# data[].attributes.headline
Hur man löser ekvationer med x i båda leden

# data[].attributes.subject
Hur man löser ekvationer med x i båda leden

# data[].attributes.attachment_link.description
Uploaded by Petter Berglin on 2013-09-17.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det här avsnittet ska vi teckna ekvationer utifrån olika problem och sedan lösa ekvationerna med hjälp av balansering.

Problemlösning med ekvation

När vi har ett problem kan vi försöka formulera det matematiskt. Ett första steg är då att införa lämpliga variabler, till exempel x, och teckna uttryck. Med hjälp av uttryck kan vi ofta formulera problemet som en ekvation. Ekvationen kan vi sedan försöka att lösa med hjälp av till exempel balansering.

Vi ska nu titta på ett antal exempel på problem, där vi hittar lösningen på problemet genom att vi formulerar problemet matematiskt, tecknar uttryck och en ekvation, och sedan löser ekvationen.
Teckna och lös ekvationen
En rektangel har en sida som har längden 20 cm och dess area är 50 cm\(^2\). Rektangeln har även en sida vars längd vi inte känner till.

Teckna en ekvation som beskriver sambandet mellan längden på rektangelns sidor och dess area.

Ta sedan reda på den okända sidans längd genom att lösa ekvationen.
Lösningsförslag:
I årskurs 7 lärde vi oss att vi kan beräkna en rektangels area med formeln

$$ A=b\cdot h$$

där A är arean, b är basen, eller bredden, och h är höjden.

Vi känner till rektangelns area, som är 50 cm ², och den ena sidans längd, som är 20 cm. Om vi låter den kända sidan vara rektangelns bredd, b, så får vi denna ekvation:

$$ 50=20\cdot h$$

Det här är en ekvation som vi kan lösa, vilket vi ska göra genom balansering. Om vi dividerar båda leden med 20, så får vi variabeln h ensam på den ena sidan:

$$\frac{50}{{\color{Red} {20}}}=\frac{20\cdot h}{{\color{Red} {20}}} $$

$$\frac{5}{2}=h$$

$$h=2,5$$

Rektangelns okända sida måste alltså ha längden 2,5 cm.
Teckna och lös ekvationen
Amanda har varit i livsmedelsaffären och köpte där tre paket apelsinjuice och en limpa. Limpan kostade 12 kr och sammanlagt kostade varorna 54 kr, men Amanda sparade inte kvittot och minns inte vad apelsinjuicen kostade per paket.

Hjälp henne att ta reda på hur mycket juicen kostade per paket genom att teckna en ekvation, som du sedan löser.
Lösningsförslag
Vi vill ta reda på vad apelsinjuicen kostar per paket, så vi kan kalla detta pris x kr.

Det sammanlagda priset på varorna kan vi då teckna följande ekvation för:

$$ 3x+12=54$$

Genom att lösa denna ekvation får vi reda på värdet på x, som ju står för apelsinjuicens pris per paket. Vi löser ekvationen genom att först subtrahera 12 från båda leden och sedan dividera båda leden med 3:

$$3x+12=54$$

$$3x+12\,{\color{Red} {-\,12}}=54\,{\color{Red} {-\,12}}$$

$$3x=42 $$

$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{42}{{\color{Blue} 3}}$$

$$x=14$$

Apelsinjuicen hade alltså priset 14 kr per paket.
Teckna och lös ekvationen
I en klass är en tredjedel av eleverna pojkar. Det går 9 pojkar i klassen.

Hur många elever går det totalt i klassen? Teckna en ekvation som anger hur många pojkar som går i klassen och lös sedan denna ekvation för att ta reda på hur många elever det finns i klassen.
Lösningsförslag:
Eftersom vi vill veta hur många elever det finns i klassen, betecknar vi antalet elever i klassen med x.

