 -430с

# data[].attributes.headline
Некоторые лошади мог

# data[].attributes.body
Некоторые лошади могут отрастить усы

# data[].attributes.headline
§9 Угол и его мера

# data[].attributes.body
§9 Угол и его мера

# data[].attributes.body
§4. Функция y = x^n

# data[].attributes.headline
§6. Числовые последо

# data[].attributes.body
§6. Числовые последовательности и их свойства

# data[].attributes.headline
§10 Синус, косинус, 

# data[].attributes.body
§10 Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
GetAClass - Просто математика

# data[].attributes.attachment_link.title
Синус и косинус

# data[].attributes.headline
§7. Арифметическая п

# data[].attributes.body
§7. Арифметическая прогрессия

# data[].attributes.headline
§5. Корень степени n

# data[].attributes.body
§5. Корень степени n

# data[].attributes.attachment_link.title
Что такое прогрессия? - bezbotvy

# data[].attributes.headline
Арифметическая прогрессия на ОГЭ

# data[].attributes.subject
Арифметическая прогрессия на ОГЭ

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых nчленов арифметической прогрессии

вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:
1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей. а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы? б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?
В первый месяц у Василия два ученика. Во второй - три ученика, в третий - четыре, в каждый следующий - на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где - первый член прогрессии, d = 1 - разность прогрессии.

По формуле n-ного члена арифметической прогрессии,

Получим:

а) Работая 12-й месяц, Василий обучает 13 учеников.

Проводя с каждым 4 занятия по 1000 рублей в месяц, Василий заработает за 12-й месяц тысячи рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год? Суммы, которые Василий зарабатывает ежемесячно, также образуют арифметическую прогрессию, в которой тысяч рублей, а тысячи рублей.

По формуле суммы арифметической прогрессии, .

тысяч рублей.
2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?
По условию, суммы денег, которые Василий тратит на поездки к ученикам, образуют арифметическую прогрессию, в которой и .

По формуле суммы арифметической прогрессии,

Получим: рублей.
3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?
После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

Мы имеем дело с арифметической прогрессией, в которой

Пусть результат не ниже 88 баллов достигнут через n месяцев. Получим:

Так как n - целое, Осталось ответить на вопрос задачи.

Результаты теста Маши составляют арифметическую прогрессию, в которой

Значит, через 1 месяц занятий результат Маши увеличится до 50, через два - до 57, а через семь - до 92.

Семь месяцев занятий нужно Маше, чтобы достичь результата.
Задачи ОГЭ на тему "Арифметическая прогрессия" 4. (Задача ОГЭ) В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

В нашей прогрессии

Значит,

Правильный ответ: 1.
5. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; ... Найдите первый положительный член этой прогрессии.
Найдем разность прогрессии:

По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии. Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Получим:

Отсюда

Значит, - первый положительный член прогрессии. Он равен:
Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:
1. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -7,2; -6,9; ...

2. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ...; −9; x; −13; −15; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .
Ответы к задачам:
1. Ответ: -90

2. Ответ: -11.

# data[].attributes.attachment_link.title
Арифметическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

# data[].attributes.attachment_link.description
Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d: Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии: Сумма первых nчленов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних: 1.

# data[].attributes.headline
§8. Геометрическая п

# data[].attributes.body
§8. Геометрическая прогрессия

# data[].attributes.headline
Геометрическая прогрессия на ОГЭ

# data[].attributes.subject
Геометрическая прогрессия на ОГЭ

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Геометрическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек? б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?
По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой...

Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где - количество просмотров первого ролика Маши, q = 3 - знаменатель прогрессии.

а) По формуле n-го члена геометрической прогрессии:

Значит, просмотров.

б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.

По формуле суммы первыхчленов геометрической прогрессии:

Получим:

Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.
Задачи ОГЭ на тему "Геометрическая прогрессия" 1. (Задача ОГЭ) В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
Пусть - первый член, а q - знаменатель прогрессии.

По условию,

Тогда , поэтому

Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.
2. (Задача ОГЭ) Геометрическая прогрессия задана условием Найдите сумму первых её 4 членов.
Ответ: 2550100

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
3. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; ... Найдите сумму первых 5 её членов.
Первый член данной прогрессии равен . Сумма первых k членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

Получим:

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:
Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:
Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна

Ответ: -1364.

