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Procesos estocasticos - Antonio De Howitt

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Procesos estocasticos - Antonio De Howitt

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Este proceso nos permite ordenar y entender cosas las cuales en un principio parecen impredecibles, ya que se mueven al azar y a primer golpe de vista nos podría confundir, pero existen procesos en los cuales nos permiten ordenar estos valores, y así poder entenderlos. Además este proceso es aplicable para varias ciencias sociales y exactas. Podemos dividir este proceso en dos grupos;

·         Estacionario; Se puede predecir

·         No estacionario; Es impredecible

En economía este proceso es comúnmente aplicado en la bolsa de valores, ya que analiza los cambios que se realizan del valor de las acciones, también analiza el valor de las monedas, que como dijimos al principio, a veces parecen indescifrables, pero si se utiliza este proceso podremos armar un grafico el cual nos permita entender mas sobre estos temas.

Referencias:

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Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias que depende de un parámetro o de un argumento. En el análisis de series temporales, ese parámetro es el tiempo. Formalmente, se define como una familia de variables aleatorias Y indiciadas por el tiempo, t. Tales que para cada valor de t, Y tiene una distribución de probabilidad dada.

En términos mucho más sencillos, un proceso estocástico es aquel que no se puede predecir. Se mueve al azar. Aunque, como veremos más tarde, existen distintos tipos de procesos estocásticos. Uno de los ejemplos más clásicos para hacer referencia a un proceso estocástico es la bolsa de valores.

A pesar de esto, existen estrategias que han demostrado sobradamente que la bolsa no es un proceso estrictamente estocástico. Sin embargo, en este caso, nos estamos refiriendo a la bolsa de valores segundo a segundo. Ni el mejor modelo predictivo del mundo sería capaz de predecir si la bolsa subirá o bajará cada segundo.

Ejemplos de procesos estocásticos

A continuación se ofrecen ejemplos variados de fenómenos que constituyen procesos estocásticos.

Electrocardiograma

Terremotos

El clima

El segundo concreto de un partido en el que un jugador anota un gol

Número de personas que dicen una palabra concreta alrededor del mundo

Como podemos comprobar son procesos totalmente aleatorios. Es imposible saber en qué segundo anotará un jugador un gol. Al igual que es imposible predecir de forma exacta qué tiempo hará en una zona en cierto instante. Y a pesar de los avances tecnológicos sigue siendo imposible predecir un terremoto. Así pues, una vez introducidos en los procesos estocásticos es preciso describir los tipos que existen.

Tipos de procesos estocásticos

Existen dos tipos de procesos estocásticos. La diferencia entre los mismos, tiene que ver con predictibilidad de una serie temporal:

Proceso estocástico estacionario

Un proceso estocástico estacionario es aquel cuya distribución de probabilidad varía de forma más o menos constante a lo largo de cierto periodo de tiempo. Con otras palabras, una serie de números puede parecer (y ser) caótica pero tomar valores dentro de un rango limitado. A través de esta información se pueden realizar modelos que intenten predecir la variable. Los retornos diarios de un activo financiero son un ejemplo de procesos estocásticos estacionarios. Así pues, los retornos diarios del EURUSD, es decir, la variación diaria en porcentaje tiene la siguiente forma:

Este gráfico refleja los retornos diarios en porcentaje del EURUSD desde 1999. Sin embargo, para entender mejor el concepto, vamos a ofrecer solo los últimos 100 días.

Al ampliar el gráfico podemos ver con más claridad el comportamiento de la variable. Durante los últimos 100 días el EURUSD ha tenido variaciones dentro del rango -1% y 1%. No podemos predecir cual será la variación de un día en concreto, pero podemos intuir (que no confirmar), el rango de valores entre el que estará la variable.

Proceso estocástico no estacionario

Un proceso estocástico no estacionario es aquel cuya distribución de probabilidad varía de forma no constante. Dicho de otra forma, si una serie de números se comporta de forma totalmente caótica, podríamos decir que es aleatorio no estacionario. Un ejemplo de proceso estocástico no estacionario sería la cotización del par de divisas EURUSD.

Como vemos en la imagen, tanto la variabilidad, como la media, cambian a lo largo del tiempo. No podemos predecir si el EURUSD, va a subir o va a bajar. Ha subido durante algunos años y ha bajado durante otros tantos. Con la serie por sí sola, no tiene sentido intentar predecir el movimiento.

En resumen, un proceso estocástico es un proceso aleatorio. Un proceso dominado por el azar. Aun así, existen dos tipos. Los procesos estocásticos no estacionarios o caóticos. Y los procesos estocásticos estacionarios que, por sus características, pueden intentar predecirse.

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Proceso estocástico - Definición, qué es y concepto | Economipedia

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Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias que depende de un parámetro o de un argumento. En el análisis de series temporales, ese parámetro es el tiempo. Formalmente, se define como una familia de variables aleatorias Y indiciadas por el tiempo, t.

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Se podria decir que las matrices solamente se utilizan en economia matemática o econometria pero es totalmente falso ya que estas se encuentran implementadas en todos las areas. Por ejemplo se utilizan matrices en macro economia para resolver el probelma de las tres ecuaciones: (Producción) Cuantitativa, (Inflación) Okun y (empleo) Philips. Mediante la relacion que tienen todas por las expectativas de cada uno se puede resolver el problema mediante una matriz que va a dar los valores necesarios para calcular cada variable. Asi como este caso las matemáticas nos ayudan a simplificar o agilitar procesos quantitativos largos.

Video Interactivo de como interpretar valores o variables para formar una matriz.

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Resolver Problemas de Matrices Aplicacion de Operaciones METODO FACIL Y RAPIDO

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Muchas veces cuando se enseñan los comportamientos de los modelos económicos como el equilibrio de oferta y demanda, curvas de isocuantas e isocostos y otros, se empieza por sistemas muy simples con pocas ecuaciones. Sin embargo la realidad es mucho más compleja, pues en la realidad no consumimos un solo bien y no hay solo un productor y un consumidor, sino que hay miles de ellos, y para calcular estos sistemas recurrimos al álgebra lineal, con la que podemos encontrar las soluciones de sistemas de ecuaciones muy complejos.
Un ejemplo de ello es el modelo de equilibrio de mercado, en el que tomamos las ecuaciones de equilibrio de oferta y demanda de muchos productores para encontrar sus precios de equilibrio, y con esto calcular el precio de equilibrio de mercado.

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Ejemplos de cómo las matemáticas han sido usadas en las ciencias económicas

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Ejemplos de cómo las matemáticas han sido usadas en las ciencias económicas

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Beneficios e instrumentos matemáticos utilizados en economía.

Referencias:

Cámara, Á., 2014. Psicothema - APORTACIONES DE LA MATEMÁTICA A LA METODOLOGÍA ECONÓMICA.

Psicothema.com. Recuperado en: http://www.psicothema.com/english/psicothema.asp?id=526

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Con algo tan sencillo como una función lineal los economistas pueden sacar mucha información y se pueden hacer muchos análisis en la vida real. Pues se puede modelizar con la ayuda de funciones lineales las relaciones entre el precio y la oferta o la demanda.  También se puede hablar de la relación lineal entre el número de artículos producidos y el costo total de producción.  En cualquier caso la expresión permite esta relación es y=ax+b, es decir la ecuación de la recta o la función lineal.  Los parámetros a y b son indicadores importantes en el estudio de los fenómenos antes indicados; por ejemplo a representa el costo marginal, la razón de cambio o simplemente la pendiente de la recta; mientras que b representaría por ejemplo el costo de producir 0 unidades cuando estamos hablando de una función de costo.
Les dejo un video en donde nos explica esta aplicación de las funciones linales en la economía.

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Función lineal: aplicación a la economía

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La programación lineal es procedimiento matemático con un método de solución sencillo, por lo que es ampliamente aplicado en muchos campos por su baja complejidad y porque no necesita un amplio conocimiento en matemáticas. Si bien es cierto, la programación lineal es usada para la toma de decisiones  y muchos campos como negocios, logistica, transporte, etc. Sin embargo, también es aplicado en economía y un ejemplo bastante practico e intuitivo es cuando se busca el equilibrio dado las curvas o funciones de oferta y demanda con alguna restricción dentro del mercado. Es decir, programación lineal abarca los problemas donde la función objetivo, relación entre variables y las restricciones sean lineales o de orden 1. Recomendación: Documental Saving Capitalism
Este documental muestra al economista Robert Reich explicando la idea de llevar al capitalismo a sus orígenes, donde se prometía una mejor calidad de vida gracias a los sueldos crecientes, generación de trabajo e industrias sólidas.

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Un modelo de Optimizacin Matemtica consiste en una funcin objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Los modelos de optimizacin son usados en casi todas las reas de toma de decisiones, como en ingeniera de diseo y seleccin de carteras financieras de inversin . Esta pagina web presenta ejemplos focalizados y estructurados para la formulacin de problemas de optimizacin, diseo de la estrategia optima y herramientas de control de calidad que incluyen validacin, verificacin y anlisis post-solucin.

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El Mtodo Simplex Clsico

Programas Lineales Generales con Enteros

Herramientas para el Proceso de Validacin de Modelos

Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al problema constante de mejorar (por ejemplo, optimizar) el rendimiento del sistema. El problema puede ser reducir el costo de operacin y a la vez mantener un nivel aceptable de servicio, utilidades de las operaciones actuales, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, mantener un funcionamiento rentable cumpliendo a la vez con las reglamentaciones gubernamentales establecidas, o "mejorar" un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos. Para identificar la mejora del funcionamiento del sistema, se debe construir una representacin sinttica o modelo del sistema fsico, que puede utilizarse para describir el efecto de una variedad de soluciones propuestas.

Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la realidad sin la presencia de la misma. Una fotografa es un modelo de la realidad ilustrada en la imagen. La presin arterial puede utilizarse como un modelo de la salud de una persona. Una campaa piloto de ventas puede utilizarse como un modelo de la respuesta de las personas a un nuevo producto. Por ltimo, una ecuacin matemtica puede utilizarse como un modelo de la energa contenida en un determinado material. En cada caso, el modelo captura algn aspecto de la realidad que intenta representar.

Ya que un modelo slo captura determinados aspectos de la realidad, su uso puede no ser apropiado en una aplicacin en particular porque no captura los elementos correctos de la realidad. La temperatura es un modelo de las condiciones climticas pero puede ser inapropiado si uno est interesado en la presin baromtrica. Una foto de una persona es un modelo de la misma pero brinda poca informacin acerca de sus logros acadmicos. Una ecuacin que predice las ventas anuales de un producto en particular es un modelo de ese producto pero tiene poca utilidad si lo que nos interesa es el costo de produccin por unidad. Por lo tanto, la utilidad del modelo depende del aspecto de la realidad que representa.

