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A apresentação de trabalhos dos alunos enquanto estratégia de valorização e exposição a uma comunidade sempre foi uma prática corrente nas escolas.

Apesar disso, esta exposição é, quase sempre, muito limitada no espaço e no tempo. Normalmente, as exposições estão patentes num espaço interno da escola, durante um período curto de tempo e destinada a um conjunto limitado de pessoas.

Por outro lado, a presença dos Pais e Encarregados de Educação nas escolas, enquanto parceiros no percurso de aprendizagem dos educandos é sempre uma tarefa árdua. Por diversos motivos, os Pais começam por tentar acompanhar esse percurso nos primeiros anos escolares, mas esse suporte perde-se bastante ao longo dos ciclos.

E, no que se refere à sua presença nas exposições/apresentações de trabalhos, essa presença é mesmo muito reduzida.

É importante, por isso, encontrar algumas alternativas que permitam um acompanhamento mais próximo, ainda que não seja possível a presença física dos Pais e Encarregados de Educação.

Para isso, as escolas a avançar na utilização de plataformas de apoio à aprendizagem, que permitem melhorar essa interação. Vão surgindo também várias aplicações que têm a função de simplificar este processo de exposição e apresentação de produtos digitais ou digitalizados.

Uma dessas ferramentas, que conheci durante este ano, é o ArtSteps.

O é um aplicativo baseado na web, que funciona totalmente no browser, que permite criar galerias de arte visuais em espaços 3D realistas. Foi criado como um espaço para artistas e entusiastas de arte, com a possibilidade de criar os seus próprios espaços virtuais para apresentar e divulgar os seus projetos.

Fonte: https://www.sfreporter.com/

O ArtSteps permite a modelagem de exposições virtuais que podem incluir trabalhos bidimensionais (pinturas, desenhos, fotos, cartazes, etc...), objetos tridimensionais (esculturas, objetos, instalações, etc...) e também stream de vídeos.

A aplicação funciona, como referi, totalmente no browser, local onde podemos criar visitas simples, onde o utilizador escolhe livremente com vai ser a sua visita no espaço, ou visitas guiadas, onde o autor define um percurso sequencial lógico.

As visitas criadas no podem ser visualizadas num computador ou diretamente num smartphone/iPhone/tablet/iPad através da sua aplicação (Android e iOS) ou em interação com óculos de Realidade Virtual, permitindo uma visita mais imersiva.

Imagem de dlohner por Pixabay

No processo de criação, dependendo do tipo de visita que queremos criar, existem alguns passos simples que devem ser seguidos:

1. Definir o espaço (Em Branco ou Modelo)

2. Desenhar o espaço (se for em Branco)

3. Adicionar os trabalhos

4. Planificar a Visita Guiada (Opcional)

5. Publicar (e Partilhar) a Visita

As exposições, depois de criadas no site , podem ser incorporadas nas páginas web, sites, blogues ou plataformas de apoio à aprendizagem. É possível utilizar as ferramentas de avaliação, e as visitas podem ser partilhadas em posts das Redes Sociais (Facebook, Linkedin, Pinterest e Twitter).

Um exemplo - Exposição de trabalhos sobre Tartarugas Marinhas:

A lógica de funcionamento.

Esta aplicação foi selecionada pelos formandos da Academia Digital Educatech no mês de setembro de 2020. Neste mês trabalhámos todas as ferramentas para criar uma visita virtual. Numa das primeiras sessões falei um pouco sobre a lógica de funcionamento do ArtSteps, mostrei exemplos para cada tipo de visita e apresentei algumas possibilidades de produtos. Disponibilizo esse vídeo aqui no blogue:

Se tiveres alguma curiosidade sobre o que fazemos na Academia Digital Educatech, podes aceder a este website: https://academiadigitaleducatech.vipmembervault.com/
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Boas Exposições.
Uma abraço virtual! Créditos da imagem de destaque

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Uma forma diferente de Apresentar Trabalhos - Exposição Virtual - ArtSteps

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A apresentação de trabalhos dos alunos enquanto estratégia de valorização e exposição a uma comunidade sempre foi uma prática corrente nas escolas. Apesar disso, esta exposição é, quase sempre, muito limitada no espaço e no tempo. Normalmente, as exposições estão patentes num espaço interno da escola, durante um período curto de tempo e destinada a um conjunto limitado de pessoas.

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Lei n.º 64/2014

de 26 de agosto

Aprova o regime de concessão de crédito bonificado à habitação a pessoa com deficiência e revoga os Decretos-Leis n.os 541/80, de 10 de novembro, e 98/86, de 17 de maio

A Assembleia da República decreta, nos termos da alínea c) do artigo 161.º da Constituição, o seguinte:

Artigo 1.º

Objeto

A presente lei aprova o regime de concessão de crédito bonificado à habitação a pessoa com deficiência.

Artigo 2.º

Âmbito

1 - A concessão de crédito bonificado a pessoa com deficiência destina-se a:

a) Aquisição, ampliação, construção e ou realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação de habitação própria permanente;

b) Aquisição de terreno e construção de imóvel destinado a habitação própria permanente;

c) Realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação em partes comuns dos edifícios destinadas ao cumprimento das normas técnicas, exigidas por lei, para melhoria da acessibilidade aos edifícios habitacionais, por parte de proprietários de frações autónomas, que constituam a sua habitação própria permanente, e cuja responsabilidade seja dos condóminos.

2 - Nos casos previstos na alínea a) do número anterior, o crédito bonificado pode abranger, respetivamente, a aquisição de garagem individual ou ainda de um lugar de parqueamento em garagem coletiva.

3 - No caso previsto na alínea b) do n.º 1, o crédito bonificado pode abranger a construção de garagem individual.

4 - No caso previsto na alínea c) do n.º 1, a concessão do crédito bonificado não pode ir além do valor da permilagem da respetiva fração autónoma que constitui a sua habitação própria permanente.

5 - Ao valor da permilagem previsto no número anterior pode acrescer a permilagem que corresponde às áreas comuns do imóvel quando estas são objeto de intervenção para melhoria da acessibilidade da pessoa com deficiência.

Artigo 3.º

Definições

Para efeitos da presente lei, considera-se:

a) "Pessoa com deficiência" a pessoa abrangida pelo conceito constante das bases gerais do regime jurídico da prevenção, habilitação, reabilitação e participação da pessoa com deficiência, aprovado pela Lei n.º 38/2004, de 18 de agosto, e com grau de incapacidade igual ou superior a 60 %, comprovada por atestado médico de incapacidade multiúso, nos termos previstos na alínea a) do n.º 1 do artigo 8.º da presente lei;

b) "Interessado" a pessoa que pretenda a concessão de crédito bonificado para os fins a que se refere o artigo 2.º;

c) "Agregado familiar":

i) O conjunto de pessoas constituído pelos cônjuges, ou por duas pessoas que vivam em condições análogas às dos cônjuges, seus ascendentes ou tutores e seus descendentes em primeiro grau, ou afins, desde que com eles vivam em regime de comunhão de mesa e habitação; ou

ii) O conjunto constituído por pessoa solteira, viúva, divorciada ou separada judicialmente de pessoas e bens, seus ascendentes ou tutores e seus descendentes em primeiro grau ou afins, desde que com ela vivam em comunhão de mesa e habitação;

d) "Fogo" o imóvel que, obedecendo aos requisitos legais exigidos, se destina a habitação segundo o condicionalismo expresso na presente lei;

e) "Habitação própria permanente" a habitação em que o mutuário ou este e o seu agregado familiar mantêm, estabilizado, o seu centro de vida familiar;

f) "Rácio financeiro de garantia" (Loan-to-Value) é um quociente financeiro que relaciona o montante de um empréstimo com o valor da garantia prestada;

g) "Partes comuns dos edifícios habitacionais" as enunciadas no artigo 1421.º do Código Civil;

h) "Obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação" as como tal definidas no Novo Regime do Arrendamento Urbano, aprovado pela Lei n.º 6/2006, de 27 de fevereiro;

i) "Produto da venda até à concorrência do respetivo preço" corresponde ao diferencial entre o capital em débito no momento do distrate da hipoteca e o valor da venda, sem considerar neste valor quaisquer custos adicionais associados à operação e o valor da habitação a adquirir;

j) "Índice de preços no consumidor" corresponde à taxa de variação homóloga do mês de janeiro de cada ano.

Artigo 4.º

Sistema de poupança-habitação

O sistema de poupança-habitação, regulado pelo Decreto-Lei n.º 27/2001, de 3 de fevereiro, com as alterações introduzidas pela Lei n.º 107-B/2003, de 31 de dezembro, pela Lei n.º 55-B/2004, de 30 de dezembro, e pelo Decreto-Lei n.º 263-A/2007, de 23 de julho, é articulável com o regime instituído pela presente lei, no que respeita à aquisição, ampliação, construção e realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação de habitação própria, bem como à aquisição de terreno para construção de imóvel destinado a habitação própria permanente.

Artigo 5.º

Acesso e permanência

1 - O acesso e a permanência no regime de crédito bonificado, nos termos do artigo 1.º, dependem do preenchimento cumulativo das seguintes condições:

a) Os interessados serem maiores de 18 anos e cumprirem o requisito previsto na alínea a) do artigo 3.º;

b) O empréstimo não ser afeto à aquisição de fogo da propriedade de ascendentes ou descendentes do interessado;

c) Nenhum membro do agregado familiar possuir outro empréstimo destinado aos fins previstos no artigo 2.º em qualquer regime de crédito bonificado;

d) Ser exigida a constituição de hipoteca do imóvel financiado.

2 - A contratação de seguro de vida para acesso às condições previstas no crédito às pessoas com deficiência não é obrigatória.

3 - Do registo predial de imóveis que sejam adquiridos, ampliados, construídos, conservados ou beneficiados com recurso a crédito à habitação bonificado, deve constar o ónus da inalienabilidade, durante um período mínimo de cinco anos.

Artigo 6.º

Transferência de regimes de crédito e de instituições de crédito mutuante

1 - Quando após a data de assinatura de um contrato de crédito à habitação concedido para os fins previstos no artigo 2.º, o mutuário tenha adquirido um grau de incapacidade nos termos previstos na alínea a) do artigo 3.º, é-lhe necessariamente realizada a migração do crédito à habitação para o presente regime.

2 - A migração do crédito a que se refere o número anterior faz-se mediante requerimento apresentado pelo mutuário à instituição de crédito mutuante, desde que atestado o grau de deficiência do mutuário igual ou superior a 60 % e cumpridos os requisitos referidos no artigo anterior.

3 - Caso o mutuário esteja a beneficiar de um empréstimo em regime de crédito bonificado à habitação, o prazo do empréstimo concedido ao abrigo da presente lei terá em conta o número de anos decorridos do empréstimo anterior, não podendo, contudo, o novo prazo exceder o limite previsto na presente lei.

4 - Na vigência de empréstimos à aquisição, ampliação, construção, conservação ordinária, extraordinária ou beneficiação de habitação própria permanente regulados na presente lei, os mutuários podem optar por:

a) Outro regime de crédito dentro da mesma instituição de crédito mutuante;

b) Outra instituição de crédito mutuante, ao abrigo do mesmo ou de outro regime de crédito.

5 - Sem prejuízo do disposto no n.º 7, os montantes dos empréstimos não podem ser superiores ao capital em dívida na data da alteração, nos casos de transferências dentro do regime bonificado.

6 - A apreciação e decisão dos pedidos de empréstimo pelas instituições de crédito processa-se em conformidade com as condições dos empréstimos e requisitos previstos para o acesso aos respetivos regimes, com as necessárias adaptações.

7 - A mudança do regime geral para o presente regime de crédito bonificado só é admitida até ao limite previsto na alínea a) do n.º 1 do artigo 7.º da presente lei.

8 - Para além do disposto nos números anteriores, no caso de mudança de regime geral de crédito para o presente regime, o capital em dívida não pode ser superior a um valor do qual resulte uma prestação que seja superior àquela que corresponderia à aplicação do rácio previsto na alínea f) do artigo 3.º da presente lei.

9 - O estabelecido nos números anteriores não se aplica à mudança do presente regime de crédito para o regime geral.

10 - Nos casos previstos na alínea b) do n.º 4, a anterior instituição de crédito fornece à nova instituição de crédito todos os elementos necessários à verificação das condições decorrentes do presente artigo, designadamente o capital em dívida, o período de tempo do empréstimo já decorrido, bem como o montante das bonificações auferidas ao longo da vigência do empréstimo.

11 - Para os efeitos de migração de crédito prevista no n.º 1, é suficiente a apresentação pelo mutuário do requerimento referido no n.º 2 acompanhado do atestado médico de incapacidade multiúso referido na alínea a) do n.º 1 do artigo 8.º

Artigo 7.º

Condições dos empréstimos

1 - As condições dos empréstimos regulados pela presente lei são as seguintes:

a) O valor máximo do empréstimo é de (euro) 190 000, atualizado anualmente com base no índice de preços do consumidor, e não pode ultrapassar 90 % do valor total da habitação, ou do custo das obras de conservação ordinária e extraordinária ou de beneficiação conforme avaliação feita pela instituição de crédito mutuante;

b) O valor máximo do rácio financeiro de garantia é de 90 %;

c) O prazo máximo dos empréstimos é de 50 anos;

d) A periodicidade de pagamento dos juros e de reembolsos de capital é livremente acordada entre as partes;

e) Os empréstimos beneficiam de uma bonificação que corresponde à diferença entre a taxa de referência para o cálculo de bonificações (TRCB), criada pelo Decreto-Lei n.º 359/89, de 18 de outubro, e fixada administrativamente pela Portaria n.º 502/2003, de 26 de junho, ou da taxa contratual quando esta for inferior e 65 % da taxa mínima de proposta aplicável às operações principais de refinanciamento do Banco Central Europeu;

f) A bonificação é calculada sobre o capital em dívida no início de cada contagem de juros;

g) Nos empréstimos para construção e obras, a utilização total do empréstimo deve ser feita no prazo máximo de dois anos, após a data de assinatura do respetivo contrato;

h) Durante a fase de utilização apenas são devidos juros, sendo estes determinados pelo método das taxas proporcionais;

i) O reembolso dos empréstimos é efetuado em prestações iguais e sucessivas de capital e juros, aplicando-se o método das taxas equivalentes;

j) No caso de variação da taxa de juro contratual dos empréstimos, da TRCB ou em caso de reembolso antecipado parcial, o recálculo das bonificações e da prestação é efetuado a partir do período de contagem de juros subsequente ao de alteração daquelas variáveis, tendo em conta o capital em dívida àquela data;

k) Os empréstimos produzem efeitos a partir da data da celebração do respetivo contrato junto da instituição de crédito, independentemente da data de início da incapacidade constante do atestado médico de incapacidade multiúso a que se refere a alínea a) do n.º 1 do artigo 8.º

2 - Através de despacho conjunto dos Ministros de Estado e das Finanças e da Solidariedade, Emprego e Segurança Social, podem ser fixadas outras condições que se mostrem necessárias à aplicação do disposto no presente artigo.

Artigo 8.º

Documentos

1 - Para a concessão do empréstimo devem ser apresentados, para além dos documentos exigidos pela instituição de crédito, os seguintes documentos:

a) Atestado médico de incapacidade multiúso, comprovativo do grau de incapacidade da pessoa com deficiência, emitido nos termos previstos no regime legal de avaliação de incapacidade das pessoas com deficiência, constante do Decreto-Lei n.º 202/96, de 23 de outubro, alterado pelos Decretos-Leis n.os 174/97, de 19 de julho, e 291/2009, de 12 de outubro;

b) Última nota demonstrativa de liquidação disponível do imposto sobre o rendimento das pessoas singulares, ou, no caso de dispensa da sua apresentação, de outros elementos oficiais emitidos pelo respetivo serviço de finanças;

c) Declaração dos interessados, sob compromisso de honra, em como não são titulares de outro empréstimo em qualquer regime de crédito bonificado, bem como autorizam as entidades competentes para o acompanhamento, verificação e fiscalização do cumprimento do disposto na presente lei a acederem às informações necessárias para o efeito.

2 - A prestação de falsas declarações atinentes às condições de acesso e permanência no regime bonificado determina a imediata integração dos mutuários nas condições do regime geral de crédito, para além da obrigatoriedade de reembolso ao Estado das bonificações auferidas ao longo da vigência do empréstimo acrescidas de 25 %.

Artigo 9.º

Acumulação de empréstimos

1 - O mesmo mutuário pode contrair mais do que um empréstimo ao abrigo da presente lei quando se verifique alguma das seguintes situações:

a) Necessidade, devidamente justificada, de ampliação ou beneficiação de habitação construída ou adquirida com o primeiro empréstimo;

b) Necessidade de aquisição ou construção de nova habitação em virtude de a habitação construída ou adquirida com o empréstimo anterior se ter tornado inadequada por motivo de alteração do agregado familiar ou transferência do local de trabalho;

c) O conjunto dos empréstimos não pode exceder o limite previsto na alínea a) do n.º 1 do artigo 7.º

2 - Para efeitos do disposto no número anterior, são enquadráveis no regime de crédito bonificado os seguintes empréstimos cumulativos:

a) Empréstimo para aquisição e simultaneamente para realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação de habitação própria permanente;

b) Empréstimo para aquisição, ampliação, construção ou realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação de habitação própria permanente, e empréstimo para realização de obras, desde que as mesmas sejam objeto de avaliação pela instituição de crédito mutuante e a respetiva conclusão seja comprovada por esta e, no caso de se destinarem a conservação ordinária e extraordinária, tenham decorrido pelo menos três anos a contar da data da celebração do contrato de empréstimo anterior;

c) Empréstimo para aquisição, realização de obras de conservação ordinária, extraordinária ou de beneficiação de habitação própria permanente e empréstimo para obras em partes comuns.

Artigo 10.º

Alienabilidade do imóvel

1 - Os mutuários de empréstimos contraídos ao abrigo do presente regime não podem alienar o imóvel adquirido ou construído durante o prazo de cinco anos após a data de celebração do contrato de empréstimo para aquelas finalidades.

2 - Em caso de alienação do imóvel antes de decorrer o prazo fixado no número anterior, os mutuários, na data da alienação, são obrigados a reembolsar a instituição de crédito do montante das bonificações entretanto usufruídas acrescido de 10 %.

3 - A instituição de crédito faz reverter para o Estado o reembolso do montante das bonificações e respetivo acréscimo a que se refere o número anterior.

4 - O disposto nos n.os 1 e 2 não se aplica quando a alienação do imóvel seja comprovadamente determinada por:

a) Perda de emprego do titular, do seu cônjuge ou da pessoa que com ele viva em condições análogas às do cônjuge;

b) Morte do titular;

c) Alteração da dimensão do agregado familiar;

d) Mobilidade profissional do titular ou do cônjuge.

5 - As exceções previstas nas alíneas c) e d) do número anterior implicam que o produto da venda seja afeto, no prazo de um ano, à aquisição ou construção de nova habitação própria permanente, até à concorrência do respetivo preço.

6 - Entende-se por perda de emprego, a situação dos trabalhadores que, tendo disponibilidade para o trabalho, estejam há mais de seis meses desempregados e inscritos nos respetivos centros de emprego.

7 - Entende-se por mobilidade profissional, a situação em que o novo local de trabalho se situe a uma distância não inferior a 35 km do antigo local de trabalho.

8 - Compete às instituições de crédito a verificação dos documentos necessários para a comprovação das situações previstas no n.º 4.

Artigo 11.º

Pagamento das bonificações

1 - Para pagamento das bonificações de juros pela Direção-Geral do Tesouro e Finanças, fica o membro do Governo responsável pela área das finanças autorizado a inscrever as correspondentes dotações no capítulo 60 do Orçamento do Estado.

2 - As instituições de crédito só podem reclamar as bonificações a cargo do Estado se os mutuários tiverem as suas prestações devidamente regularizadas.

3 - A Direção-Geral do Tesouro e Finanças não procede ao pagamento das bonificações quando verifique não terem sido observados os requisitos e condições fixados na presente lei e respetiva regulamentação.

4 - Em caso de dúvida quanto ao preenchimento dos requisitos e condições legais, a Direção-Geral do Tesouro e Finanças pode suspender o pagamento das bonificações dos empréstimos em causa até ao completo esclarecimento pela instituição de crédito mutuante.

Artigo 12.º

Direito subsidiário

Em tudo o que não estiver previsto na presente lei, é aplicável, com as devidas adaptações, o disposto nos Decretos-Leis n.os 430/91, de 2 de novembro, 349/98, de 11 de novembro, 240/2006, de 22 de dezembro, 51/2007, de 7 de março, e 171/2008, de 26 de agosto, nas suas redações atuais.

Artigo 13.º

Norma revogatória

São revogados os Decretos-Leis n.os 541/80, de 10 de novembro, e 98/86, de 17 de maio, que se mantêm aplicáveis às operações de crédito anteriores à data de entrada em vigor da presente lei.

Artigo 14.º

Aplicação no tempo

1 - O disposto na presente lei é aplicável aos pedidos de empréstimo apresentados nas instituições de crédito após a data da sua entrada em vigor.

2 - Não obstante o estabelecido no número anterior, regem-se também pelo estatuído na presente lei:

a) Os pedidos de empréstimo pendentes, apresentados anteriormente à data de publicação da presente lei e que não tenham sido autorizados pela respetiva instituição bancária até à sua entrada em vigor;

b) Os pedidos de mudança para o regime aqui estabelecido, nas situações em que já tenha sido celebrado um contrato de crédito à habitação ao abrigo de outros regimes de crédito, desde que apresentados depois da data de entrada em vigor da presente lei.

Artigo 15.º

Entrada em vigor

A presente lei entra em vigor a 1 de janeiro de 2015.

Aprovada em 25 de julho de 2014.

A Presidente da Assembleia da República, Maria da Assunção A. Esteves.

Promulgada em 13 de agosto de 2014.

Publique-se.

O Presidente da República, Aníbal Cavaco Silva.

Referendada em 18 de agosto de 2014.

O Primeiro-Ministro, Pedro Passos Coelho.

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Diário da República n.º 163/2014, Série I de 2014-08-26, Aprova o regime de concessão de crédito bonificado à habitação a pessoa com deficiência e revo 56351555. O Diário da República Eletrónico disponibliza uma pesquisa para todos os conteúdos publicados, para que possa encontrar facilmente o que procura.

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12 benefícios fiscais e sociais de pessoas portadoras de deficiência

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12 benefícios fiscais e sociais de pessoas portadoras de deficiência

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Se é portador de deficiência, fique a saber que existem alguns benefícios sociais e fiscais dos quais pode usufruir. Para atribuição destas regalias é necessário que, na generalidade, tenha um grau de incapacidade igual ou superior a 60%, comprovado com atestado médico.

Ajudas para os portadores de deficiência

Apoios da Segurança Social

Crianças e jovens

1. Bonificação do abono de família para crianças e jovens com deficiência
O que é?
É um acréscimo ao abono de família para crianças e jovens com deficiência, com o objetivo de compensar as suas famílias dos encargos resultantes da sua situação. Só podem auferir esta bonificação as crianças e jovens que tenham direito a receber o abono de família, ou seja, que residam em Portugal, cujas famílias não tenham património mobiliário superior a 104 582,40 euros e com rendimento de referência abaixo do valor limite.
Até quando podem receber esta bonificação?
Os jovens com deficiência podem receber o abono de família, e respetiva bonificação, até aos 24 anos.
Qual o valor da bonificação?

Até aos 14 anos: 63,01 euros (85,06 euros, se viver só com um adulto);

Dos 14 aos 18 anos: 91,78 euros (123,90 euros, se viver só com um adulto);

Dos 18 aos 24 anos: 122,85 euros (165,85 euros, se viver só com um adulto).

Saiba mais sobre este apoio, no Guia Prático da Bonificação por Deficiência da Segurança Social.

2. Subsídio de educação especial
O que é?
É um subsídio destinado a crianças e jovens com deficiência permanente, que ajuda nas despesas relacionadas com a frequência de estabelecimentos adequados ou no apoio individual por técnico especializado.
Até quando pode receber?
Enquanto frequentar o estabelecimento de ensino especial ou beneficiar de apoio individual, até aos 24 anos.
Qual o valor a receber?
O valor do subsídio varia consoante a mensalidade, o valor do apoio, o rendimento do agregado familiar, o número de pessoas do agregado, as despesas com habitação e o número de crianças com direito a subsídio especial de educação. Veja no Guia da Segurança Social como se calcula o valor do apoio.

Adultos com deficiência e cuidadores

3. Prestação social para a inclusão
O que é?
É uma prestação social atribuída a residentes em Portugal, com mais de 18 anos, com deficiência e incapacidade igual ou superior a 60%. É composta por três componentes: base, complemento (atribuído apenas a pessoas com deficiência inseridas em agregados familiares com carência económica ou insuficiência de recursos) e majoração (esta última ainda não está legislada).
Até quando pode receber esta prestação?
Até ao fim da validade do atestado médico de incapacidade multiuso. No entanto, a prestação pode ser suspensa se deixar de residir em Portugal, se não apresentar os elementos comprovativos para a avaliação do direito à manutenção da prestação ou se se verificarem falsas declarações.

A prestação é reavaliada ao fim de um ano de atribuição, quando o valor de referência se alterar ou sempre que comunicar alguma alteração do grau de incapacidade, dos rendimentos ou agregado familiar.
Qual o valor a receber?
O montante máximo mensal do valor base é 273,49 euros e depende, entre outros fatores, do grau de incapacidade e dos rendimentos da pessoa com deficiência.

O montante do complemento também varia em função da composição e rendimentos do agregado familiar, tendo como valor máximo 438,22 euros por mês (em 2019).

Saiba mais sobre este apoio no Guia da Segurança Social.

4. Subsídio para assistência a filho com deficiência ou doença crónica
O que é?
É um apoio em dinheiro dado às pessoas que tiram uma licença no seu trabalho para acompanharem os filhos devido a deficiência ou doença crónica.
Até quando pode receber?
O período da licença pode ir até aos seis meses. Após este período, pode ser prolongado até quatro anos, mas é necessário comunicar à Segurança Social até 10 dias úteis antes do final do período de licença.
Qual o valor a receber?
O valor deste subsídio é de 65% da remuneração de referência. No mínimo, tem de receber 11,62 euros por dia (80% de 1/30 do IAS), sendo que não pode receber mais do que 871,52 euros por mês (duas vezes o IAS).

Saiba mais sobre este subsídio no Guia da Segurança Social.

5. Financiamento a 100% de produtos de apoio

A Segurança Social comparticipa a 100% a compra de produtos de apoio (no caso de não ser comparticipado por outros) que previnam, compensem, monitorizem, aliviem ou neutralizem as incapacidades, limitações das atividades e restrições da pessoa com deficiência.

A lista de produtos (dispositivos, equipamentos, instrumentos, tecnologia e software) que a Segurança Social financia é extensa e vai desde as camas articuladas, cadeiras de rodas, andarilhos, canadianas a aparelhos auditivos e, até, carros de baixa velocidade.

Veja aqui tudo o que pode ser comparticipado a 100% pela Segurança Social.

Para ter direito a este apoio, é necessário:

Ter um grau de incapacidade igual ou superior a 60% (com Atestado Médico de Incapacidade Multiuso); ou

Ser pensionista com complemento por dependência de 1º ou 2º grau.

Para mais informações, dirija-se aos serviços de atendimento presencial da Segurança Social da sua área de residência.

Benefícios na compra de casa

6. Bonificação da taxa de juro

As pessoas com grau de incapacidade igual ou superior a 60% estão abrangidas pelo regime de crédito bonificado à habitação para pessoas com deficiência, que concede uma bonificação na taxa de juro a pagar.

Com esta bonificação, a taxa de juro é igual à diferença entre a taxa de referência para o cálculo das bonificações (uma taxa fixada pela Direção-Geral do Tesouro e Finanças) ou a taxa de juro do contrato (se for mais baixa), e 65% da taxa de referência do Banco Central Europeu.

Lembramos que as instituições bancárias não estão obrigadas a conceder crédito ao abrigo deste regime, porém, caso a incapacidade seja adquirida após a celebração de um contrato de crédito, a instituição é obrigada a converter o empréstimo para este regime bonificado.

Isenção de impostos na compra e posse de automóvel

7. Isenção de ISV

Na compra de automóvel, as pessoas portadoras de deficiência com grau de incapacidade superior a 60% estão isentas do Imposto sobre Veículos (ISV). A isenção apenas é válida para veículos novos, com nível de emissão de CO2 até 160 g/km e não pode ultrapassar os 7 800 euros. Caso o valor seja superior, será o beneficiário a suportar a diferença.

8. Isenção de IUC

Além do ISV, os portadores de deficiência também podem estar isentos do Imposto Único de Circulação (IUC). Para tal, o seu grau de incapacidade tem de ser igual ou superior a 60% e o automóvel tem de possuir um nível de emissão de CO2 até 180 g/km. Esta isenção só pode ser atribuída a um automóvel por ano e não pode ultrapassar 240 euros.