Vi kan nu teckna en ekvation utifrån vad vi vet om pojkarna i klassen. En tredjedel av antalet elever i klassen är pojkar och det är 9 stycken pojkar i klassen:

$$ \frac{x}{3}=9$$

Denna ekvation löser vi för att ta reda på x, antalet elever i klassen. Vi gör detta genom att vi multiplicerar båda leden i ekvationen med 3:

$$\frac{x}{3}=9 $$

$${\color{Blue} {3\,\cdot}}\, \frac{x}{3}={\color{Blue} {3\,\cdot}}\, 9 $$

$$x=27$$

Genom att vi löste ekvationen kom vi fram till att det går 27 elever i klassen.

Videolektion

# data[].attributes.attachment_link.title
Teckna en ekvation (Årskurs 8, Ekvationer) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det här avsnittet ska vi teckna ekvationer utifrån olika problem och sedan lösa ekvationerna med hjälp av balansering. När vi har ett problem kan vi försöka formulera det matematiskt. Ett första steg är då att införa lämpliga variabler, till exempel x, och teckna uttryck.

# data[].attributes.headline
Hur man löser en ekvation med två termer som innehåller X

# data[].attributes.subject
Hur man löser en ekvation med två termer som innehåller X

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det förra avsnittet repeterade vi vad det innebär att lösa en ekvation. Vi började även använda oss av metoden balansering , som gör det lättare att lösa mer komplicerade ekvationer.

I det här avsnittet ska vi fortsätta öva ekvationslösning. Vi kommer bland annat se att ekvationers lösningar ibland kan vara bråktal. Vi kommer även öva på att lösa ekvationer som innehåller flera variabeltermer och parenteser.

Ekvationslösning i flera steg

Vi har tidigare stött på ekvationer som vi behöver använda flera räknesätt för att lösa. I det förra avsnittet såg vi ett exempel på det, när vi löste denna ekvation:

$$ 4x+5=13$$

Vi löste denna ekvation genom att först subtrahera 5 från båda leden, och sedan dividera båda leden med 4. Då får vi de här beräkningarna:

$$4x+5=13$$

$$4x+5\,{\color{Red} {-\,5}}=13\,{\color{Red}{ -\,5} }$$

$$4x=8 $$

$$\frac{4x}{{\color{Blue} 4}}=\frac{8}{{\color{Blue} 4}}$$

$$x=2$$

På liknande sätt kan vi lösa även andra ekvationer i flera steg. Vi ska nu titta på några exempel på hur det kan gå till.
Lös ekvationen
$$ 19-3x=4$$

Om vi tittar på den här ekvationens vänstra led, så ser vi att vi ska subtrahera 3 x. Det kan vara krångligt att låta ekvationen stå i den här formen, så vi börjar med att istället addera 3 x till båda leden, för att på så sätt skriva ekvationen i en form som är lättare att hantera:

$$19-3x=4$$

$$19-3x\,{\color{Blue} {+\,3x}}=4\,{\color{Blue} {+\,3x}}$$

$$19=4+3x$$

När ekvationen står skriven i den här formen kan vi lösa den på samma sätt som vi gjorde med ekvationen i det förra exemplet. Först subtraherar vi 4 från båda leden, och sedan dividerar vi båda leden med 3:

$$19=4+3x $$

$$19\,{\color{Red} {-\,4}}=4+3x\,{\color{Red} {-\,4}}$$

$$15=3x$$

$$\frac{15}{{\color{Blue} 3}}=\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}$$

$$5=x$$

Lösningen till ekvationen är alltså x = 5.
Lös ekvationen
$$ 4x-2x+7=21$$

I den här ekvationen har vi ett vänsterled som innehåller två variabeltermer med samma variabel: 4 x och 2 x. Därför kan vi börja med att förenkla uttrycket i det vänstra ledet:

$$4x-2x+7=21$$

$$2x+7=21$$

Nu kan vi lösa ekvationen på samma sätt som vi gjort tidigare, genom att först subtrahera 7 och sedan dividera med 2:

