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La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es +    si  i+j  es par.

El signo es -    si  i+j  es impar.

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Determinante de una Transpuesta
Si A es una matriz cuadrada, entonces es cierto que
|A| =|At|

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Determinante de una matriz inversa
Si A es invertible, entonces
|A-1| =1/|A|

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Determinante de una matriz invertible
Una matriz cuadrada A es invertible (no singular) si y solo si
|A| ≠ 0

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Si A es una matriz n x n y c es un escalar, entonces el determinante de cAestá dado por
|cA| = cn|A|

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El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes:
|AB| = |A||B|

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Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal principal son cero, y triangular inferior si todos sus elementos por encima de la diagonal principal son cero. Una matriz diagonal es aquella en la cual todos los elementos arriba y abajo de la diagonal principal son cero.

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Definición de los Menores y Cofactores de una matriz

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Definición de los Menores y Cofactores de una matriz

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Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor Mij del elemento aij es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar el i-ésimo renglón y la j-ésima columna deA. El cofactor Cij está dado por
Cij = (-1)i+j Mij

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El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

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Propiedades de las matrices inversas Si A es una matriz invertible, k es un entero positivo y c un escalar, entonces se cumple lo siguiente.
1. (A-1)-1 = A
2. (Ak)-1 = A-1 A-1 A-1 …A-1
3. (cA)-1 = (1/c)A-1, c≠0
4. (At)-1 = (A-1)t
5. (AB)-1 = B-1A-1

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El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal

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Dada una matriz cuadrada  A,  si existe otra matriz  B  del mismo orden que verifique:  A . B = B . A = I  (  I = matriz identidad ), se dice que  B  es la matriz inversa de  A  y  se representa por  A⁻¹.

Si existe la matriz inversa  de  A, se dice que la matriz  A  es inversible o regular. En caso contrario, se dice que la matriz  A  es singular.

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Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

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1. A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicación
2. A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva
3. (A + B)C = AC + BC Propiedad distributiva
4.   c(AB) = (cA)B = A(cB)

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1.- A + B = B + A   Propiedad conmutativa de la suma
2.- A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad asociativa de la suma 3.- (cd)A = c(dA)
4.- 1A = A
5.- c(A + B) =cA+ cB  Propiedad distributiva
6.- (c + d)A = cA+ dA  Propiedad distributiva

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Si A, B y C son matrices m X n y c y d son escalares, entonces se cumplen las siguientes propiedades.

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Si  A = [aij] es una matriz de (m X n) y B = [bij]  es una matriz de n X p, entonces el producto AB es una matriz m X p  cA= [cij]

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Si  A = [aij] es una matriz de (m X n) y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar de A por c es la matriz m X n definida por: cA= [caij]

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Si  A = [aij] y B = [bij] son matrices de orden orden (m X n), entonces su suma es la matriz  mxn definida como A+B = [aij + bij]

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El origen de las matrices es muy antiguo datan desde 200 a.C cuando se uso por primera vez el concepto de determinanates

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Uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales

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Se llama orden, tipo, o dimensión de una matriz, al tamaño m X n.

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Es un conjunto de números (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas.