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29.Interpolazione (lezione del 25 maggio)

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29.Interpolazione (lezione del 25 maggio)

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28. Interpolazione statistica - metodo dei minimi quadrati

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28. Interpolazione statistica - metodo dei minimi quadrati

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27.Modelli matematici per studiare la diffusione delle epidemie

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27.Modelli matematici per studiare la diffusione delle epidemie

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-Appunti del prof Sandri

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25. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati              -Funzione obiettivo rappresentata da un'iperbole

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25. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati              -Funzione obiettivo rappresentata da un'iperbole

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Alcuni esercizi guida ed altri tratti da Zanichelli

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funzione obiettivo rappresentata da un'iperbole

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24. R.O. - Problemi di scelta fra più alternative (finzioni dello stesso tipo e di tipo diverso)

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24. R.O. - Problemi di scelta fra più alternative (finzioni dello stesso tipo e di tipo diverso)

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Alcuni esercizi guida ed altri tratti da Zanichelli

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23.bis R.O. Funzione obiettivo rappresentata da una parabola con e senza vincoli (lezione del 16 marzo 2020)

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23.bis R.O. Funzione obiettivo rappresentata da una parabola con e senza vincoli (lezione del 16 marzo 2020)

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RO parabola (con e senza vincoli tecnici)

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23. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati             -Funzione obiettivo rappresentata da una parabola

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23. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati             -Funzione obiettivo rappresentata da una parabola

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Alcuni esercizi guida ed altri tratti da Zanichelli

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funzione obiettivo rappresentata da una parabola

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22. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati            -Funzione obiettivo rappresentata da una retta (diagramma di redditività)

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22. R.O. - Problemi in condizioni di certezza con effetti immediati            -Funzione obiettivo rappresentata da una retta (diagramma di redditività)

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Alcuni esercizi guida ed altri tratti da Zanichelli

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Funzione obiettivo rappresentata da una retta

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La R.O. è una disciplina che si occupa di risolvere problemi decisionali applicando il metodo scientifico.
Un problema decisionale è un problema in cui uno o più decisori devono effettuare una scelta (la più conveniente) tra una o più alternative.
La R.O. nasce agli inizi della seconda guerra mondiale, dapprima si sviluppò in Inghilterra per lo studio di problemi di difesa antiaerea mediante l’uso del radar; successivamente, negli Stati Uniti, fu impiegata per lo studio di problemi di strategia militare.
Una volta terminato il conflitto fu poi utilizzata per problemi organizzativi nei più svariati settori.
Per risolvere un problema decisionale è opportuno seguire le seguenti fasi:
-Raccolta delle informazioni;
-Formulazione del problema;
-Costruzione Modello matematico
-Ricerca Soluzione de modello matematico
-Verifica e controllo

(Il modello matematico, come abbiamo visto in più occasioni, non è altro che la traduzione in un linguaggio matematico di un problema reale; è costituito da una funzione obiettivo, dai vincoli tecnici e dai vincoli di segno)
I problemi decisionali, a seconda delle caratteristiche  che presentano, possono essere così classificati:

problemi di scelta in condizioni di certezza, se i dati e le conseguenze sono determinabili a priori;

problemi di scelta in condizioni di incertezza, quando alcune variabili sono aleatorie la cui distribuzione di probabilità è casuale;

problemi di scelta con effetti immediati, se tra il momento della decisione e il momento della realizzazione decorre un tempo breve che non influisce sulle grandezze economiche;

problemi di scelta con effetti differiti, se occorre tener conto dell’intervallo di tempo che decorre tra momento di decisione e di realizzazione.

Per ora ci occuperemo di problemi decisionali in condizioni di certezza, con effetti immediati:

massimizzazione di un profitto/minimizzazione di un costo (in una o più alternative);

minimizzazione di un costo unitario di produzione;

problema delle scorte;

Si consiglia una lettura degli appunti che seguono (sia link che appunti del prof Bocconi)  per avere una conoscenza più approfondita su quanto sopra esposto brevemente.

Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Ricerca_operativa

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20. Risoluzione di un problema di programmazione lineare in due variabili, risolvibile per via grafica

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20. Risoluzione di un problema di programmazione lineare in due variabili, risolvibile per via grafica

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(risoluzione con geogebra del modello matematico del problema 19)

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Problema di programmazione lineare (seconda parte)

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Problema di programmazione lineare in due variabili: soluzione con metodo grafico

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19. problema di programmazione lineare (costruzione del modello matematico e sue caratteristiche)

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19. problema di programmazione lineare (costruzione del modello matematico e sue caratteristiche)

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Problema di programmazione lineare (prima parte)

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Problema di programmazione lineare in due variabili: tabella dei dati ed espressione analitica dei vincoli e della funzione obiettivo

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Nei problemi di programmazione lineare viene richiesto di trovare la migliore distribuzione di un certo numero di risorse, secondo un determinato criterio di ottimizzazione che può consistere, per esempio, nel minimizzare un costo o nel massimizzare un profitto.

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17. Massimi e minimi vincolati con vincoli espressi da disequazioni o da sistemi di disequazioni

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17. Massimi e minimi vincolati con vincoli espressi da disequazioni o da sistemi di disequazioni

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Max min vincolati con vincoli espressi da disequazioni o sistemi di disequazioni

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15. Esercitazione (funzioni in due variabili)

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15. Esercitazione (funzioni in due variabili)

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13. Applicazioni in campo economico (massimi e minimi vincolati): "Utilità del consumatore con il vincolo di bilancio"

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13. Applicazioni in campo economico (massimi e minimi vincolati): "Utilità del consumatore con il vincolo di bilancio"

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12. bis Problemi di calcolo di estremi vincolati di funzioni in due variabili risolvibili per via grafica-geometrica.

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12. bis Problemi di calcolo di estremi vincolati di funzioni in due variabili risolvibili per via grafica-geometrica.

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12. Metodo delle linee di livello con Geogebra3D

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12. Metodo delle linee di livello con Geogebra3D

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1. rappresento la funzione con le linee di livello
2. trovo la linea di livello tangente al vincolo
3. individuo il/i  punto/punti di intersezione tra il vincolo e la linea di livello ad esso tangente
4. dall'andamento delle linee di livello stabilisco se il/i  punto/i sono massimi e/o minimi

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Esercizio di ricerca massimi e minimi vincolati eseguito con linee di livello con Geogebra.

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se il vincolo è lineare rispetto ad una variabile è possibile applicare il metodo di sostituzione:
1. esplicito il vincolo rispetto alla variabile lineare
2. sostituisco nella funzione di partenza che si riduce di una variabile
3. calcolo i massimi ed i minimi della funzione ottenuta (derivata prima; punti critici (condizione necessaria); studio del segno della derivata prima (condizione sufficiente))
4. sostituisco la coordinata trovata nel vincolo
5. sostituisco le coordinate del punto di massimi e/o di minimo per ricavare il massimo / minimo della fuzione z

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se la funzione non è soggetta ad un vincolo, i suoi eventuali punti di massimo e di minimo possono trovarsi in qualsiasi parte del dominio. se invece la funzione è soggetta ad un vincolo (espresso da una equazione g(x,y)=0) i massimi ed i minimi, se esistono, devono necessariamente trovarsi nell'intersezione tra il vincolo e il dominio. può accadere che una funzione non ammetta massimi e minimi liberi ma ammetta massimi e/o minimi vincolati.
I metodi utilizzati per determinare i massimi e minimi vincolati sono:
1. metodo di sostituzione (solo se il vincolo è lineare rispetto ad una o ad entrambe le variabili)
2. metodo delle linee di livello (con l'ausilio di geogebra 3D)
3. metodo dei moltiplicatori di Lagrange

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9. Applicazioni in campo economico sul calcolo dei massimi e minimi liberi

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9. Applicazioni in campo economico sul calcolo dei massimi e minimi liberi

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-in regime di concorrenza perfetta
-in regime di monopolio
-minimizzazione della funzione dei costi

