# data[].attributes.attachment_link.readable_text
In quadratischen Gleichungen taucht die gesuchte Variable in quadrierter Form (x²) auf.

Rein quadratische Gleichung

In rein quadratischen Gleichungen kommt die Variable nur in quadrierter Form (x² ) vor.

Aufgabe 1: Trage den positiven Wert von x ₁ ein. Der entsprechende negative Wert x ₂ wird automatisch angezeigt.

Aufgabe 2: Trage den positiven Wert von x ₁ ein. Der entsprechende negative Wert x ₂ wird automatisch angezeigt.

Aufgabe 3: Trage jeweils den Betrag (ohne Vorzeichen) für x ein.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 4: Trage die beiden Lösungen der jeweiligen Gleichung so ein, dass der x ₁-Wert größer ist als der x ₂-Wert.

Aufgabe 5: Stelle die Reglern der Grafik so ein, dass die in der Tabelle aufgeführten Gleichungen in der Grafik links unten erscheinen. Übertrage die x-Werte in die entsprechenden Textfelder.

Info: Die Nullstellen einer Funktionsgleichung können als Lösung einer quadratische Gleichung ausgelegt werden. Wie quadratische Funktionen eine, zwei oder keine Nullstelle aufweisen, können quadratische Gleichungen eine, zwei oder keine Lösung haben.

Versuche: 0

Aufgabe 6: Klick an, ob die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat. Fünfzehn Gleichungen sind zuzuordnen.

Gemischt quadratische Gleichung

Die p-q-Formel (YouTube)

Aufgabe 7: Trage die Werte der Koeffizienten p und q jeweils ein.

-14 + (x + 1)² - x² + 2x - 1 = x · (2 - x) + 49

Auswertung

Versuche: 0

Auswertung

Versuche: 0

(x + 3) · (x - 3) = -3 · (x + 9) + (2x + 6)²

Auswertung

Versuche: 0

Auswertung

Versuche: 0

(4x - 3)² - 2 · (x - 1)² - 7x · (2x + 1)= -x² - 3x · (x - 1) + 67 - 38x

Auswertung

Versuche: 0

Diskriminante (YouTube)

Info: Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung lässt sich durch den Term unterhalb der Wurzel bestimmen. Dieser Term heißt Diskriminante (D).

D > 0 (positiv): Die Gleichung hat zwei Lösungen.

D = 0: Die Gleichung hat eine Lösung.

D < 0 (negativ): Die Gleichung hat keine Lösung.

Aufgabe 20: Klick an, ob die Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat. Zwölf Gleichungen sind zuzuordnen.

Aufgabe 21: Die Zahl x wird mit der Zahl (x + 1) multipliziert. Das Ergebnis ist .

Aufgabe 22: Zwei Zahlen unterscheiden sich um . Ihr Produkt ergibt . Die kleinere der beiden Zahlen ist x.

Aufgabe 23: Multipliziert man das Dreifache einer Zahl mit der um verkleinerten Zahl, so erhält man .

Aufgabe 24: Das Produkt aus einem Viertel einer Zahl und dem um vergrößerten Doppelten der Zahl ist .

Aufgabe 26: Ein rechteckiges x m² großes Baugrundstück wird durch einen Zaun gesichert. Eine Seite ist x m länger als die andere. Wie viel Meter Zaun werden benötigt?

Hinweis: Die Länge eines Grundstücks kann nicht negativ sein.

Starthilfe

Antwort: Der Zaun ist Metern lang.

Aufgabe 27: Verkürzt man bei einem Quadrat zwei parallele Seiten um und verlängert die anderen beiden um , so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von . Welchen Flächeninhalt hat das anfängliche Quadrat?

Hinweis: Die Länge eines Quadrates kann nicht negativ sein.

Antwort: Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von m².

Aufgabe 28: Die Schüler einer Klasse erhalten den Auftrag ein Din A4 Blatt (210 mm x 297 mm) so zu einer Schale zu falten, dass die Grundfläche der Schale zwei Drittel des ursprünglichen Din A4 Blattes beträgt. Wie hoch ist der Rand der Schale (x)?

Starthilfe

Antwort: Bei ganz genauem Falten wäre der Rand der Schale mm hoch.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 29: Die Grundseite c eines rechtwinkligen Dreiecks ist x cm länger als die zugehörige Höhe h c. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt x cm². Wie lang ist die Seite c?

Antwort: Die Seite c ist cm lang.

Aufgabe 30: Quadrat A und Quadrat B haben zusammen einen Flächeninhalt von und x + y = . Welche Flächeninhalte haben die zwei Quadrate?

