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La similitudine è la proprietà di due figure che possono essere viste l'una come l'ingrandimento o il rimpicciolimento dell'altra. Ci sono dei criteri detti ''criteri di congruenza '' validi a stabilire la similitudine delle varie figure piane. Il più importante dice che '' Due poligoni sono simili se hanno lo stesso numero di lati, tutti gli angoli interni rispettivamente congruenti e tutti i lati rispettivamente proporzionali''. Quando si dice rispettivamente si intende di mantenere l'ordine con cui sono disposti i lati e vertici nelle due figure. C'è da dire inoltre che due poligono sono simili solo se hanno lo stesso rapporto fra i lati. Infatti:

Il rapporto tra altezze deve essere uguale al rapporto tra i lati.
Il rapporto tra i perimetri deve essere uguale al rapporto tra i lati.
Il rapporto tra le aree deve essere uguale al quadrato dei lati.

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...Con le seguenti parole Michael V.Berry,matematico e fisico britannico,descrive una geometria non usuale per quanto riguarda il punto di vista matematico, ma che il nostro cervello non fa fatica a capire:

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...Con le seguenti parole Michael V.Berry,matematico e fisico britannico,descrive una geometria non usuale per quanto riguarda il punto di vista matematico, ma che il nostro cervello non fa fatica a capire:

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La geometria frattale è uno di quei concetti che a prima vista ispira scetticismo, ma in un secondo momento diventa così naturale da domandarsi perché sia stato sviluppato solo recentemente.

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Il frattale è una struttura che si ripete su diverse scale,in modo che,guardando una parte del frattale,si vede anche l’insieme;ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente di ingrandimento.

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Il frattale è una struttura che si ripete su diverse scale,in modo che,guardando una parte del frattale,si vede anche l’insieme;ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente di ingrandimento.

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CHI É STATO A INVENTARE QUESTO TERMINE? 

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CHI É STATO A INVENTARE QUESTO TERMINE? 

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Il termine "frattale" venne inventato nel 1975 da Benoît Mandelbrot (matematico polacco che ha portato un enorme contributo allo studio dei frattali, tanto da esserne considerato il padre),deriva dal  latino «fractus» (rotto, spezzato),così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

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Nato il 10 dicembre del 1929 a Varsavia da una famiglia di ebrei lituani, nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo zio, insegnante di matematica, si occupò della sua educazione.Con l'avvento della seconda guerra mondiale si trovò in grandi difficoltà e spesso temette per la sua vita.Dopo la liberazione di Parigi, entrò all' Ecole Polytechnique, dove completò i suoi studi.Il suo lavoro fu pubblicato nel libro "Les objets fractals, forn, hasard et dimension" (1975) e più compiutamente nel libro "The fractal geometry of nature" in 1982.Mandelbrot morì il 14 ottobre 2010.

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PERCHÈ MICHAEL V.BERRY RICONOBBE IL SUO LAVORO CON IL TERMINE "FRATTALE"?

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PERCHÈ MICHAEL V.BERRY RICONOBBE IL SUO LAVORO CON IL TERMINE "FRATTALE"?

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Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975, quando, cercando per l'appunto un nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, s'imbatté nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e frazione, sembrò adattissimo allo scopo.

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Un frattale è un insieme che gode di quattro proprietà:

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Un frattale è un insieme che gode di quattro proprietà:

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1. Autosomiglianza: è l'unione di copie di se stesso a scale differenti;

2. Struttura fine: il dettaglio dell’ immagine non cambia ad ogni ingrandimento;

3. Irregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; la funzione è ricorsiva ed irregolare localmente e globalmente.

4. Dimensione frattale:sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale.

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Benoit Mandelbrot  formalizzò le proprietà di queste figure, considerate prima di lui solo delle curiosità. Inizialmente la geometria frattale veniva esclusivamente considerata come curiosità, ma nessuno avrebbe immaginato che sarebbe diventata strumento di studi molto attuale. Proprio nel 1982 con il “The Fractal Geometry of Nature” venne “ufficializzata” come geometria, date le notevoli somiglianze che essa riportava con elementi naturali quali alberi, coste, nuvole. 

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Benoit Mandelbrot  formalizzò le proprietà di queste figure, considerate prima di lui solo delle curiosità. Inizialmente la geometria frattale veniva esclusivamente considerata come curiosità, ma nessuno avrebbe immaginato che sarebbe diventata strumento di studi molto attuale. Proprio nel 1982 con il “The Fractal Geometry of Nature” venne “ufficializzata” come geometria, date le notevoli somiglianze che essa riportava con elementi naturali quali alberi, coste, nuvole. 

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A vedersi i frattali sono figure strane,ramificate e frastagliate che si ripetono continuamente,composti da diverse copie più piccole di se stessi.Infatti se si ingrandisce con un opportuno fattore di scala una porzione dell'oggetto, si manifestano caratteristiche strutturali che riproducono quelle dell'oggetto non ingrandito.