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8.Esempio (massimi e minimi liberi - metodo delle derivate)

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8.Esempio (massimi e minimi liberi - metodo delle derivate)

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Minimi e massimi relativi per una funzione di due variabili

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Video 199.- Minimi e massimi relativi per una funzione di due variabili. www.matematicus.com

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7.Esempio sul calcolo dei massimi e minimi liberi (metodo delle derivate

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7.Esempio sul calcolo dei massimi e minimi liberi (metodo delle derivate

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Max e min di una funzione di due variabili

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Ricerca dei punti di max e min con derivate parziali ed Hessiano

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6.Massimi e minimi liberi di una funzione di due variabili

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6.Massimi e minimi liberi di una funzione di due variabili

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5 bis. Applicazioni in campo economico delle derivate parziali

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5 bis. Applicazioni in campo economico delle derivate parziali

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-ELASTICITA' DELLA DOMANDA (domanda rigida, elastica, anelastica)
-ELASTICITA' PARZIALE (BENI COMPLEMENTARI, SUCCEDANEI, INDIPENDENTI)

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per le funzioni in due variabili non si parla di un'unica derivata ma di derivate parziali (derivata parziale rispetto alla variabile x, derivata parziale rispetto alla variabile y). le tecniche di derivazione rimangono le stesse utilizzate per le funzioni in una variabile. Più precisamente per calcolare la derivata parziale rispetto a x devo derivare la funzione supponendo la y costante e per calcolare la derivata parziale rispetto a y devo supporre la x costante.
Ci potrà essere utile calcolare l'equazione del piano tangente ad una superficie in un punto P0 (che esiste se la funzione è dotata di derivate parziali continue in un punto P0); esso ha equazione:
z=f(P0)+f'x(P0)(x-x0)+f'y(P0)(y-y0)

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Possono essere utilizzate per rappresentare una superficie sul piano e, vedremo successivamente, anche per determinare i massini e i minimi relativi delle funzioni in due variabili. Vengono utilizzate in molti campi (economia, matematica, fisica, meteorologia,...)

Definizione: Le linee di livello sono la proiezione ortogonale sul piano xoy dei punti della superficie aventi tutti la stessa quota.

per ottenere le linee di livello di una funzione possiamo sezionare la superficie con il piano generico parallelo al piano xoy. Dal punto di vista matematico, ciò equivale a risolvere il sistema formato da z=f(x,y) e l'equazione del piano z=k.  Assegnando valori arbitrari a k,  si ottengono le linee di livello della funzione che devono essere rappresentate su uno stesso piano.

Per determinare le linee di livello può essere molto utile utilizzare il software GEOGEBRA 3D
https://youtu.be/BDw_KAYQntY

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Uploaded by Franco Visintainer on 2013-10-19.

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per risolvere una disequazione in due variabili si può procedere nel modo seguente:
-si rappresentano le soluzioni dell'equazione associata su un sistema di assi cartesiani.
-si sceglie un punto a piacere in una delle due regioni in cui è suddiviso il piano (uno dei due semipiani se l'equazione è una retta ... oppure  la regione interna o esterna ad una circonferenza, ad una parabola, ad una ellisse, ad un'iperole,...);
-si sostituiscono le coordinate del punto nella disequazione iniziale se tale disequazione risulta soddisfatta ne consegue che le sue soluzioni sono rappresentate da tutti i punti che si trovano nella stessa regione di piano in cui ho scelto il punto; altrimenti dall'altra parte.

SISTEMI DI DISEQUAZIONI
si risolvono tutte le disequazioni del sistema rappresentando le soluzioni su uno stesso grafico; le soluzioni del sistema sono quelle comuni a tutte le disequazioni.

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Si dice che z=f(x,y) è una funzione in due variabili se è una corrispondenza che associa ad ogni coppia del suo dominio D (sottinsieme di R^2) uno e un solo valore z appartenente ad R .
Il dominio di una funzione in due variabili è quindi un sottiensieme di R^2 in cui la funzione è definita.