1. Дана геометрическая прогрессия , знаменатель которой равен 5, а Найдите сумму первых 6 её членов.

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: -12 ; x; -3 ; 1,5 ; ... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

3. Геометрическая прогрессия задана условием Найдите сумму первых её 4 членов.

Ответы:

# data[].attributes.attachment_link.title
Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

# data[].attributes.attachment_link.description
Геометрическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q: Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии: Формула суммы первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних: 1.

# data[].attributes.headline
Легенда о шахматах

# data[].attributes.subject
Легенда о шахматах

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
В самой популярной из легенд о происхождении шахмат рассказывается, что некогда в Древней Индии мудрец по имени Сесса придумал правила новой игры и преподнёс игру в дар царю Шераму.

Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот скромно попросил у царя немного зерна: одно пшеничное зерно положить на 1-ю клетку доски, два - на 2-ю, четыре - на 3-ю и т.д. - на каждую следующую клетку в два раза больше, чем на предыдущую. "Скромная" просьба оказалась невыполнимой, понадобился бы урожай со всей Земли за тысячи лет...

В Европу как математическая задача легенда попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из создателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас-Сафада (XIV век).

В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе. Даже Леонард Эйлер в книге "Elements of Algebra" приводит задачу о количестве пшеничных зерен (в английском переводе книги Эйлера условие задачи начинается так: One Sessa, an Indian, having first invented the game of chess...). В нашей стране имеется множество публикаций с пересказом этой истории, один из самых известных вариантов ‒ книга Якова Исидоровича Перельмана "Живая математика".

Wallis J. Opera mathematica. V. 1-3. - Oxford, 1693-1699.

Richter-Ushanas E. The Indus script and the Rig-Veda. - Delhi, 2001.

Перельман Я. И. Живая математика. - М., 1967.

Шахматы: энциклопедический словарь. - М., 1990. - C. 490.

Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот скромно попросил у царя немного зерна: одно пшеничное зерно положить на 1-ю клетку доски, два - на 2-ю, четыре - на 3-ю и т.д. - на каждую следующую клетку в два раза больше, чем на предыдущую. "Скромная" просьба оказалась невыполнимой, понадобился бы урожай со всей Земли за тысячи лет...

В Европу как математическая задача легенда попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из создателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас-Сафада (XIV век).

В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе. Даже Леонард Эйлер в книге "Elements of Algebra" приводит задачу о количестве пшеничных зерен (в английском переводе книги Эйлера условие задачи начинается так: One Sessa, an Indian, having first invented the game of chess...). В нашей стране имеется множество публикаций с пересказом этой истории, один из самых известных вариантов ‒ книга Якова Исидоровича Перельмана "Живая математика".

Wallis J. Opera mathematica. V. 1-3. - Oxford, 1693-1699.

Richter-Ushanas E. The Indus script and the Rig-Veda. - Delhi, 2001.

Перельман Я. И. Живая математика. - М., 1967.

Шахматы: энциклопедический словарь. - М., 1990. - C. 490.

Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот скромно попросил у царя немного зерна: одно пшеничное зерно положить на 1-ю клетку доски, два - на 2-ю, четыре - на 3-ю и т.д. - на каждую следующую клетку в два раза больше, чем на предыдущую. "Скромная" просьба оказалась невыполнимой, понадобился бы урожай со всей Земли за тысячи лет...

В Европу как математическая задача легенда попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из создателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас-Сафада (XIV век).

В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе. Даже Леонард Эйлер в книге "Elements of Algebra" приводит задачу о количестве пшеничных зерен (в английском переводе книги Эйлера условие задачи начинается так: One Sessa, an Indian, having first invented the game of chess...). В нашей стране имеется множество публикаций с пересказом этой истории, один из самых известных вариантов ‒ книга Якова Исидоровича Перельмана "Живая математика".

Wallis J. Opera mathematica. V. 1-3. - Oxford, 1693-1699.

