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Consulten las generalidades de los números binarios, historia, características, conversión binario - decimal y viceversa, suma - resta.
operaciones lógicas  (and, not, nor, buffer)

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¿Qué es el sistema binario?
El sistema binario es un conjunto de componentes o elementos que interactúan y se relacionan entre sí y que sirve para representar textos, datos o para procesar diferentes instrucciones en una computadora o un dispositivo informático.
¿Para qué sirve el sistema binario?
En la actualidad, es sistema binario es uno de los más importantes pues su popularidad radica en el uso que se le da en los ordenadores o computadoras. Como estos equipos, a nivel interno, funcionan con dos grados diferentes de voltaje, se utiliza el sistema binario para indicar el apagado, la baja de energía, “cero voltios” o la etapa de inhibido. El sistema de numeración binario tiene diferentes usos en la actualidad que van desde la programación de microprocesadores, la transferencia de datos, el cifrado de información, hasta comunicación digital, electrónica y otras áreas relacionadas con la informática. Es también importante en el campo de la electrónica y la tecnología actual, ya que están presentes en la mayoría de los artefactos que utilizamos diariamente.
¿Cómo funciona el sistema binario?
El sistema binario se basa en la representación de cantidades utilizando los números 1 y 0. Por tanto su base es 2 que es el número de dígitos que tiene un sistema. Cada dígito en este sistema se llama bit. Estos números empiezan por el 0 y después el 1 y ahora tendríamos que pasar al siguiente número, que ya sería de dos cifras porque no hay más números binarios de una sola cifra. El siguiente número binario, por lo tanto, sería combinar el 1 con el 0, es decir el 10, el siguiente sería el número el 11. Hechas todas las combinaciones posibles de números binarios de 2 cifras, ya no tenemos más combinaciones por lo que construimos los de 3 cifras, y así sucesivamente.

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El matemático de origen indio Pingala fue quien presentó por primera vez una descripción de un sistema de numeración binario en el siglo III a.C. en el cual representaba los números de 1 a 8 con una secuencia, que constaba de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a números binarios con una precisión de 3 y 6 bits. El sistema binario fue modernizado por Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, por medio de su trabajo escrito conocido como Explication de l’Arithmétique Binaire. Este modernizado sistema de Leibniz utilizó el 0 y 1, como se mantiene en nuestros días. En 1854, George Boole, matemático británico, detalló un sistema lógico que se llamaría luego álgebra booleana el cual fue esencial para el desarrollo del sistema binario, principalmente en su aplicación a los circuitos electrónicos.
El sistema binario o sistema base 2, es un sistema numérico que solo usa dos dígitos: el 0 y 1. Las computadoras funcionan por medio de un sistema binario, lo que significa que pueden almacenar datos y realizan cálculos utilizando solo ceros y unos. El término también es utilizado para referirse a cualquier sistema de codificación y descodificación digital en el que hay dos estados posibles exactos. En la memoria de datos digitales, almacenamiento, procesamiento y comunicaciones, los valores 0, al que se denomina como bajo; y 1 que también puede ser llamado o conocido como "alto". Un bit, que es el nombre que se le da a la abreviatura de un dígito binario es la unidad más pequeña de datos que puede ser encontrada en una computadora; cada bit tiene un valor único de 1 o 0. Los programas ejecutables a menudo se identifican como archivos binarios y reciben una extensión de nombre de archivo de ".bin". Los programadores a menudo llaman archivos ejecutables binarios.

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Las principales características del sistema binario son las siguientes:

Utiliza únicamente dos dígitos, el cero y el uno.

Cada dígito tiene un valor diferente que depende de la posición que éste ocupe.

El valor de cada posición es el mismo de una potencia de base 2.

Es utilizado en todo tipo de ordenadores porque trabajan con desniveles de voltaje internos.

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Conversión de números binarios a decimales y viceversa

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Conversión de números binarios a decimales y viceversa

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Para convertir un numero binario  a uno decimal debemos multiplicar por dos el primer término binario  y el resultado sumarle 1 y a ese resultado multiplicarlo por dos y sumarle el siguiente binario y así sucesivamente hasta que nos quede un dígito el cual solo debe ser sumado y no multiplicado.

Ilustrando en un ejemplo:

1. si tenemos 10101 entonces:

1*2=2+0=2 ,2*2=4+1=5, 5*2=10+0=10, 10*2=20+1=21

La forma correcta de ubicar los números es la siguiente:

12    0²    1²       0²     1     =21

2     4     10      20   21

2     5     10      21

así tenemos que el  resultado final o número decimal es 21.

Para convertir decimales a binarios es necesario el conocimiento de una tabla de dos en dos que nos permite la ubicación de los binarios en ella.

1024    512     256     128     64    32    16     8     4     2      1

Se ubica en la tabla un número que sea igual o menor al que tenemos y se le coloca un uno, después de esto se resta con el número que ubicamos en la tabla y el número que nos de también se ubica en la tabla y así sucesivamente hasta llegar a 0.

Ilustrando en un ejemplo:

Tenemos el número 77.

77-64=13-8=5-4=1-1=0

En la tabla:

1024    512     256     128     64    32    16     8     4     2     1

1        0      0     1      1     0     1

Diciendo entonces que 77 es igual a 1001101.

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Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+ | 0 | 1
0 | 0 | 1
1 | 1 | 0 + 1

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 2₁₀ + 5₁₀ = 7₁₀

001101 + 100101 = 110010 13₁₀ + 37₁₀ = 50₁₀

1011011 + 1011010 = 10110101 91₁₀ + 90₁₀ = 181₁₀

110111011 + 100111011 = 1011110110 443₁₀ + 315₁₀ = 758₁₀

Sustracción en binario

La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

- | 0 | 1
0 | 0 | 1
1 | 1 + 1 | 0

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 2₁₀ – 1₁₀ = 1.  Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:

111 – 101 = 010 7₁₀ – 5₁₀ = 210

10001 – 01010 = 00111 17₁₀ – 10₁₀ = 7₁₀

11011001 – 10101011 = 00101110 217₁₀ – 171₁₀ = 46₁₀

111101001 – 101101101 = 001111100 489₁₀ – 365₁₀ = 124₁₀

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Operación lógica:
Las operaciones lógicas son expresiones matemáticas cuyo resultado es un valor booleano (verdadero o falso, en PHP, true o false). Estas expresiones se utilizan principalmente en las estructuras de control.
AND:
AND es una de las tres operaciones binarias básicas que se utilizan en la lógica digital. En las secciones resaltadas en amarillo de la figura 4, se identifican los bits AND que produjeron un 1 binario en la fila de Resultados AND. Todas las demás comparaciones de bits producen 0 binarios.
NOT:

La operación NOT también se conoce como inversión o complementación. Este circuito siempre tiene una sola entrada y su nivel lógico de salida siempre es contrario al nivel lógico de esta entrada.
NOR:
La puerta NOR o compuerta NOR es una puerta lógica digital que implementa la disyunción lógica negada, se comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada a la derecha. Cuando todas sus entradas están en 0 (cero) o en BAJA, su salida está en 1 o en ALTA, mientras que cuando una sola de sus entradas o ambas están en 1 o en ALTA, su SALIDA va a estar en 0 o en BAJA. NOR es el resultado de la negación del operador OR.
BUFFER:
La puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (buffer en inglés). Son circuitos de conmutación integrados en un chip.