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Per comprendere meglio l’intuizione di Mandelbrot e il successo della sua nuova geometria, consideriamo il famoso esempio della descrizione di una costa frastagliata. Se guardassimo su un atlante a larga scala la costa orientale degli Stati Uniti, essa apparirebbe come una linea liscia di circa 4000 km. Se considerassimo la stessa costa a una scala più fine, la vedremmo molto più frastagliata, e quindi anche più lunga.

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QUALI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DI FRATTALI SONO PRESENTI IN NATURA ?

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QUALI TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DI FRATTALI SONO PRESENTI IN NATURA ?

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In natura abbiamo diversi esempi di strutture frattali,considerate imperfezioni dall'approccio scientifico tradizionale,che tende a ricercare uniformità ed armonia,e che quindi non sono state prese in considerazione dalla matematica per molto tempo.Più recentemente la geometria frattale ha permesso invece di trattarle come proprietà quantificabili matematicamente.

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Anche il nostro corpo è costituito da tantissimi frattali.Basta pensare al sistema vascolare o all'apparato respiratorio.Prendiamo ad esempio i piccoli vasi sanguigni del cuore e le loro ramificazioni in vasi ancora più ridotti.Se poi vogliamo arrivare alla base di tutto,pensiamo ai nostri neuroni!

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I frattali servono a calcolare, a descrivere la natura ed i fenomeni:in poche parole a descrivere e simulare la natura.La geometria frattale espande la potenza della geometria classica inventata da Euclide  attorno al 300 a.C.,alle dimensioni non intere, introducendo una varietà enorme di applicazioni. La geometria frattale sa classificare le coste ed i confini degli Stati in funzione del loro grado di "frattura", di "spigolatura".La geometria frattale non sa prevedere "dove" può cadere un fulmine, ma può prevedere quanto è frastagliato.

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I frattali si possono riscontrare anche in alcune opere umane,come  nella struttura della torre Eiffel o nelle opere, risalenti al diciottesimo secolo,del noto pittore e incisore giapponese Katsushika Hokusai.Inoltre recentemente i modelli frattali sono stati sempre più al centro di modellizzazioni matematiche in tutti i settori, dalle scienze naturali come la biologia fino a quelle economiche e sociali e il campo di applicazione è in costante crescita.

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IN QUAL'ALTRO MODO VENGONO DEFINITI I FRATTALI?

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IN QUAL'ALTRO MODO VENGONO DEFINITI I FRATTALI?

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Le figure frattali per la loro bellezza e complessità hanno portato alla nascita di quella che oggi è definita arte frattale. Partendo dal calcolo di una funzione matematica frattale,tramite un computer,si trasformano i risultati in immagini,musica e altre forme d’arte.

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I frattali vengono attualmente usati per la realizzazione di sfondi quali nuvole e montagne nelle immagini digitali,nello sviluppo di programmi di compressione video e immagini, nella progettazione di antenne per la telefonia mobile e molti altri ancora.

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LO ZENZERO E LO STOMACO.

Da sempre lo zenzero è il rimedio naturale per la salute dello stomaco.

Grazie al gingerolo, cioè l’ingrediente che dà allo zenzero il profumo e il sapore forti.

Tra le tante proprietà benefiche dello zenzero ci sono quelle di prevenire nausea e vomito e di aiutare la digestione.

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...QUAL É IL MODO PIÚ SEMPLICE PER CAPIRE COS'È UN FRATTALE SE NON ASCOLTARE DIRETTAMENTE LA SPIEGAZIONE DAL SUO  FONDATORE?

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...QUAL É IL MODO PIÚ SEMPLICE PER CAPIRE COS'È UN FRATTALE SE NON ASCOLTARE DIRETTAMENTE LA SPIEGAZIONE DAL SUO  FONDATORE?

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corsi di campane tibetane, gong e Nada Yoga

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I Frattali spiegati da Benoît Mandelbrot

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Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

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Consideriamo le due figure:

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Notiamo che:

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AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.

Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.

Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.

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Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:

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e quindi i due triangoli sono simili

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Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:
BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)
I due triangoli sono simili.

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Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:

AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’

I due triangoli sono simili.

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Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati e la stessa ampiezza degli angoli, sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti

P

P e

Q

Q  sono simili, si scrive generalmente

P

∼

Q

.

{\displaystyle P\sim Q\,\!.}

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Gli alveoli polmonari assomigliano proprio a dei bei grappoli di uva.

Non per caso, una dieta ricca di uva fresca ha dimostrato che ridurre il rischio di sviluppare il cancro ai polmoni.

In più, i semi dell’uva contengono delle sostanze chimiche note come proantocianidine, questo riducono la gravità dei sintomi dell’asma!

Gli alveoli permettono all’ossigeno.

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Il pomodoro più di qualunque altro frutto ( perché il pomodoro è un frutto) è ricco dilicopene, ottimo nutriente per il cuore e per il sangue.

Devi sapere che il consumo di licopene contribuire a ridurre il rischio di sviluppare malattie cardiache.

I pomodori, oltre ad essere buonissimi, rappresentano una grande fonte di vitamina C, fondamentale per la salute del cuore.