Un modelo puede ser inadecuado aun cuando intenta capturar los elementos apropiados de la realidad si lo hace de una manera distorsionada o sesgada. Una ecuacin que pronostica el volumen mensual de ventas puede ser exactamente lo que el gerente de ventas quiere pero podra generar grandes prdidas si arroja constantemente clculos de ventas altos. Un termmetro que lee de ms (o de menos) tendra poca utilidad para realizar un diagnstico mdico. En consecuencia, un modelo til es aquel que captura los elementos adecuados de la realidad con un grado aceptable de precisin.

Un modelo matemtico es una ecuacin, desigualdad o sistema de ecuaciones o desigualdades, que representa determinados aspectos del sistema fsico representado en el modelo. Los modelos de este tipo se utilizan en gran medida en las ciencias fsicas, en el campo de la ingeniera, los negocios y la economa.

Un modelo ofrece al analista una herramienta que puede manipular en su anlisis del sistema en estudio, sin afectar al sistema en s. Por ejemplo, supngase que se ha desarrollado un modelo matemtico para predecir las ventas anuales como una funcin del precio de venta unitario. Si se conoce el costo de produccin por unidad, se pueden calcular con facilidad las utilidades anuales totales para cualquier precio de venta. Para determinar el precio de venta que arrojar las utilidades totales mximas, se pueden introducir en el modelo distintos valores para el precio de venta, uno a la vez, determinando las ventas resultantes y calculando las utilidades anuales totales para cada valor de precio de venta examinado. Mediante un proceso de prueba y error, el analista puede determinar el precio de venta que maximizar las utilidades anuales totales.

Lo ideal sera que si el modelo matemtico es una representacin vlida del rendimiento del sistema, mediante la aplicacin de las tcnicas analticas adecuadas, la solucin obtenida a partir del modelo debera ser tambin la solucin para el problema del sistema. As, la efectividad de los resultados de la aplicacin de cualquier tcnica operativa es en gran medida una funcin del grado en el cual el modelo representa al sistema en estudio.

A fin de definir las condiciones que nos conducirn a la solucin del problema del sistema, el analista primero debe identificar un criterio segn el cual se podr medir el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento del sistema o medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad generalmente son los costos o las utilidades, mientras que en aplicaciones gubernamentales esta medida generalmente se define en trminos de un ndice costo/beneficio.

El modelo matemtico que describe el comportamiento de la medida de efectividad se denomina funcin objetivo. Si la funcin objetivo es describir el comportamiento de la medida de efectividad, debe capturar la relacin entre esa medida y aquellas variables que hacen que dicha medida flucte. Las variables del sistema pueden categorizarse en variables de decisin y parmetros. Una variable de decisin es una variable que puede ser directamente controlada por el decisor. Tambin existen algunos parmetros cuyos valores pueden ser inciertos para el decisor. Esto requiere un anlisis de sensibilidad despus de descubrir la mejor estrategia. En la prctica, resulta casi imposible capturar la relacin precisa entre todas las variables del sistema y la medida de efectividad a travs de una ecuacin matemtica. En cambio, el analista de IO/CA debe tratar de identificar aquellas variables que afectan en mayor grado la medida de efectividad y luego debe intentar definir de manera lgica la relacin matemtica entre estas variables y la medida de efectividad. Esta relacin matemtica es la funcin objetivo que se emplea para evaluar el rendimiento del sistema en estudio.

La formulacin de una funcin objetivo que tenga sentido normalmente es una tarea tediosa y frustrante. Los intentos de desarrollo de una funcin objetivo pueden terminar en un fracaso. Esto puede darse porque el analista elige el conjunto incorrecto de variables para incluir en el modelo o bien, si el conjunto es el adecuado, porque no identifica correctamente la relacin entre estas variables y la medida de efectividad. En un nuevo intento, el analista trata de descubrir las variables adicionales que podran mejorar su modelo descartando aquellas que parecen tener poca o ninguna relevancia. No obstante, slo se puede determinar si estos factores realmente mejoran el modelo una vez realizadas la formulacin y prueba de nuevos modelos que incluyan las variables adicionales. Todo el proceso de seleccin y rechazo de variables puede requerir reiteraciones mltiples hasta desarrollar una funcin objetivo satisfactoria. En cada iteracin, el analista espera lograr alguna mejora en el modelo, aunque no siempre se tiene tanta buena suerte. Por lo general, el xito final es precedido por una serie de fracasos frustrantes y pequeos progresos.

En cada etapa del proceso de desarrollo, el analista debe evaluar la correspondencia o validez del modelo. Normalmente se emplean dos criterios para realizar esta determinacin. El primero implica la experimentacin del modelo: someter el modelo a una serie de condiciones y registrar los valores asociados de la medida de efectividad dada por el modelo en cada caso. Si la medida de efectividad vara de manera antinatural con una sucesin de condiciones de entrada, es posible que la funcin objetivo no sea vlida. Por ejemplo, supngase que se desarrolla un modelo destinado a calcular el valor de mercado de viviendas unifamiliares. El modelo debe expresar el valor de mercado en dlares como una funcin de la superficie cubierta en pies cuadrados, cantidad de dormitorios, cantidad de baos y tamao del lote. Despus de desarrollar el modelo, el analista lo aplica a la tasacin de distintas viviendas, con distintos valores para las caractersticas mencionadas y descubre que el valor de mercado desciende a medida que aumenta la superficie cubierta expresada en pies cuadrados. Dado que este resultado no concuerda con la realidad, el analista cuestionara la validez del modelo. Por otro lado, supngase que el modelo es tal que el valor de las viviendas es una funcin creciente de cada una de las cuatro caractersticas citadas, como generalmente es de esperar. Si bien este resultado es alentador, no necesariamente implica que el modelo es una representacin vlida de la realidad, dado que la tasa de aumento de cada variable puede ser excesivamente alta o baja. La segunda etapa de la validacin del modelo requiere una comparacin de los resultados del modelo con los resultados obtenidos en la realidad.

Se han realizado grandes esfuerzos por describir complejas situaciones humanas y sociales. Para tener significado, esto debera escribirse en una expresin matemtica que contenga una o ms variables, cuyos valores deben determinarse. La pregunta que se formula, en trminos generales, es qu valores deberan tener estas variables para que la expresin matemtica tenga el mayor valor numrico posible (maximizacin) o el menor valor numrico posible (minimizacin). A este proceso general de maximizacin o minimizacin se lo denomina optimizacin.

La optimizacin, tambin denominada programacin matemtica, sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor produccin o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera ms eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los problemas de optimizacin generalmente se clasifican en lineales y no lineales, segn las relaciones del problema sean lineales con respecto a las variables. Existe una serie de paquetes de software para resolver problemas de optimizacin. Por ejemplo, LINDO o WinQSB resuelven modelos de programas lineales y LINGO y What'sBest! resuelven problemas lineales y no lineales.

La Programacin Matemtica, en general, aborda el problema de determinar asignaciones ptimas de recursos limitados para cumplir un objetivo dado. El objetivo debe representar la meta del decisor. Los recursos pueden corresponder, por ejemplo, a personas, materiales, dinero o terrenos. Entre todas las asignaciones de recursos admisibles, queremos encontrar la/s que maximiza/n o minimiza/n alguna cantidad numrica tal como ganancias o costos.

El objetivo de la optimizacin global es encontrar la mejor solucin de modelos de decisiones difciles, frente a las mltiples soluciones locales.

La Programacin Lineal (PL) es un procedimiento matemtico para determinar la asignacin ptima de recursos escasos. La PL es un procedimiento que encuentra su aplicacin prctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificacin de la produccin. Problemas de transporte, distribucin, y planificacin global de la produccin son los objetos ms comunes del anlisis de PL. La industria petrolera parece ser el usuario ms frecuente de la PL. Un gerente de procesamiento de datos de una importante empresa petrolera recientemente calcul que del 5% al 10% del tiempo de procesamiento informtico de la empresa es destinado al procesamiento de modelos de PL y similares.

La programacin lineal aborda una clase de problemas de programacin donde tanto la funcin objetivo a optimizar como todas las relaciones entre las variables correspondientes a los recursos son lineales. Este problema fue formulado y resuelto por primera vez a fines de la dcada del 40. Rara vez una nueva tcnica matemtica encuentra una gama tan diversa de aplicaciones prcticas de negocios, comerciales e industriales y a la vez recibe un desarrollo terico tan exhaustivo en un perodo tan corto. Hoy en da, esta teora se aplica con xito a problemas de presupuestos de capital, diseo de dietas, conservacin de recursos, juegos de estrategias, prediccin de crecimiento econmico y sistemas de transporte. Recientemente la teora de la programacin lineal tambin contribuy a la resolucin y unificacin de diversas aplicaciones.

Es importante que el lector entienda desde el comienzo que el trmino "programacin" tiene un significado distinto cuando se refiere a Programacin Lineal que cuando hablamos de Programacin Informtica. En el primer caso, significa planificar y organizar mientras que en el segundo caso, significa escribir las instrucciones para realizar clculos. La capacitacin en una clase de programacin tiene muy poca relevancia directa con la otra clase de programacin. De hecho, el trmino "programacin lineal" se acu antes de que la palabra programacin se relacionara con el software de computacin. A veces se evita esta confusin utilizando el trmino optimizacin lineal como sinnimo de programacin lineal.

Cualquier problema de PL consta de una funcin objetivo y un conjunto de restricciones. En la mayora de los casos, las restricciones provienen del entorno en el cual usted trabaja para lograr su objetivo. Cuando usted quiere lograr el objetivo deseado, se dar cuenta de que el entorno fija ciertas restricciones (es decir, dificultades, limitaciones) para cumplir con su deseo (vale decir, el objetivo). Es por eso que las religiones, como el Budismo entre otras, prescriben vivir una vida abstemia. Sin deseo, no hay dolor. Puede usted seguir este consejo con respecto a su objetivo de negocios?

Qu es una funcin: una funcin es una cosa que hace algo. Por ejemplo, una mquina de moler caf es una funcin que transforma los granos de caf en polvo. La funcin (objetivo) traza, traduce el dominio de entrada (denominado regin factible) en un rango de salida con dos valores finales denominados valores mximo y mnimo.

Cuando se formula un problema de toma de decisiones como un programa lineal, se deben verificar las siguientes condiciones:

Por ejemplo, el siguiente problema no es un problema de PL: Max X, sujeta a < 1. Este problema tan sencillo no tiene solucin.

Como siempre, se debe tener cuidado al categorizar un problema de optimizacin como un problema de PL. El siguiente problema es un problema de PL?

Aunque la segunda restriccin parece "como si" fuera una restriccin no lineal, esta restriccin puede escribirse tambin de la siguiente forma:
X1 ³ -2, y X2 £ 2.
En consecuencia, el problema es de hecho un problema de PL.