$$2x+7=21$$

$$2x+7\,{\color{Red} {-\,7}}=21\,{\color{Red} {-\,7}}$$

$$2x=14$$

$$\frac{2x}{{\color{Blue} 2}}=\frac{14}{{\color{Blue} 2}}$$

$$x=7$$

Ekvationens lösning är alltså x = 7.
Lös ekvationen
$$ z-\frac{2z}{3}=4$$

När vi ska lösa den här ekvationen börjar vi med att förenkla det vänstra ledet, eftersom det innehåller två variabeltermer. Från avsnittet om addition och subtraktion av bråktal vet vi att vi kan subtrahera två bråktal om de har samma nämnare. Därför skriver vi om den första z-termen som ett bråktal med nämnaren 3:

$$ z=\frac{3z}{3}$$

Nu kan vi förenkla vänsterledet i den ursprungliga ekvationen:

$$ {\color{Magenta} {z}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$${\color{Magenta} {\frac{3z}{3}}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$$\frac{3z-2z}{3}=4 $$

$$\frac{z}{3}=4$$

När vi har kommit så här långt kan vi multiplicera båda leden med 3, så att vi får z ensamt i vänster led:

$$\frac{z}{3}=4 $$

$${\color{Blue} {3\,\cdot}}\, \frac{z}{3}={\color{Blue} {3\,\cdot}}\, 4$$

$$z=12$$

Lösningen till ekvationen är alltså z = 12.
Lös ekvationen
$$ 3x-1=3$$

Vi ser att vi har variabeltermen 3 x i det vänstra ledet, så vi försöker att lösa ekvationen på vanligt sätt, genom att först addera 1 till båda leden och sedan dividera båda leden med 3:

$$3x-1=3$$

$$3x-1\,{\color{Blue} {+\,1}}=3\,{\color{Blue} {+\,1}}$$

$$3x=4 $$

$$\frac{3x}{{\color{Red} 3}}=\frac{4}{{\color{Red}{ 3}}} $$

$$x=\frac{4}{3}$$

Den lösning till ekvationen som vi kom fram till är ett bråktal. Vi kan inte förkorta detta bråktal längre, så det blir vårt svar i uppgiften.
Lös ekvationen
$$ (2x-3)-(5-4x)=10$$

Den här ekvationens vänsterled är ganska komplicerat. Det innehåller två parenteser och flera variabeltermer och konstanter.

Vi får därför börja med att förenkla ekvationens vänstra led, vilket vi gör genom att först ta bort parenteserna. När det står ett minustecken framför parentesen måste vi komma ihåg att vi byter tecken på termerna inom parentesen när den tas bort:

$$(2x-3)-(5-4x)=10$$

$$2x-3-5+4x=10$$

Vi har flera variabeltermer och flera konstanttermer i vänstra ledet, så vi fortsätter att förenkla ekvationens vänstra led.

$${\color{Magenta} {2x}}-\color{Blue}{3}-\color{Blue}{5}+{\color{Magenta} {4x}}=10$$

$${\color{Magenta} {6x}}-\color{Blue}{8}=10$$

Sedan löser vi ekvationen med addition och division:

$$6x-8=10$$

$$6x-8\,{\color{Blue}{ +\,8}}=10\,{\color{Blue}{ +\,8}}$$

$$6x=18$$

$$\frac{6x}{{\color{Red} 6}}=\frac{18}{{\color{Red} 6}}$$

$$x=3$$

Det här var en mer komplicerad ekvation att lösa, men till slut kom vi fram till lösningen x = 3 genom att först förenkla uttrycket i det vänstra ledet och sedan använda balansering.

Videolektion

# data[].attributes.attachment_link.title
Mer ekvationslösning (Årskurs 8, Ekvationer) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det förra avsnittet repeterade vi vad det innebär att lösa en ekvation . Vi började även använda oss av metoden balansering , som gör det lättare att lösa mer komplicerade ekvationer. I det här avsnittet ska vi fortsätta öva ekvationslösning. Vi kommer bland annat se att ekvationers lösningar ibland kan vara bråktal.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
I det förra avsnittet repeterade vi vad det innebär att lösa en ekvation. Vi började även använda oss av metoden balansering , som gör det lättare att lösa mer komplicerade ekvationer.