9. Cartão de estacionamento

Os portadores de deficiência motora, de caracter permanente e grau igual ou superior a 60%, têm direito ao cartão de estacionamento. O pedido deve ser feito no Instituto de Mobilidade e dos Transportes (IMT) da sua área de residência e requer a entrega de alguns documentos, como:

Modelo 13 IMT, preenchido e assinado;

Prova da identificação e residência do interessado (cartão de cidadão);

Condição de pessoa com deficiência, mediante atestado médico de incapacidade multiuso.

Benefícios em sede de IRS

10. Menos retenção na fonte

Os rendimentos brutos de pessoas com deficiência estão sujeitos a taxas de retenção na fonte mais baixas do que as aplicadas ao cidadão comum. O que significa um salário líquido mensal mais elevado.

Veja aqui as tabelas de retenção na fonte para 2019.

A título de exemplo, uma pessoa portadora de deficiência (acima dos 60%), que seja casada e que os dois membros do casal trabalhem, com dois filhos e um salário bruto de 1 500 euros, por mês vai pagar 32 euros de retenção na fonte (taxa de 2,1%). Uma pessoa na mesma situação, mas não deficiente, paga todos os meses 227 euros (taxa de 15,1%).

As taxas de retenção na fonte aplicam-se à totalidade das remunerações recebidas pela pessoa com deficiência.

11. Base de tributação inferior

Na hora da entrega do IRS, para efeitos de tributação dos rendimentos, o Fisco considera apenas:

85% dos rendimentos no caso de trabalho dependente e independente; e

90%, caso se tratem de rendimentos de pensões.

Isto significa que um trabalhador por conta de outrem, com incapacidade superior a 60%, apenas paga IRS sobre 85% dos seus rendimentos anuais brutos. No entanto, o Código do IRS define que a parte do rendimento excluída de tributação não pode exceder, por categoria de rendimentos, 2 500 euros.

12. Mais deduções de IRS

Além das deduções previstas no Código do IRS, os contribuintes portadores de incapacidade superior a 60% (ou descendentes e ascendentes deficientes) têm direito a:

Dedução à coleta de 1900 euros por cada sujeito passivo com deficiência;

Dedução de 1 187,50 euros por cada dependente e ascendente com deficiência que esteja a cargo do sujeito passivo;

Dedução à coleta de 30% da totalidade das despesas efetuadas com a educação e a reabilitação do sujeito passivo ou dependentes com deficiência;

Dedução à coleta de 25% da totalidade dos prémios de seguros de vida ou contribuições pagas a associações mutualistas que garantam exclusivamente os riscos de morte, invalidez ou reforma por velhice (esta dedução não pode exceder 15% da coleta de IRS).

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12 benefícios fiscais e sociais de pessoas portadoras de deficiência

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Se é portador de deficiência, fique a saber que existem alguns benefícios sociais e fiscais dos quais pode usufruir. Para atribuição destas regalias é necessário que, na generalidade, tenha um grau de incapacidade igual ou superior a 60%, comprovado com atestado médico. Crianças e jovens 1.

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www.notatotal.com - Exames & Vestibulares

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prefiro estar pobre e ter saúde, ter os pais vivos, do que ter dinheiro e emprego e andar cá sozinho.

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Ninguém se apercebe quais são as restrições. Pode ir ao espetáculo, pode ir ao comércio, pode ir ao café e restaurante até às 23h, pode ir ao CC, pode ir á escola reuniões e fábricas, pode sair para cuidar dos outros, etc… No fundo nada… Não queremos quebrar a economia.
Ninguém percebe é como uma economia pode funcionar com pessoas doentes.

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Números racionais não negativos

Simplificação de frações;

Frações irredutíveis;

Redução de duas frações ao mesmo denominador;

Ordenação de números racionais representados por frações;

Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na forma de fração;

Representação de números racionais na forma de numerais mistos; adição e subtração de números racionais representados por numerais mistos;

Aproximações e arredondamentos de números racionais;

Problemas de vários passos envolvendo números racionais representados na forma de frações, dízimas, percentagens e numerais mistos;

Números naturais

Critérios de divisibilidade por 3, 4 e 9 ;

Determinação do máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles;

Algoritmo de Euclides;

Números primos entre si; números obtidos por divisão de dois dados números pelo respetivo máximo divisor comum; irredutibilidade das frações de termos primos entre si;

Determinação do mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles;

Relação entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois números;

Problemas envolvendo o cálculo do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum de dois números;

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Números racionais não negativos Simplificação de frações; Frações irredutíveis; Redução de duas frações ao mesmo denominador; Ordenação de números racionais representados por frações; Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na forma de fração; Representação de números racionais na forma de numerais mistos; adição e subtração

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5.1 Adição, subtração e multiplicação de polinómios

Soma algébrica de polinómios

Multiplicação de polinómios

5.2 Divisão inteira de polinómios

Regra de Ruffini

Aplicação da regra de Ruffini no caso em que o divisor é da forma
ax - b, a 0

5.3 Divisibilidade de polinómios. Teorema do resto

5.4 Zeros e fatorização de polinómios

5.5 Multiplicidade da raiz de um polinómio e respetivas propriedades

Raízes inteiras de um polinómio

5.6 Resolução de problemas envolvendo a determinação do sinal e dos zeros
de polinómios

Estudo do sinal de polinómios

5.7 Inequações de grau superior ao primeiro

AVALIAR CONHECIMENTOS

ESSENCIAL

AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS

PREPARAÇÃO PARA O TESTE 3

MATEMÁTICA NO MUNDO REAL

*Definir e efetuar operações com radicais.

*Definir e efetuar operações com potências de expoente racional.

*Resolver problemas envolvendo operações com radicais e com potências.

*Efetuar operações com polinómios.

*Resolver problemas envolvendo a divisão inteira de polinómios e o teorema do resto.

*Resolver problemas envolvendo a fatorização de polinómios de que se conhecem algumas raízes.

*Resolver problemas envolvendo a determinação dos zeros e do sinal de funções polinomiais de grau superior a dois.

Com a introdução de variáveis e a manipulação de expressões com variáveis envolvendo apenas somas e produtos, nasce a álgebra. Com esta vem a possibilidade de trabalhar com igualdades envolvendo incógnitas.​

EXEMPLO 1

Na figura à esquerda está representada uma caixa paralelepipédica e a respetiva planificação, construída a partir de uma cartolina retangular de dimensões 50 cm por 20 cm .

A expressão obtida para volume da caixa é, como se sabe, um polinómio de terceiro grau, ou grau 3 , e resulta do produto de três fatores, também eles polinómios, todos de primeiro grau. Está na forma reduzida (adicionaram-se algebricamente os termos semelhantes).

Recorde-se:

1

Relativamente à figura, sabe-se que: [ ABCD] e [ FBGH] são retângulos;

Determine uma expressão simplificada para a área da região colorida.

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

​

É importante recordar ainda que:

*Cada parcela, ou termo, de um polinómio designa-se por monómio;

*O grau de cada monómio com apenas uma variável é igual ao expoente da parte literal, quando existe;

*O grau de um monómio constante, não nulo, é zero;

*O grau de um polinómio não nulo na forma reduzida é igual ao grau do seu monómio de maior grau;

*O grau do polinómio nulo é indefinido.

♦ Soma algébrica de polinómios

Para se obter a soma algébrica de polinómios, adicionam-se algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando-se, de seguida, os termos nulos.

♦ Multiplicação de polinómios

Dados dois monómios anxn e bmxm , o seu produto obtém-se multiplicando os coeficientes e elevando x à soma dos expoentes dos fatores onde x figura:

( anxn) ( bmxm) = anbmxn+m

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

3

4

5

O produto de dois polinómios é obtido efetuando todos os produtos possíveis de cada um dos termos de um deles por todos os termos do outro e adicionando os resultados obtidos.
​

Observa-se, quer no exemplo 5 quer na tarefa, que o grau do polinómio produto de dois polinómios é igual à soma dos graus dos respetivos fatores.

De facto, considerando-se os polinómios:

A ( x ) = anxn + an₋₁ xn⁻¹ + ... + a ₁ x + a ₀, ai IR ( i IN ₀, i n)

e B ( x ) = bmxm + bm₋₁ xm⁻¹ + ... + b ₁ x + b ₀, bj IR ( j IN ₀, j m), an 0 e bm 0 .

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

7

8

Dados dois polinómios A( x) e B( x) de grau n e m , respetivamente, o grau do polinómio produto, A ( x ) B ( x ) , é igual à soma dos graus de A ( x ) e B ( x ) , ou seja, m + n .

Dados dois polinómios A( x) e B( x) , B ( x ) não nulo de graus n e m , respetivamente, e m n , existem dois únicos polinómios Q ( x ) , de grau n - m , e R ( x ) , de grau inferior a m , ou polinómio nulo, tais que: A ( x ) = B ( x ) Q ( x ) + R ( x )

O polinómio Q ( x ) designa-se por polinómio quociente e R ( x ) , por polinómio resto da divisão inteira (ou divisão euclidiana) de A ( x ) por B ( x ) . Neste contexto, designa-se A ( x ) por polinómio dividendo e B ( x ) por polinómio divisor.

O procedimento para encontrar o quociente Q( x) e o resto R( x) é análogo ao da divisão inteira de números e designa-se por algoritmo da divisão inteira (ou divisão euclidiana) de polinómios.

Na divisão inteira de D por d pretende-se encontrar dois números q e r , tais que: D = dq + r , onde D, d, q e r são o dividendo, o divisor, o quociente e o resto, respetivamente (0 r < d) .

Quando r = 0 , diz-se que D é divisível por d ou d é divisor de D .

Por exemplo:

13

Na divisão inteira de D( x) por 2 x ² - 4 obteve-se 3 x ² + 5 x como quociente
e 7 x - 2 como resto.

Determine D ( x ) .

14

Complete o seguinte algoritmo da divisão inteira de polinómios com os monómios adequados:

EXEMPLO 7

O quociente e o resto da divisão

( x ⁴ + 2 x ³ - x ² + 3 x - 4) ÷ ( x - 2)

são x ³ + 4 x ² + 7 x + 17 e 30 , respetivamente.

De facto, utilizando o algoritmo da divisão, obtemos:

Assim, o quociente é Q( x) = x ³ + 4 x ² + 7 x + 17 e o resto é R = 30 .

Quando o dividendo é um polinómio incompleto, deve-se, no primeiro passo do algoritmo, escrever os termos em falta, com coeficiente igual a 0 .

Nos casos em que o resto da divisão inteira de um polinómio A( x) por um polinómio B( x) é 0 , como acontece no exemplo anterior, diz-se que a divisão é exata ou que:

* B ( x ) é divisor de A ( x ) .

Um polinómio, anxn + an - ₁ xn - 1 + ... + a ₁ x + a ₀ , cujos coeficientes são todos reais não nulos diz-se polinómio completo. Caso contrário, diz-se
polinómio incompleto.

♦ Regra de Ruffini

A divisão de polinómios pode também efetuar-se por um outro processo que se designa por método dos coeficientes indeterminados, o qual, com recurso à igualdade de polinómios, permite determinar os coeficientes dos termos do quociente e do resto.

No caso particular em que o divisor é da forma x - a , sendo o dividendo um polinómio de grau n , como o divisor tem grau 1 , o quociente, Q( x) , tem grau n - 1 e o resto, grau 0 .

Assim, se P( x) = bnxn + bn-₁ xn-¹ + ... + b ₁ x + b ₀ , tem-se

P( x) = ( x - a) × Q( x) + R( x)

com

Q ( x ) = qn-₁ xn-¹ + qn-₂ xn-² + ... + q ₁ x + q ₀

R( x) = r ( r constante)

EXEMPLO 9

O quociente da divisão do polinómio 2 x ⁴ - 5 x ³ - x ² + 3 x - 4 por x - 2 é um polinómio de grau 3 , ou seja, do tipo q ₃ x ³ + q ₂ x ² + q ₁ x + q ₀ , com q ₀, q ₁, q ₂, q ₃ IR, q ₃ 0 e o resto é uma constante, digamos r .

Pretende-se, então, que:

2 x ⁴ - 5 x ³ - x ² + 3 x - 4 = ( x - 2)( q ₃ x ³ + q ₂ x ² + q ₁ x + q ₀) + r ,

ou seja,

2 x ⁴ - 5 x ³ - x ² + 3 x - 4 = q ₃ x ⁴ + ( q ₂ - 2 q ₃) x3 + ( q ₁ - 2 q ₂) x ² + ( q ₀ - 2 q ₁) x + r - 2 q ₀

Da igualdade entre os dois polinómios, obtém-se:

Assim, os valores de q ₃, q ₂, q ₁, q ₀ e r podem ser obtidos de forma recursiva, fazendo:

Então, o quociente e o resto da divisão inteira são, respetivamente:

Q( x) = 2 x ³ - x ² - 3 x - 3 e r = -10

18

Utilize o método dos coeficientes indeterminados para determinar o quociente e o resto nas seguintes divisões:

a) ( - x ³ + 1) ÷ ( x + 3)

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

​

O algoritmo utilizado no exemplo anterior para calcular os coeficientes do quociente inteira de 2 Q( x ⁴ - 5 x ³ - x ² + 3 x - 4 por x - 2 pode ser esquematizado x) = q ₃ x ³ + q ₂ x ² + q ₁ x + q ₀ , e o resto da divisão tal como se segue:

2.º O primeiro coeficiente do quociente, que será o do termo de maior grau, é igual ao coeficiente do termo de maior grau do dividendo.

3.º O segundo coeficiente do quociente obtém-se multiplicando 2 pelo primeiro coeficiente e adicionando-o ao segundo coeficiente do dividendo.

4.º O terceiro coeficiente obtém-se multiplicando 2 pelo segundo coeficiente, e adicionando- o ao terceiro coeficiente do dividendo.

5.º Repete-se o processo até esgotarmos os coeficientes do dividendo.

6.º O resto será o último termo obtido.

Assim, tem-se o quociente Q( x) = 2 x ³ - x ² - 3 x - 3 e o resto r = -10 .

O algoritmo descrito acima é conhecido por regra de Ruffini, e deve-se ao matemático italiano Paolo Ruffini. Este algoritmo é mais prático do que o algoritmo da divisão inteira quando o divisor é da forma x - a , a IR .

Paolo Ruffini (1765-1822)

Paolo Ruffini, nascido em Itália, licenciou-se em matemática, filosofia e medicina. Foi responsável por várias descobertas matemáticas, entre as quais a regra de Ruffini, que permitiu, e ainda permite, resolver, de um modo muito prático, equações de grau superior a dois, conhecidas algumas das suas soluções.

EXEMPLO 10

Para calcular o quociente e o resto da divisão de 4 x ³ - 8 x - 4 por x + 1 , repare-se primeiro que x + 1 = x - (-1) . Portanto, neste caso, a = -1 . Observe-se que, neste caso, o coeficiente do termo de grau 2 é nulo e tem de figurar no quadro.

Assim, aplicando a regra de Ruffini, vem:

Portanto, o quociente da divisão de 4 x ³ - 8 x - 4 por x + 1 é 4 x ² - 4 x - 4 e o resto é 0 , o que significa que o polinómio 4 x ³ - 8 x - 4 é divisível por x + 1 .

Dado um polinómio P( x) = bnxn + bn₋₁ xn⁻¹ + ... + b ₁ x + b ₀ , de grau n , para se obterem os coeficientes do polinómio quociente, Q( x) = qn₋₁ xn⁻¹ + qn₋₂ xn⁻² + ... + q ₁ x + q ₀ , e o resto da divisão de P( x) por x - a , procede-se da seguinte forma:

1.º O coeficiente, qn₋₁ , do termo de grau n - 1 , é igual ao coeficiente do termo de grau n do dividendo, ou seja, qn₋₁ = bn ;

2.º Cada um dos restantes coeficientes, qn-i , i {2, 3, ..., n } , é obtido fazendo
qn-i = bn-i+1 + a × qn-i+1 ;

3.º O resto da divisão inteira é r = b ₀ + a × q ₀ .

Os cálculos são habitualmente esquematizados numa tabela como a seguinte:

19

Utilize a regra de Ruffini para determinar o quociente e o resto das seguintes divisões:

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

​

20

Determine o valor de p sabendo que o resto da divisão de

P( x) = -2 x ³ + 4 x ² + px - 7 por x - 2 é 3 .

21

Considere o polinómio P ( x ) = x ³ - 2 x ² + mx + n, ( m, n IR)

Determine os valores de m e n sabendo que:

* P ( x ) é divisível por x + 3 ;

*​o resto da divisão inteira de P ( x ) por x - 1 é 28 .

Chama-se valor numérico de um polinómio P( x) para x = a ao valor de P( a) , ou seja, ao número real obtido quando se substitui x por a em P( x) .

EXEMPLO 12

TAREFA 3

Mostre, utilizando a regra de Ruffini, que o resto da divisão de

P( x) = a x ² + bx + c ( a, b, c IR e a 0) por x - k ( k IR) é igual a P( k) .

Na resolução da tarefa anterior, pode observar-se que o valor do resto da divisão de um polinómio P( x) de grau 2 por x - a é igual ao valor numérico de P( x) para x = a .

Este resultado pode ser generalizado.

Teorema do resto
O resto da divisão de um polinómio P( x) por x - a ( a IR) é igual a P( a) .

De facto, se Q( x) é o quociente da divisão inteira de P( x) por x - a e r é o resto, tem-se:

P ( x ) = ( x - a) Q ( x ) + r

onde r é constante (por ter grau menor do que x - a ) .

22

Utilize a regra de Ruffini para efetuar as seguintes divisões:

23

Considere o polinómio:

P( x) = 3 x ³ + x 2 - 2

23.1Determine os restos da divisão de P ( x ) por x - 3 e x + 2 .

23.2Calcule os valores numéricos de P ( x ) para x = 3 e x = -2 .

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

22

23

Substituindo x por a vem:

P( a) = ( a - a) Q( a) + r + P( a) = 0 × Q( a) + r ,

ou seja:

P( a) = r

Este teorema permite obter o resto da divisão de um polinómio por x - a sem haver necessidade de efetuar a divisão.

EXEMPLO 13

O resto da divisão de P( x) = 2 x ³ + 6 x ² - 2 x + 1 por x + 3 é P(-3) , ou seja:

R = P(-3) = 2(-3) ³ + 6(-3) ² - 2(-3) + 1 = 7

Analogamente, o resto da divisão de 2 x ³ + 6 x ² - 2 x + 1 por x - 2 é P(2) , ou seja, R = P(2) = 2(2) ³ + 6(2) ² - 2(2) + 1 = 37 .

Raiz de um polinómio

Dado um polinómio P( x) , dizemos que um número real a é zero, ou raiz, de P( x) se P( a) = 0 .

Corolário do teorema do resto
O polinómio P( x) é divisível por x - a se, e só se, a é zero de P( x) .

O polinómio P( x) é divisível por x - a se, e só se, o resto da divisão de P( x) por x - a for igual a zero. Ora, pelo teorema do resto, este resto é P( a) .

Este resultado pode ser utilizado como critério para aferir a divisibilidade de um polinómio pelo binómio x - a .

EXEMPLO 14

O polinómio P( x) = x ³ - 3 x ² - 4 x + 12 é divisível por x - 3 ,

uma vez que:

P(3) = 3 ³ - 3 × 3 ² - 4 × 3 + 12 = 0

Este polinómio não é divisível por x + 1 , uma vez que

P(-1) = (-1) ³- 3(-1) ²- 4(-1) + 12 = 12 0

O resultado anterior revela-se ainda prático quando se pretende decompor um polinómio em fatores, o que é útil no estudo do sinal de polinómios, por exemplo.

De facto, se P( x) (polinómio de grau n , com n 1 ) admite um zero, por exemplo a ₁ , pode escrever-se na forma

P ( x ) = ( x - a ₁) Q ₁( x)

em que Q ₁( x) (polinómio de grau n - 1 ) é o quociente da divisão exata de P( x) por x - a ₁ .

Se Q 1 ( x ) tem uma raiz a ₂ , então, podemos escrever

Q 1 ( x ) = ( x - a ₂) Q ₂( x)

em que por Q ₂( x) (polinómio de grau n - 2 ) é o quociente da divisão exata de Q 1 ( x ) - x a ₂ .

Voltando a P ( x ) , pode escrever-se:

P ( x ) = ( x - a ₁)( x - a ₂) Q ₂( x)

Este processo pode prosseguir enquanto os sucessivos polinómios quociente admitirem raízes reais.

Assim, a decomposição que se obtém será da forma:

P ( x ) = ( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - am) Qm( x)

em que, a ₁, a ₂, ..., am são as raízes reais de P ( x ) e Qm( x) é um polinómio, de grau n - m , sem raízes reais.

Note-se que as raízes a ₁, a ₂, ..., am de P ( x ) não são necessariamente distintas.

EXEMPLO 15

*2 x 2 - 4 x+ 2 = 2( x- 2 2 x+ 1) = 2( x- 1) x- 1)( x ²= 2(- 1)

O polinómio 2 x 2 - 4 x+ 2 é divisível por x - 1 , sendo assim, admite o zero 1 .

*3 x ³+ 6 x 2 - 3 x- 6 = 3 x 2 ( x+ 2) - 3( x+ 2) = (3 x- 3) 2

( x+ 2) = 3( x 2 - 1)( x+ 2) = 3( x- 1)( x+ 1)( x+ 2) .

O polinómio 3 x ³+ 6 x 2 - 3 x+ 6 é divisível por x+ 2 , por x + 1 e por x - 1 , logo, admite - 2 , - 1 e 1 como zeros.

* x 3 - 3 x x ²+ - 3 = ( x- 3)( x ²+ 1)

O polinómio x 3 - 3 x ²+ x- 3 é divisível por x- 3 e por x + 1 . ²

Como x + 1 não tem raízes reais, a decomposição ² está completa.

Como se descreveu, um polinómio P( x) , de grau n , pode ser escrito na forma

P( x) = ( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - am) Qm( x)

em que Qm ( x ) tem grau n - m e não tem raízes reais, e a ₁, a ₂ , ..., am são as raízes reais de P ( x ) .

Como o grau de um polinómio não nulo é, no mínimo, zero, tem-se:

n - m 0 n m

Portanto,

Um polinómio P( x) , de grau n , tem no máximo n raízes reais.

Tal como acontece no exemplo anterior, se o número de raízes de um polinómio é igual ao seu grau, n , é possível decompor o polinómio num produto de n fatores de grau 1 , ou seja:

Se P( x) é um polinómio de grau n , com n raízes reais distintas, a ₁ , a ₂ , ..., an , então, P( x) pode ser fatorizado da seguinte forma:

P( x) = a( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - an)

em que a é o coeficiente do termo de maior grau.

EXEMPLO 17

Se P( x) é um polinómio de 3.º grau com três zeros:

-1 , 2 e 3

e -2 é o coeficiente do termo de maior grau, tem-se:

P( x) = -2( x + 1)( x - 2)( x - 3) ,

que, na forma reduzida, é

P( x) = -2 x ³ + 8 x ²- 2 x - 12

Casos notáveis da multiplicação:

( a + b) ² = a ² + 2 ab + b ²

( a - b) ² = a ²- 2 ab + b ²

( a + b)( a - b) = a ²- b ²

32

Considere o polinómio:

3 P( x) = x + b x ⁴ + ax ³ -

Determine a e b de forma que P( x) seja divisível por x ² - 1 .

33

Decomponha em fatores do 1.º grau ou potências de fatores do 1.º grau, os seguintes polinómios:

​

Tal como ficou claro, no processo de fatorização, as raízes obtidas não são necessariamente distintas. Isto sugere o conceito de multiplicidade.

Multiplicidade de uma raiz
Dizemos que uma raiz a do polinómio P( x) tem multiplicidade m do polinómioP ( x ) se, e só se, o fator x - a se repete exatamente m vezes na factorização deP ( x ) . Isto é, podemos escreverP ( x ) na formaP ( x ) = ( x - a)mQ( x) , em que, Q( x) não é divisível por x - a , ou seja, Q( a) 0 .

Se m = 1 , diz-se que a é uma raiz simples.

Desta definição, resulta que:

O número a é uma raiz de multiplicidade m de P( x) se, e somente se, P( x) for divisível por ( x - a)m e o quociente Q( x) , resultado desta divisão, não for divisível por x - a , isto é, Q( a) 0 .

Este resultado permite utilizar a regra de Ruffini para determinar a multiplicidade da raiz de um polinómio.

Observa-se, assim, que, tal como acontece no exemplo anterior, na decomposição de um polinómio

P( x) = ( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - am) Qm( x)

em que a ₁, a ₂, ..., am são as raízes reais do polinómio e Qm( x) é um polinómio, de grau n - m , sem raízes reais, podem existir valores que se repetem, sendo o número de vezes que cada um se repete a sua multiplicidade.

37

Determine a multiplicidade da raiz 2 do polinómio:

8 x ³ - x ² - x + 12

38

Fatorize:

- 11 x ⁴ + 3 x x + 6 ³ + 3 x ² -

sabendo que 1 é um zero duplo.

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

EXEMPLO 19

Para determinar o polinómio P( x) de 4.º grau que tenha raiz dupla 2 , e -1 e 3 como raízes simples e cujo resto da divisão por x - 1 seja 8 , faz-se:

P( x) = a( x - 2) ²( x + 1)( x - 3) e P(1) = 8

Então, tem-se: P(1) = 8 -4 a = 8 a = -2

Portanto,

P( x) = -2( x - 2) ²( x + 1)( x - 3) = -2 x ⁴ + 12 x ³- 18 x ²- 8 x + 24

TAREFA 4

Considere o polinómio A( x) = x ⁶- x ⁵- 6 x ⁴ + 12 x ³- 13 x ² + 13 x - 6

Sabendo que o polinómio A( x) admite as raízes -3 , 1 e 2 , eventualmente com diferentes ordens de multiplicidade, determine o polinómio B( x) sem zeros, tal que A( x) = ( x - 1)m( x - 2)n( x + 3)pB( x) identificando os valores de m , n e p .

Caderno de Apoio do 10.º ano

♦ Raízes inteiras de um polinómio

Pelo já observado, percebe-se que para se obter a fatorização de um polinómio é útil obter as raízes do mesmo. Neste sentido, o resultado seguinte revela-se uma ferramenta importante na procura de raízes inteiras de polinómios com coeficientes inteiros.

Teorema das raízes inteiras

As raízes inteiras de um polinómio P( x) , de grau n IN , e coeficientes inteiros, quando existem, são divisores inteiros do termo independente (termo de grau zero).

39

De um polinómio P( x) de grau 3 , sabe-se que:

* -2 , e 3 são os seus zeros;

* P( - 1) = 1

Determine P( x) .

40

Determine o polinómio A( x) do 4.º grau, sabendo que 1 e 2 são raízes de multiplicidade 2 e o resto da divisão de A( x) por x + 1 é 3 .

É importante notar que um polinómio pode ter raízes que não sejam múltiplos inteiros do seu termo independente, mas, nesse caso, as raízes não são inteiras.

EXEMPLO 20

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

41

42

43

♦ Estudo do sinal de polinómios

TAREFA 5

Pretende-se construir uma caixa com a forma de um paralelepípedo de base quadrada tal que a soma do perímetro da base com a sua altura seja 24 cm .

5.1Mostre que o volume da caixa pode ser expresso, para certos valores de x , pelo polinómio v( x) = 24 x ²- 4 x ³ , em que x é a aresta da base.

5.2Calcule o valor numérico de v( x) para x = 5 e para x = 7 . Qual dos valores não faz sentido neste contexto? Justifique.

5.3Determine os valores de x para os quais o polinómio v( x) pode representar o volume da caixa.

Na resolução da tarefa 5, fica claro que só faz sentido expressar o volume da caixa pelo polinómio v( x) para valores de x que o transformam num número real positivo. Para descobrir esses valores, é necessário estudar o sinal dev ( x ) . Para estudarmos o sinal de um polinómio de grau superior ao primeiro, podemos recorrer à fatorização do polinómio, uma vez que, conhecido o sinal de cada fator, basta recorrer às regras de sinais da multiplicação para obtermos o sinal do produto.
Regras de sinais da multiplicação

44

Complete os seguintes quadros de sinais:

a)

b)

c)

EXEMPLO 22

Vejamos como estudar o sinal do polinómio P ( x ) = - x3 + 3 x - 2 , sabendo que P(1) = 0 .

Recorremos à regra de Ruffini para determinar o quociente da divisão de P( x) por x - 1 .

Temos, então, que P ( x ) = ( x - 1)(- x2 - x + 2) .

Calculam-se os zeros de - x2 - x + 2 :

Conclui-se, assim, que P ( x ) = -( x - 1)( x - 1)( x + 2) ou P ( x ) = -( x + 2)( x - 1) ² .

Constrói-se o quadro de sinais:

P ( x )é positivo em ]- , -2[ e é negativo em ]-2,1[ ]1, + ​[ .