Richter-Ushanas E. The Indus script and the Rig-Veda. - Delhi, 2001.

Перельман Я. И. Живая математика. - М., 1967.

Шахматы: энциклопедический словарь. - М., 1990. - C. 490.

В Европу как математическая задача легенда попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из создателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас-Сафада (XIV век).

В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе. Даже Леонард Эйлер в книге "Elements of Algebra" приводит задачу о количестве пшеничных зерен (в английском переводе книги Эйлера условие задачи начинается так: One Sessa, an Indian, having first invented the game of chess...). В нашей стране имеется множество публикаций с пересказом этой истории, один из самых известных вариантов ‒ книга Якова Исидоровича Перельмана "Живая математика".

Wallis J. Opera mathematica. V. 1-3. - Oxford, 1693-1699.

Richter-Ushanas E. The Indus script and the Rig-Veda. - Delhi, 2001.

Перельман Я. И. Живая математика. - М., 1967.

Шахматы: энциклопедический словарь. - М., 1990. - C. 490.

Wallis J. Opera mathematica. V. 1-3. - Oxford, 1693-1699.

Richter-Ushanas E. The Indus script and the Rig-Veda. - Delhi, 2001.

Перельман Я. И. Живая математика. - М., 1967.

Шахматы: энциклопедический словарь. - М., 1990. - C. 490.

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
познавательная

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
увлекательные

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
многогранники

# data[].attributes.attachment_link.keywords[]
рачинский 1001 задача для умственного счета

# data[].attributes.attachment_link.title
Геометрическая прогрессия: легенда о шахматах / Этюды // Математические этюды

# data[].attributes.attachment_link.description
В самой попу­ляр­ной из легенд о про­ис­хож­де­нии шахмат рас­ска­зы­ва­ется, что некогда в Древ­ней Индии муд­рец по имени Сесса при­думал пра­вила новой игры и препод­нёс игру в дар царю Шераму. Царь был оча­ро­ван и пред­ложил созда­телю игры самому выбрать награду.

# data[].attributes.headline
Шпаргалка по прогрессиям

# data[].attributes.subject
Шпаргалка по прогрессиям

# data[].attributes.attachment_link.title
Шпаргалка по прогрессиям

# data[].attributes.headline
§1. Линейные неравен

# data[].attributes.body
§1. Линейные неравенства с одним неизвестным.

# data[].attributes.attachment_link.title
Что такое неравенство? - bezbotvy

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
GetAClass - Просто математика

# data[].attributes.attachment_link.title
Тангенс и котангенс

# data[].attributes.headline
Запись неравенства в виде промежутка

# data[].attributes.subject
Запись неравенства в виде промежутка

# data[].attributes.attachment_link.title
Числовые промежутки - Quiz

# data[].attributes.attachment_link.description
Free gamified quizzes on every subject that students play in class and at home. Pick an existing quiz or create your own for review, formative assessment, and more.

# data[].attributes.headline
Задачи простейшие неравенства 

# data[].attributes.subject
Задачи простейшие неравенства 

# data[].attributes.body
(КПК на Фоксфорде)

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на простейшие неравенства

# data[].attributes.attachment_link.title
Решение линейного неравенства - bezbotvy

# data[].attributes.attachment_link.title
Задания на графический метод решения неравенств

# data[].attributes.body
Презентация к уроку

# data[].attributes.body
Конспект урока

# data[].attributes.headline
§2. Неравенства втор

# data[].attributes.body
§2. Неравенства второй степени с одним неизвестным

# data[].attributes.headline
§3. Рациональные нер

# data[].attributes.body
§3. Рациональные неравенства

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
GetAClass - Просто математика

# data[].attributes.attachment_link.title
Тригонометрическая окружность

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
GetAClass - Просто математика

# data[].attributes.attachment_link.title
Формулы приведения

# data[].attributes.headline
§11. Приближения чис

# data[].attributes.body
§11. Приближения чисел
§12. Описательная статистика
§13. Комбинаторика
§14. Введения в теорию вероятностей

# data[].attributes.headline
Комбинаторика. Правило сложения и умножения

# data[].attributes.subject
Комбинаторика. Правило сложения и умножения

# data[].attributes.attachment_link.title
Метод интервалов решения неравенств- bezbotvy

# data[].attributes.attachment_link.title
Решаем систему линейных неравенств - bezbotvy

# data[].attributes.body
Рациональные неравенства нельзя решать домножением на выражение, нельзя сокращать на выражение, т.к. мы не знаем знак выражения. Если хочется домножить или сократить - решать методом интервалов!!! Полезно давать задание на нахождение ошибок!