I det här avsnittet ska vi fortsätta öva ekvationslösning. Vi kommer bland annat se att ekvationers lösningar ibland kan vara bråktal. Vi kommer även öva på att lösa ekvationer som innehåller flera variabeltermer och parenteser.

Ekvationslösning i flera steg

Vi har tidigare stött på ekvationer som vi behöver använda flera räknesätt för att lösa. I det förra avsnittet såg vi ett exempel på det, när vi löste denna ekvation:

$$ 4x+5=13$$

Vi löste denna ekvation genom att först subtrahera 5 från båda leden, och sedan dividera båda leden med 4. Då får vi de här beräkningarna:

$$4x+5=13$$

$$4x+5\,{\color{Red} {-\,5}}=13\,{\color{Red}{ -\,5} }$$

$$4x=8 $$

$$\frac{4x}{{\color{Blue} 4}}=\frac{8}{{\color{Blue} 4}}$$

$$x=2$$

På liknande sätt kan vi lösa även andra ekvationer i flera steg. Vi ska nu titta på några exempel på hur det kan gå till.
Lös ekvationen
$$ 19-3x=4$$

Om vi tittar på den här ekvationens vänstra led, så ser vi att vi ska subtrahera 3 x. Det kan vara krångligt att låta ekvationen stå i den här formen, så vi börjar med att istället addera 3 x till båda leden, för att på så sätt skriva ekvationen i en form som är lättare att hantera:

$$19-3x=4$$

$$19-3x\,{\color{Blue} {+\,3x}}=4\,{\color{Blue} {+\,3x}}$$

$$19=4+3x$$

När ekvationen står skriven i den här formen kan vi lösa den på samma sätt som vi gjorde med ekvationen i det förra exemplet. Först subtraherar vi 4 från båda leden, och sedan dividerar vi båda leden med 3:

$$19=4+3x $$

$$19\,{\color{Red} {-\,4}}=4+3x\,{\color{Red} {-\,4}}$$

$$15=3x$$

$$\frac{15}{{\color{Blue} 3}}=\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}$$

$$5=x$$

Lösningen till ekvationen är alltså x = 5.
Lös ekvationen
$$ 4x-2x+7=21$$

I den här ekvationen har vi ett vänsterled som innehåller två variabeltermer med samma variabel: 4 x och 2 x. Därför kan vi börja med att förenkla uttrycket i det vänstra ledet:

$$4x-2x+7=21$$

$$2x+7=21$$

Nu kan vi lösa ekvationen på samma sätt som vi gjort tidigare, genom att först subtrahera 7 och sedan dividera med 2:

$$2x+7=21$$

$$2x+7\,{\color{Red} {-\,7}}=21\,{\color{Red} {-\,7}}$$

$$2x=14$$

$$\frac{2x}{{\color{Blue} 2}}=\frac{14}{{\color{Blue} 2}}$$

$$x=7$$

Ekvationens lösning är alltså x = 7.
Lös ekvationen
$$ z-\frac{2z}{3}=4$$

När vi ska lösa den här ekvationen börjar vi med att förenkla det vänstra ledet, eftersom det innehåller två variabeltermer. Från avsnittet om addition och subtraktion av bråktal vet vi att vi kan subtrahera två bråktal om de har samma nämnare. Därför skriver vi om den första z-termen som ett bråktal med nämnaren 3:

$$ z=\frac{3z}{3}$$

Nu kan vi förenkla vänsterledet i den ursprungliga ekvationen:

$$ {\color{Magenta} {z}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$${\color{Magenta} {\frac{3z}{3}}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$$\frac{3z-2z}{3}=4 $$