A resolução de uma inequação de grau superior ao primeiro, envolvendo
polinómios, pode ser transformada num problema de estudo do sinal de um polinómio, bastando, para tal, escrever a inequação na forma canónica.
​

EXEMPLO 24

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

50

SUGESTÃO

O conjunto dos exercícios apresentados permite ao aluno aprofundar os conhecimentos sobre a divisão inteira de polinómios e estabelecer conexões
sobre os vários tópicos estudados.

Estes exercícios podem ser realizados ao longo da unidade ou apenas no final da mesma.

1

Dobrou-se um retângulo de papel, com 4 dm por 6 dm , de modo que o canto superior esquerdo tocasse o lado inferior da folha, tal como a figura sugere.

2

Considere as seguintes proposições:

I. Se o grau de um polinómio P( x) é 3 , então, o grau do polinómio 2 P( x) é 3 .

II. Se o grau de um polinómio P( x) é 4 e de um polinómio Q( x) é 8 , então, o grau do polinómio P( x) + Q( x) é 12 .

III. Se o grau de um polinómio P( x) é 3 e de um polinómio Q( x) é 4 , então, o grau do polinómio P( x) × Q( x) é 7 .

Das afirmações anteriores, pode dizer-se que:

(D) ​Apenas a afirmação II é falsa.

3

Na divisão inteira do polinómio x ⁴ - 3 x ³ - 10 x ² + 8 x por um polinómio D( x) , obtém-se o quociente x ³ - 5 x ² + 8 e resto -16 .

(A) x - 2

(B) ​ x + 2

(C) ​
x - 3

(D) ​
x + 3

4

Sabe-se que, ao dividir o polinómio x ² + px + 3 por x - 1 e por x + 1 , se obtêm restos iguais.

Então, o valor de p é:

(B) ​-1

5

Considere os polinómios P( x) = 2 x ⁴ + (-3 a - 2) x ³ + 3 e Q( x) = bx ⁴ + 7 x ³ + 3 .

Se P( x) = Q( x) , então, a ² + b ² é igual a:

(B)-2

(D) ​ 13

6

O resto da divisão do polinómio P( x) = kx ³ - 3 kx + 5 por x + 1 é 4 para k igual a:

(D) ​-0,5

7

O polinómio x ⁴ - 12 x ³ + 47 x ² + mx + n é divisível por x - 1 .

(D) ​72

8

O polinómio A( x) = ( x ² + 4)( x ² - 1) :

9

As raízes do polinómio T( x) = x ³ + 5 x ² + 4 x são:

(B) ​-4 e -1 .

10

O polinómio x ³ - 4 x ² + x + 6 é divisível por:

(A) x + 2 e x + 3 .

(B) ​ x + 1 e x + 2 .

(C) ​
x - 2 e x + 3 .

(D) ​
x + 1 e x - 3 .

11

* P(2) = -18

Então:

12

O quadro seguinte diz respeito ao sinal de dois polinómios, P( x) e P( x) × Q( x) .

(A)[2, + [

(B)]- , 0] , [2, + [

(D) ​ ]- , 0] [ [1, +

13

Considere os polinómios:

A( x) = 2 - x + x ² e B( x) = 4 x - x ³

13.4Seja C( x) = ax ² + ( a + b) x + ( b + c) , com a , b e c reais.
Determine a + b + c de forma que A( x) e C( x) sejam iguais.

a)2 × A( x) - 3 × B( x)

b) x ² × A( x) + ( x - 1) × B( x)

c)[ A( x) + x] ² - [ B( x) - 2 x] ²

d)[ A( x)] ²

13.6Determine o quociente e o resto da divisão inteira de B( x) por A( x) .

14

Considere o paralelepípedo [ ABCDEFGH] , representado na figura seguinte, em que:

14.1 Mostre que as expressões que definem, respetivamente, a área total ( A( x)) e o volume ( V( x)) do paralelepípedo representado na figura são dados por:

A( x) = 6 x ² - 8 e V( x) = x ³ - 4 x

14.2Resolva a equação A( x) = 46 e determine o volume do paralelepípedo para o valor de x obtido.

15

Determine o quociente e o resto da divisão de:

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

13

14

15

16

a) x ² + 3 x + 1 - A ( x ) = x ³ - 2 x + 4

b)( x + 1) × A ( x ) = 2 x ² - 3 x - 5

17

Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de
- x4 + 3 x ² - 1 por:

18

Usando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de
2 x ³ - 4 x ² + x - 1 por:

19

Recorrendo ao teorema do resto, determine o resto da divisão de
A ( x ) = - x ⁴ + 2 x ³ + 3 x ² + 4 x - 1 por:

a) x - 2

b) x + 1

c)2 x - 1

d) x - 2

20

Sem efetuar a divisão, determine o(s) valor(es) de a de forma que:

a) x ³ - 2 x ² + ax - 6 seja divisível por x + 2 .

b)-2 x ⁴ + 3 dividido por x - a tenha de resto -29 .

21

Determine o polinómio A ( x ) de 3.º grau que admite os zeros -2 , 1 e 3 e cujo resto da divisão por x + 1 é igual a 2 .

22

Quais são os valores de a e b que tornam o polinómio A ( x ) = x ⁴ + 2 x ³ + ax + b divisível por ( x - 1) ² ?

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

17

18

19

20

21

22

23

Considere que os números reais x ₁ , x ₂ e x ₃ , distintos entre si, são as únicas raízes de um polinómio de 7.º grau A( x) . Sabe-se, ainda, que x ¹ tem multiplicidade 2 e que x ₂ tem multiplicidade 3 .

23.1Justifique que x ₃ não pode ter multiplicidade superior a 2 .

23.2 ​Indique, justificando, qual é a multiplicidade de x ₃ .

Caderno de Apoio do 10.º ano

24

Decomponha em fatores do menor grau possível os seguintes polinómios:

a)2 x ² - 2 x - 180

b) x ³ + 2 x ² - 15x

c)3 x ³ - 27 x ² + 18 x + 48, sabendo que -1 é um dos seus zeros.

d)- x ⁴ - x ² + 90 , sabendo que é divisível por x ² - 9 .

25

Considere a família de polinómios:

A( x) = 2 x ⁴ - kx ³ - 14 x ² + 16 x + 24

25.1 ​Determine k de modo que 1 seja zero de A( x) .

25.2.1 ​Determine o quociente e o resto da divisão de A( x) por 4 - x ² .

25.2.2 ​Decomponha A( x) em fatores do 1.º grau e resolva a equação

A( x) = 0.

26

Considere o polinómio:

P( x) = x 2n+1 - x 2n - x + 1 , em que n IN

P( a) + P(- a) = 2 - 2 a 2n

P( x) = ( x - 1)( xn - 1)( xn + 1)

Justifique que -1 e 1 são zeros de P e calcule o grau de multiplicidade de 1 .

P( x) 1

Adaptado de Caderno de Apoio do 10.º ano

27

Resolva em IR as seguintes condições:

a)( x + 2)( x ³ - 2 x ² - 9) 0

b) x ³ - 5 x ² + 6 x < 0

c)2 x ³ + 4 x ² > 2 x + 4

d) x ⁴ + 25 x ² 150

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

24

25

26

27

SUGESTÃO

O professor deve incentivar os alunos para que façam uma leitura atenta das
sínteses dos vários conteúdos estudados. Deste modo, os alunos aferem as suas
aprendizagens e podem proceder a uma autoavaliação e sistematização dos seus
conhecimentos.

As sínteses salientam ainda os aspetos mais importantes dos conteúdos abordados.

SUGESTÃO
Os exercícios apresentados percorrem todos os conteúdos lecionados, estabelecendo conexões entre os vários tópicos.

O professor pode selecionar alguns destes exercícios para trabalho autónomo do
aluno em vários momentos, e não apenas no final da unidade.

1

2

3

Se aumentarmos em 4 cm a aresta de um cubo, o seu volume é o óctuplo do volume inicial.

Qual é a medida inicial da aresta do cubo?

4

5

Indique qual das seguintes proposições é falsa:

6

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

2

3

4

5

6

7

O resto da divisão de x ³⁰⁰ - 1 por x + 1 é:

(D)1

8

O quociente da divisão inteira do polinómio P( x) = ( x + 1) ³( x ² + 3) por um polinómio de grau dois é um polinómio de grau:

(D)5

9

De um polinómio de segundo grau P ( x ) , sabe-se que:

* P(1) = -6

* P(0) = -3

* 3 é uma raiz de P ( x ) .

Então:

10

O valor de m para o qual o polinómio mx ³ - 6 x ² - 4 x - 8 tem -2 como zero é:

(D)5

11

O polinómio P( x) = x ³ + 5 x ² - 2 x - 24 é divisível por:

(A)( x - 3)( x + 2)

(B)( x - 2)( x + 3)

(C) x

(D) x - 3

12

O conjunto solução da condição x ² > 1 é:

(A)]1, + [

(B)]-1, 1[

(C) ]-1, + ​[

(D) ]- , -1[ ]1, + [

13

Indique quais das seguintes proposições é falsa:

14

O polinómio x( x + 1)( x - 3) é positivo em:

(A)]-1, 0 [ ] 3, + [

(B)]- , -1[ ] 0, 3[

(C) ]- , -1] [0, 3]

(D) [-1, 0] [3, + [

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Sem recorrer à calculadora, determine, nos casos em que tal seja possível, o valor dos seguintes radicais:

Determine a área e o perímetro dos seguintes polígonos:

17

18

Considere o prisma quadrangular representado na figura.

Sabe-se que:

* a aresta da base mede x cm ;

* a altura mede o dobro da aresta da base.

18.1Mostre que a área total do prisma é dada, em cm ² , por 10 x ² .

18.2.1 ​Calcule os valores exatos das medidas da diagonal facial [ AC] e da diagonal espacial [ AG] .

18.2.2 ​ Considere uma esfera centrada no centro do prisma e tangente às faces laterais do sólido. Determine o volume da porção do espaço exterior à esfera e interior ao prisma.

19

Apresente as expressões seguintes com denominador inteiro:

20

Simplifique, apresentando o resultado final sob a forma de uma potência de expoente racional:

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

17

18

19

20

​

21

22

Considere um triângulo equilátero de perímetro 12 cm . Determine o valor exato da sua área, em cm ² .

23

Sabendo que um cubo tem 96 cm ² de área total, determine o valor exato, em cm, da sua diagonal espacial.

24

A figura seguinte representa a planificação de uma pirâmide quadrangular regular em que:

* x + 2 representa a medida da aresta da base;

* x + 5 representa a medida do apótema da pirâmide.

A unidade de medida é o decímetro.

24.1Mostre que a expressão algébrica que representa a área total da pirâmide, A( x), é dada por: A( x) = 3 x ² + 18 x + 24

24.2Indique todos os valores que x pode assumir no contexto do problema.

24.3Calcule o valor exato do volume da pirâmide, em dm ³ , se a área total for
72 dm ² .

24.4Determine todos os valores de x de forma que A( x) 24 .

25

Para um certo valor de a IR , sabe-se que 2 ax ³ + 6 ax ² + 6 ax + 1 é um cubo de um polinómio de 1.º grau. Determine qual é esse polinómio e o valor de a .

26

Sejam A( x) = 2 x ⁴ + x - 1 e B( x) = x + 1 .

Determine, recorrendo a três processos distintos (algoritmo da divisão, método dos coeficientes indeterminados e regra de Ruffini), dois polinómios Q( x) e R( x) , tais que:

A( x) = B( x) × Q( x) + R( x) , gr[ R( x)] < gr[ Q( x)]

NOTA: Grau do polinómio R( x) pode representar-se por gr[ R( x)] .

27

Dividindo um polinómio A( x) por x + 3 , o quociente é x ² + 1 e o resto é 5 .

Qual é o resto da divisão de A( x) por x + 1 ?

28

Considere a, b IR\{0} .

Determine os valores de a e b de forma que o polinómio x ³ - ax ² - x - b seja divisível por x - a e por x - b .

29

Seja P( x) = x ² + kx + 2 , com k ​ IR .

Sabendo que dividindo P ( x ) por x + 1 ou dividindo por x - 2 o resto é igual, determine o valor de k .

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

22

23

24

25

26

​

27

28

29

30

Sabe-se que A( x) = - x3 + kx - 6 é divisível por 4 - 2 x , com k IR .

Determine k e as raízes de A( x) e escreva o polinómio na forma
a( x - b)( x - c)( x - d) .

31

Considere o polinómio de terceiro grau definido por:

A( x) = 2 x ³ - 14 x + 12

31.1Utilizando o algoritmo da divisão, determine o quociente e o resto da divisão de A( x) por x ² + 3 x

31.2Mostre que A(1) = 0 e determine os restantes zeros de A( x) .

32

Resolva as equações:

a) x( x ² - 4) + 3( x ² - 4) = 0

b) x ³ - x ² - x + 1 = 0

c)6 x ³ - 25 x ² + 3 x + 4 = 0 ( 4 é raiz)

d) x ⁵ + 3 x ⁴ - 9 x ³ - 23 x ² - 12 x = 0 ( -1 é um zero duplo do polinómio)

e) x ⁴ - 10 x ² + 9 = 0

33

Considere a família de polinómios e o polinómio A( x) definida por A( x) = 2 x ³ - 2 x ² - 8 x + k ,
k IR B( x) = 2 x - 2 .

33.1 Determine k , tal que -1 seja raiz de A( x) .

33.2 Considere k = 8 .

33.2.1 Utilizando a regra de Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão do polinómio A( x) por B( x) .

33.2.2 Decomponha A( x) em fatores de 1.º grau e resolva a inequação A( x) 0 .

34

Considere os polinómios:

A( x) = 2 x ³ - 6 x + 4 e B( x) = 2 x + 1

34.1Determine o quociente e o resto da divisão do polinómio A ( x ) por B ( x ) .

34.3 ​Decomponha A ( x ) em fatores de 1.º grau e resolva a inequação A ( x ) 0 .

35

Calcule todos os números reais cuja diferença entre o triplo do seu quadrado e o seu cubo é positiva.

36

Considere os polinómios A ( x ) = x ³ + 3 x ² - 4 e B ( x ) = x ⁴ - 5 x ³ + 6 x ² .

36.4 ​Fatorize o polinómio B ( x ) e resolva a inequação B ( x ) > 0 .

Caderno de Apoio do 10.º ano

37

Considere dois polinómios A( x) e B( x) , em que se sabe que:

* A ( x ) é um polinómio de 2.º grau divisível por x ² - 1 e o resto da divisão
por x é -2 ;

* B ( x ) é um polinómio de 1.º grau, tal que B(-2) = 0 e B(2) = 2 .

b) A ( x ) × B ( x ) 0

38

Sabe-se que B ( x ) é um polinómio de 3.º grau, tal que 2 é o único zero de B ( x ) :

> 0 + 2, + x IR, B ( x ) ] x
[

Resolva cada uma das seguintes condições:

a)(3 x - 7)B ( x ) 0

b)(- x2 - 1)B ( x ) > 0

c)( x2 - 5 x + 6)B ( x ) < 0

Adaptado do Caderno de Apoio do 10.º ano

39

Seja A ( x ) = ax ³ + 2 a ² x ² + a ³ x , a IR .

39.1Determine todos os valores de a tal que, dividindo A ( x ) por x - a , o resto seja 16 .

39.2Decomponha A ( x ) em fatores de 1.º grau e calcule a , tal que o conjunto solução de A ( x ) < 0 seja IR⁺\{2} .

40

* -3 , -2 , -1 e 1 são zeros do polinómio;

* o resto da divisão de P( x) por x é 6 .

40.1Defina P( x) sob a forma de um polinómio reduzido e ordenado.

P( x) > x ² + 2 x - 3

41

Considere os polinómios A ( x ) e B ( x ) cujo sinal está definido no quadro seguinte:

41.1Complete o quadro de sinais e indique o conjunto solução de
A ( x ) × B ( x ) > 0 .

41.2​Sabendo que B ( x ) é um polinómio de terceiro grau e que, dividido por x + 1 , tem de resto -2 , deduza uma expressão para B( x) .

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

37

38

39

40

41

A autoavaliação apresentada é global, fornecendo uma visão dos tópicos das duas unidades estudadas até ao momento. Esta pode ser realizada na aula ou como trabalho de casa e ser alvo de correção e de esclarecimento de dúvidas em
aulas reservadas para esse efeito.

Este teste serve igualmente como preparação para os testes sumativos e/ou testes intermédios.

SOLUÇÕES / RESOLUÇÕES

2

3

4

5

​

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5.1 Adição, subtração e multiplicação de polinómios Soma algébrica de polinómios Multiplicação de polinómios 5.2 Divisão inteira de polinómios Regra de Ruffini Aplicação da regra de Ruffini no caso em que o divisor é da forma ax - b, a 0 5.3 Divisibilidade de polinómios.

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Enc arregados de Educação

No âmbito da medida "Observatório de Monitorização para as Aprendizagens", integrada no Plano de Ação Estratégica de Promoção do Sucesso Escolar do Agrupamento de Escolas de Nisa e com o objetivo de aferir o grau de satisfação dos encarregad os de educação relativamente a esta organização, solicitamos a colaboração dos mesmos, através do preenchimento de um questionário anónimo ao qual poderão aceder, nos seguintes links:

Gratos pela colaboração!

António Mesquita Trigueiros

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Enc arregados de Educação No âmbito da medida "Observatório de Monitorização para as Aprendizagens", integrada no Plano de Ação Estratégica de Promoção do Sucesso Escolar do Agrupamento de Escolas de Nisa e com o objetivo de aferir o grau de satisfação dos encarregad os de educação relativamente a esta organização, solicitamos a colaboração dos mesmos, através do preenchimento de um questionário anónimo ao qual poderão aceder, nos seguintes links: Gratos pela colaboração!

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Às vezes, encontramos funções que têm um comportamento especial, visível no seu gráfico: há uma repetição, isto é, a curva apresenta as mesmas características em intervalos subsequentes. Para entendermos esse conceito observemos algumas situações em que isso ocorre.

A função é um primeiro exemplo de função periódica.

Existem funções muito simples que são periódicas, embora não sejam trigonométricas .

A fim de estabelecer a definição rigorosa, podemos antes perceber qual a idéia que está por trás do conceito. De fato, conhecido o gráfico de uma função periódica em um determinado intervalo de seu domínio, automaticamente o conhecemos em todo o domínio.

Definição: Uma função f é dita periódica com período p se seu domínio contém x+p sempre que contém x, e se f(x)=f(x+p) para todo x.

Da definição segue, imediatamente que, se p é um período de f, então 2p também é um período e, na verdade, o mesmo ocorre com qualquer múltiplo inteiro de p, ou seja, temos a seguinte:

Propriedade: Se f é uma função periódica de período p, então n.p com , também é um período para f.

A definição de função periódica dada pela equação para todo x, permite a possibilidade de períodos negativos. Entretanto, na maioria das aplicações, o período representa um comprimento ou um intervalo de tempo e, desta forma, é mais conveniente considerá-lo positivo. Em qualquer caso, o sinal negativo pode ser trocado mudando o sentido do eixo da variável independente. Assim, sem perda de generalidade, podemos considerar p como sendo positivo.

O menor valor positivo de verdade que p, se existir, para o qual é para todo x, é denominado o período fundamental de f.

Dada uma função periódica f, a função f₁ tal que , onde k é uma constante real, também é periódica e de mesmo período.

Dada uma função periódica f, a função f₂ tal que , onde a é um número real não nulo, também é um função periódica e de mesmo período.

Dada uma função periódica f, a função f₃ tal que , onde m é uma constante real, também é periódica e de mesmo período.

Dada uma função periódica f, a função f₄ tal que , onde b é um número real não nulo também é um função periódica. Entretanto, o período da função f₄ não é o mesmo que aquele da função f.

# data[].attributes.attachment_link.description
Às vezes, encontramos funções que têm um comportamento especial, visível no seu gráfico: há uma repetição, isto é, a curva apresenta as mesmas características em intervalos subsequentes. Para entendermos esse conceito observemos algumas situações em que isso ocorre. A função é um primeiro exemplo de função periódica.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Caros alunos,

disponibilizo aqui as fichas de trabalho, testes e questões de aula que realizamos durante este primeiro período. Quero salientar que alguns exercícios e problemas são retirados de manuais de 10º ano de diferentes editoras.

Ficha de trabalho nº 3 (Condições e Conjuntos)
Correção da ficha de trabalho nº 3 (Condições e conjuntos) - brevemente

Teste diagnóstico
Teste nº 1
A correção do teste diagnóstico e teste nº 1 foi realizada em sala de aula, pelo que não será apresentado a resolução em suporte digital.

Continuação de bom trabalho,
A professora Cristina Alves

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Caros alunos, disponibilizo aqui as fichas de trabalho, testes e questões de aula que realizamos durante este primeiro período. Quero salientar que alguns exercícios e problemas são retirados de manuais de 10º ano de diferentes editoras.

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Exercícios de reforço - Matemática 3º ciclo

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Exercícios de reforço 11-expressões e equações.pdf

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a recuperar dos défices que se acumularam no ano anterior.

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Aqui poderá ter acesso a resumos, fichas e testes de Matemática, para o 7º ano de escolaridade. Para fazer o download e imprimir, clique na matéria ou ficha pretendida.

NOTA IMPORTANTE: todas as semanas são adicionadas novas fichas. Para ficar a par das novidades siga a nossa página de Facebook.

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Fichas para Estudar - Fichas e testes de Matemática 7º ano

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Aqui poderá ter acesso a resumos, fichas e testes de Matemática, para o 7º ano de escolaridade. Para fazer o download e imprimir, clique na matéria ou ficha pretendida. NOTA IMPORTANTE: todas as semanas são adicionadas novas fichas. Para ficar a par das novidades siga a nossa página de Facebook.

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Resolução do Manual - Professora Salete Francisco

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Biblioteca ESRamada

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100 ferramentas digitais para avaliações formativas

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100 ferramentas digitais para avaliações formativas

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A chave para garantir o sucesso de aprendizagem do aluno é entender o que cada método (instrumento de avaliação diagnóstico, formativo ou somativo) pode contribuir para os objetivos de aprendizagem e para, de fato, melhorar os níveis de aprendizado individuais.

E você sabe quando utilizar esses três tipos de instrumentos de avaliação?

Antes de listarmos recursos tecnológicos para uso em sala de aula, vamos restaurar alguns conceitos:

A avaliação diagnóstica, formativa e a avaliação somativa são formas para avaliação de estudantes. Embora o objetivo comum seja estabelecer o desenvolvimento, os pontos fortes e os pontos fracos, cada tipo de instrumento acaba oferecendo ações diferentes para os educadores.

Fonte da imagem: Elaborado pela autora

O que é uma avaliação Diagnóstica?

A avaliação diagnóstica é uma forma de pré-avaliação que permite que professor tenha acesso às forças, fraquezas, conhecimentos e habilidades individuais de seus alunos antes da instrução. É usado principalmente para diagnosticar dificuldades do aluno e orientar o planejamento do plano de aula.

O que é uma avaliação formativa?

As avaliações formativas são utilizadas durante o processo de ensino e aprendizagem, sendo usada para monitorar o estilo e a capacidade de aprendizado dos alunos.

Fornecer um feedback contínuo sobre a aprendizagem permite aos educadores e professores que melhorem e ajustem os métodos de ensino para aumentar e engajar a aprendizagem de seus alunos.

A avaliação formativa é ainda, uma maneira flexível e informal de avaliar o progresso de seus alunos. Esse tipo de instrumento ajuda alunos a identificar pontos fortes e fracos e os direcionam no esforço de seu aprendizado.

Na medida que a jornada de cada aluno progride, outras avaliações formativas podem indicar se o plano de aula e de ensino precisam de ajustes para reforçar e ampliar o aprendizado em sala de aula.

O que é uma avaliação Somativa?

A avaliação somativa tem como objetivo avaliar a aprendizagem e o desempenho acadêmico ao final do período (como semestre, bimestre etc.). As avaliações somativas normalmente tem uma importância maior visto que seu peso e pontuação podem compor um valor maior na nota final do aluno.

A importância de uma avaliação somativa se dá principalmente pelas instruções voltadas para padrões, fornecendo uma referência para verificação do progresso do aluno (vide ENEM, ENAD, PISA, entre outros). As avaliações somativas contribuem no planejamento geral de um currículo uma vez que indicam os gaps entre o conhecimento e as metas e objetivos de aprendizagem.

Dada a importância das avaliações formativas no processo de ensino e aprendizagem, separei algumas ferramentas, aplicativos e sites que podem oferecer mais diferentes tipos de instrumentos para professores utilizarem em sala de aula:

COM USO DE PESQUISAS E QUIZZES COM FEEDBACK INSTANTÂNEO

1. Google Formulários: crie formulários com hiperlinks, imagens e vídeos. Use-os para levantamentos e questionários.

2. Forms da Microsoft: crie formulários com hiperlinks, imagens e vídeos. Use-os para levantamentos e questionários.

3. Zoho Survey: crie formulários com hiperlinks, imagens e vídeos. Use-os para levantamentos e questionários.

4. Pool Everywhere: um aplicativo de pesquisa em tempo real que funciona com o celular, o Twitter ou o navegador da Web e pode ser usado como suplemento no PowerPoint.

5. Plickers: é um aplicativo simples que permite aos professores coletarem dados de avaliação formativa em tempo real, sem a necessidade de dispositivos de alunos.

6. Socrative: um serviço gratuito baseado na Web que permite avaliar os alunos com atividades preparadas anteriormente ou por perguntas rápidas para obter uma visão imediata do entendimento do aluno.

7. eSurvey Creator: uma ferramenta que permite aos professores criar questionários e pesquisas de maneira rápida e fácil. Existe uma opção gratuita, mas é por um período limitado de tempo.

8. FreeOnlineSurveys: permite que os professores criem pesquisas, questionários, formulários e enquetes com rapidez e facilidade.

9. GoSoapBox: gratuito para menos de 30 alunos, este sistema de respostas para todos os alunos funciona com o modelo BYOD (Bring Your Own Device - Trazer seu Próprio Dispositivo), portanto, não é cobrado por um click.

10. GoFormative: esse sistema on-line de respostas para todos os alunos fornece aos professores a oportunidade de atribuir atividades aos alunos, receber os resultados em tempo real e fornecer feedback imediato aos alunos.

11. Kahoot: um sistema de resposta em sala de aula baseado em jogos, onde os professores podem criar questionários usando o conteúdo da Internet.

12. Obsurvey: crie pesquisas, enquetes e questionários de forma rápida e fácil.

13. PollMaker: uma ferramenta de pesquisa popular que possui alguns recursos exclusivos, como permitir várias respostas a uma pergunta.

14. Quia: os professores podem criar jogos, questionários, pesquisas e muito mais e acessar um banco de dados de questionários existentes de outros educadores.

15. Mentimeter: permite que você use telefones celulares ou tablets para votar em qualquer pergunta que um professor faça, aumentando o envolvimento do aluno.

16. Kaizena: uma ferramenta on-line para fornecer aos alunos feedback em tempo real sobre seu trabalho. Os professores podem destacar ou falar para dar feedback verbal e anexar recursos reutilizáveis criados pelo professor ao trabalho do aluno.

17. Micropoll: uma ótima ferramenta para criar rapidamente enquetes e analisar respostas. As pesquisas podem ser incorporadas em sites também.

18. ProProfs: crie e teste conhecimento com questionários rápidos, enquetes e pesquisas.

19. SurveyMonkey: os professores podem criar e fornecer enquetes e pesquisas on-line. (este é um aplicativo que requer uma taxa mensal, mas talvez valha a pena o custo, dependendo de suas necessidades de pesquisa ou pesquisa.)

20. PearDeck: planeje e crie apresentações interativas nas quais os alunos possam participar usando o celular/ smartphone /ipad ou outtro dispositivo. Uso gratuito limitado e oferece tipos de pergunta exclusivos. Possui integração com Gmail, Drive, Teams, Google para Sala de aula e outros.

21. Flipgrid: os alunos podem usar vídeos de 15 a 5 minutos para responder aos quizzes e professores e colegas podem fornecer feedback imediato.

22. Naiku: os professores podem criar com facilidade e rapidez questionários que os alunos podem responder usando seus dispositivos móveis. Ótimo para verificar a compreensão antes e depois de uma aula.

23. QuickkeyApp: ajuda os professores com marcação precisa, classificação instantânea e feedback imediato para melhor envolvimento do aluno.

24. Quizalize: uma ótima ferramenta que permite que os professores criem facilmente questionários e trabalhos de casa para os alunos. Os professores podem então ver como os alunos fizeram e identificar áreas para melhoria.

25. Quizlet: crie flashcards, testes, questionários e jogos de estudo que são envolventes e acessíveis on-line e através de um dispositivo móvel.

26. Spiral: uma ferramenta rápida que dá aos professores acesso ao feedback de avaliação formativa.

27. SurveyPlanet: outra ferramenta de criação de pesquisas que os professores podem usar para avaliar o aprendizado dos alunos.

28. Triventy: uma plataforma gratuita de perguntas que permite que os professores criem questionários que os alunos respondem em tempo real.

29. Typeform: uma ferramenta de criação de enquetes que permite aos professores adicionar elementos gráficos.

30. Verso Learning: descrito como uma ferramenta de feedback, este aplicativo permite que os professores configurem o aprendizado usando uma URL. Os alunos baixam o aplicativo e inserem suas respostas na tarefa. Eles podem, então, postar seus comentários e responder aos comentários dos outros. O professor pode agrupar respostas e verificar os níveis de engajamento.

31. Quizizz: outro ótimo aplicativo de criação de jogos e questionários.

32. Quizalize: o professor insere suas próprias perguntas ou eles podem usar um questionário pré-fabricado. Com integração com Google Sala de Aula.

33. Yacapaca!: permite que os professores criem e atribuam questionários com facilidade.

34. Crowdsignal: maneira rápida e fácil de criar enquetes, questionários e perguntas on-line. Os alunos podem usar smartphones, tablets e computadores para fornecer suas respostas, e as informações podem ser selecionadas para relatórios.

35. Answer Pad: permite que os professores capturem dados de alunos usando a web ou o aplicativo e é considerado ideal para a sala de aula invertida ou mista.

36. Nearpod: essa ferramenta é interessante, pois você pode não apenas reunir evidências de aprendizado do aluno, como um sistema de respostas para todos os alunos, mas também criar lições diferenciadas com base nos dados coletados. A versão básica (30 alunos ou menos) é gratuita.

37. ClassKick: este aplicativo permite que os professores postem tarefas para os alunos, para que tanto o professor quanto os colegas possam fornecer feedback. Os alunos podem monitorar seu progresso.

38. Edulastic: permite que os professores criem avaliações alinhadas por padrões rapidamente e recebam feedback instantâneo dos alunos para ajustar o aprendizado.

COM USO DE NUVEM DE PALAVRAS

39. Tagxedo: um gerador de tag que permite examinar o consenso dos alunos e facilitar o diálogo.

40. Wordables: este aplicativo permite que você esclareça evidências de aprendizagem ou determine o conhecimento sobre determinado tópico.

41. WordArt: Esse gerador de nuvem de palavras possui um recurso adicional que permite ao usuário transformar cada palavra em um link ativo para se conectar a um site.

42. Wordle: gera nuvens de tags a partir de qualquer texto inserido para ajudar a agregar respostas e facilitar a discussão.

43. WordSalad: este aplicativo gera nuvens de palavras a partir do texto que você fornece, e elas podem ser exportadas e compartilhadas.

Class Tools: essa ferramenta permite que o professor insira uma lista de turma e facilita a escolha aleatória (sorteio) de alunos. Você também pode adicionar uma lista de palavras-chave e usar a ferramenta para que a turma solicite que um aluno adivinhe a palavraapós fornecer definições.

COM USO DE ÁUDIOS

44. Audio Note: uma combinação de gravador de voz e bloco de notas que captura áudio e notas para colaboração de alunos.

45. QuickVoice Recorder: outro aplicativo de gravação de voz grátis para o iPhone ou iPad que permite gravar aulas, discussões ou outros arquivos de áudio. Você pode sincronizar suas gravações para o seu computador facilmente para uso em apresentações.

46. Vocaroo: um serviço gratuito que permite aos usuários criar gravações de áudio sem a necessidade de software. Você pode facilmente incorporar a gravação em apresentações de slides, apresentações ou sites. Ótimo para trabalho em grupo colaborativo e apresentações.

47. VoiceThread: permite criar e compartilhar conversas em documentos, diagramas, vídeos, imagens ou quase tudo. Isso facilita a discussão e o trabalho colaborativo dos alunos.

48. Voxer: gravação de voz que permite que os alunos ouçam e auto avaliem suas ideias e atribuições. Você pode enviar gravações para os pais, para que eles possam ouvir como seus alunos estão, permitir que os alunos conversem sobre seu trabalho ou fornecer feedback.

COM USO DE BATE-PAPO

49. Backchannel Chat: este site oferece uma versão moderada do Twitter pelo professor. É possível criar uma nuvem de tags e ver quais é o foco da conversa entre os alunos

50. Chatzy: bate-papos ao vivo são ótimos companheiros para a discussão em sala de aula.

51. Go Synth: a ferramenta de bate-papo educacional permite que os professores postem perguntas e os alunos respondam por meio do tópico. Os alunos podem responder por texto ou vídeo, ótimo app para reunir dados de avaliação formativa no início, meio ou fim das unidades.

52. Skype: esta plataforma popular e amplamente conhecida fornece ferramentas de reuniões de grupo que podem ser particularmente eficazes para que os participantes remotos se juntem.

53. WorkSpace do Facebook: comunique-se, colabore e conecte-se por desktop e dispositivos móveis, usando recursos conhecidos, como grupos, bate-papo e ligações de vídeo.

54. Google Hangouts: tornar-se uma alternativa cada vez mais popular para o Skype para trazer grupos remotos de pessoas para se comunicar e colaborar.

COM USO DE VÍDEOS

55. Classkick: faça o upload de um PDF e adicione texto, desenhos, fotos, hiperlinks e gravações de áudio para criar conteúdo de aula dinâmica.

56. Seesaw: os alunos mostram seu trabalho com fotos, vídeos, desenhos, textos, PDFs e links.

57. PlayPosit: uma ferramenta interativa de vídeo e avaliação que permite aos professores adicionar recursos de avaliação formativa. Os professores escolhem a partir de uma biblioteca de conteúdo de vídeo de sites populares como o YouTube, o Vimeo e outros.

58. Animoto: permite que os alunos façam um pequeno vídeo compartilhado de 30 segundos sobre o que aprenderam em uma determinada aula.

59. Filmora: facilita os alunos a editarem os próprios vídeos (disponível pelo celular).

60. iMovie: facilidade de criação de vídeos pelo celular (disponível apenas na Apple Stpore)

COM USO DE MAPAS MENTAIS

61. Conceptboard: este software facilita a colaboração em equipe em um formato visual - semelhante ao mapeamento mental, mas usando entradas visuais e textuais.

62. iBrainstorm: um aplicativo para iPad que permite que os alunos colaborem em projetos usando uma caneta ou seu dedo na tela.

63. Lino: um quadro de avisos virtual de notas adesivas para que os alunos possam fornecer perguntas ou comentários sobre seu aprendizado.

64. Coggle: uma ferramenta de mapeamento mental projetada para entender o pensamento do aluno.

65. XMind: um software de mapeamento mental para uso em computadores e laptops.

66. Bubbl.us: a ferramenta gratuita permite aos usuários criar facilmente mapas mentais, que podem ser exportados em vários formatos.

COM USO DE BRAINSTORM

67. Answergarden: uma ferramenta para brainstorming ou pesquisa on-line, os educadores podem usar essa ferramenta em tempo real para ver o feedback dos alunos sobre as perguntas.

68. Dotstorming: um aplicativo de quadro branco. Essa ferramenta é boa para gerar discussão de classe e brainstorming sobre diferentes tópicos e perguntas.

69. Buncee: uma ferramenta de criação e apresentação que ajuda alunos e professores a visualizar, comunicar e engajar conceitos e ideias em sala de aula.

COM USO DE QUADROS BRANCOS INTERATIVOS

70. Miro for Education: os professores podem convidar alunos e colaborar com toda a turma em tempo real.

71. ShowMe Interactive Whiteboard: outra ferramenta de quadro branco que alunos e professores podem usar para verificar a compreensão.

72. Educreations Interactive Whiteboard: Um aplicativo de quadro branco que fornece aos alunos a ferramenta para compartilhar compreensão e compreensão.

73. WhiteBoard da Microsoft: tela digital de forma livre, na qual ideias, conteúdo e alunos se reúnem.

74. Padlet: fornece uma tela essencialmente em branco para os alunos criarem e projetarem projetos colaborativos. Ótimo para brainstorming.

COM USO DE SALAS DE AULA COLABORATIVAS

75. Microsoft Teams: Microsoft Teams é uma plataforma de comunicações unificadas que combina bate-papo persistente no local de trabalho, reuniões de vídeo, armazenamento de arquivos e integração de aplicativos.

76. ClassPulse: espaço seguro onde seus alunos podem se comunicar, fazer perguntas e compartilhar feedback formativo anônimo com o professor.

77. RabbleBrowser: um aplicativo para iPad que permite que um líder facilite uma experiência de navegação colaborativa.

78. Classflow: permite que você construa lições usando cartões de conteúdo.

79. Piazza: uma plataforma que permite que os professores façam upload de palestras, trabalhos e responder às perguntas dos alunos e pesquisar os alunos sobre o conteúdo da turma.

80. BookSnap: fornece uma maneira digital para os alunos interagirem com o texto e com outros alunos.

81. Twiddla: oferece um quadro branco colaborativo muito fácil de usar.

82. Google Drive: permite compartilhar e editar colaborativamente o Google Docs com qualquer pessoa que tenha uma conta do Google gratuitamente.

83. Edmodo: compartilhe conteúdo, tenha um diálogo (dentro ou fora da sala de aula), e até mesmo com envolvimento dos pais.

84. Yammer (Microsoft): é uma rede social privada. Trabalhe em grupos, compartilhe arquivos, coedite conteúdo e muito mais com seu plano básico gratuito.

85. Vyew: pode fazer upload de imagens e documentar e escrever sobre eles, ter uma discussão em torno deles, e muito mais.

86. Cacoo: crie fluxogramas e diagramas online com colaboração em tempo real. Esta ferramenta muito útil em uma ampla variedade de disciplinas acadêmicas, e ser capaz de editá-los colaborativamente.

87. Power School: os professores economizam tempo com instrução, classificação, coleta e devolução de atribuições.

88. Minecraft: jogos multiplayer pode ser uma ótima maneira de fornecer uma experiência interativa e colaborativa na sala de aula.

89. Economics-games: é um site gratuito de jogos educativos para o ensino de microeconomia, organização industrial e teoria do jogo.

90. Word of Warcraft: é um site gratuito de jogos educativos para o ensino de microeconomia, organização industrial e teoria do jogo

91. Think Wave: Acesso on-line para alunos e pais. Relatórios personalizados.

92. Crowdmark: é uma plataforma de análise e classificação on-line colaborativa.

93. Twitter: com #hashtags colete e compartilhe pesquisas ou notícias, crie um poema ou história de classe (um aluno publica a hashtag de cada vez, se revezando para construir o conteúdo).

COM USO DE RUBRICAS

94. ForAllRubrics: este software é gratuito para todos os professores e permite importar, criar e pontuar rubricas no seu iPad, tablet ou smartphone. Você pode coletar dados off-line sem acesso à Internet, calcular pontuações automaticamente e imprimir ou salvar as rubricas como um PDF ou uma planilha.

95. Peergrade: uma plataforma que permite que os professores criem atribuições e enviem rubricas. Os estudantes enviam trabalhos e recebem trabalho de pares anonimamente para revisar de acordo com a rubrica.

96. Rubrica Express: é possível criar um sistema prático e rápido na elaboração de sua rubrica.

97. Online Rubric: use a rubrica online para qualquer atribuição, incluindo apresentações, desempenho e notas de participação, e envie notas para seus alunos sem o incômodo e o desperdício de papel e copiadores. É uma Ad-on para Google Sheets.

98. Quick Rubric: é uma ferramenta de avaliação usada para marcar atribuições ou performances.

99. Rubrics Online: é uma rubrica usando o aplicativo. Como instrutor, você define sua escola (s), cursos e atribuições.

100. Rubistar: é uma ferramenta gratuita para ajudar os professores a criar rubricas de qualidade.

Conhece mais alguma ferramenta que não foi listada aqui? Deixe nos comentários!

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100 ferramentas digitais para avaliações formativas

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A chave para garantir o sucesso de aprendizagem do aluno é entender o que cada método (instrumento de avaliação diagnóstico, formativo ou somativo) pode contribuir para os objetivos de aprendizagem e para, de fato, melhorar os níveis de aprendizado individuais. E você sabe quando utilizar esses três

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Nuvem de letras

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Word Art word cloud art created by MLTLMimoso

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Operações de equivalência, negação, disjunção, conjunção e implicação de proposições. Tabelas de verdade. Resolução de exercício.
Aula 2:Propriedades das operações
Propriedades da disjunção, conjunção, negação e implicação. Resolução de exercícios.
Aula 3: Condições e Quantificadores
Definições de condições, quantificador universal e existencial. Resolução de exercícios.
Aula 4: Propriedades das Condições
Propriedades da disjunção, conjunção e negação de condições com quantificadores. Resolução de exercícios.
Aula 5: Propriedades das Condições
Interseção, reunião, complementar e diferença de conjuntos. Propriedades e relação com condições. Resolução de exercícios.
Aula 6: Radicais e Propriedades
Fatorização e simplificação de raízes. Racionalização de denominadores. Resolução de exercícios.

Propriedades. Resolução de exercícios.
Aula 8: Divisão de Polinómios

Polinómios: definição, divisão, regra de Ruffini e método dos coeficientes indeterminados. Resolução de exercícios.
Aula 9: Decomposição de Polinómios
Polinómios: teorema do resto e decomposição. Resolução de exercícios.

Inequações com polinómios. Equação biquadrática. Resolução de exercícios.
Aula 11: Referenciais no Plano
Referenciais no plano, coordenadas, quadrantes, retas, semiplanos, regiões, projeções ortogonais e simetrias. Resolução de exercícios.
Aula 12: Referenciais no Espaço
Referenciais no espaço: coordenadas, retas, planos, octantes e simetrias. Resolução de exercícios.
Aula 13: Lugares Geométricos
Lugares Geométricos no plano e no espaço: distância, mediatriz, circunferência, círculo, elipse, superfície esférica, esfera e plano mediador. Resolução de exercícios.
Aula 14: Vetores: Soma e Produto por um Escalar
Vetores: definição, soma entre vetores e produto por um escalar. Propriedades. Resolução de exercícios.
Aula 15: Vetores: Coordenadas no Plano e no Espaço
Vetores: coordenadas no plano e no espaço. Lista de propriedades. Vetores colineares. Resolução de exercícios.
Aula 16: Retas no Plano e no Espaço
Reta: equação vetorial e equação reduzida. Resolução de exercícios.
Aula 17: Generalidades de Funções
Generalidades de funções: definição, gráfico, restrição de uma função, injetiva, sobrejetiva, bijetiva, composta e inversa. Resolução de exercícios.
Aula 18: Funções Reais de Variável Real
Funções Reais: definição, gráfico, zeros, sinal, extremos, monotonia, paridade e transformações. Resolução de exercícios.
Aula 19: Funções Quadráticas
Função Quadrática: definição, características, forma geral, vértice, zeros e inequações. Resolução de exercícios.

Função Módulo: definição, equações, inequações e funções definidas por ramos. Resolução de exercícios.
Aula 21: Funções Definidas por Radicais
Funções Definidas por radicais:definição, equações, inequações e funções com raiz quadrada e raiz cúbica. Resolução de exercícios
Aula 22: Operações com Funções
Operações com funções: soma, diferença, produto, quociente e potência racional. Resolução de exercícios.

Estatística: somatório, amostra, média, desvio padrão e percentil. Propriedades. Resolução de exercícios.

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Videoaulas de Matemática do 10º ano - Matemática Simples

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Operações de equivalência, negação, disjunção, conjunção e implicação de proposições. Tabelas de verdade. Resolução de exercício. Aula 2:Propriedades das operações Propriedades da disjunção, conjunção, negação e implicação. Resolução de exercícios. Aula 3: Condições e Quantificadores Definições de condições, quantificador universal e existencial. Resolução de exercícios.

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Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva

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Publicada em

Manual de matemática 10º ano

1. 1. MATEMÁTICA A 10.º ANO Caderno de exercíciosANTÓNIO PAMPULIM CRISTINA VIEGAS SÉRGIO VALENTE INCLUI: * Sínteses com exemplos * Mais de 500 exercícios propostos * Respostas * Testes 5+5 (OFERTA ONLINE)

2. 2. Tema Tema Tema Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos Geometria Analítica Álgebra Índice 1 3 2 1. Proposições 4 Proposições 4 Valor lógico de uma proposição 5 Equivalência 5 Negação 6 Conjunção e disjunção 7 Propriedades da negação, da conjunção e da disjunção 9 Implicação 10 Propriedades da implicação e da equivalência 11 2. Condições e conjuntos 13 Condições 13 Solução de uma condição 14 Operações lógicas sobre condições 15 Quantificador existencial. Condições possíveis e condições impossíveis 17 Quantificador universal. Condições universais 18 Segundas leis de De Morgan 20 Conceito de contraexemplo 21 Definição de um conjunto em extensão 21 Definição de um conjunto em compreensão 21 Igualdade de conjuntos. Relação de inclusão. Interseção, união e diferença de conjuntos 22 Operações sobre condições e sua tradução em termos de conjuntos 24 1. Geometria analítica no plano 46 Referencial ortonormado 46 Distância entre dois pontos 47 Ponto médio de um segmento de reta 48 Reta 49 Mediatriz de um segmento de reta 51 Circunferência 52 Círculo 53 Elipse 54 Semiplanos 57 2. Cálculo vetorial no plano 59 Vetores 59 Adição de vetores 60 Produto de um vetor por um número real (escalar) 61 Coordenadas de um vetor 63 Soma de um ponto com um vetor 64 Diferença entre dois pontos 65 Vetor diretor de uma reta. Relação com o declive da reta 66 Equação vetorial de uma reta. Sistema de equações paramétricas de uma reta 67 1. Radicais e potências de expoente racional 28 Monotonia da potenciação 28 Definição de ͙ n a (raiz índice n de a ), com n ʦ N e n ≥ 2 29 Propriedades dos radicais 29 Racionalização de denominadores 32 Potências de expoente racional 33 Resolução de problemas 34 2. Polinómios 35 Noção de polinómio 35 Operações com polinómios 36 Casos notáveis 37 Divisão inteira de polinómios 37 Regra de Ruffini 40 Teorema do resto 41 Raiz ou zero de um polinómio 41 Raiz de multiplicidade n de um polinómio 42 Fatorização de polinómios 43 Exercícios globais 44

3. 3. 3. Geometria analítica no espaço 69 Referencial ortonormado no espaço 69 Planos paralelos aos planos coordenados 71 Retas paralelas aos eixos coordenados 72 Distância entre dois pontos 73 Plano mediador de um segmento de reta 74 Superfície esférica 75 Esfera 76 4. Cálculo vetorial no espaço 79 Vetores do espaço 79 Coordenadas de um vetor 79 Soma de um ponto com um vetor 80 Diferença entre dois pontos e soma de um ponto com um vetor 81 Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta 82 Equação vetorial de uma reta. Sistema de equações paramétricas de uma reta 82 3. Monotonia, extremos e concavidade 103 Imagem de zero e zeros de uma função 103 Sinal de uma função 104 Funções limitadas 105 Monotonia 106 Extremos 107 Concavidades 109 4. Estudo elementar de algumas funções e operações sobre funções 110 Funções polinomiais Função quadrática Inequações do segundo grau Função cúbica Inequações do terceiro grau Funções definidas por ramos Função módulo Função composta de duas funções das quais uma é a função módulo Equações e inequações envolvendo a função módulo Resolução de equações e inequações irracionais envolvendo radicais quadráticos Função raiz cúbica Operações com funções Tema Tema Funções Reais de Variável Real Estatística 4 51. Generalidades acerca de funções 86 Conceito de função 86 Restrição de uma função 87 Imagem de um conjunto por uma função 88 Função injetiva 89 Função sobrejetiva 89 Função bijetiva 90 Composição de funções 91 Função identidade 92 Função inversa de uma função bijetiva 92 2. Generalidades acerca de funções reais de variável real 93 Função real de variável real 93 Gráfico cartesiano de uma função real de variável real 94 Teste da reta vertical 95 Teste da reta horizontal 96 Funções pares 96 Funções ímpares 98 Relação entre o gráfico de uma função f bijetiva e o gráfico da função f-1 100 Transformações de gráficos 101 1. Características amostrais O símbolo de somatório Variável estatística quantitativa Amostra de uma variável estatística Dados agrupados Média Desvios em relação à média Soma dos quadrados dos desvios em relação à média Variância e desvio padrão Teorema de Chebycheff Amostra ordenada Percentil de ordem k Percentis de ordem 25, 50 e 75 Percentil de ordem k de um conjunto de dados quantitativos organizados em classes Respostas

4. 4. Tema Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos1

5. 5. Proposições Proposição é uma expressão suscetível de ser verdadeira ou de ser falsa. Exemplos: São proposições: 2 + 3 = 5 "O mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6 é 24." "Lisboa é a capital de Portugal." proposições expressões que designam entes, como, por exemplo: 2 + 3 "O mínimo múltiplo comum dos números 4 e 6." "A capital de Portugal." Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente verda- deira e falsa. Por isso, afirmações verdadeiras para uns e falsas para outros não são proposições. Exemplos: "Coimbra é uma linda cidade." "A Julia Roberts é mais bonita que a Jodie Foster." 1. Das seguintes expressões, indica as que são proposições. "A cenoura é mais saborosa que o tomate." "O rio Douro nasce na serra da Estrela." "Maradona foi o melhor jogador de futebol de sempre." "O maior número inteiro menor do que ." "O máximo divisor comum dos números 10 e 24." "O menor número primo é par." Julia Roberts Jodie Foster 4 1. Proposições

6. 6. Valor lógico de uma proposição Se uma proposição é verdadeira, dizemos que tem valor lógico "verdade" (V). Se uma proposição é falsa, dizemos que tem valor lógico "falso" (F). 2. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) -3 - 5 = 8 b) 1 2 + 1 3 = 2 5 c) 2 3 7 = 14 3 d) 23 + 25 = 28 e) 3 - Θ͙2 - 2Ι = 1 - ͙2 f) 2-4 = -8 g) "4 é o máximo divisor comum dos números 12 e 16." h) "40 é o mínimo múltiplo comum dos números 4 e 10." i) "A soma dos números primos que pertencem ao intervalo [1, 9] é um número primo." j) "A área de um triângulo equilátero que tem perímetro 6 é ͙3 ." Equivalência Dadas duas proposições, p e q , podemos construir a proposição p q , que se lê " p é equivalente a q ", a qual é verdadeira se as proposições p e q tiverem o mesmo valor lógico e é falsa se as proposições p e q não tiverem o mesmo valor lógico. Exemplos: a proposição 50 = 1 > 2 é verdadeira ( 50 = 1 e > 2 são proposições verdadeiras); a proposição 32 = 6 -5 > 0 é verdadeira ( 32 = 6 e -5 > 0 são proposições falsas); a proposição 4 < -5 2 + 1 = 3 é falsa ( 4 < -5 é falsa e 2 + 1 = 3 é verdadeira). Tabela de verdade: p q p q V V V V F F F V F F F V 3. Considera as seguintes proposições: p : "O número ͙49 é racional." q : 2 + 3 × 4 = 20 r : -3 < -5 s : "Os números 2 e 3 são divisores de 3456." Indica o valor lógico das seguintes proposições. a) p q b) q r c) p s 4. Sejam p e q duas proposições tais que p é falsa e q é verdadeira. Indica, justificando, o valor lógico da proposição (p q) p . 5

7. 7. Negação Dada uma proposição p , podemos construir a proposição ϳp , que se lê "não p ", a qual é verdadeira se a proposição p for falsa e é falsa se a proposição p for verdadeira. Exemplo: A negação da proposição "Barcelona é uma cidade francesa." é "Barcelona não é uma cidade francesa." Tabela de verdade: p ϳp V F F V Tem-se a seguinte propriedade (dupla negação): [ϳ(ϳp)] p 5. Seja p a proposição: "D. Dinis foi o primeiro rei de Portugal." Escreve, em linguagem corrente, a proposição ϳp . 6. Seja p a proposição: "O telemóvel da Inês é da mesma marca do telemóvel da Catarina." A proposição ϳp pode ser expressa de várias maneiras. Das expressões apresentadas a seguir, indica as que exprimem a proposição ϳp . "O telemóvel da Inês não é da mesma marca do telemóvel da Catarina." "Não é verdade que os telemóveis da Inês e da Catarina sejam da mesma marca." "Os telemóveis da Inês e da Catarina são de marcas diferentes." "O telemóvel da Inês não é de marca diferente do telemóvel da Catarina." "Os telemóveis da Inês e da Catarina não são da mesma marca." 7. Seja p a proposição: 3-2 + 4-2 = ΂ 5 12΃ 2 a) Indica o valor lógico da proposição p . b) Seja q uma proposição tal que é verdadeira a equivalência p (ϳq) . Qual é o valor lógico da proposição q ? Justifica a tua resposta. 8. Seja p a proposição: "A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo não é 90o ." a) Indica o valor lógico da proposição p . b) Escreve, em linguagem corrente, a proposição ϳp . 9. Sejam p e q duas proposições tais que é falsa a proposição p q . Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) ϳ(p q) b) [ϳ(ϳq)] p c) (ϳp) (ϳq) d) p (ϳq) e) ϳ[(ϳp) q] Barcelona 6 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

8. 8. Conjunção e disjunção Dadas proposições p e q , podemos construir: a proposição p ‹ q , que se lê " p e q ", a qual é verdadeira apenas no caso em que as proposições p e q são ambas verdadeiras ( p ‹ q designa-se por conjunção de p e q ); a proposição p › q , que se lê " p ou q ", a qual é falsa apenas no caso em que as proposições p e q são ambas falsas ( p › q designa-se por disjunção de p e q ). Exemplo: Seja p a proposição "Hoje almoço em casa." e seja q a proposição "Amanhã janto fora." Então, a proposição p ‹ q é "Hoje almoço em casa e amanhã janto fora." e a propo- sição p › q é "Hoje almoço em casa ou amanhã janto fora." Tabelas de verdade: Conjunção p q p ‹ q V V V V F F F V F F F F Disjunção p q p › q V V V V F V F V V F F F Convenção de escrita (prioridade das operações lógicas) A expressão [(ϳp) ‹ q] r pode ser escrita sem parêntesis: ϳp ‹ q r De facto, na escrita de uma expressão que envolve operações lógicas, convenciona-se a ordem seguinte relativamente à prioridade das operações: 1.a Negação. 2.a Conjunção e disjunção (entre a conjunção e a disjunção não existe prioridade). 3.a Equivalência. 10. Em cada uma das alíneas seguintes está escrita uma expressão que é conjunção de duas proposições. Para cada alínea, indica quais são essas proposições. a) "A Filipa é filha da Joana e do Marco." b) "18 é múltiplo de 3 e de 6." c) 1 < 2 < 3 7

9. 9. 11. Em cada uma das alíneas seguintes está escrita uma expressão que é disjunção de duas proposições. Para cada alínea, indica quais são essas proposições. a) "A Teresa tem dois ou três irmãos." b) 9 4 ≤ 2,5 c) "Pelo menos um dos meus filhos, Margarida e Pedro, vai comigo ao cinema esta tarde." 12. Considera as seguintes proposições: p : "Vou comer uma laranja." q : "Vou comer uma maçã." Traduz, em linguagem corrente, as seguintes proposições. a) ϳp b) p ‹ q c) p ‹ ϳq d) ϳp ‹ ϳq e) p › q f) (p › q) ‹ ϳ(p ‹ q) 13. Sejam A e B dois conjuntos e sejam p , q e r as seguintes proposições: p : 2 A q : 3 ʦ A r : 3 ʦ B a) Utilizando apenas as letras p , q e r e os símbolos ϳ , ‹ e › , traduz, em linguagem simbólica, as seguintes proposições. a1) "2 pertence ao conjunto A ." a2) "3 pertence ao conjunto A e ao conjunto B ." a3) "3 pertence ao conjunto A ou ao conjunto B ." a4) "2 não pertence ao conjunto A , mas 3 pertence ao conjunto B ." a5) "2 e 3 pertencem ao conjunto A ." a6) "3 pertence ao conjunto B , mas não pertence ao conjunto A ." a7) "3 não pertence ao conjunto A , nem ao conjunto B ." b) Escreve, em linguagem corrente, as seguintes proposições. b1) ϳp › q b2) p ‹ ϳr 14. Sejam a e b duas proposições tais que é verdadeira a proposição ϳa ‹ ϳb . Indica o valor lógico das seguintes proposições. a) a ‹ ϳb b) a › ϳb 15. Sejam p e q duas proposições tais que é falsa a proposição p (ϳq) . Indica o valor lógico das seguintes proposições. a) ϳ(ϳp q) b) ϳp › q c) p ‹ ϳq 8 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

10. 10. Propriedades da negação, da conjunção e da disjunção Sejam p , q e r proposições, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. Dupla negação ϳ(ϳp) p Idempotência p ‹ p p p › p p Comutativa p ‹ q q ‹ p p › q q › p Associativa (p ‹ q) ‹ r p ‹ (q ‹ r) (p › q) › r p › (q › r) Conjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição v ‹ p p ‹ v p Conjunção de uma proposição falsa com outra proposição f ‹ p p ‹ f f Disjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição v › p p › v v Disjunção de uma proposição falsa com outra proposição f › p p › f p Distributivas p ‹ (q › r) (p ‹ q) › (p ‹ r) p › (q ‹ r) (p › q) ‹ (p › r) Princípio da não contradição p ‹ ϳp f Princípio do terceiro excluído p › ϳp v Primeiras leis de De Morgan ϳ(p ‹ q) ϳp › ϳq ϳ(p › q) ϳp ‹ ϳq 16. Sejam p e q duas proposições. a) Aplicando as propriedades da negação, da conjunção e da disjunção, prova as equiva- lências que a seguir se apresentam. Em cada passo indica as propriedades que utilizaste. a1) ϳ(ϳp) ‹ (q › ϳq) p a2) ϳp ‹ ϳ(ϳp ‹ q) ϳ(p › q) a3) [(p › ϳp) ‹ q] ‹ [ϳ(ϳp ‹ q)] p ‹ q a4) p › [q ‹ (p › q)] p › q b) Prova as mesmas equivalências utilizando tabelas de verdade. 17. Sejam p e q duas proposições. Simplifica cada uma das expressões seguintes e indica, sempre que possível, o respetivo valor lógico. a) [(ϳp ‹ q) › ϳ(p › q)] ‹ p b) ϳ[p ‹ (ϳp › q)] › (p ‹ q) c) [((p ‹ q) › (p ‹ ϳq)) › q] ‹ (ϳp › q) 18. A Inês e a Rita são amigas do Júlio. Sejam p e q as seguintes proposições: p : "O Júlio e a Inês têm a mesma idade." q : "O Júlio e a Rita têm a mesma idade." Sabe-se que é verdadeira a proposição p ‹ [q › ϳ(p › q)] . Indica, justificando, o valor lógico da proposição "A Rita e a Inês têm a mesma idade." 9

11. 11. 19. A Valéria lançou um dado, com as faces numeradas de 1 a 6. Sejam p , q e r as seguintes proposições: p : "Saiu face com número par." q : "Saiu face com número primo." r : "Saiu face com número divisor de 8." Indica que número saiu no lançamento do dado, sabendo que é verdadeira a proposição (p › q) ‹ ϳ[(q ‹ r) › ϳr] . Implicação Dadas proposições p e q , podemos construir a proposição "se p então q ", que se representa simbolicamente por p q (o símbolo lê-se "implica"). Exemplo: Seja p a proposição "Hoje almoço em casa." e seja q a proposição "Amanhã janto fora." Então, a proposição p q é "Se hoje almoço em casa, então amanhã janto fora." Tabela de verdade: p q p q V V V V F F F V V F F V A expressão p q pode ser traduzida em linguagem corrente de qualquer uma das seguintes formas: p implica q ; se p então q ; q se p ; p é condição suficiente para q ; q é condição necessária para p ; p só se q . Convenção de escrita (prioridade das operações lógicas) Na escrita de uma expressão com operações lógicas envolvendo a implicação, conven- ciona-se que esta operação tem o mesmo nível de prioridade da equivalência. Assim, tem-se a ordem seguinte relativamente à prioridade das operações lógicas: 1.a Negação. 2.a Conjunção e disjunção (entre a conjunção e a disjunção não existe prioridade). 3.a Implicação e equivalência (entre a implicação e a equivalência não existe prioridade). 20. Escreve,sob a forma de implicação entre duas proposições,cada uma das seguintes afirmações. a) "Se o Joaquim comer a sopa, a mãe dá-lhe um doce." b) "Serei chamado para a equipa da escola se não faltar aos treinos." c) "Verás Braga por um canudo só se fores ao Santuário do Bom Jesus do Monte." 21. Sejam p e q proposições tais que p é falsa e q é verdadeira. Indica o valor lógico das seguintes proposições. a) p q b) q p c) p › q ϳp 10 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

12. 12. 22. Determina o valor lógico das proposições p , q e r em cada um dos casos seguintes. a) Supõe que a proposição (q p ‹ r) ‹ ϳ(r p) é verdadeira. b) Supõe que a proposição (p ‹ ϳq) › (p ‹ r) r é falsa. 23. Sejam p e q duas proposições com valores lógicos diferentes. Indica, justificando, o valor lógico das seguintes proposições. a) p ‹ q ϳq b) ϳp p › q c) (p q) › (q p) d) ϳp q 24. Sejam p e q duas proposições tais que é verdadeira a proposição p › q p ‹ q . Justifica que é verdadeira a proposição p q . 25. Considera uma circunferência de centro num ponto C e raio 2. Sejam A e B dois pontos pertencentes à circunferência tais que o segmento de reta [AB] não é um diâmetro. Seja a a reta tangente à circunferência no ponto A , seja b a reta tangente à circunferên- cia no ponto B e seja D o ponto de interseção das retas a e b . Sejam, ainda, p , q e r as seguintes proposições: p : "A amplitude do ângulo ACB é 60o ." q : "O perímetro do triângulo [ABC] é 6." r : "A amplitude do ângulo ADB é 120o ." Indica, justificando, o valor lógico das seguintes proposições. a) p q b) r p Propriedades da implicação e da equivalência Negação da implicação ϳ(p q) (p ‹ ϳq) Implicação como disjunção (p q) (ϳp › q) Disjunção como implicação (p › q) (ϳp q) (ϳq p) Lei da conversão - implicação contrarrecíproca (p q) (ϳq ϳp) Transitividade da implicação [(p q) ‹ (q r)] (p r) Equivalência como dupla implicação (p q) [(p q) ‹ (q p)] Negação da equivalência ϳ(p q) [(p ‹ ϳq) › (q ‹ ϳp)] Transitividade da equivalência [(p q) ‹ (q r)] (p r) Dado que a equivalência é uma dupla implicação, a expressão p q pode ser traduzida em linguagem corrente de qualquer uma das seguintes formas: p é equivalente a q ; p se e só se q ; p é condição necessária e suficiente para q . 11

13. 13. 26. Sejam p , q e r três proposições. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifica o mais possível a expressão ϳ(ϳq ϳp) ‹ (ϳr q) . 27. Sejam p , q e r as seguintes proposições: p : "Esta tarde vou estudar Matemática." q : "Esta noite vou ver televisão." r : "Esta noite vou jogar no computador." a) Traduz, em linguagem corrente, as seguintes proposições. a1) p q ‹ r a2) p ‹ ϳr q a3) q ϳr b) Traduz, em linguagem simbólica, as seguintes proposições. b1) "Se esta tarde estudar Matemática, então à noite vejo televisão ou jogo no compu- tador." b2) "Se esta tarde não estudar Matemática, então à noite não vejo televisão nem jogo no computador." c) Nega as seguintes proposições. c1) "Se esta tarde estudar Matemática, à noite vou ver televisão." c2) "Esta noite vou jogar no computador, a menos que vá ver televisão." 28. Sejam p , q e r três proposições. Admite que é verdadeira a proposição (p › ϳq) ‹ (r ϳp) . Utilizando as propriedades das operações lógicas, mostra que é verdadeira a proposição q ϳr . 29. Sejam p , q e r três proposições. Admite que é verdadeira a proposição (p q) ‹ (r ϳq) . Utilizando as propriedades das operações lógicas, mostra que é verdadeira a proposição r ϳp . 30. Seja p a seguinte proposição: "Se o menino está com fome, então chora." Das expressões apresentadas a seguir, indica as que são equi- valentes à proposição p . A. "Se o menino não chora, então não está com fome." B. "O menino estar a chorar é condição suficiente para se concluir que está com fome." C. "O menino estar com fome é condição necessária para chorar." D. "O menino está com fome só se estiver a chorar." E. "O menino chora se estiver com fome." 12 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

14. 14. Condições Condição ou expressão proposicional é uma expressão com uma ou mais variáveis que se converte numa proposição quando se concretiza(m) a(s) variável(is). Exemplos: São condições: 2x + 3y = 7 " x é a capital de Portugal." A expressão x(x + 1) uma condição porque não se converte numa proposição quando se substitui a variável por um número. Podemos designar uma condição, na variável x , por p(x) , q(x) , r(x) , ... Quando, numa condição p(x) , se substitui a variável x por um objeto a , a proposição que daí resulta pode ser designada por p(a) . Dada uma condição p(x) , podemos fixar o domínio ou universo da variável (conjunto dos objetos pelos quais a variável pode ser substituída). Diz-se, então, que a condição p(x) está definida nesse domínio ou universo. Exemplos: na condição "O mínimo múltiplo comum dos números x e 4 é 36.", um domínio possível para a variável x é o conjunto N ; na condição " x é a capital de Portugal.", um domínio possível para a variável x é o conjunto das cidades europeias. O domínio de uma variável está muitas vezes implícito. Exemplos: na condição " x é um número ímpar." é natural considerar que x tem domínio N ; na condição " x é um inseto.", é natural considerar que x tem por domínio o conjunto dos seres vivos. 31. Das seguintes expressões, indica as que são condições (em cada caso está indicado o do- mínio D da variável x ). A. "O rio x desagua na Figueira da Foz." ( D é o conjunto dos rios que nascem em Portugal) B. 2x + 1 8 (D = R) C. x + x2 + x3 (D = R) D. 2 ʦ ]0, x] (D = R+ ) E. "O mínimo múltiplo comum dos números x e 6." (D = N) 13 2. Condições e conjuntos

15. 15. 32. Seja p(x) a seguinte condição, definida em R : x͉x - 8͉ = x + 10 Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) p(5) ‹ ϳp(-1) b) p(-2) › p(8) 33. Para cada uma das condições que a seguir se apresentam, todas definidas em R , encontra uma concretização da variável que a transforme numa proposição verdadeira e uma con- cretização da variável que a transforme numa proposição falsa. a) 3x + 1 = 7 b) x(4x + 1) = 0 c) (x + 2)2 = 25 d) (x - 3)5 = -1 e) 3x - 4 > -5 f) x2 (x + 3) < 0 Solução de uma condição Seja p(x) uma condição. Se, ao substituirmos a variável x por um objeto a , pertencente ao domínio da variável, a proposição p(a) for verdadeira, dizemos que a é solução da condição. Também se diz que a verifica, ou satisfaz, a condição. Exemplos: 1 é uma solução da condição 2x + 3 < 7 ; 18 é uma solução da condição "O mínimo múltiplo comum dos números x e 4 é 36."; Lisboa é a solução da condição " x é a capital de Portugal." 34. Considera que as condições que a seguir se apresentam estão definidas no universo {1, 2, 3} . Para cada condição, indica a sua solução ou as suas soluções. a) 5x - 3 = 4x b) x3 + 2x = 3x2 c) 3x2 - 4x > 3 d) x2 + ͉x - 5͉ ≤ 11 35. Em cada uma das alíneas seguintes, averigua se o objeto indicado é solução da condição apresentada. a) Rio Lima " x passa por Ponte da Barca." b) Baleia " x respira por guelras." c) 60 "Uma hora tem x segundos." d) Ano-luz " x é uma unidade de tempo." e) Bartolomeu Dias " x dobrou o cabo da Boa Esperança." f) 4 "Uma pirâmide quadrangular tem x faces." 36. Seja p(x) uma condição definida num universo U . Sejam a e b elementos de U . Sabe-se que a é uma solução de p(x) . Indica, justificando, qual o valor lógico da proposição p(b) p(a) . 14 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

16. 16. Operações lógicas sobre condições A utilização das operações lógicas ( ϳ , ‹ , › , e ) permite construir novas con- dições a partir de condições mais simples. Exemplo: A partir das condições x = 4 , x > 4 e x ≤ 9 podemos construir novas condições, tais como: ϳ(x = 4) (que também se pode escrever na forma x 4 ) x > 4 ‹ x ≤ 9 (que também se pode escrever na forma 4 < x ≤ 9 ) x = 4 › x > 4 (que também se pode escrever na forma x ≥ 4 ) x ≤ 9 x > 4 x > 4 x ≤ 9 etc. Dizemos que: a condição ϳ(x = 4) é a negação, ou contrária, da condição x = 4 ; a condição x > 4 ‹ x ≤ 9 é a conjunção das condições x > 4 e x ≤ 9 ; a condição x = 4 › x > 4 é a disjunção das condições x = 4 e x > 4 . No caso de a condição p(x) q(x) se converter numa proposição verdadeira, para qualquer concretização da variável, é habitual dizer-se que p(x) implica q(x) e, quando se escreve p(x) q(x) é, em geral, com esse significado. Note-se que, ao escrevermos p(x) q(x) com tal significado, estamos a enunciar uma proposição. De igual modo, no caso de a condição p(x) q(x) se converter numa proposição verda- deira, para qualquer concretização da variável, diz-se que p(x) e q(x) são equivalentes e escreve-se, frequentemente, p(x) q(x) com esse significado. Note-se que, ao escre- vermos p(x) q(x) com tal significado, estamos a enunciar uma proposição. Exemplos: é verdade que x > 10 x > 9 (se um número é maior do que 10, então é maior do que 9); é falso que x2 = 25 x = 5 (pois é verdade que (-5)2 = 25 , mas não é verdade que -5 = 5 ) ; é verdade que ͉x͉ = 9 x = -9 › x = 9 ; é falso que x > 2 -x > -2 (por exemplo, 3 é maior do que 2, mas -3 não é maior do que -2). As propriedades das operações lógicas sobre proposições estendem-se às operações sobre condições e a convenção relativa à prioridade das operações numa sequência de operações lógicas mantém-se. 15

17. 17. 37. Considera, em R , a condição p(x) : 3 - 5x 2 < 4 . Indica qual das seguintes condições é equivalente à condição ϳp(x) : x > -1 x ≥ -1 x < -1 x ≤ -1 38. Sejam p(n) , q(n) e r(n) as seguintes condições, definidas em N : p(n) : n é divisor de 12 q(n) : n é divisor de 20 r(n) : os números 12 e 20 são múltiplos de n Escreve uma condição equivalente a r(n) , recorrendo às condições p(n) e q(n) . 39. Considera, em R , a condição p(x) : -3 ≤ x < 0 . a) Exprime p(x) recorrendo ao símbolo ‹ . b) Escreve uma condição equivalente a ϳp(x) , sem utilizar o símbolo ϳ . 40. Considera, em R , a condição p(x) : (x - 3)(x + 1) = 0 . a) Escreve uma condição equivalente a p(x) sob a forma de disjunção de duas condições. b) Escreve uma condição equivalente a ϳp(x) , sem utilizar o símbolo ϳ . 41. Considera, em R , as condições: p(x) : x2 + x = 2 q(x) : -3x ≤ 1 Determina uma solução para cada uma das seguintes condições. a) p(x) b) q(x) c) ϳp(x) ‹ q(x) d) p(x) ‹ ϳq(x) e) ϳp(x) › q(x) f) p(x) › ϳq(x) g) ϳ[p(x) ‹ q(x)] h) ϳ[p(x) › q(x)] 42. Traduz simbolicamente cada uma das seguintes condições, definidas em R . a) "Os números x e -x são ambos maiores do que -5." b) "Pelo menos um dos números seguintes, x e x + 1 , é igual a 10." c) "Nem x nem x3 são positivos." 43. Traduz simbolicamente cada uma das seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) "Se um número for negativo, então o seu quadrado é positivo." b) "O produto de um número pelo seu módulo é negativo se e só se o número for negativo." c) "Se um número é igual a 3, então é menor ou igual a 3." d) "Um número é diferente de 6 se e só se o seu quadrado for diferente de 36." 16 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

18. 18. Quantificador existencial. Condições possíveis e condições impossíveis O símbolo E chama-se quantificador existencial e pode-se ler "existe", "existe algum" ou "existe pelo menos um". Exemplo: A expressão Ex ʦ R : x2 = 6 lê-se: "Existe pelo menos um número real cujo quadrado é 6." Seja p(x) uma condição definida num universo U . Tem-se, então, que Ex ʦ U : p(x) é uma proposição, que é: verdadeira, se a condição p(x) tiver pelo menos uma solução; falsa, no caso contrário. Nota: em vez de Ex ʦ U : p(x) , pode-se escrever apenas Ex : p(x) se estiver implícito o domínio da variável. Exemplo: Admitindo que o domínio da variável x é R , tem-se: a proposição Ex : x2 = 6 é verdadeira; a proposição Ex : ͉x͉ = -1 é falsa. Diz-se que: uma condição p(x) é possível em U se for verdadeira a proposição Ex ʦ U : p(x) ; uma condição p(x) é impossível em U se for falsa a proposição Ex ʦ U : p(x) . Exemplo: Admitindo que o domínio da variável n é N , tem-se: a condição " n é divisor de 12." é possível; a condição " n2 é um número primo." é impossível. 44. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) Ex ʦ R : 3x + 1 = 5 b) Ex ʦ R : x4 = -4 c) Ex ʦ R : x2 ≤ 0 d) En ʦ N : n > 2 ‹ n2 - 1 é primo e) En ʦ N : 2n tem n divisores 45. Traduz simbolicamente cada uma das seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) "Existe pelo menos um número inteiro entre -5 e -3." b) "Existe pelo menos um número inteiro que é igual ao seu cubo." c) "Existe pelo menos um número real que é menor do que o seu inverso." d) "Existem números naturais consecutivos cuja soma é par." 17

19. 19. 46. Para cada uma das seguintes condições, definidas em N , indica se ela é possível ou se é impossível. p(n) : 10 ≤ n ≤ 15 ‹ a soma dos algarismos de n2 não é um quadrado perfeito q(n) : o número (n + 1)(n + 2) tem dois divisores r(n) : 6n2 - 1 não é um número primo 47. Para cada uma das seguintes condições, definidas em R , indica se ela é possível ou se é impossível. p(x) : x2 = (x - 1)(x + 1) q(x) : + x é um número racional r(x) : -x > x s(x) : existe pelo menos um número natural pertencente ao intervalo ]x, x + 1[ Quantificador universal. Condições universais O símbolo A chama-se quantificador universal e pode-se ler "qualquer que seja", "para todo" ou "para cada". Exemplo: A expressão Ax ʦ R, x2 ≥ 0 lê-se: "Qualquer que seja o número real, o seu quadrado é maior ou igual a zero." Seja p(x) uma condição definida num universo U . Tem-se, então, que Ax ʦ U, p(x) é uma proposição, que é: verdadeira, se qualquer objeto é solução da condição p(x) ; falsa, no caso contrário. Nota: em vez de Ax ʦ U , p(x) , pode-se escrever apenas Ax, p(x) se estiver implícito o domínio da variável. Exemplo: Admitindo que o domínio da variável x é R , tem-se: a proposição Ax, x2 ≥ 0 é verdadeira; a proposição Ax, x ≥ 0 é falsa. Diz-se que: uma condição p(x) é universal em U se for verdadeira a proposição Ax ʦ U, p(x) ; uma condição p(x) não é universal em U se for falsa a proposição Ax ʦ U, p(x) . Exemplo: Admitindo que o domínio da variável k é Z , tem-se: a condição 2-k = 1 2k é universal; a condição 2k = 6 não é universal. 18 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

20. 20. 48. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) An ʦ N, 4n2 - 1 é múltiplo de 3 b) An ʦ N, (n + 1)2 - n2 é ímpar c) An ʦ N, n n + 1 é um número fracionário d) An ʦ R, (n - 1)2 = x2 - 1 e) An ʦ R, x ʦ Ά-͉x͉, ͉x͉· 49. Para cada uma das seguintes condições, definidas em N , indica se ela é ou não universal. a) n(n + 1) é par b) n + 2 e n + 5 não são primos entre si c) 3n + 1 4 ≥ 2n + 1 3 d) "No conjunto {n, n + 1, n + 2} existe um único elemento que é múltiplo de 3." e) n é ímpar n2 é ímpar f) m.m.c. (n, n + 3) = n(n + 3) 50. Traduz simbolicamente cada uma das seguintes proposições e indica o seu valor lógico. a) "O produto de qualquer número real pelo seu simétrico é um número negativo." b) "Todos os números reais são diferentes do seu dobro." c) "A soma de quaisquer três números naturais consecutivos é um número múltiplo de 3." d) "A média do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois números naturais consecutivos não é um número natural." 51. Classifica cada uma das seguintes condições (isto é, indica se é impossível, possível mas não universal ou universal). Em cada alínea está indicado o domínio D da variável. a) x2 + 1 x2 + 2 = 0 (D = R) b) x + ͉x͉ ≥ 0 (D = R) c) x ≤ x3 (D = R) d) n + ͙n é irracional (D = N) e) n2 - 1 n + 1 é inteiro (D = N) 52. Considera o conjunto A = {-1, 0, 1} . Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) Ex ʦ A : x2 = 2x b) Ex ʦ A : 3x < 1 c) Ax ʦ A, x5 - x = 0 d) Ax ʦ A, x + ͉x͉ = 0 53. Seja a condição 0 < x2 < 1 . Indica, na forma de intervalo de números reais, um conjunto em que a condição seja: a) impossível; b) possível mas não universal; c) universal. 54. Seja D = {1, 2, 3, 4, 5} . Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) Ax ʦ D, m.d.c. (x, 30) = x b) Ax ʦ D, 6x - 1 é primo c) Ex ʦ D : L + x > 9 d) Ex ʦ D : x3 - 4x = 0 19

21. 21. 55. Sejam a e b números reais positivos tais que é verdadeira a proposição Ax ʦ {a, b}, 3x2 - 10x + a = 0 . Determina o valor de a e b . 56. Seja p(x) uma condição definida num universo U . Mostra que é verdadeira a proposição (Ax ʦ U, p(x)) (Ex ʦ U : p(x)) . Segundas leis de De Morgan Dada uma condição p(x) e um conjunto A , tem-se: ϳ[Ax ʦ A, p(x)] Ex ʦ A : ϳp(x) ϳ[Ex ʦ A : p(x)] Ax ʦ A, ϳp(x) Exemplos: Designado por I o conjunto dos números ímpares, tem-se: ϳ(Ax ʦ I, x é primo) Ex ʦ I : x não é primo Portanto, a negação da proposição "Qualquer número ímpar é primo." é "Existe pelo menos um número ímpar que não é primo." Desigando por P o conjunto dos portugueses, tem-se: ϳ(Ex ʦ P : x tem 100 anos de idade) Ax ʦ P, x não tem 100 anos de idade Portanto, a negação da proposição "Existe pelo menos um português com cem anos de idade." é "Nenhum português tem cem anos de idade." 57. Seja p a proposição Ex ʦ R : x + 2 = 0 . Qual das seguintes expressões é equivalente à proposição ϳp ? Ex ʦ R : x + 2 0 Ax ʦ R, x + 2 = 0 Ax ʦ R, x + 2 0 58. Seja p a proposição An ʦ N, n2 < 5 . Qual das seguintes expressões é equivalente à proposição ϳp ? An ʦ N, n2 ≥ 5 An ʦ N, n2 > 5 En ʦ N : n2 ≥ 5 En ʦ N : n2 > 5 59. Escreve, para cada alínea, a negação da proposição que nela figura e indica o valor lógico da proposição que escreveres. a) Ax ʦ R, x + 1 ≤ 2x b) Ex ʦ Z : 3x + 7 = 3 c) An ʦ N, 6n + 3 é ímpar d) En ʦ N : ͙n ʦ N 60. Para cada alínea, escreve, em linguagem corrente, a negação da proposição que nela figura e indica o valor lógico da proposição que escreveres. a) "Todos os seres humanos sabem nadar." b) "Existem números naturais que são múltiplos de 3." c) "Há números inteiros entre 0 e 1." d) "Todos os números reais são racionais." 20 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

22. 22. Conceito de contraexemplo Dada uma condição p(x) e um conjunto A , dizemos que um elemento a , pertencente a A , é um contraexemplo para a proposição Ax ʦ A, p(x) se for falsa a proposição p(a) . Exemplo: Um contraexemplo para a proposição "Todos os planetas têm satélites naturais." é o planeta Vénus. 61. Mostra que as seguintes afirmações são falsas apresentando um contraexemplo. a) "O módulo de qualquer número real é maior do que zero." b) Ax ʦ R, 3x ≤ 5x c) "Todos os números ímpares entre 1 e 19 que não são quadrados perfeitos são primos." d) Ax ʦ R, (x + 1)4 > x4 Definição de um conjunto em extensão Dados objetos a1, a2, ..., ak (k ʦ N), pode representar-se por {a1, a2, ..., ak} o conjunto A cujos elementos são exatamente os objetos a1, a2, ..., ak . Designa-se a igualdade A = {a1, a2, ..., ak} por definição em extensão do conjunto A . Definição de um conjunto em compreensão Seja p(x) uma condição definida num universo U . Chama-se conjunto definido por p(x) em U , ou conjunto-solução de p(x) em U o con- junto dos elementos de U que são soluções da condição p(x) . Designando por A o conjunto-solução de p(x) em U , pode escrever-se A = {x ʦ U : p(x)} ou, mais simplesmente, A = {x : p(x)} . Qualquer destas igualdades diz-se definição em compreensão do conjunto A pela condição p(x) em U . Seja B um conjunto cujos elementos pertencem a U . O conjunto {x ʦ U : x ʦ B ‹ p(x)} , que também se pode representar por {x ʦ B : p(x)} , designa-se por conjunto-solução de p(x) em B . Exemplos: Seja A o conjunto cujos elementos são -2 e 2. A igualdade A = {-2, 2} designa-se por definição em extensão do conjunto A . Por outro lado, tem-se que A é o conjunto-solução da condição ͉x͉ = 2 em R .Assim, a igualdade A = {x ʦ R : ͉x͉ = 2} designa-se por definição em compreensão do conjunto A . Seja C o conjunto cujos elementos são 2, 3, 5, 7 e 11. A igualdade C = {2, 3, 5, 7, 11} designa-se por definição em extensão do conjunto C . C é o conjunto-solução da condição x < 12 em P (conjunto dos números primos). Escreve-se C = {x ʦ P : x < 12} , definição em compreensão do conjunto C . 21

23. 23. 62. Define em extensão cada um dos seguintes conjuntos. a) {x ʦ Z : -2 < x ≤ 1} b) {x ʦ R : x2 = 16 › x(x + 3) = 0} c) {n ʦ N : n é múltiplo de 4 ‹ n < 23} 63. Seja U = {2, 3, 4, 5} . Define em extensão cada um dos seguintes conjuntos. a) {n ʦ U : n é divisor de 12} b) {n ʦ U : 2n + 1 é primo} c) {n ʦ U : n3 - n é múltiplo de 6} d) {n ʦ U : n e n + 5 são números primos entre si} 64. Define em compreensão cada um dos seguintes conjuntos. a) {-3, 3} b) {7, 14, 21, 28} c) {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16} Igualdade de conjuntos. Relação de inclusão. Interseção, união e diferença de conjuntos Sejam A e B conjuntos cujos elementos pertencem a um universo U . Tem-se A = B se e só se Ax ʦ U, x ʦ A x ʦ B . Diz-se que A está contido em B (escreve-se A ʚ B ) se e só se qualquer elemento de A pertence também a B , ou seja, A ʚ B se e só se Ax ʦ U, x ʦ A x ʦ B . Quando A ʚ B também se diz que A é um subconjunto de B , ou que A é uma parte de B . Exemplo: {1, 3} ʚ {1, 2, 3} Nota que todo o conjunto é subconjunto de si próprio (B ʚ B) e que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Chama-se interseção de A e B (escreve-se A ʝ B ) ao conjunto dos elementos co- muns a A e a B , ou seja, A ʝ B = {x ʦ U : x ʦ A ‹ x ʦ B} . Chama-se união de A e B (escreve-se A ʜ B ) ao conjunto dos elementos que perten- cem a pelo menos um dos conjuntos, ou seja, A ʜ B = {x ʦ U : x ʦ A › x ʦ B} . Chama-se diferença entre A e B (escreve-se A B ) ao conjunto dos elementos que per- tencem a A e não pertencem a B , ou seja, A B = {x ʦ U : x ʦ A ‹ x B} = {x ʦ A : x B} . Exemplo: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6} então: A ʝ B = {2, 4} A ʜ B = {1, 2, 3, 4, 6} A B = {1, 3} No caso em que B ʚ A , A B designa-se por complementar de B em A . O complementar de A em U designa-se por complementar de A e representa-se por A . Dizemos, então, que A e A são conjuntos complementares. Exemplo: Se o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} for tomado para universo e se A = {2, 3} então A = {1, 4, 5, 6} . 22 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