Para la mayora de los problemas de PL, podemos decir que existen dos tipos importantes de objetos: en primer lugar, los recursos limitados, tales como terrenos, capacidad de planta, o tamao de la fuerza de ventas; en segundo lugar, las actividades, tales como "producir acero con bajo contenido de carbono", y "producir acero con alto contenido de carbono". Cada actividad consume o probablemente contribuye cantidades adicionales de recursos. Debe haber una funcin objetivo, es decir, una manera de discriminar una mala de una buena o una mejor decisin. El problema es determinar la mejor combinacin de niveles de actividades, que no utilice ms recursos de los disponibles. Muchos gerentes se enfrentan a esta tarea todos los das. Afortunadamente, el software de programacin lineal ayuda a determinar esto cuando se ingresa un modelo bien formulado.

El mtodo Simplex es un algoritmo de solucin muy utilizado para resolver programas lineales. Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

Todo programa lineal consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisin, los parmetros, la funcin objetivo y un conjunto de restricciones. Al formular un determinado problema de decisin en forma matemtica, debe practicar la comprensin del problema (es decir, formular un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formlese las siguientes preguntas generales:

Recuerde que la regin factible tiene poco o nada que ver con la funcin objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier formulacin de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La funcin objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la regin factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas limitaciones / condiciones para lograr su objetivo.

A continuacin, se incluye un problema ilustrativo muy sencillo. Sin embargo, el abordaje del problema es igual para una gran variedad de problemas de toma de decisin, mientras que el tamao o la complejidad pueden variar. El primer ejemplo es un problema de mix de productos y el segundo es un problema de mezcla.

El objetivo es determinar cuntas mesas y sillas debera fabricar para maximizar sus ingresos netos. Comenzamos concentrndonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificacin, , para revisar nuestra solucin semanalmente, si fuera necesario. Para saber ms acerca de este problema, debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para para formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.

El problema del carpintero se trata de determinar cuntas mesas y sillas debe fabricar por semana; pero primero se debe establecer una funcin objetivo La funcin objetivo es: 5X1 + 3X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y 3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en dlares o dcimas de dlares) de la venta de una mesa y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son las limitaciones de la mano de obra (esta limitacin proviene de la familia del carpintero) y los recursos de materia prima (esta limitacin proviene de la entrega programada). Se miden los tiempos de produccin requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del da y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son slo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, la formulacin de PL es la siguiente:

Maximizar 5 X1 + 3 X2

Sujeta a:
2 X1 + X2 £ 40 restriccin de mano de obra
X1 + 2 X2 £ 50 restriccin de materiales
tanto X1 como X2 son no negativas.

Este es un modelo matemtico para el problema del carpintero. Las variables de decisin, es decir, las entradas controlables son X1, y X2. La salida o el resultado de este modelo son los ingresos netos totales 5 X1 + 3 X2. Todas las funciones empleadas en este modelo son lineales (las variables de decisin estn elevadas a la primera potencia). El coeficiente de estas restricciones se denomina denomina Factores Tecnolgicos (matriz). El perodo de revisin es de una semana, un perodo conveniente dentro del cual es menos probable que cambien (flucten) las entradas controlables (todos los parmetros tales como 5, 50, 2,..). Incluso en un plazo de planificacin tan corto, debemos realizar el anlisis what-if o de hiptesis para responder a cualquier cambio en estas entradas a los efectos de controlar el problema, es decir, actualizar la solucin prescripta.

Ntese que dado que el Carpintero no va a ir a la quiebra al final del plazo de planificacin, agregamos las condiciones que tanto X1 como X2 deben ser no negativas en lugar de los requerimientos que X1 y X2 deben ser nmeros enteros positivos. Recuerde que las condiciones de no negatividad tambin se denominan "restricciones implcitas". Nuevamente, un Programa Lineal funcionara bien para este problema si el Carpintero contina fabricando estos productos. Los artculos parciales simplemente se contaran como trabajos en proceso y finalmente se transformaran en productos terminados, en la siguiente semana.

Podemos intentar resolver X1 y X2 enumerando posibles soluciones para cada una y seleccionado el par (X1, X2) que maximice 5X1 + 3X2 (los ingresos netos). Sin embargo, lleva mucho tiempo enumerar todas las alternativas posibles y si no se enumeran todas las alternativas, no podemos estar seguros de que el par seleccionado (como una solucin) es la mejor de todas las alternativas. Otras metodologas preferidas (ms eficientes y efectivas), conocidas como las Tcnicas de Soluciones de Programacin Lineal estn disponibles en el mercado en ms de 4000 paquetes de software de todo el mundo.

La solucin ptima, es decir, la estrategia ptima, , es establecer X1 = 10 mesas y X2 = 20 sillas. Programamos las actividades semanales del carpintero para que fabrique 10 mesas y 20 sillas. Con esta estrategia (ptima), los ingresos netos son de US$110. Esta . Esta solucin prescripta sorprendi al carpintero dado que debido a los mayores ingresos netos provenientes de la venta de una mesa (US$5), el sola fabricar ms mesas que sillas.

Contratar o no contratar a un ayudante? Supngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, por cuntas horas?

X3 es la cantidad de horas extra, entonces el problema modificado es:

Maximizar 5 X1 + 3 X2 - 2 X3

Sujeta a:
2 X1 + X2 £ 40 + X3 restriccin de la mano de obra con horas adicionales desconocidas
X1 + 2 X2 £ 50 restriccin de materiales

En esta nueva condicin, veremos que la solucin ptima es X1 = 50, X2 = 0, X3 = 60, con ingresos netos ptimos de US$130. Por lo tanto, el carpintero debera contratar a un ayudante por 60 horas. Qu pasara si slo lo contrata por 40 horas? La respuesta a esta pregunta y a otros tipos de preguntas del estilo "qu pasara si" (what-if) se estudia en la seccin sobre anlisis de sensibilidad en este sitio Web.

Esto es una pregunta de programacin linear. Una porcin de un cambio del aceite o del ajuste no es factible.
X1 = Cambios del aceite, ajuste
X2 = Ajuste

Maximizar 7X1 + 15X2

El coste de trabajo de $10 por hora no se requiere para formatar el problema desde el beneficio por cambio del aceite y el ajuste toma en la consideracin el coste de trabajo.

Finanzas: el problema del inversor podra ser un problema de seleccin del mix de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas ms restricciones distintas. Otro problema de decisin implica determinar la combinacin de mtodos de financiacin para una cantidad de productos cuando existe ms de un mtodo de financiacin disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del mtodo de financiacin. Por ejemplo, se puede financiar con fondos internos, con deuda a corto plazo o con financiacin intermedia (crditos amortizados). Puede haber limitaciones con respecto a la disponibilidad de cada una de las opciones de financiacin, as como tambin restricciones financieras que exijan determinadas relaciones entre las opciones de financiacin a los efectos de satisfacer los trminos y condiciones de los prstamos bancarios o financiacin intermedia. Tambin puede haber lmites con respecto a la capacidad de produccin de los productos. Las variables de decisin seran la cantidad de unidades que deben ser financiadas por cada opcin de financiacin.

Administracin de Produccin y Operaciones: muchas veces en las industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefaccionar y distintas clases de aceite para motor. Segn el margen de ganancia actual de cada producto, el problema es determinar la cantidad que se debera fabricar de cada producto. Esta decisin est sujeta a numerosas restricciones tales como lmites de las capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima, demandas de cada producto y polticas gubernamentales con respecto a la fabricacin de determinados productos. En la industria de productos qumicos y de procesamiento de alimentos existen problemas similares.

Recursos Humanos: los problemas de planificacin de personal tambin se pueden analizar con programacin lineal. Por ejemplo, en la industria telefnica, la demanda de servicios de personal de instalacin / reparacin son estacionales. El problema es determinar la cantidad de personal de instalacin / reparacin y reparacin de lneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada mes a fin de minimizar los costos totales de contratacin, despido, horas extras y salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra, acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para contratar. Este ejemplo es opuesto a la hiptesis de divisibilidad. Sin embargo, los niveles de fuerza laboral de cada mes normalmente son lo suficientemente altos como para poder redondear al nmero entero ms cercano sin problemas, siempre y cuando no se violen las restricciones.

Marketing: se puede utilizar la programacin lineal para determinar el mix adecuado de medios de una campaa de publicidad. Supngase que los medios disponibles son radio, televisin y diarios. El problema es determinar cuntos avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocacin de un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la campaa publicitaria, sujeto a una serie de restricciones. Dado que cada medio puede proporcionar un grado diferente de exposicin a la poblacin meta, puede haber una cota inferior con respecto a la exposicin de la campaa. Asimismo, cada medio puede tener distintos ratings de eficiencia para producir resultados deseables y por consiguiente puede haber una cota inferior con respecto a la eficiencia. Adems, puede haber lmites con respecto a la disponibilidad para publicar en cada medio.

Distribucin: otra aplicacin de programacin lineal es el rea de la distribucin. Considere un caso en el que existen m fbricas que deben enviar productos a n depsitos. Una determinada fbrica podra realizar envos a cualquier cantidad de depsitos. Dado el costo del envo de una unidad del producto de cada fbrica a cada depsito, el problema es determinar el patrn de envo (cantidad de unidades que cada fbrica enva a cada depsito) que minimice los costos totales. Este decisin est sujeta a restricciones que exigen que cada fbrica no pueda enviar ms productos de los que tiene capacidad para producir.

Procedimiento para el Mtodo Grfico de Solucin de Problemas de PL:

Recuerde que las restricciones de PL proporcionan los vrtices y las esquinas. Un vrtice es la interseccin de 2 lneas o en general, n hiperplanos en problemas de PL con n variables de decisin. Una esquina es un vrtice que adems es factible.

Un Ejemplo Numrico: El Problema del Carpintero

Maximizar 5 X1 + 3 X2

Nota: Existe una alternativa del abordaje de la funcin objetivo de igual valor (funcin iso) con problemas que tienen pocas restricciones y una regin factible acotada. Primero busque todas las esquinas, tambin llamadas puntos extremos. Luego, evale la funcin objetivo en los puntos extremos para llegar al valor ptimo y a la solucin ptima.

Por ejemplo, en el problema del carpintero, la regin factible convexa proporciona los puntos extremos con las coordenadas que figuran en la siguiente Tabla:

Dado que el objetivo es maximizar, de la tabla anterior surge que el valor ptimo es 110, el cual se obtiene si el carpintero sigue la estrategia ptima de X1 = 10 y X2 = 20.

La principal deficiencia del mtodo grfico es que se limita a resolver problemas lineales que tengan slo 1 o 2 variables de decisin. Sin embargo, la conclusin principal y til a la que podemos arribar a partir del anlisis de los mtodos grficos es la siguiente:
Si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los puntos extremos. .

La prueba de esta afirmacin surge de los resultados de los siguientes dos hechos:

Hecho N 1: La regin factible de cualquier programa lineal es siempre un conjunto convexo.

