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Los triángulos en general, están formados por 3 lados y 3 ángulos. Además, los triángulos rectángulos se llaman así por tener un ángulo recto entre sus catetos.
Los lados de un triángulo rectángulo son la hipotenusa y los dos catetos:

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El lado que está enfrente del ángulo recto es la hipotenusa y los otros dos lados, son los catetos: cateto mayor y cateto menor, que como su propio nombre indican, el cateto mayor es el que tiene una mayor longitud y el cateto menor es el que tiene una menor longitud.

Pero existe otra forma de denominar a los catetos, en función del ángulo que tomemos de referencia: el cateto opuesto y contiguo (o cateto adyacente).
1. ¿Cómo saber cuál es el cateto opuesto?
Se le llama cateto opuesto al lado que esté enfrente del ángulo de referencia
2. ¿Cómo saber cuál es el cateto contiguo o cateto adyacente?
Se le llama cateto contiguo al lado que esté tocando ese ángulo.

Entonces para saber cuál de todas las razones trigonométricas utilizar para resolver un problema de triángulo rectángulo, lo primero que debes que hacer es identificar tus catetos con respecto al ángulo con el que estés calculándolas.

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Los lados y ángulos del triángulo rectángulo, tienen una serie de relaciones entre ellos, las cuales nos van a ayudar a calcular las medidas de los elementos que no conozcamos. 

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Los lados y ángulos del triángulo rectángulo, tienen una serie de relaciones entre ellos, las cuales nos van a ayudar a calcular las medidas de los elementos que no conozcamos. 

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- Los tres lados están relacionados con el teorema de Pitágoras: a² = b² + c²

- La suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180° : Â+B̂+Ĉ= 180°

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Los ángulos y lados de un triángulo rectángulo, están relacionados con unas expresiones  a las que llamamos razones trigonométricas.
Vamos ir viéndolas una por una, tomando como ángulo de referencia el ángulo B.

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Relaciona el ángulo B con el cateto opuesto y la hipotenusa. En otras palabras, es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Se expresa como sen B̂:

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Relaciona el ángulo B con el cateto contiguo y la hipotenusa. Es la razón entre el cateto contiguo (adyacente) y la hipotenusa. Se expresa como cos B̂:

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Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo o adyacente. También entre el seno y el coseno. Se expresa como tg B:

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados, la hipotenusa y un cateto: 

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen dos lados, la hipotenusa y un cateto: 

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EJEMPLO 1:  Tenemos un triángulo del que conocemos 2 de sus lados: En este caso la hipotenusa y el cateto b, entonces nuestras incógnitas son B̂, Ĉ y el cateto c.

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Cálculo de c
Para calcular el lado c, lo hacemos mediante la fórmula de Pitágoras, ya que en esa fórmula se relacionan los 3 lados y sólo nos queda por conocer 1 un lado. Entonces: c² = a²- b²
Luego despejamos c y pasamos el cuadrado como raíz al segundo miembro de la igualdad, quedando c = √ a² - b²,  c = √ 5² - 3²
Es decir c = √ 25 - 9,
c = √16 ( implica) que c = 4m

Cálculo de B̂
Para calcular el ángulo B, podemos hacerlo de muchas maneras. Una de ellas es utilizando la razón trigonométrica del seno, por ejemplo, ya que conocemos el valor de la hipotenusa y del cateto opuesto.
Sen B̂= 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 /𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
sustituimos valores y obtenemos sen B̂ = 𝟑/𝟓
B̂ = arc sen 𝟑/𝟓 ,
B̂=36°52´12”

Cálculo de Ĉ
Para calcular el ángulo C, hacemos 90° -B̂, entonces
Ĉ= 90°-36°52’12” = 53°7’48”

Pero en realidad podríamos utilizar cualquier razón trigonométrica porque conocemos
todos sus lados.

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: 

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: 

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Vamos a ver otro ejemplo con este triángulo, del que conocemos un ángulo y un lado.
Debemos calcular los catetos y el ángulo agudo B.

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A priori, no se puede utilizar la fórmula de Pitágoras porque sólo tengo el dato de un lado. Por lo tanto, queda utilizar las razones trigonométricas.

Cálculo del cateto b
Como conocemos la hipotenusa y el ángulo adyacente al cateto b, podemos usar la siguiente fórmula:
Cos Ĉ= 𝒃/𝒂
Como queremos calcular b, despejamos su valor, entonces a que figura dividiendo en el segundo miembro de la igualdad, pasa multiplicando al primer
miembro.
Entonces b= a . Cos Ĉ, reemplazando por los valores queda b= 6m . cos 60°, b=3m

Cálculo del cateto c
Para calcular el cateto c, podemos aplicar Pitágoras porque ya conocemos 2 de sus lados
Entonces c= √a²-b², reemplazando por sus valores c=√6²-3²   c=√27, c= 5,2m

Cálculo de B̂
B̂= 90°-Ĉ, es decir 90°-60°.
Por lo tanto, B̂=30°

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen un cateto y un ángulo agudo: 

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Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen un cateto y un ángulo agudo: 

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Por ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo del cual se conocen el ángulo agudo Ĉ=36° y el lado opuesto a dicho ángulo que mide 12,5 cm.
Entonces dibujamos el triángulo y ubicamos los datos:

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Cálculo de a
La función que vamos a utilizar es sen porque relaciona los dos datos con la incógnita Sen Ĉ = 𝒄/𝒂  como queremos calcular a, debemos realizar un pasaje de término, como a está dividiendo en el 2do miembro, pasa multiplicando al 1r miembro a.sen Ĉ=c,
despejamos a = 𝒄 /𝒔𝒆𝒏𝑪̂   reemplazamos por los valores a=
𝟏𝟐,𝟓 / 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟔°, entonces queda a= 21,3cm.

Cálculo de b
Como ya tenemos el valor de a, podemos aplicar el teorema de Pitágoras
b=√a²-c², reemplazamos por sus valores
b=√21,3²-12,5²
b=√297,44
b=17,2 cm.

Cálculo de B̂
B̂= 90°-Ĉ, es decir B̂=90°-36°, B̂=54°

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Conforme vamos conociendo más elementos, tenemos la posibilidad de aplicar más
relaciones para encontrar la solución que nos pidan.

La resolución de triángulos rectángulos tiene muchas aplicaciones, como calcular la
distancia de un cable, calcular la altura de una torre, calcular la distancia de un árbol según su sombra, calcular el ángulo que forma una escalera apoyada en una pared o  cualquier otra cosa que nos pueda pedir el enunciado de un problema.

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1) Resolver los siguientes triángulos rectángulos de los cuales se conocen los siguientes
datos:

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2) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 35 cm y el ángulo agudo B̂ = 43 ° 16´.
Calcular los elementos restantes

3) El cateto c rectángulo mide 10 cm y la hipotenusa 25cm.
Calcular el otro cateto y los ángulos agudos.

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4) Problemas de aplicación-Representar la situación y resolver: 

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4) Problemas de aplicación-Representar la situación y resolver: 

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a) Una escalera de 3 m de largo se apoya contra una pared formando un ángulo de 70º
con el piso. ¿A qué altura sobre la pared se apoyará su extremo superior?

b) Un árbol quebrado por el viento forma un ángulo recto con el suelo. Si la parte
quebrada forma un ángulo de 40º con el piso y la parte que queda en pie tiene una altura
de 3 metros desde la base, ¿qué altura tenía el árbol antes de quebrarse?

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Clase: Razones Trigonométricas.