24. 24. 65. Considera o conjunto A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} . Qual dos conjuntos seguintes é subconjunto de A ? {2, 4, 7, 16} {-3, 0, 3, 6} {-3, -1, 1, 3, 8} 66. Qual dos seguintes intervalos de números reais é subconjunto de [-10, 50[ ? ]-10, 50] [0, 50] [-12, 10] [-10, 12[ 67. Indica o resultado das seguintes interseções de conjuntos. a) {1, 2, 3} പ {2, 4, 6} b) {1, 5, 9, 13} പ {3, 5, 7, 9, 13} c) {1, 2, 3, 5, 8, 13} പ {2, 5, 8} d) {1, 2, 4, 8, 16} പ {-3, 0, 3, 6, 9} e) {2, 5, 7} പ {2, 5, 7} f) {1, 4, 9} പ Ø g) [1, 5] പ [3, 7] h) ]2, 8[ പ [-3, 5] i) ]-3, 6] പ [6, 9[ j) ]1, 5] പ ]5, 9] k) N പ Z l) N പ Z- 68. Sejam A , B , C e D conjuntos tais que A ʚ B e C ʚ D . Prova que A പ C ʚ B പ D . 69. Indica o resultado das seguintes uniões de conjuntos. a) {1, 4, 9, 16} ഫ {3, 5, 7} b) {-2, 0, 2, 4} ഫ {1, 2, 3, 4, 5} c) [2, 6[ ഫ [4, 9] d) ]1, 8[ ഫ {8} e) [-2, 7[ ഫ {3, 7} f) ]5, 15] ഫ [8, 12[ g) N0 ഫ Z- h) N ഫ Z 70. Considera os conjuntos A = {1, 2, 3, 5, 8} e B = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} . Indica um conjunto C com três elementos tal que A ഫ C = B . 71. Seja p(x) uma condição definida num universo U . Sejam A , B e C subconjuntos de U tais que: a condição p(x) é possível mas não universal no conjunto A ; a condição p(x) é universal no conjunto B ; a condição p(x) é impossível no conjunto C . Indica qual das seguintes igualdades é necessariamente verdadeira e qual é necessaria- mente falsa. A ഫ B = B A പ B = B A പ C = Ø B പ C = Ø 72. Indica o resultado das seguintes diferenças de conjuntos. a) {1, 2, 5, 6, 7, 9} {1, 5, 9} b) {1, 3, 5} {1, 3, 5} c) {2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11} {8, 9, 10, 11, 12} d) {1, 6, 11, 16} {2, 4, 8} e) {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} f) {1, 4, 5, 9} Ø g) [4, 9] [6, 9] h) ]0, 10] [5, 15] i) ]0, +ϱ[ [-3, 18[ j) ]-ϱ, 4] {4, 5, 6} 23

25. 25. 73. Considera o conjunto A = {1, 2, 4, 8, 16} . Relativamente ao conjunto A , indica o complementar do conjunto {2, 8, 16} . 74. Considera o conjunto P = [2, 12] . Relativamente ao conjunto P , indica o complementar de cada um dos seguintes conjuntos. a) A = [2, 10] b) B = ]5, 12] c) C = ]2, 12[ 75. Considera, no universo R , os conjuntos A = [-3, 8[ , B = ]3, +ϱ[ e C = [-1, 12] . Determina, na forma de um intervalo ou união de intervalos, cada um dos seguintes conjuntos. a) A പ B b) B പ C c) A പ C d) A ഫ B e) A ഫ C f) A g) B h) B A i) B C Operações sobre condições e sua tradução em termos de conjuntos Tem-se: A condições contrárias correspondem conjuntos complementares. À conjunção de condições corresponde a interseção de conjuntos. À disjunção de condições corresponde a união de conjuntos. À equivalência de condições corresponde a igualdade de conjuntos. À implicação de condições corresponde a inclusão de conjuntos. As propriedades da negação, da conjunção e da disjunção de proposições estendem-se às condições. Na tabela seguinte são apresentadas estas propriedades, bem como a sua tradução em termos de conjuntos. As equivalências apresentadas na coluna do meio são universais. Propriedades Condições Conjuntos Dupla negação ϳ[ϳp(x)] p(x) P = P Idempotências p(x) ‹ p(x) p(x) P പ P = P p(x) › p(x) p(x) P ഫ P = P Comutativas p(x) ‹ q(x) q(x) ‹ p(x) P പ Q = Q പ P p(x) › q(x) q(x) › p(x) P ഫ Q = Q ഫ P Associativas [p(x) ‹ q(x)] ‹ r(x) p(x) ‹ [q(x) ‹ r(x)] (P പ Q) പ R = P പ (Q പ R) [p(x) › q(x)] › r(x) p(x) › [q(x) › r(x)] (P ഫ Q) ഫ R = P ഫ (Q ഫ R) Distributivas p(x) ‹ [q(x) › r(x)] [p(x) ‹ q(x)] › [p(x) ‹ r(x)] P പ (Q ഫ R) = (P പ Q) ഫ (P പ R) p(x) › [q(x) ‹ r(x)] [p(x) › q(x)] ‹ [p(x) › r(x)] P ഫ (Q പ R)= (P ഫ Q) പ (P ഫ R) Leis de De Morgan ϳ[p(x) ‹ q(x)] ϳp(x) › ϳq(x) P പ Q = P ഫ Q ϳ[p(x) › q(x)] ϳp(x) ‹ ϳq(x) P ഫ Q = P പ Q continua 24 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

26. 26. Tem-se também: 1. A conjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é equivalente à primeira. 2. A conjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é uma condi- ção impossível. 3. A disjunção de uma condição qualquer com uma condição universal é uma condição universal. 4. A disjunção de uma condição qualquer com uma condição impossível é equivalente à primeira. 5. A conjunção de uma condição com a sua negação é uma condição impossível. 6. A disjunção de uma condição com a sua negação é uma condição universal. Em termos de conjuntos, estas propriedades traduzem-se da seguinte forma: 1. A ʝ U = A 2. A ʝ Ø = Ø 3. A ഫ U = U 4. A ഫ Ø = A 5. A ʝ A = Ø 6. A ഫ A = U Tem-se ainda: 1. [Ax, p(x) q(x)] [Ax, (p(x) q(x)) ‹ (q(x) p(x))] Esta propriedade permite provar que duas condições são equivalentes provando que a primeira implica a segunda e que a segunda implica a primeira. A uma tal prova dá-se o nome de demonstração por dupla implicação. 2. Em termos de conjuntos, tem-se: P = Q P ʚ Q ‹ Q ʚ P (princípio da dupla inclusão). 3. ϳ[Ax, p(x) q(x)] [Ex : p(x) ‹ ϳq(x)] Esta propriedade permite concluir que uma condição não implica outra se e só se existir um objeto que verifica a primeira e não verifica a segunda. 4. [Ax, p(x) q(x)] [Ax, ϳq(x) ϳp(x)] Esta propriedade permite provar que uma condição implica outra, provando que a negação da segunda implica a negação da primeira. A uma tal prova dá-se o nome de demonstração por contrarrecíproco. 5. Existe um método de demonstração que tem alguma semelhança com a prova por contrarrecíproco, que tem o nome de demonstração por redução ao absurdo. Este método baseia-se no seguinte: admite-se que a afirmação que se pretende demonstrar é falsa e chega-se a um absurdo. Conclui-se, então, que a afirmação que se pretende demonstrar é verdadeira. continuação 25

27. 27. 76. Considera, definidas em R , as seguintes condições: p(x) : 3x + 1 < 5x - 7 q(x) : x2 + 4 > 0 r(x) : ͉x͉ < 0 a) Indica o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições. a1) p(x) a2) q(x) a3) r(x) a4) p(x) ‹ r(x) a5) p(x) ‹ q(x) a6) p(x) › r(x) a7) p(x) › q(x) a8) ϳp(x) a9) p(x) ‹ ϳr(x) b) Classifica cada uma das seguintes condições (isto é, indica se é impossível, possível não universal ou universal). b1) p(x) b2) q(x) b3) r(x) b4) p(x) ‹ r(x) b5) p(x) ‹ q(x) b6) q(x) › r(x) b7) q(x) ‹ ϳr(x) 77. Considera, definidas em R , as seguintes condições: p(x) : (͉x͉ - 1)(x2 - x - 6) = 0 q(x) : (x + 1)2 > 2x r(x) : x2 - 2x + 2 = 0 s(x) : (x - 2)10 = 1 Determina o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições. a) p(x) ‹ q(x) b) p(x) › r(x) c) p(x) ‹ ϳs(x) 78. Sejam p(x) e q(x) duas condições definidas num universo U . Seja P o conjunto-solução da condição p(x) e seja Q o conjunto-solução da condição q(x) . Sejam a e b elementos pertencentes a U tais que são verdadeiras as seguintes proposições: ϳp(a) q(a) ϳ[ϳq(b) p(b)] Justifica que são verdadeiras as seguintes proposições. a) a ʦ P ഫ Q b) b ʦ P ഫ Q 79. Num certo plano, considera três retas, r , s e t , tais que as retas r e s são estritamente paralelas. Prova, utilizando o método de demonstração por contrarrecíproco, que: se a reta t inter- seta a reta r , então a reta t interseta a reta s . 80. Considera uma circunferência com centro num ponto O . Sejam A e B dois pontos da circunferência tais que [AB] não é um diâmetro. Seja C o ponto de interseção das tangentes à circunferência nos pontos A e B . Prova que o quadrilátero [OACB] é um losango se e só se o ângulo AOB é reto. 81. Prova que a soma de um número racional com um número irracional é um número irra- cional. 26 Tema 1 | Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos

28. 28. Tema Álgebra2

29. 29. Monotonia da potenciação Sejam a e b números reais e seja n um número natural. Se n é ímpar, tem-se: a < b an < bn Se n é par, tem-se: 0 ≤ a < b 0 ≤ an < bn a < b ≤ 0 an > bn ≥ 0 Exemplos: como -3 < -2 tem-se (-3)9 < (-2)9 ; como -7 < 2 tem-se (-7)9 < 29 ; como 4 < 5 tem-se 49 < 59 ; como 0 ≤ 4 < 5 tem-se 48 < 58 ; como -3 < -2 ≤ 0 tem-se (-3)8 > (-2)8 . 1. Indica o valor lógico de cada uma das seguintes proposições. a) (-10)8 > (-3)8 b) ΂- 7 3΃ 11 > (-2)11 c) 811 > (L - 1)33 2. Para cada uma das seguintes proposições, indica o seu valor lógico. a) Ax ʦ R, x < 1 x3 < 1 b) Ax ʦ R, x < -3 x2 < 9 3. Para cada uma das seguintes proposições, indica o seu valor lógico. Se considerares que a proposição é verdadeira, explica porquê; se considerares que é falsa, indica um contraexemplo. a) An ʦ N, (-3)2n - 1 < (-2)2n - 1 b) An ʦ N, (-3)n < (-2)n c) An ʦ N, (-3)n > (-2)n d) An ʦ N, (-3)2n > (-2)2n e) Ax ʦ ]-ϱ, -2[, x13 < (-2)13 f) Ax ʦ ]-ϱ, -2[, x8 > 28 g) Ax ʦ ]-ϱ, -2[, (x + 1)5 < (-3)5 4. Seja a um número real pertencente ao intervalo ]0, 1[ e seja n um número natural. Justifica que an < 1 . 28 1. Radicais e potências de expoente racional

30. 30. Definição de ͙ n a (raiz índice n de a ), com n ʦ N e n ≥ 2 Seja a um número real e seja n um número ímpar (n ≥ 3). ͙ n a é o número real b tal que bn = a . Seja a um número real não negativo e seja n um número par. ͙ n a é o número real não negativo b tal que bn = a . Notas: ͙ n a não tem significado para n par e a < 0 ; quando o índice é 2, este pode ser omitido (escreve-se ͙a com o significado de ͙ 2 a ). Exemplos: ͙ 3 8 = 2 pois 23 = 8 ͙ 3 -8 = -2 pois (-2)3 = -8 ͙ 4 81 = 3 pois 3 ≥ 0 e 34 = 81 ͙ 4 -81 não tem significado ͙25 = 5 pois 5 ≥ 0 e 52 = 25 ͙-25 não tem significado ͙ 5 0 = 0 pois 05 = 0 ͙ 6 0 = 0 pois 06 = 0 5. Determina o valor de: a) ͙ 5 1 - ͙ 7 -1 + ͙ 8 0 b) ͙49 - ͙ 3 -27 - ͙ 4 16 c) ͙ 3 -125 + ͙ 4 81 - ͙ 5 -32 - ͙ 6 64 6. Seja a = ͙ 5 4 . Determina o valor de a5 8 . 7. Resolve as seguintes equações. a) x5 = 10 b) x3 + 6 = 4 c) 5x9 - 7 = 8 d) 3x4 + 5 = 29 Propriedades dos radicais No que se segue: m e n designam números naturais maiores do que 1; k designa um número inteiro; a e b designam número reais (não negativos, se m ou n forem números pares). Tem-se: 1. ΂͙ n a΃ n = a 2. ͙ n a × ͙ n b = ͙ n a × b 3. ͙ n a ͙ n b =ͱn a b (b 0) continua 29

31. 31. 4. ΂͙ n a΃ k = ͙ n ak (a 0 se k < 0) 5. ͙ n ͙ m a = n × m ͙a 6. ͙ n ap = n × m ͙ap × m Tem-se, para qualquer número natural n maior do que 1 e para quaisquer números reais a e b (com b > 0 se n é par): 1. ͙ n an = a (se n é ímpar) ͙ n an = ͉a͉ (se n é par) 2. ͙ n an b = a͙ n b (se n é ímpar) ͙ n an b = ͉a͉͙ n b (se n é par) continuação 8. Determina o valor de ΂͙ 4 5΃ 4 - ΂͙ 9 3΃ 9 . 9. Determina o valor de: a) ͙2 × ͙8 b) ͙6 × ͙24 c) ͙ 5 2 × ͙ 5 16 d) ͙ 3 2 × ͙ 3 4 e) 5͙2 × 3͙32 f) ΂͙ 4 5 × ͙ 4 3΃ 4 10. Determina o valor de: a) ͙32 : ͙2 b) ͙300 : ͙3 c) ͙ 3 24 : ͙ 3 3 d) ͙ 5 320 : ͙ 5 10 e) ΂10͙48΃ : ΂5͙3΃ f) ΂͙ 6 15 : ͙ 6 5΃ 6 11. Determina o valor de: a) ΂͙ 3 2΃ 4 × ͙ 3 4 b) ͙200 : ΂͙2΃ 3 c) ΄͙ 5 84 : ΂͙ 5 2΃ 2 ΅ 5 12. Passa os fatores que estão fora do radical para dentro do radical. a) 2͙ 3 5 b) 3͙ 3 a c) 5͙2 d) a͙3 (a > 0) e) ab2 ͙ 5 a 13. Passa os fatores possíveis para fora do radical. a) ͙ 5 75 × 3 b) ͙12 c) ͙18 d) ͙150 e) ͙ 3 24 f) ͙8 g) ͙ 5 128 h) ͙ 3 54a8 b4 i) ͙27a2 j) ͙ 4 32x4 30 Tema 2 | Álgebra

32. 32. 14. Simplifica o mais possível as expressões seguintes. a) 2͙3 - 7͙3 + 10͙3 b) -5͙ 3 x + 11͙ 3 x + 6͙ 3 x - 7͙ 3 x c) 5͙2 - ͙8 + 2͙32 + 3͙18 d) 6͙3 - 2͙27 + 3͙12 e) 3a͙ 3 a + a͙ 3 8a - 4͙ 3 a4 f) 3b͙2a3 b - a͙50ab3 + ab͙72ab (a > 0 e b > 0) 15. Simplifica o mais possível as expressões seguintes. a) ͙ 3 ͙ 8 5 + ͙ 6 ͙ 4 5 + 12 ͙͙5 b) ͙ 4 ͙ 3 6 × ͙ 6 ͙2 c) ͙ 3 2͙5 16. Escreve como um radical de índice 12 os radicais seguintes. a) ͙ 3 3 b) ͙2 c) ͙ 4 5 d) ͙ 6 10 e) ͙ 3 a2 17. Escreve como um radical de índice 3 os radicais seguintes. a) ͙ 6 32 b) ͙ 6 25 c) 12 ͙38 d) 15 ͙a10 b5 e) ͙ 4 2͙ 3 2 18. Reduz ao mesmo índice os seguintes radicais (ou seja, escreve dois radicais equivalentes aos dados que tenham o mesmo índice). a) ͙ 3 5 e ͙ 6 2 b) ͙ 4 3 e ͙5 c) ͙ 3 4 e ͙3 d) ͙ 6 3 e ͙ 4 2 19. Simplifica o mais possível as expressões seguintes. a) ͙ 3 2 × ͙3 : ͙ 6 12 b) ͙ 3 ͙ 4 8 × ͙͙8 c) ΂͙ 7 4΃3 : ΄14 ͙4 × ΂ 21 ͙2΃ 3 ΅ d) ΂5 + 3͙6΃ ΂4 - ͙6΃ e) ͙7 + 3͙5 × ͙7 - 3͙5 f) ΂͙3 - ͙2΃ 2 g) ΂4͙3͙2 + ͙͙3 × ͙ 4 6 - 2͙3 × ͙ 4 2΃ : ͙͙162 h) ΂͙ 3 56 + ͙ 7 49͙ 3 7΃ 3 20. Sejam a , b e c números reais positivos tais que a = ͙c e b = ͙ 3 c . Verifica que a b é raiz quadrada de b e que a b raiz cúbica de a . 31

33. 33. Racionalização de denominadores Para racionalizar o denominador numa fração da forma c a͙ n b , multiplica-se ambos os termos por ͙ n bn - 1 . Para racionalizar o denominador numa fração da forma e a͙b + c͙d , multiplica-se am- bos os termos por a͙b - c͙d . Exemplos: 4 5͙ 3 7 = 4 × ͙ 3 72 5͙ 3 7 × ͙ 3 72 = 4͙ 3 49 5͙ 3 73 = 4͙ 3 49 5 × 7 = 4͙ 3 49 35 ͙6 3͙5 = ͙6 × ͙5 3͙5 × ͙5 = ͙30 3͙52 = ͙30 3 × 5 = ͙30 15 10 2͙3 + 5͙2 = 10΂2͙3 - 5͙2΃ ΂2͙3 + 5͙2΃΂2͙3 - 5͙2΃ = 10΂2͙3 - 5͙2΃ ΂2͙3΃2 - ΂5͙2΃2 = 10΂2͙3 - 5͙2΃ 4 × 3 - 25 × 2 = = 10΂2͙3 - 5͙2΃ -38 = 10΂-2͙3 + 5͙2΃ 38 = 5΂5͙2 - 2͙3΃ 19 = 25͙2 - 10͙3 19 6͙7 ͙5 - 2 = 6͙7΂͙5 + 2΃ ΂͙5 - 2΃΂͙5 + 2΃ = 6͙7΂͙5 + 2΃ ΂͙5΃2 - 22 = 6͙7΂͙5 + 2΃ 5 - 4 = 6͙35 + 12͙7 21. Racionaliza o denominador de cada uma das frações seguintes e simplifica o mais possível a expressão obtida. a) 3 ͙6 b) 7 2͙7 c) ͙ 3 2 ͙3 d) 15 ͙ 3 5 e) 1 ͙10 + 2 f) 2 ͙5 - 1 g) ͙3 + 1 ͙3 - 1 h) 1 ͙3 + ͙5 i) 12 ͙11 - ͙3 j) 10 3͙5 + 5͙3 22. Simplifica o mais possível as expressões seguintes. a) 1 + ͙3 2 - ͙3 × ͙3 1 + ͙3 b) 1 + ͙2 ͙2 - 1 - ͙2 ͙3 - 2 Tema 2 | Álgebra 32

34. 34. Potências de expoente racional Seja a um número real positivo e seja q = m n , onde m é um número inteiro e n é um número natural maior do que 1. Define-se a m n como sendo ͙ n am . Exemplos: 8 2 3 = ͙ 3 82 = ΂͙ 3 8΃ 2 = 22 = 4 3 - 2 5 = 3 -2 5 = ͙ 5 3-2 =ͱ5 1 32 = ͙ 5 1 ͙ 5 32 = 1 ͙ 5 32 = ͙ 5 33 ͙ 5 32 × ͙ 5 33 = ͙ 5 33 ͙ 5 35 = ͙ 5 27 3 As propriedades algébricas das potências mantêm-se, ou seja, dados números reais positivos a e b e números racionais p e q , tem-se: ap × aq = ap + q ap aq = ap - q ap × bp = (a × b)p ap bp = ΂a b ΃ p (ap ) q = ap × q Tem-se, ainda, para qualquer número real positivo a e para qualquer número racional q : a-q = 1 aq = ΂1 a΃ q Exemplo: ΂ 5 4΃ -3 = ΂ 1 5 4 ΃ 3 = ΂ 4 5΃ 3 = 64 125 23. Escreve na forma de um radical cada uma das seguintes potências. a) 3 4 7 b) 5 1 2 c) 2 5 9 d) 4 - 1 3 e) ΂ 3 2΃ - 2 3 24. Indica o valor de cada uma das seguintes potências. a) 25 1 2 b) 8 1 3 c) 4 3 2 d) ΂ 1 27 ΃ - 1 3 e) ΂ 16 81 ΃ -1,5 25. Escreve na forma de potência de base 2 cada um dos seguintes radicais. a) ͙2 b) ͙ 3 4 c) ͙ 5 8 d) ͱ4 1 32 e) ͱ3 1 47 26. Simplifica o mais possível as expressões. Apresenta o resultado na forma de um radical. a) 2 1 2 × 5 1 2 b) 6 × 6 - 3 5 c) ΂͙ 9 3΃ 4 × 2 4 9 d) ΂͙3΃ 3 4 e) 15 3 8 ͙ 8 27 27. Efetua as operações indicadas e apresenta o resultado na forma de potência. ΄΂͙an΃ 1 n΅ p : ͙ 4 a2p - 1 (a ʦ R+ ; n, p ʦ N) in Exame Nacional 33

35. 35. 28. Efetua as operações indicadas e apresenta o resultado na forma de radical. ͙ 3 a-1 b 1 2 × ͙a2 b-1 ͙ 3 b-1 ͙ 3 a (a, b ʦ R+ ) in Exame Nacional Resolução de problemas 29. Um triângulo retângulo e isósceles tem área 8. Determina o seu perímetro. Apresenta o resultado na forma a + b͙c , com a , b e c nú- meros naturais e b > 2 . 30. A área de um quadrado inscrito numa circunferência é 48. Determina o comprimento da circunferência. Apresenta o resultado na forma a͙bL , com a e b números naturais e a > 2 . 31. Seja E1 a esfera inscrita num cubo e seja E2 a esfera circunscrita a esse cubo. Sejam V1 e V2 os volumes das esferas E1 e E2 , respetivamente. a) Determina V2 V1 . Apresenta o resultado na forma a͙b , com a e b números naturais e a > 1 . b) Admite que V2 - V1 = 13L . Prova que a aresta do cubo mede ͙ 3 9͙3 + 3 . 32. Na figura ao lado está representado um cubo truncado. Este poliedro obtém-se a partir de um cubo ao qual são "corta- dos" os vértices. O cubo truncado tem faces triangulares e faces octogonais e as suas arestas são todas iguais. Cada face triangular é a secção produzida no cubo inicial por um plano que interseta três arestas que concorrem num mesmo vértice. Considera que a aresta do cubo inicial mede 1. a) Verifica que a aresta do cubo truncado mede ͙2 - 1 . b) Determina o volume do cubo truncado. Apresenta o resultado na forma a͙b - c d com a , b , c e d números naturais. 33. Se seccionarmos um cubo por planos definidos pelos pontos médios das arestas que concorrem num mesmo vértice, ob- temos um cuboctaedro. a) Justifica que as arestas do cuboctaedro são todas iguais. b) Determina a aresta do cubo inicial, sabendo que a área da superfície do cuboctaedro é 18 - 6͙3 . Agora já podes realizar... 5 + 5 | Teste 1 www.mat10.te.pt Tema 2 | Álgebra

36. 36. Noção de polinómio Polinómio de grau n (n ʦ N0) na variável x é uma expressão do tipo: a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an em que a0, a1, ..., an - 1, an ʦ R e a0 0 Têm-se as designações: os monómios a0xn , a1 xn-1 , ... , an - 1x e an designam-se por termos do polinómio; os números reais a0 , a1 , ... , an - 1 e an designam-se por coeficientes do polinómio; an diz-se termo independente ou termo de grau zero do polinómio. Exemplos: 5x3 + 3x2 - 7x - 9 é um polinómio de grau 3, cujos termos são 5x3 , 3x2 , -7x e -9, cujos coeficientes são 5, 3, -7 e -9 e cujo termo independente é -9; -x4 + 2x3 - 5x é um polinómio de grau 4, cujos termos são -x4 , 2x3 , 0x2 , -5x e 0, cujos coeficientes são -1, 2, 0, -5 e 0 e cujo termo independente é 0; 8 é um polinómio de grau 0 (repare-se que 8 = 8x0 ) que tem apenas um termo (termo independente) e apenas um coeficiente (8). Designa-se por forma reduzida de um polinómio, o polinómio que se obtém do polinó- mio dado adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando os termos nulos. Se, por aplicação deste processo, não se obtiver qualquer termo, identifica-se a forma reduzida com 0 e designa-se o polinómio por polinómio nulo. Exemplos: a forma reduzida do polinómio 6x3 + 6x - 9x3 - 7x2 - 4x + 13x2 - 5x + 7 é -3x3 + 6x2 - 3x + 7 ; o polinómio -3x2 + 2x + 7x2 - x + 3 - 4x2 - x - 3 é o polinómio nulo (0). Diz-se que dois polinómios não nulos são iguais se e só se admitirem uma mesma for- ma reduzida. 34. Para cada um dos polinómios seguintes, indica o grau, os termos e os coeficientes. a) -͙3x4 + 3x3 - 4 3 x - L b) t9 6 + t5 - ͙2t2 + 1020 c) 10 35. Simplifica as expressões seguintes. a) 2x3 + 5x3 b) 4y2 - 7y2 c) 3a4 + a4 5 d) 2b7 3 - 3b7 2 35 2. Polinómios

37. 37. 36. Simplifica cada uma das seguintes expressões, de modo a obteres um polinómio na forma reduzida. a) 2x3 - 3x4 - 1 4 x2 - 3x4 + 6x3 + 1 + 3 4 x2 - 7 + x5 b) 2c6 - 4 9 c5 + 0,1c4 - 7c6 - 1 5 c4 + 2 3 c5 37. Para cada um dos seguintes pares de polinómios, averigua se são iguais. a) 2x3 - 4x + 5x4 - 1 - 2x4 + 2x - 3x4 e 6x2 - 1 + 2x3 - x - 4x2 - x - 2x2 b) 3x3 + 2x2 - 4x - 2x3 + 5 - 3x2 e 5 - 6x2 + 2x3 - 3x - x3 + 7x2 - x Operações com polinómios Recordemos, com exemplos, algumas operações com polinómios. 4 × (-3x6 ) = -12x6 2x3 × 5x2 = 10x5 (4x3 ) 2 = 16x6 (3x2 - 7x + 1) + (-5x3 - 3x2 + 7x - 9) = 3x2 - 7x + 1 - 5x3 - 3x2 + 7x - 9 = -5x3 - 8 (3x2 - 7x + 1) - (3x2 - 6) = 3x2 - 7x + 1 - 3x2 + 6 = -7x + 7 (x2 - 3x + 2) × (2x - 1) = 2x3 - x2 - 6x2 + 3x + 4x - 2 = 2x3 - 7x2 + 7x - 2 Propriedade: o grau do produto de dois polinómios é igual à soma dos graus dos fatores. 38. Efetua as operações indicadas, reduzindo os termos semelhantes. a) (3x2 + x - 4) + (-x2 - 6x + 5) b) ΂2x3 + 3x2 + x 2 - 1 3 ΃ + ΂-4x2 - 1 6 ΃ c) ΂2 5 x3 + 4x2 - x - 2 9 ΃ - ΂ 9 10 x3 - 4x + 7 6 ΃ 39. Efetua as multiplicações indicadas, reduzindo os termos semelhantes. a) 2(3x - 4) b) -3x(2x2 - 5x - 9) c) (5y - 7)(4y2 + 6y - 8) 40. Seja P(x) um polinómio de grau 4. Seja Q(x) um polinómio de grau 3, tal que o termo de grau 3 tem coeficiente -2 e o termo de grau 2 tem coeficiente -1. Seja R(x) um polinómio de grau 3, tal que o termo de grau 3 tem coeficiente 2 e o termo de grau 2 tem coeficiente 0. Indica o grau de cada um dos seguintes polinómios. P(x) × Q(x) P(x) + Q(x) Q(x) - R(x) P(x) × R(x) + Q(x) Q(x) + R(x) 36 Tema 2 | Álgebra

