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Ejemplo de la conjunción de una disyunción:
Si P = Vamos al cine y Q = Vamos al teatro, la Disyunción P ᵔ Q = Vamos al cine o Vamos al teatro. La negación de esta disyunción es la conjunción de las negaciones, como se ve en el siguiente ejemplo: ~(P ᵕ Q) = No (Vamos al cine o Vamos al teatro) Que equivale a: ~P ᵔ ~Q = No vamos al cine y No vamos al teatro. La negación de una conjunción es la negación de las disyunciones como se muestra a continuación: Si P = Vamos a comer y Q = Vamos a jugar. P ᵕ Q = Vamos a comer y vamos a jugar. La negación de esta conjunción entonces quedaría de la siguiente forma: ~(P ᵕ Q) = NO (Vamos a comer y Vamos a jugar) = No Vamos a comer o No vamos a jugar = ~P ᵔ ~Q.
2.Sea p = Voy al cine,  q =  Voy a cenar,  c = Gastaré algo de dinero. p^q => c Si voy al cine o voy a cenar entonces gastaré algo de dinero; la conclusión de gastar algo de dinero es verdadera si la persona va al cine aunque no vaya a cenar, pero también es verdadera si solamente va a cenar y no va al cine. La única forma en que la conclusión de gastar algo de dinero sea falsa, es que no vaya la cine ni a cenar. Sea p = Camino bajo la lluvia,  q= Me mojan con una manguera, c= Estaré mojado. p^q=>c Si camino bajo la lluvia o me mojan con una manguera entonces estaré mojado: la conclusión en esto es que si camino bajo la lluvia es verdad que estaré mojado, pero también es verdadera si me mojan con una manguera aunque no camine bajo la lluvia. Si camino bajo la lluvia y me mojan con una manguera la disyunción es verdadera.  La única forma en que no estaré mojado es que no camine bajo la lluvia, ni me mojen con una manguera. Sea p=El foco verde está encendido   q = El foco rojo está encendido  c = Hay corriente eléctrica p^q=>c Si el foco verde está encendido o el foco rojo está encendido entonces hay corriente eléctrica, por lo tanto la afirmación es verdadera. Esta afirmación es verdadera siempre que uno de los dos focos o ambos estén encendidos, si los dos están apagados entonces no hay corriente eléctrica.

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las Leyes de Morgan habrían sido establecidas a fin de permitirle al matemático la posibilidad de cambiar el operador de conjunción a un operador de disyunción, así también como su proceso contrario, por medio del cual el matemático podría cambiar el operador de disyunción por un operador de conjunción, tanto si estas conjunciones y disyunciones son afirmadas o negadas, de forma absoluta o en algunas de sus partes. Así mismo, las Leyes de Morgan se erigen también como reglas de inferencia válidas, que permiten dentro de la lógica proposicional, expresar tanto conjunciones y disyunciones a través de términos de una “vía negación.
Con respecto a la expresión formal de los postulados de las Leyes de Morgan, la mayoría de las fuentes matemáticas coinciden en señalar que estas reglas están compuestas por dos normas, por lo que básicamente se concibe que las Leyes de Morgan son dos, las cuales contarían con la siguiente expresión:

La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones

No obstante, por lo general la Lógica proposicional también hace uso de las proposiciones P y Q para expresar formalmente las Leyes de Morgan, dándole entonces un valor a cada signo, teniendo por consiguiente que cada uno equivale al siguiente concepto:
¬ considerado el operador de negación, con su equivalente “No”
˄ considerado el operador de conjunción, con su equivalente “Y”
˅ considerado el operador de disyunción (O)-
<=> considerado como el equivalente a “puede ser reemplazado”.

Conocidas entonces las equivalencias, se puede ver cómo la expresión formal de las Leyes de Morgan conduce a las siguientes fórmulas:
¬ (P ˄ Q) <=> (¬P) ˅ (¬Q)

¬ (P ˅ Q) <=> (¬P) ˄ (¬Q)

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Las leyes conmutativas establecen que el orden en el cual suma o multiplica dos números reales no afecta el resultado.
La Ley Conmutativa de la suma:
a + b = b + a
Ejemplo:

3 + 5 = 5 + 3 = 8

20 + (–3) = (–3) + 20 = 17
La Ley Conmutativa de la multiplicación:
ab = ba
Ejemplo:

4 · 5 = 5 · 4 = 20

(–2)(8) = (8)(–2) = –16

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Nos permite pasar de dos premisas a la conclusión, esta regla se aplica siempre que se dé una proposición condicional y se dé precisamente el consecuente . La misma regla se aplica  tanto si el antecedente y  consecuente es una proposición atómica  como molecular.

P  → Q          (1)    P  V  M → T  &  Q

P                    (2)    P  V  M

.: Q              .:  (3) T  &  Q                PP 1.2

EJ:  Si esta planta no crece, entonces o necesita más agua o necesita mejor abono . Esta planta no crece.

P : esta planta  crece.

Q:  necesita más agua .

A:  necesita mejor abono

¬ P → Q V A ¬

.: Q V A

En palabras podemos concluir que esta planta necesita más agua o más abono.

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Esta regla parte de, al menos, tres premisas: una disyuntiva y dos condicionales. La disyuntiva encierra dos opciones, las cuales serán los antecedentes de ambas condicionales, de tal modo que sus consecuentes podrán conformar una disyunción. En otras palabras esto significa que si dos posibilidades conllevan dos condiciones a cumplir, los efectos serán en última instancia las posibilidades que se estarán escogiendo en última instancia[1]. Ejemplo:

O está durmiendo o se está bañando.

Si está durmiendo no vendrá a la fiesta.

Si se está bañando, llegará tarde

No vendrá a la fiesta o llegará tarde

Igualmente se pudo concluir:

Llegará tarde o no vendrá a la fiesta.
Lo anterior se simboliza:

(1)    A V B

(2)    A à ¬C

(1)   B à D

(2)  ¬C V D   DS 1, 2, 3.

O bien:

(4) D V ¬C    DS 1, 2, 3.

"DS" simboliza a la ley del Silogismo Disyuntivo y los números a su lado derecho muestran de que premisas se valió la regla.

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La presente regla dice que si el consecuente de una proposición condicional X es el antecedente de una condicional Y, podemos concluir con otra condicional constituida por el antecedente de X y el consecuente de Y. Ejemplo:

Si el piso de la alberca está resbaloso, entonces alguien se caerá.

Si alguien se caerá, entonces conviene tener lista la camilla.

Si el piso de la alberca está resbaloso, conviene tener lista la camilla.

Su representación es la siguiente:

(1) A à B
(2) B à C

(3) Aà C   HS 1,2

Las siglas "HS" representan a  la ley del Silogismo Hipotético (también conocida como ley de la transitividad) y los números a su lado representan las proposiciones de las que se obtuvo.

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Esta regla se aplica para las proposiciones disyuntivas, en la cual un miembro de dicha

proposición se niega para lograr la afirmación del otro.

P V Q

P V Q

(1) ¬ (P &

M) V

T

& Q

¬ P

¬Q

(2) ¬ (T

& Q )

. Q . P . (3)

¬ (P &

M )

TP 1.2

EJ: O hace frio y llueve o el festival se celebrara al aire libre . Ni hace frio ni llueve .

F: hace frio

E: llueve

A: el festival se celebrara al aire libre

(F & E) V A

(F & E)

Esto quiere decir que el festival se celebrara al aire libre

DOBLE NEGACION (DN)

Es una regla simple que permite pasar de una premisa única a la conclusión.