# data[].attributes.headline
Цель: научиться вычи

# data[].attributes.body
Цель: научиться вычислять определенные интегралы, используя непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

1. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем этот отрезок на  n частей точками a< x0< x1< x2 <....< xn=b, выберем на каждом элементарном отрезке  xk – 1 ≤  x ≤ xk произвольную точку ξk и обозначим через Δ xk длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида:

n

Σ f(ξk) Δxk = f(ξ1)Δ x1 + f(ξ2)Δ x2 +...+ f(ξn)Δ xn

k=1

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формула Ньютона-Лейбница:

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

2. Основные свойства определенного интеграла

10. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а = const, то

20. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

30. Если a < c < b, то

40. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, то

50. Если f(x) ≥ g(x) для всех x ∈ [a; b], где a < b, то

3. Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С = 0);

2) в полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел a, а затем нижний предел b, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример 1. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница получаем:        =

=19, 5

Пример 2. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница:=

Пример 3. Найти

Решение.  =

Метод замены переменной (метод подстановки)

При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не надо.

Пример. Вычислить

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки .  Дифференцируя, имеем:

Находим новые пределы интегрирования. Для этого подставим в соотношение  значения x = 1 и x = 2, соответственно получим:

Следовательно,

=

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) и их производные u′(x) и v′(x) непрерывны в промежутке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

Пример. Вычислить

Решение. Положим ,

Тогда ,

Следовательно,  =

Упражнения

Вычислить определенные интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

# data[].attributes.body
Ход урока

І. Анализ контрольной работы.

1. Итоги работы.

2. Характерные ошибки, допущенные при выполнении работы.

3. Решение упр. из КР.

ІІ. Изучение нового материала

Обратите внимание, что наш учебник называется «Алгебра и начала математического анализа». Мы начинаем изучать новый раздел математики «Математический анализ». В нашей учебной программе мы будем изучать только основы – «начала» анализа. Одна из тем этого раздела – «Понятие производной». Математика в школе – это достаточно сложный предмет и самое главное для учащихся – понять, зачем она нужна. Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? Давайте попробуем вместе в этом разобраться.

Историческая справка.

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 г. Научился находить касательные к алгебраическим прямым.

В 1638г Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который тоже занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов. Он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей.

Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему. Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления.

«Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники».

Основоположниками этого метода считаются Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) и Исаак Ньютон (1642 – 1727).

Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

С помощью дифференциального исчисления был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века.

Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления. Среди них – Джеймс Грегори, Якоб Бернулли, Гийом Франсуа Лопиталь, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж, который в 1797 г. ввел термин «производная» и современные обозначения y´, f´.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в логистике и коммерческой деятельности. Умение применять производную к исследованию функции – важный элемент математической культуры.

Продолжить свой урок мне хочется словами Бориса Пастернака

| Во всем мне хочется дойти До самой сути. В работе, в поисках пути, В сердечной смуте. | До сущности протекших дней, До их причины, До оснований, До корней, до сердцевины.

И сейчас мы постараемся дойти до самой сути определения производной и покажем ее применение в различных областях знаний.

Сегодня у нас будет встречаться много новых терминов. «Производная» – это то, что «произведено» какой-то функцией. Простой пример: Яйцо – это производная курицы. Понятие производной довольно трудное, т.к. основано на абстрактном восприятии. Мы рассмотрим ситуацию, известную нам из повседневной жизни.

Мы едем из Амвросиевки до Ростова (240 км). Рассмотрим график этого движения. На оси абсцисс – время t, по оси ординат – пройденный путь s(t). На весь путь ушло 4 часа. Как узнать, с какой скоростью мы ехали. (Пройденный путь разделить на время 240 : 4 = 60 км/ч)

- Мы всё время ехали с такой скоростью? (Нет, в течение пути она менялась, могла быть и больше 60 и меньше).

- Так какую скорость мы получим? (Среднюю).

- Рассмотрим участок времени Δt (пусть с 10 до 11 часов). За это время мы проехали отрезок пути Δs (пусть 40 км). С какой скоростью мы проехали этот отрезок пути? (40 : 1 = 40 км/ч или Δs : Δt).

