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Números Naturales (ℕ)

Definición: "Los números naturales son los números que usamos para contar objetos. Comienzan en 1 y continúan infinitamente: 1, 2, 3, 4, 5, .

Usos: Los números naturales son fundamentales en nuestra vida diaria: contar objetos, ordenar elementos (primero, segundo, tercero), realizar operaciones básicas como la suma y la multiplicación dentro de este conjunto (la resta y la división no siempre dan como resultado otro número natural).

Limitaciones: El conjunto de los números naturales no es cerrado bajo la resta (ej. $\(3 - 5 = -2\)$, que no es un número natural) ni bajo la división (ej. $\(3 \div 2 = 1.5\)$, que tampoco es un número natural). Esto nos lleva a la necesidad de ampliar nuestro sistema numérico.

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Definición : Los números enteros comprenden todos los números naturales, el cero y todos los números negativos que son los inversos aditivos de los números naturales: $\(..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\)$. La inclusión del cero representa la ausencia de cantidad, y los números negativos permiten representar deudas, temperaturas bajo cero, profundidades, etc.

Origen: Los números negativos tardaron en ser aceptados, pero su utilidad para resolver ecuaciones como $\(x + 5 = 2\)$ hizo necesaria su inclusión en el sistema numérico.

Cierre bajo la Resta: Una ventaja importante de los números enteros sobre los naturales es que son cerrados bajo la resta; es decir, la resta de dos enteros siempre da como resultado otro entero.

Limitaciones: Los números enteros aún no son cerrados bajo la división (ej. $\(3 \div 2 = 1.5\)$ no es un entero). Esto nos lleva a la necesidad de los números racionales.

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Propiedad Conmutativa: El Orden no Importa

Esta propiedad simplifica muchas operaciones. Imagina tener que sumar una larga lista de números; puedes reorganizarlos para agrupar los positivos y los negativos, facilitando el cálculo. En la multiplicación, es útil al calcular áreas o volúmenes, ya que las dimensiones se pueden multiplicar en cualquier orden.

Ejemplos Cotidianos: Al comprar 3 manzanas y luego 2 naranjas, tienes el mismo total que si compraras 2 naranjas y luego 3 manzanas. Si tienes un jardín de 4 filas con 5 flores cada una, el total es el mismo que si tuvieras 5 filas con 4 flores cada una.

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Propiedad Conmutativa. Operaciones con números reales: suma, resta, multiplicación y división.

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Propiedad del Elemento Neutro: El Número que no Cambia

El cero es el "comodín" de la suma; no añade ni quita cantidad. El uno es el "comodín" de la multiplicación; no altera el valor del número. Estos elementos neutros son fundamentales en la estructura algebraica de los números.

Ejemplos Cotidianos: Añadir cero a la cantidad de canicas que tienes no cambia la cantidad. Multiplicar la cantidad de galletas en un paquete por uno significa que todavía tienes la misma cantidad de paquetes.

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Elemento Neutro de la Suma - La propiedad mas fácil

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Propiedad Asociativa:

La Agrupación es Flexible

La propiedad asociativa es crucial cuando tienes más de dos números para sumar o multiplicar. Te permite elegir qué par operar primero, lo que a veces puede simplificar los cálculos mentalmente.

Ejemplos Cotidianos: Si estás contando el dinero que ahorraste en tres días (digamos $10, $5 y $3), puedes sumar los primeros dos ($10 + $5 = 15) y luego el tercero ($15 + $3 = 18), o puedes sumar los dos últimos ($5 + $3 = 8) y luego el primero ($10 + $8 = 18). El resultado es el mismo.

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Propiedad Asociativa en números | Ejercicios

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La Conexión entre Suma y Producto

Más Detalles: Esta propiedad es muy poderosa y se utiliza constantemente en álgebra para simplificar expresiones. Permite "distribuir" la multiplicación sobre los términos de una suma.

Ejemplos Cotidianos: Imagina que quieres comprar 3 paquetes de galletas, y cada paquete contiene 2 galletas de chocolate y 4 galletas de vainilla. Puedes calcular el total de galletas de dos maneras:

Sumar las galletas por paquete (2 + 4 = 6) y luego multiplicar por la cantidad de paquetes (3 x 6 = 18).

Multiplicar la cantidad de cada tipo de galleta por la cantidad de paquetes (3 x 2 = 6 galletas de chocolate y 3 x 4 = 12 galletas de vainilla) y luego sumar los resultados (6 + 12 = 18). Ambas formas dan el mismo total gracias a la propiedad distributiva.

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Propriedades das Operações | Comutativa, Associativa, Distributiva, Elemento Neutro