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La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se modifique el valor de su variable independiente.
Existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen a lo que se le conoce como cálculo diferencial:
1-  El problema de la tangente a una curva que se le atribuye a Apolonio de Perga.

2-  El Teorema de los extremos: máximos y mínimos que se le atribuye a Pierre de Fermat.
Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri a mediados del siglo XVII darían con el descubrimiento del cálculo infinitesimal.
La historia de la matemática reconoce a Isaac Newton y Gottfried Leibniz como los creadores del cálculo diferencial e integral.
Newton desarrolló su propio método para el cálculo de tangentes y en 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat.
Leibniz formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. En  su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la  pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Leibniz es el inventor de diversos símbolos matemáticos entre ellos los símbolos de derivada y el símbolo Integral.

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La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está produciendo una variación.

Desde una perspectiva geométrica, la derivada de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubica x.

Cabe recordar que, en general, la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.

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Algunas de las  propiedades de las derivadas son:

DERIVADA DE LA SUMA O RESTA DE FUNCIONES:

Es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de las funciones por separado.

Suma:
f(x)= u+ v -> f(x)=u´+ v´
Resta:
f(x)= u+v -> f´(x)=u´+ v´

LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la primera sin derivar por la segunda derivada.

f(x)= uv  -> f´(x) = u´v+uv’

LA DERIVADA DE LA DIVISIÓN DE DOS FUNCIONES:

Es igual al cociente de la derivada de la función numerador por la función del denominador sin derivar, menos la función del numerador sin derivar por la del denominador derivada; todo esto entre la función del denominador al cuadrado.

f(x)=u/v -> f´(x)=(u´v – uv´) / v 2

LA DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE K POR UNA FUNCIÓN:

Es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

f(x)=uv -> f´(x) = u´v + uv´

LA DERIVADA DE LA DIVISIÓN DE UNA CONSTANTE K ENTRE UNA FUNCIÓN:

Es igual al cociente de menos la constante k por la derivada de la función del denominador entre la función del denominador al cuadrado.

f(x)=k/v -> f´(x) = (-kv´)/v 2

DERIVADA DE UNA POTENCIA:

Es igual al exponente multiplicado por la base elevada a la potencia menos uno. Siendo:
f(x) = xn ⇒ f’(x)=n∙xn−1

DERIVACIÓN DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN:

Sea f una función real de variable real que tiene función inversa f⁻¹(x), la derivada de la función inversa de f(x) es:

(f⁻¹)'(x)=1/f'(f⁻¹(x))

REGLA DE LA CADENA:

sean f(x), u y v tres funciones reales de variable real, de modo que f(x)=(u∘v)(x)=u(v(x)). La fórmula que nos dará f'(x) es

(u∘v)'(x)=u'(v(x))·v'(x)

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Alguna de las aplicaciones de la derivada de una función son:

En la física:

Para la cinemática, la velocidad instantánea es igual a la derivada del espacio respecto al tiempo (V= dx/dt).  Además, la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es igual a la aceleración instantánea
(ainst = dv/dt).

Para la física de los materiales las derivada de la masa con respecto a la longitud, superficie o volumen de un material es igual a la densidad de dicho material.

En la electrostática la derivada de la carga eléctrica con respecto al tiempo es la intensidad de corriente (I = dq/dt).

En la química:

Las reacciones químicas tienden a tomar un periodo de tiempo hasta alcanzar el equilibrio químico, la derivada de la concentración de un reactivo o producto en función del tiempo es la velocidad de reacción.

En la biología:

A través de las derivadas es posible modelar la función que define el tamaño de la población de bacterias, con respecto al tiempo, para modelar matemáticamente su evolución.

La derivada también es utilizada para calcular la rapidez con la que se desintegra un material radioactivo ya que su masa varía con respecto al tiempo (dm/dt) y dicha rapidez es proporcional a la cantidad presente en cualquier instante.

En la medicina:

Para enfermedades causadas por virus o bacterias, con las derivadas, es posible estudiar el ritmo de crecimiento y de decrecimiento según el uso de medicamentos.

También son usadas para estudiar la evolución de una pandemia, presentando el número de enfermos con respecto al tiempo transcurrido.

En la geometría:

La derivada de la superficie o área de una figura geométrica es igual a la longitud.

La derivada del volumen es igual a la superficie.

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WissenSync - Física - Velocidad instantánea

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Sí tenemos la función que define el cambio posición de un móvil con respecto al tiempo, somos capaces de calcular su velocidad instantánea en cualquier momento del recorrido realizado por el móvil.

En este caso tenemos la siguiente función: X(t) = -100t2 + 200t y queremos conocer la velocidad instantánea en los puntos t = 0.5h y t = 1.0h; siendo la unidad de la posición kilómetros (km).

Al calcular la derivada de la función tenemos:

X’(t) = Vinst y sabemos que Vinst = dx/dt

Vinst = d/dt(-100t²) + d/dt(200t)

Vinst = (2)(-100)(t) + (200)

Vinst = -200t + 200

Tenemos:

V1inst = -200t + 200 en t = 0.5

V1inst = -200(0.5) + 200

V1inst = -100 + 200

V1inst = 100 km/h

V2inst = -200t + 200 en t = 1.0

V2inst = -200(1.0) + 200

V2inst = -200 + 200

V2inst = 0.00 km/h

Otros ejemplos más específicos son:

La derivada de una suma

f(x)= 2x ³ + x
f '(x)= 6x ² + 1

La derivada de una potencia

f(x) = x3
f’(x) = 3⋅x3−1 = 3x²

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ejemplo de derivada de una función eliecer

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Zill, D. G., & Wright, W. S. (2011). Cálculo de una variables: Trascendentes tempranas (4a. ed. --.). México D.F.: McGraw-Hill.

GARCÍA HERNÁNDEZ, J. A. (Martes 21 de Noviembre de 2017). Entender las mates. Obtenido de Aplicaciones de la derivada en la vida real: http://entenderlasmates.blogspot.com/2017/11/aplicaciones-de-la-derivada-en-la-vida.html?m=1

Pezlo, R. (Noviembre de 2020). Ensayo, La Derivada Y Sus Precursores. Obtenido de IDOCPUB: https://idoc.pub/documents/ensayo-la-derivada-y-sus-precursores-en5kgm7x15no#:~:text=Newton%20y%20Leibniz%20A%20finales%20del%20siglo%20XVII,ambos%20conceptos%20eran%20inversos%20%28teorema%20fundamental%20del%20c%C3%A1lculo%29.