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Hola buen día compañeros y maestra es un gusto saludarlos. a continuación les presento el trabajo da la Actividad 1. Cambio de variación 1.

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Definición del concepto de las derivadas: Las derivadas se pueden definir como una herramienta matemática que mide el cambio instantáneo de una función con respecto a una de sus variables. En otras palabras, la derivada de una función en un punto específico nos indica la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, representando así la tasa de cambio de la función. Este concepto es fundamental en el cálculo diferencial y tiene aplicaciones en diversas áreas, como la física, la economía y la ingeniería.

Relación entre una derivada y una función: La derivada está intrínsecamente relacionada con la función de la que se deriva. Si pensamos en una función como una representación de una cantidad que varía, la derivada nos dice cómo de rápida o lentamente cambia esa cantidad en función de la variable independiente. Matemáticamente, si tenemos una función f(x), su derivada f′(x) nos da una nueva función que describe la tasa de cambio de f(x) en cada punto de x.

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En este artículo te mostramos un resumen de conceptos de Derivadas, un tema muy importante en la asignatura de Matemáticas de ciencias.

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Qué es la derivada? | Concepto de derivada

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1.Muestra gráficamente cómo la derivada se manifiesta como la pendiente de una curva en distintos puntos

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1.Muestra gráficamente cómo la derivada se manifiesta como la pendiente de una curva en distintos puntos

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Cálculo de la pendiente e inclinación en punto de la curva aplicando derivadas

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Derivadas. Ejercicios y ejemplos #1. (Nivel Básico)

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Objetivos de aprendizaje

3.4.1 Determinar un nuevo valor de una cantidad a partir del valor anterior y la cantidad de cambio.

3.4.2 Calcular la tasa de cambio promedio y explicar en qué se diferencia de la tasa de cambio instantánea.

3.4.3 Aplicar las tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y la aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta.

3.4.4 Predecir la población futura a partir del valor actual y la tasa de crecimiento de la población.

3.4.5 Utilizar las derivadas para calcular el costo marginal y los ingresos en una situación comercial.

En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en su interpretación como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía.

Fórmula de la cantidad de cambio

Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de es una función definida en un intervalo [a,a+h], [a,a+h], entonces la cantidad de cambio de sobre el intervalo es el cambio en los valores de la función en ese intervalo y viene dada por

La tasa de cambio de la función en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en los valores . Viene dado por

Como sabemos, la tasa de cambio instantánea de en es su derivada

Para valores suficientemente pequeños de h,f′≈f(a+h)−f(a)h. h,f′≈f(a+h)−f(a)h. Podemos entonces resolver para f f a fin de obtener la fórmula de la cantidad de cambio:

f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. f(a+h)≈f(a)+f′(a)h.

Podemos utilizar esta fórmula si solo conocemos y f′(a) f′(a) y deseamos estimar el valor de f. f. Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y su tasa de crecimiento para estimar su número en un futuro próximo. Como podemos ver en la Figura 3.22, estamos aproximando f(a+h) f(a+h) por las coordenadas en a+h a+h en la línea tangente a en Observe que la exactitud de esta estimación depende del valor de así como del valor de f′. f′.

Movimiento a lo largo de una línea

Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez, que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas.

Definición

Supongamos que es una función que da la posición de un objeto en el tiempo t. t.

La velocidad del objeto en el tiempo viene dada por

La rapidez del objeto en el momento viene dada por ||. ||.

La aceleración del objeto en viene dada por

Cambio de población

Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población.

Definición

Si los valores de es el número de individuos de una población, entonces la tasa de crecimiento de la población de se define como P′. P′.

Cambios en los costos e ingresos

Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos.

Definición

Si los valores de es el costo de producción de x artículos, entonces el costo marginal ¿es

Si los valores de son los ingresos obtenidos por la venta de artículos, entonces el ingreso marginal ¿es

Si los valores de P=R−C P=R−C es la ganancia obtenida por la venta de x artículos, entonces la ganancia marginal M P(x) M P(x) se define como

Podemos hacer una aproximación

eligiendo un valor adecuado para h.h. Como x representa objetos, un valor razonable y pequeño para es 1. Así, sustituyendo h=1, h=1, obtenemos la aproximación En consecuencia, C′ C′ para un valor determinado de puede considerarse como el cambio en el costo asociado a la producción de un artículo adicional. De manera similar, se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, y se aproxima la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo adicional.

Sección 3.4 ejercicios

En los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal.

1. Halle las funciones de velocidad y aceleración.

2. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o se acelera.

153.

Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s s en ft que el cohete viaja desde el suelo después de segundos viene dada por

1. Halle la velocidad del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.

2. Halle la aceleración del cohete 3 segundos después de su lanzamiento.

154 .

Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 ft/s desde lo alto de un edificio de 64 ft de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por

1. Determine el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo.

2. Determine la velocidad de la pelota cuando toca el suelo.

155.

La función de posición s=t 2 −3 t−4 s=t 2 −3 t−4 representa la posición de la parte trasera de un automóvil que sale en marcha atrás de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde está en pies y está en segundos. En este caso, s=0 s=0 representa el momento en que la parte trasera del auto está en la puerta del garaje, por lo que s=−4 s=−4 es la posición inicial del automóvil, 4 ft dentro del garaje.

159.

1. Utilice el gráfico de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo en los que la velocidad es positiva, negativa o cero.