# data[].attributes.headline
Неравенства в ОГЭ (из КПК на FoxFord 2020 г)

# data[].attributes.subject
Неравенства в ОГЭ (из КПК на FoxFord 2020 г)

# data[].attributes.body
Задания из ОГЭ (Задание № 13, могут быть в задании № 21)

# data[].attributes.attachment_link.title
Неравенства 9 класс

# data[].attributes.headline
Есть хорошие задачи с НРЭО

# data[].attributes.subject
Есть хорошие задачи с НРЭО

# data[].attributes.body
я см в Абзаково (распечатка с пометками)

# data[].attributes.attachment_link.title
Базовый курс подготовки к ОГЭ по математике

# data[].attributes.attachment_link.description
Цель данного курса - устранить основные пробелы в знаниях учеников 7-9 классов и подготовить их к сдаче основного государственного экзамена (ОГЭ). Для учеников 10-11 классов курс будет полезен в качестве повторения при подготовке к ЕГЭ.

# data[].attributes.attachment_link.title
Сборник задач с учетом региональных особенностей

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на смеси и сплавы. ГИА

# data[].attributes.headline
Критерии оценивания. Перевод % в оценку

# data[].attributes.subject
Критерии оценивания. Перевод % в оценку

# data[].attributes.attachment_link.title
Критерии оценки КУС  и ЯКласс

# data[].attributes.attachment_link.title
Алгебра 8 класс. Повторение - bezbotvy

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анна Малкова

# data[].attributes.attachment_link.title
Задача в Хелоуин. Гномы, гоблины, Мерлин. Прогрессия на ЕГЭ.

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Общественное телевидение России

# data[].attributes.attachment_link.title
«Моя школа online»  Математика, 9 класс. Урок #1: Числовая прямая, неравенства. Теория

# data[].attributes.headline
Задачи на движение

# data[].attributes.subject
Задачи на движение

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Канал для педагогов. Российский учебник

# data[].attributes.attachment_link.title
Подготовка к ОГЭ: Решение текстовых задач. Задачи на движение. Часть 1

# data[].attributes.headline
Задачи на движение ч 2

# data[].attributes.subject
Задачи на движение ч 2

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Канал для педагогов. Российский учебник

# data[].attributes.attachment_link.title
Подготовка к ОГЭ: Решение текстовых задач. Задачи на движение. Часть 2

# data[].attributes.headline
Задачи на производительность

# data[].attributes.subject
Задачи на производительность

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Канал для педагогов. Российский учебник

# data[].attributes.attachment_link.title
Подготовка к ОГЭ: Решение текстовых задач. Задачи на работу и производительность

# data[].attributes.headline
ОГЭ. Работа со слабоуспевающими

# data[].attributes.subject
ОГЭ. Работа со слабоуспевающими

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Канал для педагогов. Российский учебник

# data[].attributes.attachment_link.title
ОГЭ 2020 по математике. Подготовка слабоуспевающих учащихся. Как повысить мотивацию

# data[].attributes.headline
Задача № 11 ЕГЭ

# data[].attributes.subject
Задача № 11 ЕГЭ

# data[].attributes.body
Вебинар

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Канал для педагогов. Российский учебник

# data[].attributes.attachment_link.title
Подготовка к ЕГЭ: решение текстовых задач на сплавы и смеси (задача № 11)

# data[].attributes.headline
Презентация к вебинару

# data[].attributes.subject
Презентация к вебинару

# data[].attributes.attachment_link.title
Задачи на смеси и сплавы Вебнар Росучебник

# data[].attributes.attachment_caption
Урок № 2-4 Повторение. ПР

# data[].attributes.attachment_link.title
Урок № 2 Повторение. ПР