Debido a que todas las restricciones son lineales, la regin factible (R.F.) es un polgono. Adems, este polgono es un conjunto convexo. En cualquier problema de PL que tenga ms de dos dimensiones, los lmites de la regin factible son partes de los hiperplanos, y la regin factible en este caso se denomina poliedro y tambin es convexa. Un conjunto convexo es aquel en el cual si se eligen dos puntos factibles, todos los puntos en el segmento de la lnea recta que une estos dos puntos tambin son factibles. La prueba de que la regin factible de los programas lineales son siempre conjuntos convexos surge por contradiccin. Las siguientes figuras ilustran ejemplos de los dos tipos de conjuntos: un conjunto no convexo y un conjunto convexo.

El conjunto de la regin factible en cualquier programa lineal se denomina poliedro y si est acotado se denomina politopo.

Hecho N 2: El valor iso de una funcin objetivo de un programa lineal es siempre una funcin lineal.

Este hecho surge de la naturaleza de la funcin objetivo de cualquier problema de PL. Las siguientes figuras ilustran las dos clases tpicas de funciones objetivo de igual valor (funcin iso).

De la combinacin de los dos hechos expresados arriba surge que si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los puntos extremos.

Para superar la deficiencia del mtodo grfico, utilizaremos esta conclusin til y prctica en el desarrollo de un mtodo algebraico aplicable a problemas de PL multidimensionales.

La convexidad de la regin factible de los programas lineales facilita la resolucin de problemas de PL. Debido a esta propiedad y a la linealidad de la funcin objetivo, la solucin es siempre uno de los vrtices. Asimismo, dado que la cantidad de vrtices es limitada, todo lo que debemos hacer es buscar todos los vrtices factibles y luego evaluar la funcin objetivo en dichos vrtices para encontrar el punto ptimo.

En el caso de programas no lineales, el problema es mucho ms difcil de resolver porque la solucin podra estar en cualquier parte dentro de la regin factible, en el lmite de la regin factible o en un vrtice.

Por suerte, la mayora de los problemas de optimizacin empresarial son lineales y es por eso que la PL es tan popular. Hoy en da, existen ms de 400 paquetes de software en el mercado para resolver problemas de PL. La mayora se basa en la bsqueda de vrtices. Esto equivale a pasar de un vrtice a otro cercano en busca de un punto ptimo.

Vnculo entre Programacin Lineal y Sistemas de Ecuaciones
George Dantzig la programacin lineal es estrictamente "la teora y la solucin de sistemas lineales de desigualdad". Probablemente ya ha notado que las soluciones bsicas de un programa lineal son las soluciones de los sistemas de ecuaciones que constan de restricciones en una posicin obligatoria.
Por ejemplo, en el caso del Problema del Carpintero, se pueden calcular todas las soluciones bsicas, tomando dos ecuaciones cualquiera y resolvindolas al mismo tiempo. Luego, se utilizan las restricciones de las otras ecuaciones para verificar la factibilidad de esta solucin. Si es factible, esta solucin es una solucin bsica factible que proporciona las coordenadas de un punto extremo de la regin factible. Para ilustrar el procedimiento, considere las restricciones del Carpintero en la posicin obligatoria (es decir todas con signo =):

2X1 + X2 = 40
X1 + 2X2 = 50
X1 = 0
X2 = 0

Aqu tenemos 4 ecuaciones con 2 incgnitas. Existen como mximo C ⁴ 2 = 4! / (2! 2!) = 6 soluciones bsicas. Si resolvemos los seis sistemas de ecuaciones resultantes tenemos:

Seis Soluciones Bsicas con Cuatro Soluciones Bsicas Factibles

Cuatro de las soluciones bsicas que figuran arriba son soluciones bsicas factibles que satisfacen todas las restricciones y pertenecen a los vrtices de la regin factible. Al incluir la solucin bsica factible en la funcin objetivo, podemos calcular el valor ptimo. Entonces, de la tabla anterior surge que la solucin ptima es X1 = 10, X2 = 20, con un valor ptimo de US$110. Este abordaje puede aplicarse para resolver problemas de PL de ms dimensiones.

Extensin a Mayores Dimensiones
El Mtodo Grfico se limita a resolver problemas de PL con una o dos variables de decisin. Sin embargo, proporciona una clara ilustracin de dnde se encuentran las regiones factibles y no factibles as como tambin los vrtices. Desarrollar una comprensin visual del problema contribuye a un proceso de pensamiento ms racional. Por ejemplo, ya vimos que: si un programa lineal tiene una regin factible acotada no vaca, la solucin ptima es siempre uno de los vrtices de su regin factible (una esquina o punto extremo). Como resultado, lo que debemos hacer es buscar todos los puntos de interseccin (vrtices) y luego examinar cul de todos los vrtices factibles proporciona la solucin ptima. Ahora, aplicando conceptos de Geometra Analtica, sortearemos esta limitacin de la visin humana. El Mtodo Algebraico est diseado para extender los resultados del mtodo grfico a problemas de PL multidimensionales, tal como se ilustra en el siguiente ejemplo numrico.
Ejemplo Numrico: el Problema del Transporte
El objetivo es encontrar la manera ms efectiva de transportar productos. La siguiente tabla presenta un resumen de la oferta y la demanda en cada origen (por ejemplo: el depsito) O1, O2 y destino (por ejemplo: el mercado) D1 y D2, junto con el costo unitario de transporte.

Matriz de Costo Unitario de Transporte

Xij representa la cantidad de productos enviados desde el origen i hasta el destino j. La formulacin de PL del problema de minimizacin del costo total de transporte es la siguiente:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

Sujeta a:
X11 + X12 = 200
X21 + X22 = 100
X11 + X21 = 150
X12 + X22 = 150
todas Xij ³ 0

Como este problema de transporte es equilibrado (oferta total = demanda total) todas las restricciones estn en forma de igualdad. Adems, cualquiera de las restricciones es redundante (si se suman dos restricciones cualquiera y se resta otra obtenemos la restriccin restante). Borremos la ltima restriccin. El problema entonces queda as:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

Sujeta a:
X11 + X12 = 200
X21 + X22 = 100
X11 + X21 = 150
todas Xij ³ 0

Este problema de PL no se puede resolver mediante el mtodo grfico. Sin embargo, el mtodo algebraico no tiene ninguna limitacin con respecto a la dimensin de PL. Ntese que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisin restringidas. Fijando cualquiera de las variables en cero obtenemos:

0

200

150

-50

No factible

200

0

-50

150

No factible

150

50

0

100

8500

50

150

100

0

6500*

Ahora poniendo cualquier y dos (o ms) las variables para poner cero de a, es fcil de ver, inspeccionando las tres ecuaciones que todas las otras soluciones son no factible.

Por lo tanto, la estrategia ptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con un costo total de transporte mnimo de US$6.500.

Si lo desea, puede resolver este problema con Modul Net.Exe en el paquete WinQSB para verificar estos resultados.

Para obtener una versin ms detallada del Mtodo Algebraico, visite el sitio Toward the Simplex Method

Conceptos y Tcnicas de Aprendizaje Asistidos por Computadora
Debemos ser precavidos al cuestionar nuestra intuicin y demostrar porqu debemos aprender mediante un instrumento que en este curso es un paquete de software. Todos los alumnos de Fsica y Qumica realizan experimentos en los laboratorios para conocer bien los temas de estos dos campos de estudio. Usted tambin debe realizar experimentos para comprender los conceptos de la Ciencia de Administracin. Por ejemplo, debe utilizar paquetes de software para realizar anlisis what-if o de hiptesis. El software le permite observar los efectos de la variacin de los valores dados.
Los programas lineales reales siempre se resuelven por computadora. Por lo general las computadoras utilizan el mtodo simplex para llegar a las soluciones. Los coeficientes de la funcin objetivo se denominan coeficientes de costos (porque histricamente durante la Segunda Guerra Mundial, el primer problema de PL fue un problema de minimizacin de costos), coeficientes tecnolgicos y valores RHS (o valores del lado derecho). Esta es la manera perfecta de aprender conceptos del anlisis de sensibilidad. Como usuario, usted puede darse el lujo de ver resultados numricos y compararlos con lo que usted espera ver.

El paquete LINDO es un software muy utilizado para problemas de PL. Se puede bajar una versin para Windows gratuita en la pgina Home de LINDO en LINDO, http://www.lindo.com. En este sitio se explica como ejecutar e interpretar los resultados del paquete LINDO.

Precaucin! Antes de utilizar cualquier software, verifique que sea confiable.

Aqu encontrar una Gua de Software de PL para su revisin: LP Software Guide.

Cmo Interpretar los Resultados del Paquete de Software LINDO
En este curso, utilizamos paquetes de software con dos objetivos distintos. Queremos realizar muchos experimentos numricos utilizando paquetes de software como herramientas para resolver muchos problemas a fin de ver por nosotros mismos, y comprender todos los conceptos tericos (como por ejemplo, los precios sombra) contenidos en los temas del curso. Esto comprende tambin las herramientas de computacin disponibles en la Web. Por ltimo, aprendemos a usar e interpretar los resultados de los paquetes de software a fin de resolver problemas prcticos de gran tamao.
Lindo es un paquete de software muy popular que resuelve problemas lineales. La aplicacin LP/ILP de WinQSB realiza las mismas operaciones que Lindo pero de una manera mucho ms fcil de usar.
El nombre LINDO es la abreviatura en ingls de Linear INteractive Discrete O ptimization (Optimizacin Lineal Discreta e INteractiva). Aqu la palabra "discreta" significa pasar de una solucin factible bsica a la siguiente en lugar de desplazarse por toda la regin factible en busca de la solucin bsica factible ptima (si la hubiere).

Al igual que todos los paquetes de PL, tal como WinQSB, Lindo emplea el mtodo simplex. Junto con la solucin del problema, el programa tambin proporciona un anlisis comn de sensibilidad de los Coeficientes de la Funcin Objetivo (denominados Coeficientes de Costos) y el RHS de las restricciones. A continuacin, presentamos una explicacin de los resultados del paquete LINDO.

Supngase que usted desea correr el Problema del Carpintero. Inicie el paquete LINDO (o WinQSB). Desde el teclado escriba lo siguiente en la venta actual:

{MAX 5X1 + 3X2, Sujeta a 2X1 + X2 < 40 X1 + 2X2 < 50, Fin }

NOTA:

1. La funcin objetivo no debera contener ninguna restriccin. Por ejemplo, no se puede ingresar Max 2X1 + 5.

2. Todas las variables deben aparecer en el lado izquierdo de las restricciones, mientras que los valores numricos deben aparecer en el lado derecho de las restricciones (es por eso que a estos nmeros se los denomina valores RHS o valores del lado derecho).

3. Se presupone que todas las variables son no negativas. No ingrese las condiciones de no negatividad.

Si desea obtener todas Tablas Simplex, entonces

Haga clic en "Reports" (Informes) y luego elija "Tableau" (Tabla), luego haga clic en "Solve" (Resolver) y elija "Pivot" haga clic en "OK" (Aceptar), "Close" (Cerrar), "Cancel" (Cancelar), contine de esta manera hasta que aparezca el mensaje "Do? Range (Sensitivity) Analysis" (Desea realizar un anlisis de rango [de sensibilidad]?). Seleccione "Yes" (S), si lo desea. Despus de minimizar la ventana actual, ver el resultado que puede imprimir para su anlisis gerencial.

De lo contrario, haga clic en "Solve" (Resolver), y luego elija "Solve" (Resolver).

Es conveniente copiar el problema de PL de la primera ventana y luego pegarlo en la parte superior de la pgina de resultado.
En la parte superior de la pgina aparece la tabla inicial y a lo largo de la parte superior de la tabla figuran las variables. La primera fila de la tabla es la funcin objetivo. La segunda fila es la primera restriccin. La tercera fila es la segunda restriccin y as sucesivamente hasta enumerar todas las restricciones en la tabla.

Despus de la tabla inicial aparece un enunciado que indica la variable de entrada y la variable de salida. La variable de salida est expresada como la fila donde se colocar la variable de entrada. Luego se imprime la primera tabla de iteraciones. Se sigue ingresando sentencias y continan las iteraciones de la tabla continan hasta llegar a la solucin ptima.

La siguiente sentencia, `LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2' (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 2) indica que se encontr la solucin ptima en la iteracin 2 de la tabla inicial. Inmediatamente debajo aparece el ptimo del valor de la funcin objetivo. Este es el dato ms importante que le interesa a todo gerente.

Muchas veces, aparecer un mensaje que lo sorprender: "LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0" (OPTIMO DE PL ENCONTRADO EN EL PASO 0). Cmo puede ser paso 0? No es necesario primero desplazarse para encontrar un resultado...? Este mensaje es muy confuso. Lindo lleva un registro en su memoria de todas la actividades previas realizadas antes de resolver cualquier problema que usted ingrese. Por lo tanto, no muestra exactamente cuntas iteraciones fueron necesarias para resolver el problema en cuestin. A continuacin presentamos una explicacin detallada y una solucin para saber con exactitud la cantidad de iteraciones: Supngase que usted corre el problema ms de una vez o resuelve un problema similar. Para saber cuntas iteraciones lleva realmente resolver un problema en particular, debe salir de Lindo y luego reingresar, volver a escribir y a presentar el problema. De esta manera aparecer la cantidad exacta de vrtices (excluyendo el origen) visitados para llegar a la solucin ptima (si es que existe) en forma correcta.

Despus de esto sigue la solucin del problema, es decir la estrategia para fijar las variables de decisin a fin de lograr el valor ptimo antes mencionado. Esto aparece con una columna de variables y una columna de valores. La columna de valores contiene la solucin del problema. La reduccin de costos asociada con cada variable se imprime a la derecha de la columna de valores. Estos valores se toman directamente de la tabla simplex final. La columna de valores proviene del RHS. La columna de reduccin de costos proviene directamente de la fila indicadora.

Debajo de la solucin, aparecen los valores de las variables de holgura / excedente de la tabla final. Los valores de las variables de holgura / excedente para la solucin final figuran en la columna `SLACK OR SURPLUS' (HOLGURA O EXCEDENTE). Los precios sombra relacionados aparecen a la derecha. Recuerde: Holgura representa la cantidad que sobra de un recurso y Excedente representa el exceso de produccin.

La restriccin obligatoria se puede encontrar buscando la variable de holgura / excedente con el valor de cero. Luego, examine cada restriccin para encontrar la que tenga slo esta variable especificada. Otra manera de expresar esto es buscar la restriccin que exprese igualdad en la solucin final.

Debajo, aparece el anlisis de sensibilidad de los coeficientes de costos (es decir de los coeficientes de la funcin objetivo). Cada parmetro de coeficiente de costos puede variar sin afectar la solucin ptima actual. El valor actual del coeficiente se imprime junto con los valores de lmite superior e inferior permitidos para que la solucin siga siendo ptima.

Debajo aparece el anlisis de sensibilidad para el RHS. La columna de "filas" imprime el nmero de fila del problema inicial. Pro ejemplo, la primera fila impresa ser la dos porque la fila uno es la funcin objetivo. La primera restriccin es la fila dos. El RHS de la primera restriccin est representado por la fila dos. A la derecha, aparecen los valores para los cuales el valor RHS puede cambiar manteniendo la validez de los precios sombra.

Ntese que en la tabla simplex final, los coeficientes de las variables de holgura / excedente en la fila objetivo proporcionan la unidad del valor del recurso. Estos nmeros se denominan precios sombra o precios duales. Debemos tener cuidado al aplicar estos nmeros. Slo sirven para pequeos cambios en las cantidades de recursos (es decir, dentro de los rangos de sensibilidad del RHS).

Cmo crear condiciones de no negatividad (variables libres): Por omisin, prcticamente todos los paquetes de software de resolucin de problemas de PL (como por ejemplo LINDO) presuponen que todas las variables son no negativas.

Para cumplir con este requerimiento, convierta cualquier variable no restringida Xj en dos variables no negativas reemplazando cada Xj por y - Xj. Esto aumenta la dimensionalidad del problema slo en uno (introducir una variable y) independientemente de cuntas variables sean no restringidas.

Si cualquier variable Xj est restringida a ser no positiva, reemplace cada Xj por - Xj. Esto reduce la complejidad del problema.

Resuelva el problema convertido y luego vuelva a ingresar los valores de las variables originales.

Ejemplos Numricos

Maximizar -X1
sujeta a:
X1 + X2 ³ 0,
X1 + 3X2 £ 3.

El problema convertido es:

Maximizar -y + X1
sujeta a:
-X1 - X2 + 2y ³ 0,
-X1 - 3X2 + 4y £ 3,
X1 ³ 0,
X2 ³ 0,
and y ³ 0.

La solucin ptima para las variables originales es: X1 = 3/2 - 3 = -3/2, X2 = 3/2 - 0 = 3/2, con valor ptimo de 3/2.

Para detalles acerca de los algoritmos de solucin, visite el sitio Web Artificial-Free Solution Algorithms, ejemplo N 7.

Implementaciones de Computacin con el Paquete WinQSB
Utilice el mdulo LP/ILP de su paquete WinQSB para cumplir dos objetivos: resolver grandes problemas y realizar experimentos numricos para comprender los conceptos presentados en las secciones LP y ILP.
Tipo de variable: seleccione el tipo de variable desde la pantalla "Problem Specification" (Especificacin del Problema) (la primera pantalla que aparece al ingresar un nuevo problema); para programacin lineal, utilice la opcin predeterminada "Continuous" (Continua).

Formato de datos de entrada: seleccione el formato de datos de entrada desde la pantalla "Problem Specification" (Especificacin del Problema). Normalmente, es preferible utilizar el formato Matrix (Matriz) para ingresar los datos. En el formato Normal, el modelo aparece ya ingresado. Este formato puede ser ms conveniente cuando se debe resolver un problema grande con muchas variables. Puede desplazarse por los formatos seleccionando el botn "Switch to the" (Cambiar a ...) del men Format (Formato).

Identificacin de Variables / Restricciones: es conveniente cambiar los nombres de las variables y las restricciones para facilitar la identificacin del contexto que representan. Los nombres de las variables y las restricciones se pueden cambiar desde el men Edit (Edicin).

Autoajuste de ancho de columnas (Best Fit): Con el botn "best fit" del men Format (Formato) cada columna puede tener su propio ancho.

Resolver buscando la solucin ptima (si es que existe): Seleccione "Solve the problem" (Resolver el problema) desde el men "Solve and Analyze" (Resolver y Analizar), o utilice el cono "Solve" (Resolver) que se encuentra en la parte superior de la pantalla. Esto genera un "Combined Report" (Informe Combinado) que brinda la solucin y los resultados adicionales (reduccin de costos, rangos de optimalidad, holgura / excedente, rango de factibilidad y precios sombra).

Resolver mediante el Mtodo Grfico: seleccione el mtodo grfico desde el men "Solve and Analyze" (Resolver y Analizar) (slo se puede utilizar para problemas de dos variables). Tambin puede hacer clic en el cono Graph (Grfico) en la parte superior de la pantalla. Puede ajustar los rangos X-Y despus de resolver el problema y de que aparezca el grfico. Elija el men Option (Opcin) y seleccione los nuevos rangos desde la lista desplegable.

Soluciones Optimas Alternas (si es que existen): despus de resolver el problema, si aparece un mensaje que le informa: "Alternate solution exists!!" (Existe una solucin alterna!!), para ver todas las soluciones ptimas de los puntos extremos elija el men Results (Resultados) y luego seleccione "Obtain alternate optimal" (Obtener ptimo alterno). Visite tambin la seccin Soluciones Mltiples de este sitio Web para ver algunas advertencias.

Notas:

Utilice el archivo de Ayuda ("Help") del paquete WinQSB para aprender cmo funciona.

Para ingresar problemas en el software QSB; para una restriccin tal como X1 + X2 ³ 50, el coeficiente es 1 y debe ingresarse de esta manera en el software. Para cualquier variable que no se utilice en esa restriccin en particular (por ejemplo si el problema tuviera X3 pero no fuera parte de la restriccin mencionada) simplemente deje la celda en blanco para esa restriccin.

Puede cambiar la direccin de una restriccin haciendo clic en la celda.

Para construir el dual de un determinado problema, haga clic en Format (Formato), luego seleccione "Switch to the Dual Form" (Cambiar a la forma dual).

Cmo Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales Utilizando un Software de PL?
Ya dijimos que en el Mtodo Algebraico de resolucin de problemas de PL, debemos resolver algunos sistemas de ecuaciones. Por consiguiente, existe un vnculo entre los paquetes de software para resolver problemas de PL y aquellos que sirven para resolver sistemas de ecuaciones. Supngase que tenemos un sistema de ecuaciones muy grande que queremos resolver y tenemos un paquete de software de resolucin de problemas de PL pero no tenemos ningn paquete de resolucin de sistemas de ecuaciones. La pregunta es "Cmo se puede utilizar un paquete de software de PL para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones?" Los siguientes pasos esbozan el proceso de resolucin de cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante un paquete de resolucin de problemas de PL.
1- Debido a que los paquetes de resolucin de problemas de PL requieren que todas las variables sean no negativas, por cada variable substituya Xi = Yi - T en todas partes.
2- Cree un objetivo artificial, como por ejemplo minimizar T
3- Las restricciones del problema de PL son las ecuaciones del sistema despus de las sustituciones mencionadas en el paso 1.

Ejemplo numrico: resolver el siguiente sistema de ecuaciones

2X1 + X2 = 3
X1 -X2 = 3

Dado que el paquete WinQSB acepta PL en diversos formatos (a diferencia de LINDO), la resolucin del problema utilizando WinQSB es sencilla:

Primero, cree una PL con un objetivo artificial como por ejemplo Max X1, sujeta a 2X1 + X2 = 3, X1 - X2 = 3, y tanto X1 como X2 sin restriccin de signo. Luego, ingrese esta PL en el mdulo LP/ILP para arribar a la solucin.