$$\frac{z}{3}=4$$

När vi har kommit så här långt kan vi multiplicera båda leden med 3, så att vi får z ensamt i vänster led:

$$\frac{z}{3}=4 $$

$${\color{Blue} {3\,\cdot}}\, \frac{z}{3}={\color{Blue} {3\,\cdot}}\, 4$$

$$z=12$$

Lösningen till ekvationen är alltså z = 12.
Lös ekvationen
$$ 3x-1=3$$

Vi ser att vi har variabeltermen 3 x i det vänstra ledet, så vi försöker att lösa ekvationen på vanligt sätt, genom att först addera 1 till båda leden och sedan dividera båda leden med 3:

$$3x-1=3$$

$$3x-1\,{\color{Blue} {+\,1}}=3\,{\color{Blue} {+\,1}}$$

$$3x=4 $$

$$\frac{3x}{{\color{Red} 3}}=\frac{4}{{\color{Red}{ 3}}} $$

$$x=\frac{4}{3}$$

Den lösning till ekvationen som vi kom fram till är ett bråktal. Vi kan inte förkorta detta bråktal längre, så det blir vårt svar i uppgiften.
Lös ekvationen
$$ (2x-3)-(5-4x)=10$$

Den här ekvationens vänsterled är ganska komplicerat. Det innehåller två parenteser och flera variabeltermer och konstanter.

Vi får därför börja med att förenkla ekvationens vänstra led, vilket vi gör genom att först ta bort parenteserna. När det står ett minustecken framför parentesen måste vi komma ihåg att vi byter tecken på termerna inom parentesen när den tas bort:

$$(2x-3)-(5-4x)=10$$

$$2x-3-5+4x=10$$

Vi har flera variabeltermer och flera konstanttermer i vänstra ledet, så vi fortsätter att förenkla ekvationens vänstra led.

$${\color{Magenta} {2x}}-\color{Blue}{3}-\color{Blue}{5}+{\color{Magenta} {4x}}=10$$

$${\color{Magenta} {6x}}-\color{Blue}{8}=10$$

Sedan löser vi ekvationen med addition och division:

$$6x-8=10$$

$$6x-8\,{\color{Blue}{ +\,8}}=10\,{\color{Blue}{ +\,8}}$$

$$6x=18$$

$$\frac{6x}{{\color{Red} 6}}=\frac{18}{{\color{Red} 6}}$$

$$x=3$$

Det här var en mer komplicerad ekvation att lösa, men till slut kom vi fram till lösningen x = 3 genom att först förenkla uttrycket i det vänstra ledet och sedan använda balansering.

Videolektion

# data[].attributes.attachment_link.title
Mer ekvationslösning (Årskurs 8, Ekvationer) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
I det förra avsnittet repeterade vi vad det innebär att lösa en ekvation . Vi började även använda oss av metoden balansering , som gör det lättare att lösa mer komplicerade ekvationer. I det här avsnittet ska vi fortsätta öva ekvationslösning. Vi kommer bland annat se att ekvationers lösningar ibland kan vara bråktal.

# data[].attributes.headline
Hur man löser lite mer komplicerade ekvationer 

# data[].attributes.subject
Hur man löser lite mer komplicerade ekvationer 

# data[].attributes.attachment_link.title
Ekvationslösning (Årskurs 8, Ekvationer) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
Vi lär oss hur ekvationslösning går till med metoden balansering, som vi kommer att ha mycket användning för i fortsättningen.

# data[].attributes.attachment_link.title
Ekvationslösning (Årskurs 8, Ekvationer) - Matteboken

# data[].attributes.attachment_link.description
Vi lär oss hur ekvationslösning går till med metoden balansering, som vi kommer att ha mycket användning för i fortsättningen.

# data[].attributes.attachment_link.description
Peponline, en service från Granbergsskolan i Bollnäs kommun

# data[].attributes.attachment_link.description
Peponline, en service från Granbergsskolan i Bollnäs kommun