2. Dibuje el gráfico de la función de velocidad.

3. Utilice el gráfico de la función velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero.

4. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se acelera o desacelera.

161.

El precio (en dólares) y la demanda para un determinado radio-reloj digital viene dado por la función precio-demanda p=10−0,001 x. p=10−0,001 x.

1. Halle la función de ingresos R. R.

2. Halle la función de ingreso marginal.

3. Halle el ingreso marginal en y 5.000. 5.000.

162 .

1. Halle la ganancia exacta de la venta de la trigésima patineta.

2. Halle la función de ganancia marginal y utilícela para estimar la ganancia de la venta de la trigésima patineta.

163.

[T] En general, la función de ganancias es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: P=R−C. P=R−C.

Supongamos que las funciones de precio-demanda y de costo para la producción de taladros inalámbricos vienen dadas, respectivamente, por p=143−0,03 x p=143−0,03 x y C=75.000+65 x, C=75.000+65 x, donde es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de dólares por taladro y es el costo de producción de taladros inalámbricos.

1. Calcule la función de costo marginal.

2. Halle las funciones de ingresos y de ingresos marginales.

3. Halle y Interprete los resultados.

4. Halle las funciones de ganancias y de ganancia marginal.

5. Halle y Interprete los resultados.

165.

1. Halle la tasa de cambio del número de bacterias.

2. Halle N′,N′,N′, N′,N′,N′, y N′. N′.

3. Interprete los resultados en (b).

4. Halle N″,N″,N″, N″,N″,N″, y N″. N″. Interprete lo que implican las respuestas sobre el crecimiento de la población de bacterias.

166 .

La fuerza centrípeta de un objeto de masa viene dada por F=m v 2 r, F=m v 2 r, donde es la velocidad de rotación y es la distancia desde el centro de rotación.

1. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta con respecto a la distancia desde el centro de rotación.

2. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta de un objeto con una masa de 1.000 kilogramos, una velocidad de 13,89 m/s y una distancia de 200 metros desde el centro de rotación.

Las siguientes preguntas se refieren a la población de Londres (en millones) por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla.

Años desde 1800

Población (millones)

1

0,8795

11

1,040

21

1,264

31

1,516

41

1,661

51

2,000

61

2,634

71

3,272

81

3,911

91

4,422

167.

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático halle la función lineal de mejor ajuste para medir la población.

2. Halle la derivada de la ecuación en a. y explica su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

168 .

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.

2. Halle la derivada de la ecuación y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico.

En los siguientes ejercicios, piense en un astronauta en un gran planeta de otra galaxia. Para conocer mejor la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una zanja profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor mientras cae se muestra en la siguiente tabla.

Tiempo después de la caída (s)

Posición (m)

0

0

1

−1

2

−2

3

−5

4

−7

5

−14

169.

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos.

2. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.

170 .

[T]

1. Utilizando una calculadora o un programa informático halle la curva cúbica que mejor se ajusta a los datos.

2. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico.

3. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico.

4. Utilizando el resultado de c. explica por qué una función cúbica no es una buena opción para este problema.

Los siguientes problemas tratan de las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico de crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para su consumo.

171.

[T] La ecuación de Holling tipo I se describe mediante f=a x, f=a x, donde es la cantidad de presas disponibles y es la velocidad a la que el depredador se encuentra con la presa para consumirla.

1. Grafique la ecuación de Holling tipo I, dada

2. Determine la primera derivada de la ecuación de Holling tipo I y explique físicamente lo que la derivada implica.

3. Determine la segunda derivada de la ecuación de Holling tipo I y explica físicamente lo que la derivada implica.

4. Utilizando las interpretaciones de b. y c. explique por qué la ecuación de Holling tipo I puede no ser realista.

172 .

1. Grafique la ecuación de Holling tipo II dada y ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo I y II?

2. Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo II e interprete su significado físico.

3. Demuestre que f=1 2 a f=1 2 a e interprete el significado del parámetro n.n.

4. Halle e interprete el significado de la segunda derivada. ¿Qué hace que la función de Holling tipo II sea más realista que la función de Holling tipo I?

173.

1. Grafique la ecuación de Holling tipo III dada y ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo II y III?

2. Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo III e interprete su significado físico.

3. Halle e interprete el significado de la segunda derivada (puede ser útil graficarla).

4. ¿Qué otros fenómenos ecológicos describen la función de Holling tipo III en comparación con la de tipo II?

174 .

[T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y del lince (en cientos) recogidas a lo largo de 7 años, de 1937 a 1943, se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince.

Población de liebre americana (en miles)

Población de linces (en cientos)

20

10

55

15

65

55

95

60

1. Grafique los puntos de datos y determine qué función de tipo Holling se ajusta mejor a los datos.

2. Utilizando los significados de los parámetros y n, n, determine los valores de los mismos examinando un gráfico de los datos. Recordemos que mida qué valor de la presa resulta en el medio máximo del valor del depredador.

3. Trace las funciones resultantes de tipo Holling I, II y III sobre los datos. ¿Es correcto el resultado de la parte a.?

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3.4 Las derivadas como tasas de cambio - Cálculo volumen 1 | OpenStax

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Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún ...

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Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (2011). A History of Mathematics (3ra ed.). John Wiley & Sons.

Larson, R., & Edwards, B. H. (2018). Cálculo: Conceptos y contextos (5ta ed.). Cengage Learning.