Starthilfe

Das kleine Quadrat A hat einen Flächeninhalt von cm ² und das große Quadrat B einen von cm ².

Aufgabe 31: Auf einem Platz mit einer Länge von 50 Metern und einer Breite von 20 Metern soll eine Gärtnerei vier Blumenbeete anlegen. 90 % der Platzfläche stehen für die Beete zur Verfügung, 10 % teilen sich zwei mittig verlaufende, gleich breite Wege. Wie groß ist die Breite x der Wege? Runde auf Zentimeter.

Starthilfe

Antwort: Die Wege sind m breit.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 32: Der Oberflächeninhalt eines langen Prismas (b) beträgt . Die Grundfläche des Prismas ist eine Raute mit einem 150° Winkel. Wie lang ist eine Seite (a) der Grundflächenraute?

Die Raute hat eine Seitenlänge (a) von cm.

Aufgabe 33: Die Zahl wird so in zwei Summanden zerlegt, dass deren Produkt beträgt. Trage die Ergebnisse so ein, dass x ₁ größer als x ₂ ist.

Aufgabe 35: Ergänze die Funktionsgleichungen so, dass sie zu den Graphen passen.

Auswertung

Versuche: 0

Besondere Punkte in Funktionen ermitteln

Um die folgenden Aufgaben lösen zu können, müssen besondere Punkte einer Funktion ermittelt werden. Da eine Funktion aus mehreren Unbekannten besteht, kann sie für diese Punkte nur gelöst werden, wenn ihre Variablen mit Zahlen gefüllt werden. Für die unten angegebenen Bereiche lassen sich Zahlen bestimmen:

Schnittpunkt an der x-Achse (A₁, A₂, A₃), auch Nullstelle genannt
y = 0

Schnittpunkt an der y-Achse (B₁, B₂)
x = 0

Scheitelpunkt (C)
an Scheitelpunktform ablesen

Schnittpunkt mit einer anderen Funktion (D₁, D₂)
beide Funktionen gleichgesetzen
x ausgerechnen
x einsetzen und y auszurechnen

Ein beliebiger Punkt auf der Funktion (E)
bekannte Koordinate einsetzen und andere berechnen

Aufgabe 36: Bestimme die beiden Nullstellen und den Schnitt mit der y-Achse der folgenden Funktionen. Trage bei den Nullstellen den größeren Wert bei x ₁ ein.

Aufgabe 37: Die Parabel der Funktion schneidet die y-Achse bei und geht durch den Punkt P(). Bestimme den Streckfaktor a.

a =

Aufgabe 38: Gib die Koordinaten für den Scheitelpunkt an. Bestimme die beiden Nullstellen der folgenden Funktionen. Die Stellen, an denen der Graph die x-Achse berührt. Trage den größeren Wert bei x ₁ ein.

Aufgabe 39: Bestimme die beiden Nullstellen der folgenden Funktionen. Die Stellen, an denen der Graph die x-Achse berührt. Trage den größeren Wert bei x ₁ ein.

Aufgabe 40: Die Parabel der Funktion mit dem Scheitel S() geht durch den Punkt P(). Bestimme den Streckfaktor a.

a =

Modellieren mit quadratischen Funktionen (YouTube)

Aufgabe 41: Die Stützpfeiler der Golden Gate Bridge ragen ca 160 Meter über die Fahrbahn hinaus. Das Tragseil dazwischen wird annähernd durch die Funktion y = 0,00039x² beschrieben. Wie groß ist die Spannweite zwischen den Pfeilern? Runde auf 10 Meter.

Starthilfe

Antwort: Die Spannweite beträgt 0 m.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 43: Die Flugbahn eines Fußballs nach einem Schuss lässt sich beschreiben mir der Gleichung: y = - x ² + 7. Wie hoch ist der Ball, wenn er horizontal - vom Abschuss bis zum ersten Aufprall - ¼ seiner Strecke geflogen ist?

Der Ball befindet sich in einer Höhe von m.

Auswertung

Versuche: 0

Starthilfe

Versuche: 0

Antwort: Strahl A spritzt m, Strahl B m und Strahl C m weit.

Auswertung

Versuche: 0

Aufgabe 47: Eine Brücke wird durch einen parabelförmigen Bogen gestützt. Er hat eine Spannweite von und ragt in die Höhe. Trage den richtigen Streckfaktor in die Funktionsgleichung des Bogens ein.

Starthilfe
Schnittpunkte zweier Funktionen bestimmen
An ihren Schnittpunkten haben zwei Funktionen den gleichen x-Wert und den gleichen y-Wert. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, können die beiden Funktionen wie ein lineares Gleichungssystem aufgefasst werden. Beispiel: Die Funktionen und y = 2x + 3 haben an ihren Schnittpunkten den gleichen y-Wert.