38. 38. Casos notáveis Recordemos os casos notáveis da multiplicação de polinómios: (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)(a - b) = (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2 41. Para cada uma das expressões indicadas, escreve uma equivalente que seja um polinómio na forma reduzida. a) (3 + 5x)2 b) ΂x 5 + 3΃ 2 c) ΂x2 4 + 6΃ 2 d) ΂͙2 + x3 2 ΃ 2 e) ΂͙3 + ͙12x΃ 2 f) (3x2 + 2x)2 g) (8 - x)2 h) ΂x 4 - 1΃ 2 i) ΂x3 2 - 4x΃ 2 j) (2 + 5x)(2 - 5x) k) (x2 - 8x)(x2 + 8x) l) ΂5x2 4 - ͙7΃΂͙7 + 5x2 4 ΃ 42. Escreve na forma de quadrado de uma soma ou de uma diferença: a) x2 + 8x + 16 b) 4x2 + 20x + 25 c) 49x2 + 14x + 1 d) x2 - 20x + 100 e) 25x2 - 30x + 9 f) x2 - x + 1 4 43. Escreve na forma de produto de uma soma pela respetiva diferença: a) x2 - 9 b) 25 - x2 c) 16 - 49x2 d) 9x2 - 1 4 e) x4 - 81 f) x4 4 - 9 25 Divisão inteira de polinómios Sejam A(x) e B(x) dois polinómios (com B(x) não nulo). Efetuar a divisão inteira de A(x) por B(x) é determinar um polinómio Q(x) e um polinómio R(x) tais que A(x) = B(x) × Q(x) + R(x) , sendo R(x) o polinómio nulo ou um polinómio de grau inferior ao grau de B(x) . continua 37

39. 39. Em esquema: Se o resto for o polinómio nulo, diz-se que A(x) é divisível por B(x) . Tem-se: se o grau do divisor for superior ao do dividendo, o quociente é o polinómio nulo; se o grau do divisor não for superior ao do dividendo, o grau do quociente é a diferença entre o grau do dividendo e o grau do divisor; se o dividendo tiver grau maior ou igual a 1 e o divisor tiver grau 1, o resto é um nú- mero real. Exemplifica-se a seguir o algoritmo da divisão inteira de dois polinómios. Vamos efetuar a divisão de 6x3 - 20x2 - 7x + 8 por x2 - 3x - 1 . 1.o passo: colocar no quociente o monómio que multiplicado por x2 dá 6x3 . 2.o passo: multiplicar 6x por cada termo do divisor, trocar o sinal ao produto e co- locá-lo por baixo do termo do mesmo grau do dividendo. 3.o passo: adicionar o dividendo com o po- linómio obtido no passo anterior. 4.o passo: acrescentar ao quociente o mo- nómio que multiplicado por x2 dá -2x2 . 5.o passo: multiplicar -2 por cada termo do divisor, trocar o sinal ao produto e colocá- -lo por baixo do termo do mesmo grau do polinómio obtido no 3.º passo. 6.o passo: adicionar o polinómio obtido no passo anterior com o polinómio que se en- contra por cima dele. Como -7x + 6 tem grau inferior ao divisor, a divisão está concluída. O quociente é 6x - 2 e o resto é -7x + 6 . 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 6x 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 -6x3 + 18x2 + 6x 6x 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 -6x3 + 18x2 + 6x 6x -2x2 - x + 8 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 -6x3 + 18x2 + 6x 6x - 2 -2x2 - x + 8 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 -6x3 + 18x2 + 6x 6x - 2 -2x2 - x + 8 2x2 - 6x - 2 6x3 - 20x2 - 7x + 8 | x2 - 3x - 1 -6x3 + 18x2 + 6x 6x - 2 -2x2 - x + 8 2x2 - 6x - 2 -7x + 6 continuação A(x) | B(x) R(x) Q(x) dividendo divisor quocienteresto A(x) = B(x) × Q(x) + R(x) R(x) ou é o polinómio nulo ou tem grau inferior ao grau de B(x) . 38 Tema 2 | Álgebra

40. 40. 44. Efetua, em cada uma das alíneas seguintes, a divisão inteira do polinómio A(x) pelo poli- nómio B(x) , apresentando o quociente e o resto. a) A(x) = x3 + 3x2 - x - 5 e B(x) = x2 + 2x - 3 b) A(x) = 4x3 + 4x2 - 6 e B(x) = x - 3 c) A(x) = 8x4 - 10x2 + 2 e B(x) = 4x3 + 4x2 - x - 1 d) A(x) = 2x3 + 3x2 + x e B(x) = 6x3 + 9x2 - 18 e) A(x) = x2 + 4x - 8 e B(x) = x3 + 9x 45. Sabe-se que, ao dividirmos um polinómio M(x) por um polinómio N(x) , se obtém quo- ciente Q(x) e resto 2. Qual é o quociente e o resto da divisão do polinómio M(x) pelo polinómio 2N(x) ? 46. Para cada uma das alíneas seguintes, verifica que o polinómio A(x) é divisível pelo poli- nómio B(x) e escreve A(x) na forma B(x) × Q(x) . a) A(x) = 3x2 - 5x - 2 e B(x) = 3x + 1 b) A(x) = -x3 + 3x2 - 4x + 2 e B(x) = x2 - 2x + 2 c) A(x) = 2x4 - x3 - 4x - 3 e B(x) = x2 - x - 1 47. a) Verifica que (x - 1)(x + 2)(x - 3) = x3 - 2x2 - 5x + 6 . b) Se dividíssemos o polinómio x3 - 2x2 - 5x + 6 por x + 2 , qual seria o quociente? E qual seria o resto? 48. Seja A(x) um polinómio de grau 4. Sabe-se que, ao dividir A(x) por um polinómio B(x) , se obtém por quociente um polinómio de grau 3 e que o resto não é o polinómio nulo. Indica o grau de B(x) e o grau do resto. 49. Seja P(x) um polinómio de grau superior a 1. Seja Q(x) o quociente da divisão inteira de P(x) por x - 1 . Sabendo que P(2) = Q(2) , prova que P(x) é divisível por x - 1 . 50. Seja P(x) um polinómio de grau maior ou igual a 2. Seja R(x) o resto da divisão de P(x) por (x - 2)(x - 3) . Sabendo que P(2) = 7 e que P(3) = 5 , determina R(x) . 39

41. 41. Regra de Ruffini A regra de Ruffini é um algoritmo bastante prático para efetuar a divisão de dois polinó- mios quando o divisor é do tipo x - a (a ʦ R). Exemplifica-se a seguir a regra de Ruffini. Vamos efetuar a divisão de 3x4 - 5x2 - x + 8 por x - 2 . 1.o passo: construir um quadro como o exemplificado ao lado; na primeira linha, à direita do traço vertical, colocar os coefi- cientes do dividendo, ordenados por ordem decrescente dos graus dos respetivos ter- mos; na segunda linha, à esquerda do traço vertical, colocar o valor de a . 2.o passo: copiar para a terceira linha o pri- meiro coeficiente do dividendo. 3.o passo: multiplicar o número que está à esquerda do traço vertical pelo número que se acabou de colocar na terceira linha e colocar o produto obtido na segunda linha. 4.o passo: adicionar o número que se aca- bou de colocar na segunda linha com o que se encontra por cima dele e colocar a soma obtida na terceira linha. Vão-se repetindo os passos 3 e 4 até chegar ao fim do quadro. O quociente é 3x3 + 6x2 + 7x + 13 e o resto é 34. Nota: se o divisor for, por exemplo, x + 2 , tem-se a = -2 , pois x + 2 = x - (-2) . 2 3 0 -5 -1 8 2 3 0 -5 -1 8 3 2 3 0 6 -5 -1 8 3 2 3 0 6 -5 -1 8 3 6 2 3 0 6 -5 12 -1 14 8 26 3 6 7 13 34 51. Utiliza a regra de Ruffini para, em cada uma das alíneas seguintes, efetuares a divisão intei- ra do polinómio A(x) pelo polinómio B(x) . Para cada caso, indica o quociente e o resto. a) A(x) = 2x3 - 5x2 - 5x + 7 e B(x) = x - 3 b) A(x) = -3x3 + 7x + 4 e B(x) = x + 1 c) A(x) = -4x4 + 10x2 + 25 e B(x) = x + 2 d) A(x) = x5 + 1 e B(x) = x - 1 40 Tema 2 | Álgebra

42. 42. Teorema do resto O resto da divisão de um polinómio P(x) por x - a é igual a P(a) . Exemplo: O resto da divisão de P(x) = -x3 + 3x2 + 5x - 6 por x + 3 é P(-3) = 27 + 27 - 15 - 6 = 33 . 52. Utiliza o teorema do resto para, em cada uma das alíneas seguintes, determinar o resto da divisão inteira do polinómio A(x) pelo polinómio B(x) . a) A(x) = -x3 - 10x + 4 e B(x) = x - 3 b) A(x) = x5 - 5x3 - 2x2 + 10x e B(x) = x + 2 c) A(x) = -4x7 + 8x5 - 5x4 + 3x + 9 e B(x) = x - 1 53. Para certos números reais a e b , os restos da divisão de x3 + 3x2 + ax + b por x - 1 e x - 2 são 6 e 25, respetivamente. Determina a e b . Raiz ou zero de um polinómio Diz-se que um número real a é raiz ou zero de um polinómio P(x) se P(a) = 0 . Exemplo: 2 é raiz ou zero do polinómio 5x3 - 7x2 - 8x + 4 pois 5 × 23 - 7 × 22 - 8 × 2 + 4 = 0 . Propriedade: um número real a é raiz ou zero de um polinómio P(x) de grau n ≥ 1 se e só se P(x) for divisível por x - a , ou seja, se e só se existir um polinómio Q(x) de grau n - 1 tal que P(x) = (x - a)Q(x) . Exemplo: Como 2 é raiz do polinómio 5x3 - 7x2 - 8x + 4 , este polinómio é divisível por x - 2 , isto é, existe um polinómio Q(x) de grau 2 tal que 5x3 - 7x2 - 8x + 4 = (x - 2)Q(x) . Propriedade: dado um polinómio de coeficientes inteiros, o seu termo independente é múltiplo inteiro de qualquer raiz inteira desse polinómio. Exemplo: O polinómio 2x3 - 11x2 + 12x + 9 tem coeficientes inteiros; o seu termo independente, 9, é múltiplo de 3, que é a única raiz inteira do polinómio. 54. Verifica que -3, 0 e 2 são raízes do polinómio x3 + x2 - 6x . 55. Identifica quais dos elementos do conjunto {-2, -1, 1, 2, 3} são raízes do polinómio x3 - 3x2 - x + 3 . 56. Verifica que -1 é uma raiz do polinómio 2x4 - 3x - 5 e utiliza esse facto para escreveres 2x4 - 3x - 5 como produto de um polinómio do primeiro grau por um do terceiro grau. 57. Sabe-se que A(x) e B(x) são dois polinómios tais que A(x) = (x + 5) × (x - 2) × B(x) . Indica duas raízes de A(x) . 41

43. 43. 58. Sabe-se que e ´ são duas raízes distintas de um polinómio P(x) . Seja Q(x) o quo- ciente da divisão de P(x) por x - . Justifica que ´ é uma raiz de Q(x) . 59. Seja P(x) = x3 - 2x2 - 9x + 18 . Determina as raízes de P(x) , sabendo que são números inteiros. 60. Seja P(x) um polinómio de coeficientes inteiros cujo termo independente é um número natural inferior a 20. Sabe-se que 8 é uma raiz de P(x) . Indica os possíveis valores do termo independente de P(x) . Raiz de multiplicidade n de um polinómio Diz-se que o número real a é uma raiz de multiplicidade n de um polinómio P(x) se n for o maior número natural para o qual existe um polinómio Q(x) tal que P(x) = (x - a)n Q(x) . Uma raiz de multiplicidade 1 diz-se raiz simples. Exemplo: Seja P(x) = 2x3 - 11x2 + 12x + 9 . Tem-se P(3) = 0 , pelo que 3 é uma raiz de P(x) . Portanto, P(x) é divisível por x - 3 . Façamos a divisão de P(x) por x - 3 utilizando a regra de Ruffini. 3 2 -11 6 12 -15 9 -9 2 -5 -3 0 Tem-se, então, 2x3 - 11x2 + 12x + 9 = (x - 3)(2x2 - 5x - 3) . Tem-se também que 3 é raiz de 2x2 - 5x - 3 , pelo que este polinómio também é divisível por x - 3 . Façamos a divisão de 2x2 - 5x - 3 por x - 3 utilizando a regra de Ruffini. 3 2 -5 6 -3 3 2 1 0 Tem-se, então, 2x2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1) . Portanto, P(x) = (x - 3)(2x2 - 5x - 3) = (x - 3)(x - 3)(2x + 1) = (x - 3)2 (2x + 1) . Como 3 não é raiz de 2x + 1 , concluímos que 3 é uma raiz de multiplicidade 2 (raiz dupla) de P(x) . 61. Mostra que -3 é uma raiz simples do polinómio 4x3 + 12x2 - x - 3 . 62. Verifica que 1 é uma raiz do polinómio 2x4 - 3x3 - 3x2 + 7x - 3 e determina a sua multi- plicidade. 42 Tema 2 | Álgebra

44. 44. 63. Decompõe em fatores cada um dos seguintes polinómios. a) 70x2 + 35x b) -4x2 + 100x c) 100 - x2 d) x2 + 10x + 25 e) 9x2 + 6x + 1 f) 2x3 - 4x2 + 2x g) x - x3 h) x6 - 25x4 64. Decompõe em fatores cada um dos seguintes polinómios. a) x2 + x - 12 b) -5x2 - 10x + 15 c) 2x2 - 5x + 2 65. Decompõe em fatores cada um dos seguintes polinómios. a) A(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6 , sabendo que 1 é raiz de A(x) . b) B(x) = x3 - 8x2 + 5x + 50 , sabendo que -2 é raiz de B(x) . c) C(x) = 2x3 - 3x2 + 4x - 12 , sabendo que 2 é raiz de C(x) . d) D(x) = 3x3 + 6x2 - 21x + 12 , sabendo que 1 é raiz de D(x) . 66. Decompõe em fatores cada um dos seguintes polinómios. a) A(x) = x4 - 5x3 + 6x2 - 2x , sabendo que 1 é raiz de A(x) . b) B(x) = x4 + x3 - 19x2 + 11x + 30 , sabendo que -1 e 3 são raízes de B(x) . c) C(x) = x4 - 4x3 + 3x2 + 4x - 4 , sabendo que 2 é raiz dupla de C(x) . d) D(x) = x4 - 10x2 + 9 Fatorização de polinómios Para decompor um polinómio em fatores, podemos colocar em evidência fatores co- muns e utilizar os casos notáveis da multiplicação de polinómios. Exemplos: 4x3 - 7x2 + 3x = x(4x2 - 7x + 3) x2 - 8x + 16 = (x - 4)2 x3 - 9x = x(x2 - 9) = x(x - 3)(x + 3) 2x2 + 20x + 50 = 2(x2 + 10x + 25) = 2(x + 5)2 x3 - 2x2 + 3x - 6 = x2 (x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x2 + 3) Para decompor um polinómio em fatores, também podemos utilizar as suas raízes. Dado um polinómio P(x) de grau n ≥ 1 , cujas raízes (distintas) x1 , ... , xk têm respeti- vamente multiplicidade n1 , ... , nk , tem-se que: n1 + ... + nk ≤ n ; existe um polinómio Q(x) sem raízes tal que P(x) = (x - x1)n1 ... (x - xk)nkQ(x) ; n1 + ... + nk = n se e somente se Q(x) tiver grau zero, ou seja, for um número real, o qual é o coeficiente do termo de maior grau do polinómio P(x) . Exemplo: O polinómio x4 + 4x3 - 5x2 - 36x - 36 tem uma raiz dupla, -2, e duas raízes sim- ples, -3 e 3. Portanto, x4 + 4x3 - 5x2 - 36x - 36 = (x + 2)2 (x + 3)(x - 3) . 43

45. 45. Exercícios globais 67. Para certos números reais a e b , ax3 + bx2 - 7x + 6 é divisível por x2 + x - 6 . Determina a e b . 68. Sejam a1 , a2 , a3 e a4 números inteiros. Considera o polinómio p(x) = x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 . a) Se o polinómio p(x) tiver quatro raízes inteiras, justifica que o seu produto é igual a a4 . b) Justifica que, se a4 for um número primo, então o polinómio p(x) não pode ter qua- tro raízes inteiras distintas. 69. Seja p(x) um polinómio de grau n (n > 2). Sabe-se que a é uma raiz de multiplicidade m de p(x) , com m número natural par. Seja q(x) o quociente da divisão de p(x) por (x - a)m . Determina, em função de a , duas raízes do polinómio p(x) - q(x) . 70. Na figura ao lado estão representados: um retângulo de comprimento 10 e largura x (0 < x < 5) ; dois quartos de círculo de raio x e cujos centros são os pontos A e B . O perímetro da região colorida é dado por um polinómio p(x) . Determina p(x) na forma reduzida. 71. Na figura ao lado está representado um projeto de uma escultura para o jardim de uma escola, constituída por uma esfera colocada sobre um cubo. Pretende-se que a escultura tenha uma altura total de 2 metros. Seja x o raio da esfera, em metros (0 < x < 1). Mostra que o volume total, em metros cúbicos, da escultura é dado por p(x) = 4L - 24 3 x3 + 24x2 - 24x + 8 . Adaptado de Exame Nacional 72. Uma pirâmide quadrangular tem altura 8 e a aresta da base é 6͙2 . Fez-se um corte por um plano paralelo à base, tendo a pirâmide ficado decomposta num tronco de pirâmide de altura x e numa nova pirâmide. a) Prova que o volume desta nova pirâmide é dado por p(x) = - 3 8 x3 + 9x2 - 72x + 192 . b) Sem efetuar cálculos, justifica que o volume da pirâmide inicial é o termo independente de p(x) . A B CD 10 x 44 Tema 2 | Álgebra

46. 46. Tema Geometria Analítica3

47. 47. Referencial ortonormado Dado um plano munido de um referencial, diz-se que: o referencial é ortogonal se os eixos forem perpendiculares; o referencial é monométrico se tiver sido fixada a mesma unidade de comprimento para os dois eixos; o referencial é ortonormado se for ortogonal e monométrico, sendo a unidade de comprimento comum aos eixos coordenados coincidente com uma unidade de com- primento pré-fixada. Abrevia-se muitas vezes a designação "ortonormado" escrevendo simplesmente "o.n." 1. a) Na figura ao lado estão assinalados alguns pontos num referencial o.n. xOy . Escreve as coordenadas desses pontos. b) Desenha um referencial o.n. xOy e assinala nesse re- ferencial os pontos L(-3, 0) , M(-4, -5) , N(-1, -1) , O(0, 0) , P΂- 3 2 , 4΃ , Q(0, -3) , R΂ 7 2 , 1΃ , S(4, -2) , T(1, 0) e U΂0, - 1 2΃ . 2. Considera, num referencial o.n. xOy , um retângulo de lados paralelos aos eixos do referen- cial e perímetro 20. Um dos vértices do retângulo é o ponto A(2, 1) . Sabendo que o retângulo tem dois vértices no quarto quadrante e que um deles tem abcissa 9, qual é a ordenada desse vértice? y xO A a2 a1 y xO 1.o Quadrante2.o Quadrante 4.o Quadrante3.o Quadrante Dado um plano munido de um referencial o.n. xOy e dados números reais a1 e a2 , de- signa-se por A(a1, a2) o ponto de abcissa a1 e ordenada a2 . Os eixos do referencial divi- dem o plano em quatro re- giões, que se designam por quadrantes. y xO 1 1 E F C B A D L J G I K H 46 Tema 3 | Geometria Analítica 1. Geometria analítica no plano

48. 48. Distância entre dois pontos Dado um plano munido de um referencial ortonormado e dados dois pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) desse plano, designa-se por d(A, B) a medida da distância entre os pontos A e B . y xO a2 b2 a1 b1 A B d(A,B) Tem-se d(A, B) = ͙Θb1 - a1Ι2 + (b2 - a2)2 . Exemplo: A distância entre A(4, -7) e B(-2, 1) é ͙Θ-2 - 4Ι2 + ΄1 - Θ-7Ι΅2 = ͙Θ-6Ι2 + 82 = ͙36 + 64 = ͙100 = 10 3. Determina a distância entre cada um dos seguintes pares de pontos, num referencial o.n. xOy . a) A(2, 3) e B(7, 15) b) C(-2, 1) e D(1, -3) c) E΂ 1 2 , -1΃ e F(2, 1) 4. Na figura seguinte está representado um retângulo, em referencial o.n. xOy . Determina a área do retângulo. y xO 1 1 47

49. 49. Ponto médio de um segmento de reta Dado um plano munido de um referencial ortonormado e dados dois pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) desse plano, seja M o ponto médio do segmento de reta [AB] . y xO a2 b2 a1 b1 A B M Tem-se que as coordenadas do ponto M são ΂ a1 + b1 2 , a2 + b2 2 ΃. Exemplo: Sendo A(4, -7) e B(-2, 1) , o ponto médio do segmento de reta [AB] tem coordenadas ΂4 + (-2) 2 , -7 + 1 2 ΃= (1, -3) . 6. Cada um dos seguintes pares de pontos define, num referencial o.n. xOy , um segmento de reta. Para cada caso, determina o ponto médio do segmento de reta. a) A(2, 3) e B(8, 17) b) C(-2, 1) e D(0, -7) c) E΂- 1 2 , -͙2΃ e F΂ 9 2 , ͙18΃ 7. No teu caderno, desenha um referencial o.n. xOy . Considera, nesse referencial, a circunferência de diâmetro [AB] , sendo A(-1, -3) e B(5, 5) . a) Determina as coordenadas do centro da circunferência. b) Determina o comprimento da circunferência. 5. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy , um quadrilátero [ABCD] . Tem-se que as coordenadas dos quatro vértices são: A(2, -1) B(12, 4) C(14, 15) D(4, 10) a) Mostra que este quadrilátero é um losango. b) Determina a área do quadrilátero. y xO B C D A 48 Tema 3 | Geometria Analítica

50. 50. Reta Descrição Representação geométrica Equação Reta paralela ao eixo Ox e que interseta o eixo Oy no ponto de ordenada b . b y xO y = b Reta paralela ao eixo Oy e que interseta o eixo Ox no ponto de abcissa a . a y xO x = a Reta que é união das bissetrizes dos quadrantes ímpares (habi- tualmente designada por bissetriz dos quadrantes ímpares). y xO y = x Reta que é união das bissetrizes dos quadrantes pares (habitual- mente designada por bissetriz dos quadrantes pares). y xO y = -x Reta de declive m e ordenada na origem b . b y xO y = mx + b À equação y = mx + b dá-se o nome de equação reduzida de uma reta não vertical. O declive de uma reta não vertical que passa nos pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) é b2 - a2 b1 - a1 . 8. Sejam, num referencial o.n. xOy , dois pontos, A e B . Sabe-se que: a abcissa de B é igual à ordenada de A ; a ordenada de B é igual ao triplo da abcissa de A ; o ponto médio do segmento de reta [AB] tem coordenadas (4, 9) . Determina as coordenadas do ponto A . 49

51. 51. 9. Na figura ao lado estão representadas, num referencial o.n. xOy , seis retas paralelas aos eixos coordenados: três retas horizontais: r , s e t ; três retas verticais: c , d e e . a) Indica as coordenadas dos pontos A , B , C e D da reta s e escreve uma equação que defina a reta s . b) Escreve uma equação que defina a reta r e uma equação que defina a reta t . c) Representa no teu caderno, num referencial o.n. xOy , as retas definidas pelas equações: y = -2 y = 1 2 d) Indica as coordenadas dos pontos E , F , G e H da reta c e escreve uma equação que defina a reta c . e) Escreve uma equação que defina a reta d e uma equação que defina a reta e . f) Representa no teu caderno, num referencial o.n. xOy , as retas definidas pelas equações: x = -8 x = - 7 2 x = 1 2 10. Para cada uma das seguintes retas, escreve a equação reduzida. a) Reta que tem declive 2 e passa no ponto A(0, -1) . b) Reta que tem declive 3 e passa no ponto B(1, 7) . c) Reta que passa nos pontos C(1, -3) e D(-4, 2) . d) Reta com ordenada na origem b = -1 e que passa no ponto E(4, 0) . e) Reta que passa na origem e no ponto F΂ 2 3 , -2΃ . f) Bissetriz dos quadrantes ímpares. g) Bissetriz dos quadrantes pares. 11. Considera, em referencial o.n. xOy , a reta r definida pela equação y = 2x + 4 . a) Indica a ordenada do ponto de interseção da reta r com o eixo Oy . b) Determina a abcissa do ponto de interseção da reta r com o eixo Ox . c) Tendo em conta as alíneas anteriores, desenha, no teu caderno, a reta r . d) Da observação do desenho: d1) qual parece ser a ordenada do ponto da reta cuja abcissa é 3? d2) qual parece ser a abcissa do ponto da reta cuja ordenada é -2? e) Confirma analiticamente os valores observados nas alíneas d1) e d2). y xO 1 1 E F CBA D ce G d r s t H 50 Tema 3 | Geometria Analítica

52. 52. 12. Considera, em referencial o.n. xOy : a reta r definida pela equação y = 3x + 1 ; a reta s definida pela equação y = -2x + 11 . a) Determina as coordenadas de dois pontos da reta r (por exemplo: atribui dois valores a x e determina os correspondentes valores de y ). b) Determina as coordenadas de dois pontos da reta s . c) Tendo em conta as alíneas anteriores, desenha, no teu caderno, as retas r e s . d) Da observação do desenho, quais parecem ser as coordenadas do ponto de interse- ção das duas retas? e) Confirma analiticamente o resultado da alínea anterior. 13. Considera, em referencial o.n. xOy : a reta r definida pela equação y = 1 ; a reta s definida pela equação x = 7 ; a reta t definida pela equação y = 3 4 x - 5 4 . a) Desenha, no teu caderno, as retas r , s e t . b) Determina analiticamente as coordenadas dos vértices do triângulo limitado pelas retas r , s e t . c) Determina a área e o perímetro desse triângulo. Mediatriz de um segmento de reta Dado um plano munido de um referencial ortonormado e dados dois pontos A(a1, a2) e B(b1, b2) desse plano, seja r a mediatriz do segmento de reta [AB] (reta perpendi- cular a esse segmento e que passa pelo seu ponto médio). A mediatriz do segmento de reta [AB] é o lugar geométrico dos pontos P tais que d(A, P) = d(B, P) . y xO a2 b2 a1 b1 A B M P r Exemplos: Sejam A(-2, 1) e B(6, 1) . O segmento de reta [AB] é paralelo ao eixo Ox , pelo que a mediatriz deste seg- mento é paralela ao eixo Oy . Como o ponto médio do segmento de reta [AB] é M(2, 1) , uma equação da mediatriz do segmento de reta [AB] é x = 2 . continua 51

53. 53. Circunferência Dados um plano munido de um referencial ortonorma- do, um ponto C(c1, c2) desse plano e um número real positivo r , a equação (x - c1)2 + (y - c2)2 = r2 é uma equação cartesiana da circunferência de cen- tro no ponto C e raio r . Designa-se esta equação por equação reduzida da circunferência. y xO c2 c1 C r 14. Para cada um dos pares de pontos A e B indicados, desenha, em referencial o.n. xOy , o segmento de reta [AB] , constrói a mediatriz desse segmento de reta e determina a sua equação reduzida. a) A(-1, 1) e B(-1, 5) b) A(-2, 1) e B(4, 5) c) A(2, -3) e B(-6, 7) 15. Considera, em referencial o.n. xOy , os pontos A(-2, -2) , B(4, -2) e C(5, 5) . a) Desenha o triângulo [ABC] . b) Determina, por meio de uma construção geométrica adequada, o circuncentro do triângulo [ABC] (ponto de interseção das mediatrizes dos lados). c) Confirma analiticamente o resultado obtido na alínea anterior. Sejam A(4, 1) e B(4, -7) . O segmento de reta [AB] é paralelo ao eixo Oy , pelo que a mediatriz deste seg- mento é paralela ao eixo Ox . Como o ponto médio do segmento de reta [AB] é M(4, -3) , uma equação da mediatriz do segmento de reta [AB] é y = -3 . Sejam A(-2, 1) e B(4, -7) . A mediatriz do segmento de reta [AB] é o conjunto de pontos P(x, y) tais que d(A, P) = d(B, P) . Tem-se: d(A, P) = d(B, P) ͙(x + 2)2 + (y - 1)2 = ͙(x - 4)2 + (y + 7)2 (x + 2)2 + (y - 1)2 = (x - 4)2 + (y + 7)2 x2 + 4x + 4 + y2 - 2y + 1 = x2 - 8x + 16 + y2 + 14y + 49 4x + 4 - 2y + 1 = -8x + 16 + 14y + 49 -2y - 14y = -8x - 4x + 65 - 5 -16y = -12x + 60 y = 12 16 x - 60 16 y = 3 4 x - 15 4 continuação continua 52 Tema 3 | Geometria Analítica

54. 54. Círculo A inequação (x - c1)2 + (y - c2)2 ≤ r2 define o círculo de centro no ponto C e raio r . Exemplos: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25 é a equação reduzida da circunferência de centro em C(2, -3) e raio 5; (x - 1)2 + y2 = 2 é a equação reduzida da circunferência de centro em C(1, 0) e raio ͙2 ; x2 + y2 = 9 é a equação reduzida da circunferência de centro na origem do referencial e raio 3; tem-se: x2 + y2 - 6x + 8y = 11 x2 - 6x + y2 + 8y = 11 x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 11 + 9 + 16 (x - 3)2 + (y + 4)2 = 36 pelo que x2 + y2 - 6x + 8y = 11 é uma equação da circunferência de centro em C(3, -4) e raio 6; x2 + (y + 3)2 ≤ 16 define o círculo de centro em C(0, -3) e raio 4; x2 + (y + 3)2 < 16 define o interior do círculo de centro em C(0, -3) e raio 4; x2 + (y + 3)2 > 16 define o exterior do círculo de centro em C(0, -3) e raio 4. 16. Escreve a equação reduzida de cada uma das seguintes circunferências. a) Centro no ponto C(-2, 1) e raio 3. b) Centro no ponto C(0, -1) e raio 4. c) Centro no ponto C(3, 0) e raio 2. d) Centro na origem e raio 1. e) Centro no ponto C΂- 1 2 , - 3 5΃ e raio ͙2 . f) Diâmetro [AB] , sendo A(1, 4) e B(7, 6) . 17. Indica o centro e o raio de cada uma das circunferências definidas pelas equações seguintes. a) (x - 5)2 + (y + 4)2 = 36 b) (x + 1)2 + (y - 7)2 = 12 c) x2 + (y + 3)2 = 1 d) x2 + y2 = 5 18. No teu caderno, desenha um referencial o.n. xOy , tomando para unidade o lado de uma quadrícula. Nesse referencial, desenha a circunferência de centro no ponto C(-2, 1) e raio 5. Escreve uma equação dessa circunferência e mostra que ela é equivalente a x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0 continuação 53

55. 55. Elipse Dados dois pontos F1 e F2 de um plano onde se fixou uma unidade de comprimento, chama-se elipse ao lugar geométrico dos pontos P desse plano tais que PF1 + PF2 é constante, sendo essa constante maior do que F1F2 . Aos pontos F1 e F2 dá-se o nome de focos. A elipse tem dois eixos de simetria: a reta que passa pelos focos F1 e F2 ; a mediatriz do segmento de reta [F1F2 ] . Ao ponto de interseção dos eixos de simetria dá-se o nome de centro (O). Aos pontos de interseção da elipse com os eixos de simetria dá-se o nome de vértices (V1 , V2 , V3 e V4 ). OF1 F2 V1 V2 V3 V4 F1 F2 P 19. Determina o centro e o raio de cada uma das circunferências definidas pelas equações seguintes. a) x2 + y2 - 6x + 4y - 1 = 0 b) x2 + y2 = 8y 20. Determina analiticamente os pontos de interseção da reta de equação y = 2x + 3 com a circunferência de centro C(-4, 10) e raio 5͙2 . 21. Na figura ao lado está representado o círculo de centro em C(1, -2) e raio 3. a) Escreve uma equação da circunferência que limita o círculo. b) Completa, de forma a obteres uma proposição ver- dadeira: "A distância de qualquer ponto P do círculo ao ponto C é sempre inferior ou igual a ____." 22. Define analiticamente cada uma das seguintes regiões do plano. a) Círculo de centro em C(3, -2) e raio 6. b) Círculo de centro na origem e raio ͙2 . c) Exterior do círculo de centro em C(-2, 5) e raio 4. d) Interior do círculo de centro em C(2, 0) e raio 3. 23. Determina a área da região do plano definida pela condição x2 + (y - 5)2 ≤ 7 . y xO 1 1 C continua 54 Tema 3 | Geometria Analítica

56. 56. Ao segmento de reta [V1V2] , bem como ao seu comprimento (2a), dá-se o nome de eixo maior ( a é o semieixo maior). Ao segmento de reta [V3V4] , bem como ao seu comprimento (2b) , dá-se o nome de eixo menor ( b é o semieixo menor). À distância entre os focos (2c) dá-se o nome de distância focal ( c é a semidistância focal). Definiu-se elipse como o lugar geométrico dos pontos P tais que PF1 + PF2 é constante. Prova-se que essa constante é igual ao eixo maior (PF1 + PF2 = 2a). Daqui resulta que a distância de qualquer dos vértices que são extremos do eixo menor a cada foco é igual a a . Do teorema de Pitágoras resulta que a2 = b2 + c2 . Considerando um referencial o.n., em que os eixos coordenados contêm os eixos de simetria da elipse, estando os focos no eixo das abcissas, tem-se que uma equação da elipse é x2 a2 + y2 b2 = 1 Designa-se esta condição por equação reduzida da elipse. Exemplo: Na equação x2 169 + y2 25 = 1 tem-se a2 = 169 e b2 = 25 . Tem-se c2 = a2 - b2 = 169 - 25 = 144 . Portanto, a = 13 , b = 5 e c = 12 . Trata-se, assim, da elipse de centro na origem do referencial, com focos de coordenadas (12, 0) e (-12, 0) e cujos eixos maior e menor medem respetivamente 26 e 10. y xO b c a a ab c aa b c a OF1 F2 V1 V2 V3 V4 24. Para cada uma das elipses cujas equações reduzidas são apresentadas a seguir, de- termina o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e as coordenadas dos vértices. a) x2 25 + y2 16 = 1 b) x2 100 + y2 36 = 1 c) x2 9 + y2 4 = 1 d) x2 49 + y2 24 = 1 continuação 55

57. 57. 25. Determina a equação reduzida de cada uma das seguintes elipses. a) Centro na origem, focos no eixo das abcissas, eixo maior igual a 6 e eixo menor igual a 4. b) Vértices de coordenadas (3, 0) , (-3, 0) , (0, 2) e (0, -2) . c) Focos de coordenadas (12, 0) e (-12, 0) e um dos vértices é o ponto de coordenadas (0, 5) . d) Focos de coordenadas (5, 0) e (-5, 0) e um dos vértices é o ponto de coordenadas (-7, 0) . e) Focos de coordenadas (6, 0) e (-6, 0) e que passa no ponto de coordenadas (6, 5) . f) Focos de coordenadas (3, 0) e (-3, 0) e inscrita num retângulo de perímetro 36. g) Centro na origem, focos no eixo das abcissas, eixo maior igual ao dobro do eixo menor e que passa no ponto de coordenadas (6, 4) . 26. Na figura seguinte está representada uma elipse inscrita num retângulo e um losango cujos vértices coincidem com os vértices da elipse. O retângulo tem área 24 e o losango tem perímetro ͙208 . Qual é a distância entre os focos da elipse? 27. Considera, em referencial o.n. xOy , a reta de equação y = 1 2 x + 3 . Esta reta passa por dois vértices de uma elipse de centro na origem do referencial e cujos focos pertencem ao eixo das abcissas. Determina a equação reduzida da elipse. 28. Considera, em referencial o.n. xOy , a elipse de equação x2 + 3y2 = 6 . a) Determina a equação reduzida da elipse. b) Seja F o foco da elipse cuja abcissa é positiva. Determina as coordenadas do ponto F . c) Seja r a reta de equação x = 3 . Seja P um ponto qualquer da elipse. Seja d(P, r) a distância do ponto P à reta r . Seja d(P, F) a distância do ponto P ao foco F . Mostra que d(P, F) d(P, r) = ͙6 3 . 29. Considera um triângulo equilátro [ABC] de lado l . Os pontos A e B são os focos de uma elipse que passa por C . Seja D o ponto de interseção da elipse com a semirreta A · B . Mostra que o triângulo [ACD] tem área 3͙3 8 l2 . 56 Tema 3 | Geometria Analítica

58. 58. Semiplanos Descrição Representação geométrica Inequação Semiplano fechado à direita da reta de equação x = a . a y xO x ≥ a Semiplano aberto à esquerda da reta de equação x = a . a y xO x < a Semiplano fechado superior à reta de equação y = b . b y xO y ≥ b Semiplano aberto inferior à reta de equação y = mx + b . y xO b y < mx + b 30. Num referencial o.n. xOy do plano, representa o conjunto de pontos definido por cada uma das seguintes condições. a) y ≥ 2 ‹ x ≤ 4 ‹ (x - 4)2 + (y - 2)2 ≤ 9 b) 1 ≤ (x + 2)2 + (y - 1)2 ≤ 4 › (-4 ≤ x ≤ 0 ‹ -2 ≤ y ≤ 1) 31. Na figura seguinte estão representados, em referencial o.n. xOy , quatro semiplanos, uns abertos e outros fechados. Os semiplanos estão coloridos. Indica, para cada semiplano, uma condição que o defina. a) y xO 1 1 y xO 1 1 y xO 1 1 y xO 1 1 b) c) d) 57

59. 59. 32. Escreve uma condição que defina o domínio plano representado no referencial o.n. xOy da figura seguinte. y xO 1 1 33. Na figura seguinte está representada, num referencial o.n. xOy , a circunferência que tem centro no ponto A(4, 7) e que passa pelo ponto D(8, 10) . y xO AB F C D E Sabe-se que: [CF] é a corda da circunferência contida no eixo Oy ; [CD] é uma corda da circunferência paralela ao eixo Ox ; [AE] é um raio da circunferência paralelo ao eixo Oy ; [ABCD] é um trapézio retângulo. a) Determina a área do trapézio [ABCD] . b) Determina a equação reduzida da mediatriz do segmento [AD] . c) Mostra que o raio da circunferência é igual a 5. d) Define, por uma condição, a região colorida, incluindo a fronteira. Agora já podes realizar... 5 + 5 | Teste 2 www.mat10.te.pt Tema 3 | Geometria Analítica

60. 60. Vetores Segmentos orientados com a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento definem o mesmo vetor. Segmentos orientados de extremos iguais (ou seja, ponto de aplicação e ponto extremi- dade coincidentes) definem o vetor nulo (0). Dado um vetor v , designa-se por norma de v a medida do comprimento de qualquer segmento orientado que o represente. A norma de v representa-se por ʈvʈ . A norma do vetor nulo é zero. Vetores não nulos com a mesma direção dizem-se colineares. Vetores colineares e com a mesma norma, mas de sentidos contrários, dizem-se simé- tricos. O simétrico de v designa-se por -v . Convenciona-se que: o vetor nulo é colinear com qualquer vetor; o vetor nulo é simétrico de si próprio. 34. Observa a figura seguinte e preenche a tabela. Vetores Mesma direção? Mesmo sentido? Mesma norma? Iguais? a e b não b e c d e e c e f a) Tomando para unidade de comprimento o lado de uma quadrícula, indica ʈaʈ e ʈc ʈ . b) Indica um par de vetores simétricos. 35. Na figura ao lado está representado um trapézio retângulo [ABCD] . Sabe-se que AD = CD = 5 e que BC = 4 . a) Utilizando as letras da figura, indica um par de vetores colineares. b) Determina ʈACʈ . a b d e f c A B CD 59 2. Cálculo vetorial no plano

61. 61. Adição de vetores Para adicionar dois vetores, u e v , podemos considerar três pontos, A , B e C , tais que AB = u e BC = v , tendo-se então u + v = AB + BC = AC . Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 Se os vetores u e v não forem colineares, também se pode obter a soma u + v através da "regra do paralelogramo", como se ilustra na figura ao lado. Propriedades: 1. u + v = v + u (propriedade comutativa) 2. (u + v) + w = u + (v + w) (propriedade associativa) 3. u + 0 = u ( 0 é elemento neutro) 4. u + (-u) = 0 (a soma de um vetor com o seu simétrico é o vetor nulo) Dados vetores u e v , define-se u - v da seguinte forma: u - v = u + (-v) 36. Utilizando as letras da figura ao lado, indica os resultados de cada uma das seguintes operações. a) AB + BG b) LI + OG c) EF + KG d) OP + LD e) EB + EJ f) LI + EF g) NK + GD h) ON + JL i) AB - GC j) LI - OK k) EF - KG l) OP - CD 37. Completa as seguintes frases. a) "Quaisquer que sejam os pontos A , B e C , tem-se sempre: AB + BC = ______." b) "Quaisquer que sejam os pontos A , B , C e D , tem-se sempre: AB + BC + CD = ____." c) "Quaisquer que sejam os pontos A e B , tem-se sempre: AB + BA = ______." L E F CBA D KJ G I P H ONM A u v A B C +u v u v A B C u + v u v u v u + v u v v u A B C u + v u v u v 60 Tema 3 | Geometria Analítica

62. 62. Produto de um vetor por um número real (escalar) Dado um vetor v e um número real , o produto de v por representa-se por v . Tem-se: se = 0 ou v = 0 então v = 0 ; se ≠ 0 e v ≠ 0 então v é o vetor que tem: - a mesma direção de v ; - o mesmo sentido de v , se > 0 , e sentido contrário ao de v , se < 0 ; - norma igual a ͉ ͉ ʈvʈ . Exemplos: v 3v - 1- 2 v Propriedades ( u e v vetores e e escalares): 1. (u + v) = u + v (propriedade distributiva) 2. ( + )v = v + v (propriedade distributiva) 3. ( v) = ( )v 4. 1v = v Dado um vetor u não nulo, um vetor v é colinear com u se e só se existe um número real tal que v = u . Caso exista, este número real é único. ca b d g h e f 38. Observa a figura seguinte e completa. a = ______ b b = ______ a c = ______ d d = ______ c f = ______ e e = ______ f g = ______ h h = ______ g 61

63. 63. L E F CBA D KJ G I P H ONM 39. Utilizando as letras da figura, indica o resultado de cada uma das seguintes operações. a) 2AB + CG b) 1 3 LI - 1 2 OF c) 2 3 EH + KG d) OP - 1 2 LC 40. Completa as seguintes frases: a) "Quaisquer que sejam os pontos A e B , tem-se sempre: AB + 2BA = ______ ." b) "Quaisquer que sejam os pontos A , B e C , tem-se sempre: 4AB + 3BC + 3CA = ______ ." 41. Seja [ABCD] um quadrilátero. Sejam P , Q , R e S os pontos médios dos lados [AB] , [BC] , [CD] e [DA] , respe- tivamente. P S A B R CD Q Prova que o quadrilátero [PQRS] é um paralelogramo. Sugestão: tendo em conta que PB + BQ = PQ , prova que PQ = 1 2 AC e, de modo aná- logo, prova que SR = 1 2 AC . 42. Sejam a e b dois vetores colineares. Prova que os vetores a + b e a - b também são colineares. 62 Tema 3 | Geometria Analítica

64. 64. Coordenadas de um vetor Dado um plano onde está instalado um referencial o.n. xOy , sejam os pontos X(1, 0) e Y(0, 1) e os vetores e1 e e2 tais que e1 = OX e e2 = OY . Dado um qualquer v do plano, existe um e um só par ordenado de números reais (v1, v2) tal que v = v1e1 + v2e2 . Diz-se que (v1, v2) são as coordenadas do vetor v . Representa-se por v(v1, v2) o vetor de cooredenadas (v1, v2) . Dado um ponto A , o vetor OA designa-se por vetor de posição do ponto A . As coordenadas do vetor OA coincidem com as coordenadas do ponto A . y xO 1 1 v1 v2 A e2 e1 v X Y Dados vetores u(u1, u2) e v(v1, v2) e um número real , tem-se: as coordenadas de u + v são (u1 + v1, u2 + v2) ; as coordenadas de u - v são (u1 - v1, u2 - v2) ; as coordenadas de u são ( u1, u2) ; a norma de u é ͙u1 2 + u2 2 ; u e v são colineares se e só se u1 × v2 = u2 × v1 (ou seja, u1 × v2 - u2 × v1 = 0 ). y xO 1 1 b d c e a 43. Na figura seguinte estão representados cinco vetores em referencial o.n. xOy . Indica as coordenadas de cada um deles. 63

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Caderno exercicios 10º ano novo programa jorge penalva

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Publicada em Manual de matemática 10º ano 1. MATEMÁTICA A 10.º ANO Caderno de exercíciosANTÓNIO PAMPULIM CRISTINA VIEGAS SÉRGIO VALENTE INCLUI: * Sínteses com exemplos * Mais de 500 exercícios propostos * Respostas * Testes 5+5 (OFERTA ONLINE) 2. Tema Tema Tema Introdução à Lógica Bivalente e à Teoria dos Conjuntos Geometria Analítica Álgebra Índice 1 3 2 1.

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Matemática A - 10º Ano - As Explicações do Pontes

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Aqui é objetivo aprender conceitos introdutórios à geometria analítica no plano no domínio do programa de matemática A do 10º ano. Como tal, é abordada a definição de referencial ortonormado e são estudadas e deduzidas técnicas de cálculo de distâncias entre dois pontos (na reta numérica e no plano munido de referencial ortonormado Oxy) e de determinação do ponto médio entre dois pontos (igualmente na reta numérica e no plano munido de referencial ortonormado Oxy).

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Matematica, 10º ano, exercícios, prof. Mónica Pinto

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Site de apoio a todos os alunos e professores à disciplina de Matemática. Contém fichas e resumos da matéria

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Hora do Código: Inteligência Artificial (A.I.)

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Hora do Código: Inteligência Artificial (A.I.)

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Este vídeo mostra como dar os primeiros passos na atividade "Inteligência Artificial (A.I.)".Acede à atividade por aqui https://hourofcode.com/pt

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Hora do Código: Inteligência Artificial (A.I.)

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Saúde não é tudo, mas tudo é nada sem saúde.

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ℙ𝕣𝕠𝕛𝕖𝕥𝕠 "ℂ𝕣𝕚𝕒çã𝕠 𝕕𝕠 𝕃𝕠𝕘ó𝕥𝕚𝕡𝕠 𝕕𝕠 𝕃𝔼𝕄+𝕀ℝ" - Wakelet

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𝗖𝗼𝗺𝗼 é 𝗱𝗼 𝘁𝗲𝘂 𝗰𝗼𝗻𝗵𝗲𝗰𝗶𝗺𝗲𝗻𝘁𝗼, 𝗵á 𝘃á𝗿𝗶𝗼𝘀 𝗮𝗻𝗼𝘀, 𝗾𝘂𝗲 𝗻𝗮 𝗻𝗼𝘀𝘀𝗮 𝗘𝘀𝗰𝗼𝗹𝗮 é 𝗶𝗺𝗽𝗹𝗲𝗺𝗲𝗻𝘁𝗮𝗱𝗼 𝗼 𝗽𝗿𝗼𝗷𝗲𝘁𝗼 "𝗟𝗮𝗯𝗼𝗿𝗮𝘁ó𝗿𝗶𝗼 𝗱𝗼 𝗘𝗻𝘀𝗶𝗻𝗼 𝗠𝗮𝘁𝗲𝗺á𝘁𝗶𝗰𝗼 𝗲 𝗜𝗻𝗶𝗰𝗶𝗮çã𝗼 à 𝗥𝗼𝗯ó𝘁𝗶𝗰𝗮" (𝗟𝗘𝗠+𝗜𝗥), 𝗻𝗼 â𝗺𝗯𝗶𝘁𝗼 𝗱𝗮 𝗱𝗶𝘀𝗰𝗶𝗽𝗹𝗶𝗻𝗮 𝗱𝗲 𝗠𝗮𝘁𝗲𝗺á𝘁𝗶𝗰𝗮. 𝗢 𝗹𝗼𝗴ó𝘁𝗶𝗽𝗼 𝗱𝗼 𝗟𝗘𝗠+𝗜𝗥 𝗲𝘀𝘁á 𝗱𝗲𝘀𝗮𝘁𝘂𝗮𝗹𝗶𝘇𝗮𝗱𝗼, 𝗽𝗼𝗿 𝗶𝘀𝘀𝗼, 𝗱𝗲𝘀𝗮𝗳𝗶á𝗺𝗼𝘀 𝗼𝘀 𝗮𝗹𝘂𝗻𝗼𝘀 𝗱𝗼 𝟲.º 𝗮𝗼 𝟵.º 𝗮𝗻𝗼 𝗮 𝗰𝗿𝗶𝗮𝗿 𝘂𝗺 𝗻𝗼𝘃𝗼.

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Escrever em código

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Desafios Geogebra

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Ventilador de teto Aqui, vocês podem obter ajuda para construir um modelo de ventilador de teto igual a este. OBMEP_srdg criado com o GeoGebra É só ter paciência e seguir direitinho as instruções. Então, Mãos à obra, pessoal! Movimento do mecanismo Movimentem o ponto Mova na animação acima e observem que o mecanismo apresenta apenas ...

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Plano cartesiano

Plano Cartesiano
Exercício de complemento de texto
Vamos responder com toda a atenção as questões abaixo

Prof. Paulo Roberto - Matemática - Coordenadas Cartesianas - 8° ano - Valor: 10 pontos.

Escreva nos espaços os valores adequados. Clique em "Verificar" para verificar as respostas.

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Created with Hot Potatoes by Half-Baked Software, registered to Paulo Roberto Ferreira.

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Escreva nos espaços os valores adequados. Clique em "Verificar" para verificar as respostas.

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online

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Investigate your understanding of number bases 2 - 16 with this interactive abacus.

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"Por volta do fim do ano de 2015, foram descobertos em uma loja de antiguidades no centro de Phoenix, no Arizona, Estados Unidos, um conjunto de desenhos originais de Nikola Tesla, os quais revelam um mapa para multiplicação que abrange todos os números em um sistema fácil de usar. Acredita-se que estes tenham sido criados nos últimos anos do laboratório de energia livre de Tesla, e os mesmos podem conter soluções para perguntas ainda indagadas sobre a matemática.

O mapa da multiplicação foi investigado primeiramente pelo professor de Matemática Joey Grether, o qual sugeriu que a Espiral de Tesla não só explora a multiplicação como oferece uma compreensão visual abrangente de como todos os números são auto-organizados em 12 posições de composição. "Este dispositivo nos permite ver os números como padrões, a formação de números primos, números compostos, multiplicação e divisão, bem como outros sistemas que, imagino, ainda não foram descobertos", diz Joey.

A Espiral de Tesla nos mostra o trabalho conjunto em 12 posições, atribuindo a razão pela qual possuímos 12 meses em um ano e 24 horas em um dia. O número 12 pode ser dividido por 2, 3, 4 e 6, notando-se aqui a multiplicidade do 12 com os mesmos. Tesla dizia: "Se você conhecesse apenas a magnificência do 3, 6 e 9, então você teria a chave para o universo".

Muitas propriedades numerais podem ser observadas dentro da espiral, que tem na organização doze a essência de decifrar a forma de como os números se estruturam, se articulam, geométrica e quantitativamente, dentro desta específica sequência. Especula-se que a compreensão dos números primos esteja aí dentro, e sua descoberta ainda esteja em aberto. Tesla já especulava este princípio, porém não desfrutou desta descoberta, embora tenha vislumbrado a concepção do Universo - Número decifrado segundo a cosmologia dos números expressando quantidades e qualidades, ou seja, forma e alma.

Como o homem era denominado na antiguidade como Microcosmo, um fragmento do Universo Macrocosmo, no conceito que, apenas na distinção de escala das leis que regulam estrelas também nos regulam, tudo se submete aos mesmos ciclos de tempo e transformações de matéria e energia. Essa discussão é refletida pela ciência verdadeira, a qual utiliza para encontrar a Teoria de Tudo, constatando a Inteligência - Deus em ação.

Podemos afirmar que Tesla estudou o pensamento matemático e cosmológico de Pitágoras, o sábio maior da Grécia e herdeiro direto das ciências de Hermes-Toth.

Essa espiral é a essência de todo o contexto e, possivelmente, o sentido da vida!

"TUDO É NÚMERO! A EVOLUÇÃO É A LEI DA VIDA, O NÚMERO É A LEI DO UNIVERSO, A UNIDADE É A LEI DE DEUS" Pitágoras.

Texto por: Bruno Belin Dal Santos.
Referência:
[1]. DESCONHECIDO. Desenhos perdido de Nikola Tesla revelam o mapa da multiplicação. Disponível em: </www.sitedecuriosidades.com/curiosidade/desenhos-perdidos-de-nikola-tesla-revelam-o-mapa-da-multiplicacao.html> Acesso em 14 de Abril de 2017.

[2]. DESCONHECIDO. O Princípio da Grande Espiral Numérica e o mapa de Tesla. Disponível em: <http://www.oarquivo.com.br/extraordinario/temas-inexplicados/3877-o-princ%C3%ADpio-da-grande-espiral-num%C3%A9rica-e-o-mapa-de-tesla.html> Acesso em 16 de maio de 2017."

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"Por volta do fim do ano de 2015, foram descobertos em uma loja de antiguidades no centro de Phoenix, no Arizona, Estados Unidos, um conjunto de desenhos originais de Nikola Tesla, os quais revelam um mapa para multiplicação que abrange todos os números em um sistema fácil de usar.

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A self-marking challenge to write each of the given numbers as the sum of three prime numbers.

For each challenge below type three prime numbers into the spaces that add up to the target number. The three primes do not necessarily all need to be different. You will be awarded a trophy if you get at least 7 correct and you do this activity online.

© Transum Mathematics :: This activity can be found online at:
www.Transum.org/go/?Num=808

Description of Levels

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Level 1 - Find three prime numbers that add up to totals between 6 and 32

Level 2 - Find three prime numbers that add up to totals between 33 and 59

Level 3 - Find three prime numbers that add up to totals between 60 and 86

Level 4 - Find three prime numbers that add up to totals between 87 and 113

Level 5 - Find three prime numbers that add up to totals between 114 and 140

This exercise is based on the Goldbach Conjecture - every integer greater than 5 can be written as the sum of three prime numbers, such as 25 = 11 + 7 + 7

More 'Number' activities including lesson Starters, visual aids, investigations and self-marking exercises.

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Curriculum Reference

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A self-marking challenge to write each of the given numbers as the sum of three prime numbers. For each challenge below type three prime numbers into the spaces that add up to the target number. The three primes do not necessarily all need to be different.

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Este novo espaço acessível a partir da página de tem como objetivo estimular no aluno o gosto pela matemática, a perseverança na busca de soluções e a confiança na sua capacidade de aprender e fazer.
Contribuir para a construção de conceitos, procedimento e habilidades matemáticas, bem como fomentar o espírito crítico e de investigação serão o foco principal do trabalho no Laboratório de Matemática.

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Este novo espaço acessível a partir da página de tem como objetivo estimular no aluno o gosto pela matemática, a perseverança na busca de soluções e a confiança na sua capacidade de aprender e fazer.Contribuir para a construção de conceitos, procedimento e habilidades matemáticas, bem como fomentar o espírito crítico e de investigação serão o foco principal do trabalho no Laboratório de Matemática.

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Apoio Online: Poderá ser usada a plataforma mais conveniente, whatsapp, google meet, ...

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Alunos e E. E. Documentos públicos Professores Projetos Disciplinas Disciplinas Profissionais Cursos Profissionais Departamentos Órgãos Concursos ENSINO À DISTÂNCIA - ARQUIVO 2019 2020

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Nas últimas duas semanas não tenho conseguido realizar as actualizações programadas no website - divulgação de textos e documentos de apoio ao estudo, partilha de fichas de trabalho de matemática, fichas de trabalho de física e química e fichas de trabalho de biologia e geologia / ciências naturais, publicação de dicas e sugestões de estudo, partilha de resumos e sínteses, adição de um novo separador no website, finalização e difusão dos textos relacionados com a candidatura a universidades em Espanhã e a universidades na Europa do Leste (República Checa, Eslováquia e Letónia), entre outras actualizações no website - devido a um "pequeno" problema informático...

Há duas semanas atrás o meu portátil chegou ao seu fim de vida (foram uns bons anos juntos!) e, pelo que percebi, costuma ser bastante traumatizante para a pessoa que se vê obrigada, de um momento para o outro, a mudar e adaptar-se a um novo portátil.
Acredito que esta experiência seja de facto complicada, mas para mim o mais difícil foi lidar com a perda da informação e não a adaptação a um novo sistema operativo...
Para quem não me conhece convém ressalvar o seguinte: eu sou uma pessoa pro tecnologia e com isso vem o facto de ser uma pessoa cuidadosa com a informação que tenho armazenada e com a importância de ter backups e ter em clouds essa mesma informação.
Pois bem, estava a trabalhar em dois documentos com dicas e sugestões de estudo, um sobre a divisão do tempo de estudo e outro sobre a importância de mantermos um plano de estudo. O trabalho de pesquisa estava todo realizado, um dos textos praticamente finalizado...
E, adivinhem só? Esses e um dos documentos que iria partilhar (o calendário de testes) há duas semanas atrás são os únicos documentos sem backup e que não estão na cloud!

​Agora necessito de algum tempo para refazer esses textos que considero prioritários. Contudo, esperem por actualizações nos próximos dias! Darei prioridade aos documentos em que estava a trabalhar e às fichas de trabalho de matemática, fichas de trabalho de física e química e fichas de trabalho de biologia e geologia / ciências naturais para vos auxiliar nos primeiros testes do ano letivo 2018-2019. As restantes actualizações ficarão um pouco adiadas, por agora.

Até já!

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Nas últimas duas semanas não tenho conseguido realizar as actualizações programadas no website - divulgação de textos e documentos de apoio ao estudo, partilha de fichas de trabalho de matemática, fichas de trabalho de física e química e fichas de trabalho de biologia e geologia / ciências naturais, publicação de