Si usted utiliza un paquete de software de PL que requiere que todas las variables sean no negativas, primero substituya X1 = Y1 - T y X2 = Y2 - T en ambas ecuaciones. Tambin necesitamos una funcin objetivo. Fijemos una funcin objetivo artificial como por ejemplo minimizar T. El resultado es la siguiente PL:

Min T

Sujeta a:
2Y1 + Y2 - 3T = 3,
Y1 - Y2 = 3.

Utilizando cualquier software de PL, como Lindo o WinQSB, llegamos a la solucin ptima Y1 = 3, Y2 = 0, T = 1. Ahora, sustituya esta solucin de PL en ambas transformaciones X1 = Y1 - T y X2 = Y2 - T. Esto nos da los valores numricos para nuestras variables originales. Por ende, la solucin del sistema de ecuaciones es X1 = 3 - 1 = 2, X2 = 0 - 1 = -1, la cual se puede verificar fcilmente.

Problema Dual: Construccin y Significado
Asociado a cada problema (primario) de PL existe un problema correspondiente denominado problema dual. La siguiente clasificacin de las restricciones de las variables de decisin resulta til y fcil de recordar para construir el problema dual.
------------------------------------------------------------------------------

Construccin del Problema Dual

Objetivo: Max (por ejemplo las utilidades)

Tipos de restricciones:

£ una restriccin usual

= una restriccin limitada (estricta)

³ una restriccin inusual

Objetivo: Min (por ejemplo los costos)

Tipos de restricciones:

³una restriccin usual

= una restriccin limitada (estricta)

£una restriccin inusual

Tipos de variables:

³ 0 una condicin usual

... sin restriccin de signo

£ 0 una condicin inusual

---------------------------------------------------------------------------

Existe una correspondencia uno a uno entre el tipo de restriccin y el tipo de variable utilizando esta clasificacin de restricciones y variables tanto para los problemas primarios como los duales.

Construccin de Problemas Duales:

- Si el problema primario es un problema de maximizacin, entonces su problema dual es un problema de minimizacin (y viceversa).

- Utilice el tipo de variable de un problema para determinar el tipo de restriccin del otro problema.

- Utilice el tipo de restriccin de un problema para determinar el tipo de variable del otro problema.

-Los elementos RHS de un problema se transforman en los coeficientes de la funcin objetivo del otro problema (y viceversa).

- Los coeficientes de la matriz de las restricciones de un problema son la transposicin de los coeficientes de la matriz de las restricciones del otro problema.

Puede verificar las reglas de construccin del problema dual utilizando su paquete WinQSB.

Ejemplos Numricos:

Considere el siguiente problema primario:

min x1 - 2x2
sujeta a:
x1 + x2 ³ 2,
x1 - x2 £ -1,
x2 ³ 3,
x1, x2 ³ 0.

Siguiendo la regla de construccin antes mencionada, el problema dual es:

max 2u1 - u2 + 3u3
sujeta a:
u1 + u2 £ 1,
u1 - u2 + u3 £ -2,
u1 ³ 0,
u2 £ 0,
u3 ³ 0

El Problema Dual del Problema del Carpintero:

Maximizar 5X1 + 3X2

El problema dual es:

Minimizar 40U1 + 50U2

Aplicaciones: usted puede utilizar la dualidad en una amplia gama de aplicaciones tales como:

- En algunos casos, puede ser ms eficiente resolver el problema dual que el primario.

- La solucin dual proporciona una interpretacin econmica importante tal como los precios sombra (es decir, los valores marginales de los elementos RHS) que son los multiplicadores Lagrangianos que demuestran una cota (estricta) del valor ptimo del problema primario y viceversa. Histricamente, el precio sombra se defini como la mejora en el valor de la funcin objetivo por aumento unitario en el lado derecho, porque el problema generalmente adoptaba la forma de una mejora de maximizacin de utilidades (es decir, un aumento). El precio sombra puede no ser el precio de mercado. El precio sombra es por ejemplo el valor del recurso bajo la "sombra" de la actividad comercial. Se puede realizar un anlisis de sensibilidad,es decir un anlisis del efecto de pequeas variaciones en los parmetros del sistema sobre las medidas de produccin, calculando las derivadas de las medidas de produccin con respecto al parmetro.

- Si una restriccin en un problema no es obligatoria (en otras palabras, el valor LHS o valor del lado izquierdo) concuerda con el valor RHS), la variable asociada en el problema es cero. De manera inversa, si una variable de decisin en un problema no es cero, la restriccin asociada en el otro problema es obligatoria. A estos resultados se los conoce como Condiciones Complementarias de Holgura.

- Obtener el rango de sensibilidad del RHS de un problema partiendo del rango de sensibilidad del coeficiente de costos del otro problema y viceversa.

Para ms detalles y ejemplos numricos, lea los siguientes artculos:
A. Benjamin, Sensible Rules for Remembering Duals_ S-O-B Method, SIAM Review, 37, 85-87, 1995.

H. Arsham, An Artificial-Free Simplex Algorithm for General LP Models, Mathematical and Computer Modelling, 25, 107-123, 1997.

El Problema Dual del Problema del Carpintero y su Interpretacin
En esta seccin, construiremos el Problema Dual del Problema del Carpintero y presentaremos la interpretacin econmica del mismo.
Recordemos los parmetros de entrada no controlables del Problema del Carpintero:

Datos de entrada no controlables

Y su formulacin de PL

Maximizar 5 X1 + 3 X2

Donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas a fabricar.

Supngase que el Carpintero desea contratar un seguro para sus ingresos netos. Digamos que:

U1 = el monto en dlares pagadero al Carpintero por cada hora de trabajo perdida (por enfermedad, por ejemplo),

U2 = el monto en dlares pagadero al Carpintero por cada unidad de materia prima perdida (por incendio, por ejemplo).

Por supuesto que el corredor de seguros intenta minimizar el monto total de US$(40U1 + 50U2) pagadero al Carpintero por la Compaa de Seguros. Sin embargo, como es de esperar, el Carpintero fijar las restricciones (es decir las condiciones) para que la compaa de seguros cubra toda su prdida que equivale a sus ingresos netos debido a que no puede fabricar los productos. En consecuencia, el problema de la compaa de seguros es:

Si implementa este problema en un paquete de software, ver que la solucin ptima es U1 = US$7/3 y U2 = US$1/3 con el valor ptimo de US$110 (el monto que el Carpintero espera recibir). Esto asegura que el Carpintero pueda manejar su vida sin inconvenientes. El nico costo es la prima que le cobra la compaa de seguros.

Como puede ver, el problema de la compaa de seguros est estrechamente relacionado con el problema original.

Segn la terminologa del proceso de diseo de modelos de IO/CA, el problema original se denomina Problema Primario mientras que el problema relacionado se denomina Problema Dual

Tal como vimos en el Problema del Carpintero y su Problema Dual, el Valor Optimo es siempre el mismo para ambos problemas. Esto se denomina Equilibrio Econmico entre el Problema Primario y el Problema Dual.

Errores de Redondeo cometido por los Gerentes: tenga cuidado siempre que redondee el valor de los precios sombra. Por ejemplo, el precio sombra de la restriccin de recursos en el problema anterior es 8/3, por ende, si usted desea comprar ms de este recurso, no debera pagar ms de US$2.66. Sin embargo, siempre que usted quiera vender cualquier unidad de este recurso, no debera hacerlo a un precio inferior a US$2.67.

Podra darse un error similar si usted redondea en los lmites de los rangos de sensibilidad. Como siempre, hay que prestar atencin porque el lmite superior e inferior deben redondearse para abajo y para arriba, respectivamente.

Clculo de los Precios Sombra
Ahora ya sabe que
Calcule el precio sombra para ambos recursos en el siguiente problema de PL:

La solucin de este problema primario (utilizando por ejemplo el mtodo grfico) es X1 = 0, X2 = 3, con el sobrante S1 = 2 del primer recurso mientras que el segundo recurso se utiliza por completo, S2 = 0.
los precios sombra son la solucin del problema dual. Aqu tenemos un ejemplo numrico.
Los precios sombra son la solucin del problema dual:

La solucin del problema dual (utilizando por ejemplo el mtodo grfico) es U1 = 0, U2 = 1 que son los precios sombra para el primer y el segundo recurso, respectivamente. Fjese que siempre que la holgura / excedente de una restriccin no es cero, el precio sombra relacionado con ese RHS de la restriccin es siempre cero, pero puede no darse el caso contrario. En este ejemplo numrico S1 = 2 (es decir, el valor de holgura del RHS 1 del problema primario), que no es cero; por lo tanto U1 es igual a cero tal como es de esperar.

Considere el siguiente problema:

Max X1 + X2
sujeta a:
X1 £ 1
X2 £ 1
X1 + X2 £ 2
todas las variables de decisin ³ 0.

Utilizando un paquete de software, puede verificar que el precio sombra para el tercer recurso es cero, mientras que no hay sobrante de ese recurso en la solucin ptima X1 =1, X2 = 1.

Comportamiento de los Cambios en los Valores RHS del Valor Optimo
Para estudiar los cambios direccionales en el valor ptimo con respecto a los cambios en el RHS (sin restricciones redundantes y con todos los RHS ³0) distinguimos los dos casos presentados a continuacin:
Caso I: Problema de Maximizacin

Para restriccin de £ : cambio en la misma direccin. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminucin en el valor ptimo sino que ste aumenta o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.

Para restriccin de ³ : cambio en la direccin opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento en el valor ptimo sino que ste disminuye o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.

Para restriccin de =: el cambio puede ser en cualquier direccin (ver la seccin Ms por Menos en este sitio).

Caso II: Problema de Minimizacin

Para restriccin de £ : cambio en la direccin opuesta. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce un aumento del valor ptimo sino que ste disminuye o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria).

Para restriccin de ³ : cambio en la misma direccin. Vale decir que un aumento en el valor RHS no produce una disminucin del valor ptimo sino que ste aumenta o permanece igual segn la restriccin sea obligatoria o no obligatoria.

Para restriccin de =: el cambio puede ser en cualquier direccin (ver la seccin Ms por Menos en este sitio).

Interpretacin Incorrecta del Precio Sombra
El Precio Sombra nos indica cunto cambiar la funcin objetivo si cambiamos el lado derecho de la correspondiente restriccin. Esto normalmente se denomina "valor marginal", "precios duales" o "valor dual" para la restriccin. Por lo tanto, el precio sombra puede no coincidir con el "precio de mercado".
Por cada restriccin del RHS, el Precio Sombra nos indica exactamente cunto cambiar la funcin objetivo si cambiamos el lado derecho de la restriccin correspondiente dentro de los lmites fijados por el rango de sensibilidad del RHS.