I) y = x²

II) y = 2x + 3

x² = 2x + 3 | - 2x - 3

x² - 2x - 3 = 0

x₁ = -1 x₂ = 3

y₁ = (-1)² = 1

y₂ = 3² = 9

Aufgabe 48: Berechne jeweils den Schnittpunkt der beiden Funktionen.

a)

Wie lang ist der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B.

b)

Wie lang ist die Strecke a?

Eine Längeneinheit entspricht 1 m.

Versuche: 0

Aufgabe 52: In der unteren Graphik wird angezeigt, wie aus einem 32 cm langen Blech ein Kanal zu biegen ist, der einen größtmöglichen, rechtwinkligen Querschnitt (gelb) aufweisen soll.

Berechne die Seitenhöhe (x) und den größtmöglichen, rechtwinkligen Querschnitt für einen Kanal, der aus einem Blech von Länge erstellt werden würde.

Ein solcher Kanal wäre cm hoch. Er hätte einen Querschnitt von cm ².

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In quadratischen Gleichungen taucht die gesuchte Variable in quadrierter Form (x²) auf. In rein quadratischen Gleichungen kommt die Variable nur in quadrierter Form (x² ) vor. Aufgabe 1: Trage den positiven Wert von x 1 ein. Der entsprechende negative Wert x 2 wird automatisch angezeigt. Aufgabe 2: Trage den positiven Wert von x 1 ein.

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1. Aufgabe Spiele mit den Schiebereglern um herauszufinden welcher Parameter was bewirkt. a) Welche Parameter verschieben den Graphen, ohne dass seine Form verändert wird? b) Welche Parameter verändern die Form des Graphen? c) Welche Parameter wirken "anders herum, als du erwarten würdest"? d) Welche Parameter funktionieren genau so wie bei den quadratischen Funktionen, welcher kommt neu dazu? e) Wenn du für eine Wertetabelle einen Funktionswert ausrechnen willst musst du die korrekte Rechenreihenfolge beachten. In welcher Reihenfolge werden die 4 Parameter angewendet?

2. Hefteintrag

Überschrift: Modifizierte Sinusfunktion

Schreibe die Funktionsgleichung mit den Parametern a-d aus dem Bild oben in dein Heft und notiere für jeden der vier Parameter, was er bewirkt

Beispiel: Stelle mit den Schiebereglern schöne Zahlen ein, notiere wie in Aufgabe b die Funktionsgleichung (mit den konkreten Zahlen) sowie die Wirkung der Parameter (z. B. "Verschiebung um 2 nach links") und zeichne dann den Graphen in dein Heft.

Bemerkungen:

1. Statt einer horizontalen Streckung/Stauchung mit einem Faktor gibt man meistens die Periode der modifizierten Funktion an, z. B. hat die Funktion die Periode Pi, was einer Stauchung mit Faktor entspricht. (Kontrollkästchen "Periode anzeigen")

2. Statt einer vertikalen Streckung/Stauchung mit einem Faktor gibt man meistens die Amplitude an. Das ist der Abstand zwischen Mittellage (grüne gestrichelte Linie) und einem Hochpunkt des Graphen (Kontrollkästchen "Amplitude anzeigen")

Info Gemeinsame Prinzipien bei quadratischen und trigonometrischen (und auch anderen) Funktionen:

Eine Vervielfachung (Mal) der bereits berechneten Funktionswerte (Parameter a) bewirkt eine Streckung in vertikaler Richtung.

Eine Vergrößerung (Plus) der bereits berechneten Funktionswerte (Parameter d) bewirkt eine Verschiebung nach oben.

Eine Vergrößerung (Plus) der X-Werte bevor man die Funktion anwendet (Parameter c) bewirkt eine Verschiebung nach links (also "anders rum als man erwartet")

Eine Vervielfachung (Mal) der X-Werte vor Anwendung der Funktion (Parameter b) bewirkt eine Stauchung in horizontaler Richtung (also auch "falsch rum")

Zusammenfassend: Eine Änderung der X-Werte vor Anwendung der Funktion wirkt "falsch rum", eine Änderung der bereits berechneten Funktionswerte im Nachhinein wirkt "richtig rum"

Lösungen zu 1. a) b und d b) a und c c) b und c d) a, c und d wie bei quadratischen Funktionen, b kommt neu dazu e) Erst c dann b, dann wird die Sinusfunktion angewendet. Danach kommen a und d an die Reihe. Stefan Eckert, Erstellt mit GeoGebra

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