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En la educación primaria los alumnos manipulan expresiones con letras, operaciones y números.
En la secundaria el uso de expresiones algebraicas aumenta considerablemente y los alumnos pasan a utilizar, entre otras, identidades notables, ecuaciones y polinomios.

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El camino que va desde la manipulación, por ejemplo, de fórmulas geométricas para hallar longitudes y áreas en el último ciclo de primaria hasta el cálculo, por ejemplo, de la suma y del producto de polinomios, es un camino largo, complejo y lleno de dificultades. En este camino conviene distinguir dos etapas:

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Los símbolos substituyen a números, segmentos u otros objetos y su función es representarlos. Los símbolos representan objetos, acciones sobre objetos o relaciones entre objetos, pero ellos mismos no se consideran objetos sobre los cuales se puedan realizar acciones.

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Los valores que pueden tener los símbolos son los que se quiera considerar y no están condicionados por la situación que inicialmente representaban. Ahora los símbolos se consideran objetos sobre los cuales se pueden realizar acciones e incluso se puede rescindir de los objetos, relaciones y situaciones que representan.

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La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento. Queremos que los alumnos entiendan la mediatriz como la recta formada por todos los puntos que están a igual distancia de los extremos del segmento.
En base a la imagen, el punto D se puede convertir en un objeto variable. El invariante que obtiene el alumno al mover el punto D es que el punto siempre cumple la condición de estar a igual distancia de los extremos A y B. Este resultado se puede simbolizar de la siguiente manera: distancia AD=distancia DB y si la representamos por "y" la distancia AD y por "x" la distancia DB los alumnos pueden llegar a simbolizar la condición anterior como: y=x.

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Una variable es un símbolo que puede ponerse en lugar de cualquier elemento de un conjunto, sean números u otros objetos.
Las variables son uno de los instrumentos más poderosos para expresar las regularidades que se encuentran en matemáticas. El principal interés del uso de letras en matemáticas es que permiten expresar relaciones generales entre los objetos de una manera eficaz.

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a) Para cualquier par de números naturales a y b, siempre se verifica que, a+b=b+a.
b) 2+3=3+2.
La segunda es diferente de la primera, ya que la segunda sólo sirve para estos dos números, mientras que la primera sirve para cualquier par de números.

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4 usos principales de las variables en matemáticas.

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4 usos principales de las variables en matemáticas.

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Las variables como incógnitas: Cuando se usan para representar números uno de cuyos valores posibles hace verdadera una expresión. La incógnita interviene como un objeto matemático desconocido que se manipula como si fuera conocido.
Las variables como indeterminadas: Es el caso cuando la variable se usa en enunciados que son ciertos para todos los números.
Las variables para expresar cantidades que varían conjuntamente: La relación de dependencia entre variables ocurre cuando el cambio en una variable determina el cambio de otra.
Las variables como constantes o parámetros: Es el caso de la letra a en la fórmula de la función de proporcionalidad y =ax. En un primer momento se ha de considerar que la letra a no varia y que sólo lo hacen de manera conjunta la x y la y. de esta manera se obtiene una función de proporcionalidad concreta.

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El signo "=" indica que lo que se encuentra a la izquierda del signo y lo que se encuentra a la derecha del signo, son dos maneras de designar al mismo objeto.

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Cuando escribimos 2+3=1+4 queremos decir que 2+3 y 1+4 son dos formas diferentes de escribir el mismo número 5.

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Según la naturaleza de los elementos que intervienen en una igualdad numérica se obtienen diferentes tipos de igualdades:

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Según la naturaleza de los elementos que intervienen en una igualdad numérica se obtienen diferentes tipos de igualdades:

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-Si en la igualdad aparecen variables y la igualdad es verdadera para cualquier valor que tomen las variables, se dice que se trata de una identidad.
-Si la igualdad es verdadera sólo para ciertos valores de las variables se dice que se trata de una ecuación.
-La igualdad se usa también para expresar la relación de dependencia entre dos o más variables, hablándose en este caso de una fórmula.