- Какая скорость получится? (Средняя) Vср. = Δs : Δt

- Если мы уменьшим отрезок времени до 0, что произойдет со скоростью? Представьте себе, на посту ГИБДД скорость отслеживается с помощью радара. В момент пересечения луча радара автомобилем на табло радара высвечивается цифры скорости. Будет ли она равна средней скорости (может да, а может, нет). Как можно назвать такую скорость (мгновенной), т.к. мы рассматриваем скорость в какое-то мгновение.

Если отрезок времени стремится к 0, скорость из средней превращается в мгновенную:

Вот мы подошли к понятию производной пути.

Производная пути – это мгновенная скорость. Vмгнов. = S´(t)

- Где мы можем увидеть значение мгновенной скорости? (Радар, спидометр).
- Можем мы увидеть значение средней скорости? (Нет, её можно вычислить)

Перейдем от конкретной ситуации к любой математической функции f(x) по той же схеме.

f´(x) = lim , где Δx – приращение аргумента, Δf – приращение функции.

Определение производной.

Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: .

- Где в жизни применяется понятие производной? В физике – это скорость, ускорение, работа; в математике – это исследование различных функций при практических расчетах в автомобилестроении, судостроении, электронике и т.д.

Операция вычисления производной называется дифференцированием.

III. Закрепление изученного материала.

№ 776 (2): S(t) = 1 + 3t, от t = 0,8 до t = 1.

h = 1 – 0,8 = 0,2; vср. =  =  = 3.

№ 780 (2, 4), № 781 (2, 4), № 778 (самостоятельно)

ІV. Итог урока.

1. Как называется раздел математики, который мы начали изучать?

2. Как найти скорость, зная расстояние и время?

3. Какую скорость мы получим?

4. Какую скорость мы видим на спидометре?

5. Где ещё можно увидеть значение мгновенной скорости?

6. Чем является мгновенная скорость для пути?

7. Как обозначается производная?

8. Что означает lim?

9. Что означает Δx; Δf?

10. Определение производной.

11. Как называется операция вычисления производной?

12. Где применяется понятие производной?

Чтобы проконтролировать себя, запишите в тетради все опорные слова, старые и новые, которые использовались нами в течение урока. (4 минуты).

Проверка в виде самоконтроля:

- Я диктую термин, а вы ставите +, если он у вас записан.

| Математический анализ | Приращение | Предел | Расстояние | Производная
| Мгновенная скорость | Дифференциал | Радар | Спидометр | Средняя скорость

Количество «+» разделите на 2 и поставьте себе отметку.

VІ. Домашнее задание: §44, № 780 (1, 3), № 781 (1, 3), № 776(1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Цель: формирование навыков решения задач на применение определения производной.

Ход урока

І. Актуализация знаний.

1. Как называется раздел математики, который мы начали изучать?

2. Как найти скорость, зная расстояние и время?

3. Какую скорость мы получим?

4. Какую скорость мы видим на спидометре?

5. Где ещё можно увидеть значение мгновенной скорости?

6. Чем является мгновенная скорость для пути?

7. Как обозначается производная?

8. Определение производной.

9. Где применяется понятие производной?

10. Как называется операция вычисления производной?

11. Задания по карточкам.

| Карточка 1 | Карточка 2 | Карточка 3 | Карточка 4
| Для данной функции найдите предел отношения приращения функции к приращению аргумента при Δx  0
| у = –3х + 1 | у = 5х + 1 | у = –4х – 1 | у = 7х – 2
|  |  |  |
|  |  |  |

II. Решение упражнений.

1. По определению найти производную функции:

а) у = 3х2 – 4х + 5 в точке х0 = 2, в) у = х – 2х3,

б) у = х3 + 3х2, г) у = 4х3 + 5х2 – 7х – 4.

2. № 782 (2), № 783 (2), № 785.

3. Тело, масса которого m = 5 кг, движется прямолинейно по закону s = l – t + t2. Найти кинетическую энергию тела через 10 с после начала движения.

4. Самостоятельно.

| Вариант 1 | Вариант  2
| 1. По определению найти производную функции:
| а) у = 5х, | а) у = 2х,
| б) у = 2х – 1, | б) у = 3х + 2,
| в) у = -3х3 + 2, | в) у = 3 – 2 х3,
| г) у = 2х3– 3х2 + 5х – 3. | г) у = 4х2– 3х3 + 5 – 3х.

ІII. Итог урока.

| В данной функции от x, Нареченной игреком, Вы фиксируете икс, Отмечая индексом. Придаете вы ему Тотчас приращение. Тем у функции самой Вызвав изменение.