Por consiguiente, por cada valor RHS, el precio sombra es el coeficiente del cambio en el valor ptimo causado por cualquier aumento o disminucin admisible en el RHS dentro del cambio admisible.

Precio Sombra = Cambio en el Valor Optimo / Cambio en el RHS,
Dado que el cambio en el RHS est dentro del rango de sensibilidad.

Desafortunadamente, existen interpretaciones errneas con respecto a la definicin del precio sombra. Una de ellas indica: "En los problemas de programacin lineal, el precio sombra de una restriccin es la diferencia entre el valor optimizado de la funcin objetivo y el valor de la funcin objetivo, evaluada de manera opcional, cuando el RHS de una restriccin aumenta en una unidad". El ltimo sitio Web establece lo siguiente "Precios Sombra: los precios sombra para un problema de programacin lineal son las soluciones para su correspondiente problema dual. El precio sombra i es el cambio en la funcin objetivo que resulta del aumento en una unidad en la coordenada i de b. Un precio sombra tambin es el monto que un inversor tendra que pagar por una unidad de un recurso para comprarle la parte al fabricante."
Un anti-ejemplo:

Considere la siguiente PL:
Max X2

El problema tiene su solucin ptima en (0, 2) con un valor ptimo de 2.
Supngase que quiere calcular el precio sombra del primer recurso, es decir el RHS de la primera restriccin.

Si cambiamos el RHS de la primera restriccin aumentndolo en una unidad tenemos:

El nuevo problema tiene la solucin ptima (0, 2.5) con un valor ptimo de 2.5.

Entonces, pareciera "como si" el precio sombra de este recurso es 2.5 - 2 = 0.5. De hecho, el precio sombra de este recurso es 1, el cual se puede verificar construyendo y resolviendo el problema dual.

El motivo de este error se torna obvio si observamos que el aumento admisible para mantener la validez del precio sombra del primer recurso es 0.5. El aumento en 1 excede el cambio admisible del primer valor RHS.

Ahora supngase que cambiamos el mismo valor RHS en + 0.1 que es admisible. Entonces el valor ptimo del nuevo problema es 2.1. Por consiguiente, el precio sombra es (2.1 -2) / 0.1 = 1. Es necesario prestar mucha atencin al calcular los precios sombra.

Si usted quiere calcular el precio sombra de un valor RHS sin tener su rango de sensibilidad, puede obtener los valores ptimos de dos perturbaciones como mnimo. Si el ndice de cambio en ambos casos arroja los mismos valores, entonces este ndice es realmente el precio sombra. A modo de ejemplo, supngase que perturbamos el RHS de la primera restriccin en +0.02 y -0.01. Si resolvemos el problema despus de estos cambios utilizando un software de PL, obtenemos los valores ptimos de 2.02 y 1.09, respectivamente. Como el valor ptimo para el problema nominal (sin ninguna perturbacin) es igual a 2, el ndice de cambio para los dos casos es: (2.02 - 2)/0.02 = 1, y (1.09 - 2)/(-0.01) = 1, respectivamente. Como estos dos ndices coinciden, podemos concluir que el precio sombra del RHS de la primera restriccin es de hecho igual a 1.

El Precio Sombra es Siempre No Negativo?
Probablemente se est preguntando si el precio sombra de un valor RHS es siempre no negativo. Todo depende de la formulacin del problema primario y de su correspondiente dual. Lo importante es recordar que el precio sombra de un determinado valor RHS es el ndice de cambio del valor ptimo con respecto al cambio en ese RHS, dado que el cambio se encuentra dentro de los lmites de ese RHS.
Considere el siguiente ejemplo numrico:

Nos interesa saber el precio sombra del valor del RHS 2 = 10. El problema dual es:

Min 50U1 + 10U2
Sujeta a:
U1 - U2 ³ 3
2U1 + U2 £ 5
U1 ³ 0, mientras que U2 £ 0

Esto se puede verificar con el software WinQSB. La solucin del problema dual es U1 = 8/3, U2 = -1/3. Por lo tanto, el precio sombra del valor RHS 2 = 10 es U2 = -1/3. Es decir que por cada aumento (disminucin) unitario en el RHS2, el valor ptimo del problema primario disminuye (aumenta) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 est dentro de los lmites de sensibilidad.

Para otra versin del mismo problema primario, fjese que el problema puede escribirse de la misma manera, cambiando la direccin de la segunda restriccin de desigualdad:

El problema dual de este problema primario ahora es:

Nuevamente, la formulacin dual puede verificarse utilizando el software WinQSB. La solucin de este problema dual es Y1 = 8/3 y Y2 = 1/3. Entonces, el precio sombra del valor del RHS 2 = -10 es Y2 = 1/3. Vale decir que por cada aumento (disminucin) unitario en el valor RHS 2, el valor ptimo del problema primario aumenta (disminuye) en 1/3, dado que el cambio en RHS 2 esta dentro de los lmites de sensibilidad.

Como ya debe haber notado, ambos problemas duales son iguales al sustituir U1 = Y1, y U2 = -Y2. Esto significa que los precios sombra obtenido para RHS 2 = 10, y RHS 2 = -10 tienen el mismo valor con el signo opuesto (como es de esperar). Por ende, , el signo del precio sombra depende de cmo se formule el problema dual , aunque el significado y su interpretacin son siempre los mismos.

Precios Sombra Alternativos
Supngase que tenemos una PL que tiene una nica solucin ptima. Es posible tener ms de un conjunto de precios duales?
S, es posible. Considere el siguiente problema:

Min 16X1 + 24X2
sujeta a:
X1 + 3X2 ³ 6
2X1 + 2X2 ³ 4
todas las variables de decisin ³ 0.

Su dual es:

Max 6U1 + 4U2
sujeta a:
U1 + 2U2 £ 16
3U1 + 2U2 £ 24
todas las variables de decisin ³ 0,

Este problema dual tiene diversas soluciones alternativas, tales como, (U1 = 8, U2 = 0) y (U1 = 4, U2 = 6). Todas las combinaciones convexas de estos dos vrtices tambin son soluciones.

Existen casos generales para los cuales los precios sombra no son nicos. Como en el ejemplo anterior, siempre que exista redundancia entre las restricciones, o si la solucin ptima es "degenerada", puede haber ms de un conjunto de precios duales. En general, las restricciones lineales independientes son condicin suficiente para que exista un nico precio sombra.

Considere el siguiente problema de PL con una restriccin redundante:

Max 10X1 + 13X2
sujeta a:
X1 + X2 = 1
X1 + X2 = 1
X1+2X2 = 2
y todas las variables son no negativas.

Si corremos el problema dual en Lindo vemos que X1 = 0, X2 = 1, con precios sombra (0, 13, 0).

Si utilizamos WinQSB para este problema, obtenemos X1 = 0, X2 = 1 con distintos precios sombra (0, 7, 3).

En el caso de redundancia, los precios sombra obtenidos con un paquete de PL pueden no coincidir con aquellos obtenidos con otro paquete de software.

Manejo de Incertidumbres mediante Modelacin de Escenarios:
Anlisis de Sensibilidad y Anlisis de Especificidad

El entorno comercial muchas veces es impredecible e incierto debido a factores tales como cambios econmicos, reglamentaciones pblicas, dependencia de subcontratistas y proveedores, etc. Los gerentes generalmente se ven inmersos en un entorno dinmico e inestable donde aun los planes a corto plazo deben re-evaluarse constantemente y ajustarse de manera incremental. Todo esto requiere una mentalidad orientada al cambio para hacer frente a las incertidumbres. Recuerde que las sorpresas no forman parte de una decisin slida.
El hombre utiliza construcciones (modelos) matemticas e informticas para una variedad de entornos y propsitos, con frecuencia para conocer los posibles resultados de uno o ms planes de accin. Esto puede relacionarse con inversiones financieras, alternativas de seguros (asegurar o no asegurar/cunto), prcticas industriales e impactos ambientales. El uso de modelos se ve perjudicado por la inevitable presencia de incertidumbres, que surgen en distintas etapas, desde la construccin y corroboracin del modelo en s hasta su uso. Normalmente su uso es el culpable.

Toda solucin a un problema de toma de decisiones se basa en determinados parmetros que se presumen como fijos. El anlisis de sensibilidad es un conjunto de actividades posteriores a la solucin que sirven para estudiar y determinar qu tan sensible es la solucin a los cambios en las hiptesis. Estas actividades tambin se denominan anlisis de estabilidad, anlisis what-if o de hiptesis, modelacin de escenarios, anlisis de especificidad, anlisis de incertidumbre, anlisis de inestabilidad numrica, inestabilidad funcional y tolerancia, anlisis de post optimalidad, aumentos y disminuciones admisibles y muchos otros trminos similares que reflejan la importancia de esta etapa del proceso de modelacin. Por ejemplo, anlisis de sensibilidad no es el trmino tpico empleado en la econometra para referirse al mtodo de investigacin de la respuesta de una solucin frente a perturbaciones en los parmetros. En econometra, esto se denomina esttica comparativa o dinmica comparativa, segn el tipo de modelo en cuestin.

Se puede hacer frente a las incertidumbres de una manera ms "determinista". Este abordaje tiene distintos nombres tales como "modelacin de escenarios", "modelacin determinista", "anlisis de sensibilidad" y "anlisis de estabilidad". La idea es generar, de manera subjetiva, una lista ordenada de incertidumbres importantes que supuestamente podran tener un mayor impacto sobre el resultado final. Esto se lleva acabo antes de focalizarse en los detalles de cualquier "escenario" o modelo.

Resulta vital comprender la influencia de lo antedicho en el plan de accin sugerido por el modelo por las siguientes razones:

Pueden presentarse distintos niveles de aceptacin (por el pblico en general, por los decisores, por las partes interesadas) a distintos tipos de incertidumbre.
Distintas incertidumbres tienen distintos impactos sobre la confiabilidad, robustez y eficiencia del modelo.

La relevancia del modelo (su correspondencia con la tarea) depende en gran medida del impacto de la incertidumbre sobre el resultado del anlisis. Las sorpresas no forman parte de las decisiones ptimas slidas.

Existen numerosos ejemplos de entornos donde esto es aplicable, tales como:

Construccin de indicadores (econmicos / ambientales)

Anlisis y pronstico de riesgo (ambiental, financiero, de seguros,...)

Optimizacin y calibracin de modelos (per se)

A continuacin, sigue una lista abreviada de las razones por las cuales se debe tener en cuenta el anlisis de sensibilidad:

Toma de decisiones o desarrollo de recomendaciones para decisores:

Para probar la solidez de una solucin ptima. Las sorpresas no forman parte de las decisiones ptimas slidas.

Para identificar los valores crticos, umbrales, o valores de equilibrio donde cambia la estrategia ptima.

Para identificar sensibilidad o variables importantes.

Para investigar soluciones sub-ptimas.

Para desarrollar recomendaciones flexibles que dependan de las circunstancias.

