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Uma Breve História da Equação de 2º grau 

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Uma Breve História da Equação de 2º grau 

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Problemas que recaem numa equação do 2º grau já apareciam, há mais de quatro mil
anos em textos escritos em placas de argila na Mesopotâmia, e em papiros no Egito.
O objetivo principal deste trabalho é acompanhar o desenvolvimento dessa importante
ferramenta matemática através dos diversos métodos de soluções, desde as receitas em
prosa, que ensinavam como proceder para determinar as raízes, em exemplos concretos
com coeficientes numéricos, até a famosa fórmula geral de resolução. Fórmula essa, que
adquiriu o aspecto que tem hoje, somente quando se generalizou o uso de letras para
representar os coeficientes de uma equação, a partir dos trabalhos de François Viète
(1540-1603) e de René Descartes (1596-1650).

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Desse modo, o propósito é reconstituir pontos importantes do assunto desde os mesopotâmios e egípcios até os dias atuais. Para isso há que se destacar o procedimento de Euclides (300 a.C.) em "Os Elementos" que dedicou algumas proposições sobre construções de aplicações de áreas e sobre o segmento áureo, que se comportam como casos típicos de equações do 2º grau. A seguir tem-se a grande contribuição de hindus e árabes, que introduziram, por meio de receitas e de forma geométrica, o importante método de completar quadrados, fundamental para se chegar à fórmula clássica. Finalmente tem-se as resoluções de Viète e de Descartes que podem ser chamadas, respectivamente, de algébrica e de analítica. Nesses dois casos, especificamente, como se faz atualmente, já se usou letras para representar os coeficientes das equações.

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São conhecidos poucos registros do tratamento da equação do 2° grau pelos egípcios, mas
os historiadores suspeitam que eles dominavam alguma técnica de resolução dessas equações.
Um exemplo encontra-se no Papiro de Berlim e remonta aproximadamente ao ano 1950 a.C.
Também foi encontrada no Papiro de Kahun uma resolução da equação, hoje escrita como
x² +y²= k, k um número positivo, pelo método da falsa posição, desenvolvido pelos egípcios
para resolver equações do 1° grau.

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O primeiro registro conhecido da resolução de problemas envolvendo a equação do 2°
grau data de 1700 a.C. aproximadamente, feito numa tábua de argila através de palavras.
A solução era apresentada como uma "receita matemática" e fornecia somente uma raiz
positiva. Os mesopotâmios enunciavam a equação e sua resolução em palavras, mais ou
menos do seguinte modo:
Exemplo: Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?
(O que hoje se escreve: x² − x = 870). E a "receita" era:
Tome a metade de 1 (coeficiente de x) e multiplique por ela mesma, (0, 5 × 0, 5 = 0, 25).
Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado (870, 25 = (29, 5)²)
cujo lado somado à metade de 1 vai dar (30), o lado do quadrado procurado.

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Acredita-se que a dificuldade no tratamento com os
números, racionais e irracionais, e a falta de praticidade do sistema de numeração grego, que era literal,
além do gosto natural pela geometria, levou essa civilização (500 a 200 a.C.) a desenvolver um tratamento
geométrico de muitos problemas matemáticos, dentre
os quais, a solução de equações do 2° grau.
Em "Os Elementos" de Euclides particularmente
encontra-se algumas proposições desse tipo de equação.

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A matemática hindu produziu até o renascimento grandes personagens, dentre os quais
destacam-se Aryabhata (séc. VI d.C.), Brahamagupta (séc. VII d.C.), Sridhara (séc. XI
d.C.) e Bhaskara (1114-1185), que muito contribuíram para a resolução da equação do 2º
grau ao resolver problemas. Segundo o próprio Bhaskara a regra que usava e que originou
a fórmula atual era devido a Sridhara e que curiosamente é chamada, somente no Brasil, de
Fórmula de Bhaskara.

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Se, por um lado, como diz a tradição, os árabes foram responsáveis pelo desaparecimento
do saber ocidental, por outro contribuíram para sua preservação. Segundo consta, o extermínio se deu quando, em 641 d.C., o califa Omar mandou que fosse destruída a Biblioteca
de Alexandria. E a preservação foi obra de três califas, considerados os grandes patronos da
cultura abássida: al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum, que durante seus reinados foram
responsáveis pela tradução, do grego para o árabe, dos mais importantes escritos científicos
conhecidos, entre eles, O Almagesto de Ptolomeu e Os Elementos de Euclides.
Al-Mamum fundou em Bagdá, no século IX, um centro científico similar à Biblioteca de
Alexandria, denominado Casa da sabedoria (Bait al-hikma), para onde convergiram muitos matemáticos, dentre os quais Mohamed ibn-Musa al-Khowarizmi, que, além de outras obras,
escreveu, em 825, Hisab al-jabr wa'lmuqabalah (ciência da restauração e da redução ou ciência das equações), obra de grande potencial didático. Nessa obra, al-Khowarizmi apresenta
a equação do 2° grau, bem como sua resolução, de forma retórica, além de uma comprovação
geométrica denominada método de completar quadrados, método geométrico distinto do utilizado pelos gregos. Em muitos casos apresentava, tal como seus predecessores somente uma
raiz (positiva).

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Em 1303, o grande matemático chinês, Chu Shih-chieh, apresentou na obra Ssu-yüan
yá-chien (Precioso espelho dos quatro elementos) uma técnica especial para a resolução da
equação do 2° grau, baseada em aproximações sucessivas, de grande precisão, denominada
método fan-fan, que foi apresentado de forma retórica e encontrava uma única raiz (positiva).
Em 1819, o matemático inglês William George Horner reivindicou a descoberta do método
fan-fan, rebatizando-o de método de Horner.
O método fan-fan usado para encontrar, por exemplo, a solução da equação hoje escrita
como x² + 252x − 5292 = 0, consistia no seguinte: partia-se de uma solução aproximada, no
caso, x = 19 (a raiz positiva dessa equação está entre 19 e 20), e usava-se a transformação
y = x − 19, para obter a equação y² + 290y = 143 em y, cuja solução está entre 0 e 1.
Identificando y²
com y, obtinha-se uma solução aproximada para essa equação: y =143/291, e assim o valor inicial de x era corrigido para: x = 19 + 143/291
= 19, 49. A idéia era repetir o
processo a partir desse novo resultado até chegar a um número que não mais se modificasse.
No caso, fazendo z = x − 19, 49, obtinha-se a equação em z, z
2 + 290, 98z = 0, 66 e, daí:
z = 0, 66/291, 98 = 0, 0022, o que já confirmava as 2 casas decimais do valor encontrado no passo
anterior (com efeito, os primeiros dígitos dessa raiz são 19, 49226).

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Embora ainda não se usasse o formalismo atual, o processo para resolver problemas envolvendo as atuais equações do 2° grau resumia-se na receita usada por Bhaskara. Do século XV ao XVII, muitos foram os matemáticos que desenvolveram formas distintas de representar a resolução da equação do 2° grau.
Como por exemplo François Viète (1540-1603) propôs uma mudança de variáveis, que transformava a equação inicial em uma equação incompleta. René Descartes (1596-1650), além de possuir uma notação que diferia da atual somente pelo símbolo de igualdade, desenvolveu um método geométrico para obtenção da raiz positiva.