Para comparar los valores de las estrategias de decisin simples y complejas.

Para evaluar el riesgo de una estrategia o escenario.

Comunicacin:

Para formular recomendaciones ms crebles, comprensibles, contundentes o persuasivas.

Para permitir a los decisores seleccionar hiptesis.

Para comunicar una falta de compromiso a una nica estrategia.

El decisor debe incorporar algunas otras perspectivas del problema tal como perspectivas culturales, polticas, psicolgicas, etc. en las recomendaciones del cientfico de administracin.

Aumentar la comprensin o aptitud del sistema:

Para estimar la relacin entre las variables de entrada y las de salida.

Para comprender la relacin entre las variables de entrada y las de salida. Para desarrollar pruebas de las hiptesis.

Desarrollo del modelo:

Para probar la validez o precisin del modelo.

Para buscar errores en el modelo

Para simplificar el modelo.

Para calibrar el modelo.

Para hacer frente a la falta o insuficiencia de datos.

Para priorizar la adquisicin de informacin.

Lista abreviada de casos en los que se debe considerar la realizacin de un anlisis de sensibilidad:

1. Con el control de los problemas, el anlisis de sensibilidad puede facilitar la identificacin de regiones cruciales en el espacio de los parmetros de entrada.

2. En ejercicios de seleccin, el anlisis de sensibilidad sirve para localizar algunos parmetros influyentes en sistemas con cientos de datos de entrada inciertos.

3. Se utilizan tcnicas de anlisis de sensibilidad basados en varianza para determinar si un subconjunto de parmetros de entrada puede representar (la mayor parte de) la varianza de salida.

4. El punto (3) puede utilizarse para la reduccin del mecanismo (descartar o corregir partes no relevantes del modelo) y para la extraccin de un modelo (construir un modelo a partir de otro ms complejo). Ver tambin el problema de la "relevancia" del modelo: los parmetros del conjunto de entrada del modelo son relevantes con respecto a la tarea del modelo?

5. El punto (3) tambin puede utilizarse para la identificacin del modelo identificando las condiciones experimentales para las cuales su capacidad para discriminar dentro del modelo se encuentra en su punto mximo.

6. Al igual que en el punto (5), el anlisis de sensibilidad puede utilizarse para la calibracin del modelo, para determinar si los experimentos con sus incertidumbres relacionadas permitirn la estimacin de los parmetros. Esto es particularmente til frente a problemas mal condicionados (mal formulados).

7. El anlisis de sensibilidad puede complementarse con algoritmos de bsqueda / optimizacin; identificando los parmetros ms importantes, el anlisis de sensibilidad puede permitir que se reduzca la dimensionalidad del espacio donde se realiza la bsqueda.

8. Como una herramienta de aseguramiento de calidad, el anlisis de sensibilidad asegura que la dependencia de la salida (resultado) de los parmetros de entrada del modelo tenga una similitud fsica y una explicacin.

9. Para resolver un problema inverso, el anlisis de sensibilidad sirve como una herramienta para extraer parmetros incorporados en modelos cuyos resultados no se correlacionan fcilmente con la entrada desconocida (por ejemplo en cintica qumica, para extraer las constantes cinticas de sistemas complejos a partir del ndice de rendimiento de los componentes).

10. Para asignar recursos en el rea de I&D de manera ptima, el anlisis de sensibilidad muestra donde vale la pena invertir a fin de reducir el rango de incertidumbre del modelo.

11. El anlisis de sensibilidad puede determinar cuantitativamente qu parte de la incertidumbre de mi prediccin se debe a incertidumbre paramtrica de la estimacin y cunto a incertidumbre estructural.

Errores de redondeo cometido por los gerentes: como siempre, se debe prestar atencin al redondear el valor de los lmites de los rangos de sensibilidad. El lmite superior y el lmite inferior deben redondearse hacia abajo y hacia arriba respectivamente para que sean vlidos.

Anlisis de sensibilidad vs. programacin estocstica: el anlisis de sensibilidad y las formulaciones de programacin estocstica son los dos principales enfoques para manejar la incertidumbre. El anlisis de sensibilidad es un procedimiento de post optimalidad que no puede influir en la solucin. Sirve para investigar los efectos de la incertidumbre sobre la recomendacin del modelo. Por otro lado, la formulacin de programacin estocstica introduce informacin probabilstica acerca de los datos del problema, a pesar de los primeros momentos (es decir los valores esperados) de la distribucin de la funcin objetivo con respecto a la incertidumbre. Esto ignora las evaluaciones de riesgo del decisor, caracterizadas por la varianza o el coeficiente de variacin.

Clculo de Rangos de Sensibilidad para Problemas Pequeos
Para calcular los rangos de sensibilidad de problemas de PL con 2 variables de decisin como mximo y/o 2 restricciones como mximo, puede probar alguno de los siguientes abordajes de fcil uso.
La nica restriccin es que no se permiten restricciones de igualdad.Tener una restriccin de igualdad implica degeneracin, porque cada restriccin de igualdad, por ejemplo, X1 + X2 = 1, significa dos restricciones simultneas: X1 + X2 £ 1 , y X1 + X2 ³ 1. Entonces, la cantidad de restricciones obligatorias en tal caso ser mayor a la cantidad de variables de decisin. Esto se denomina situacin degenerada para la cual el anlisis de sensibilidad normal no es vlido.

Rango de Sensibilidad de Costos para Problemas de PL con dos Variables de Decisin

Volviendo al Problema del Carpintero, si cambiamos la ganancia de cada producto, cambia la pendiente de la funcin objetivo de igual valor (funcin iso). Para "pequeos" cambios, el ptimo permanece en el mismo punto extremo. Para cambios mayores, la solucin ptima se desplaza a otro punto. Por consiguiente, tenemos que modificar la formulacin y resolver un nuevo problema.

El problema es encontrar un rango para cada coeficiente de costos c(j), de la variable Xj, de manera que la solucin ptima actual, es decir el punto extremo actual (esquina) siga siendo ptimo.

Para un problema de PL de 2 dimensiones, puede probar el sencillo abordaje que presentamos a continuacin para saber cul es la cantidad de aumento/disminucin de cualquier coeficiente de la funcin objetivo (tambin conocidos como coeficientes de costos porque histricamente durante la Segunda Guerra Mundial, el primer problema de PL fue un problema de minimizacin de costos) a fin de mantener la validez de la solucin ptima actual. La nica condicin requerida para este abordaje es que no se permiten restricciones de igualdad, ya que esto implicara degeneracin, para lo cual el anlisis de sensibilidad tradicional no es vlido.

Paso 1: Considere las nicas dos restricciones obligatorias de la solucin ptima actual. Si hay ms de dos restricciones obligatorias, hay degeneracin, en cuyo caso el anlisis de sensibilidad tradicional no es vlido.

Paso 2: Perturbe el coeficiente de costos j por el parmetro cj (esta es la cantidad desconocida de cambios).

Paso 3: Construya una ecuacin correspondiente a cada restriccin obligatoria, como figura a continuacin:

(Costo Cj perturbado) / coeficiente de Xj en la restriccin = Coeficiente de la otra variable en la funcin objetivo / coeficiente de esa variable de la restriccin.

Paso 4: La cantidad de aumento admisible es el cj positivo menor posible, mientras que la disminucin admisible es el cj negativo mayor posible obtenido en el Paso 3.

Fjese que si no hay cj positivo (negativo), la cantidad de aumento (disminucin) es ilimitada.

Advertencias:

1. Recuerde que nunca debe dividir por cero. Dividir por cero es una falacia comn en algunos libros de texto. Por ejemplo en Introduction to Management Science, de Taylor III, B., 6th Ed., Prentice Hall, 1999, the author, unfortunately, divides by zero on page 189.
Para mayores detalles y otras falacias comunes, visite el sitio Web The zero saga & confusions with numbers . Una pregunta para usted: cules de estas afirmaciones son correctas y por qu?
a) cualquier nmero divido por cero es indefinido;
b) cero divido por cualquier nmero es cero; o
c) cualquier nmero dividido por s mismo es 1

2. Comnmente se cree que se puede calcular el rango de sensibilidad al costo acotando la pendiente (perturbada) de la funcin objetivo (funcin iso) por las pendientes de las dos lneas resultantes de las restricciones obligatorias. Este mtodo grfico basado en las pendientes est descripto en de An Introduction to Management Science, by Anderson D., y Williams T., 9 Ed., West Publisher, 2000, (Seccin 3.2). Lamentablemente, esto es confuso. Debera advertirse que este abordaje no es general y funciona si y slo si los coeficientes no cambian de signo.
Por ejemplo, si aplicamos este abordaje en la construccin del rango de sensibilidad de los coeficientes de costos del siguiente problema;

Maximizar 5X1 + 3X2

Sujeta a: X1 + X2 £ 2, X1 - X2 £ 0, X1 ³ 0, X2 ³ 0

Obtenemos rangos incorrectos. Visite el sitio Web Myths and Counterexamples in Mathematical Programming para ver ilustraciones y una explicacin de este anti-ejemplo.

El problema del carpintero:

Maximice 5X1 + 3X2

Clculo del incremento/disminucin permisibles de C1 = 5: Las restricciones obligatorias son la primera y la segunda. Alterando este coeficiente de costo por c1 se obtiene 5 + c1. En el paso 3 se obtiene:

(5 + c1)/2 = 3/1, para la primera restriccin, y (5 + c1)/1 = 3/2 para la segunda restriccin. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: c1 = 1 y c1 = -3.5. Por lo tanto, el incremento permisible es 1, mientras que la disminucin permisible es 1.5. Por lo tanto, mientras el primer coeficiente de costo C1 permanezca dentro del intervalo [ 5 - 3.5, 5 + 1] = [1.5, 6], contina la solucin ptima actual.

De modo similar, para el segundo coeficiente de costo C2 = 3 se obtiene el rango de sensibilidad [2.5, 10].

Consideremos el problema anterior con otro ejemplo:

Maximice 5X1 + 3X2

Clculo del incremento/disminucin permisibles de C1 = 5: Las restricciones obligatorias son la primera y la segunda. Alterando este coeficiente de costo por c1 se obtiene 5 + c1. En el paso 3 se obtiene:

(5 + c1)/1 = 3/1, para la primera restriccin y (5 + c1)/1 = 3/(-1) para la segunda restriccin. Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene: c1 = -2 y c1 = -8. Por lo tanto, la disminucin permisible es 2, mientras que el incremento permisible es ilimitado. Por lo tanto, mientras el primer coeficiente de costo C1 permanezca dentro del intervalo [ 5 - 2, 5 + ¥] = [3, ¥], contina la solucin ptima actual.

De modo similar, para el segundo coeficiente de costo C2 = 3 se obtiene el rango de sensibilidad [3 - 8, 3 + 2] = [-5, 5].

Rango de sensibilidad del lado derecho para problemas de PL con dos restricciones como mximo

En el Problema del Carpintero, cuando se efectan cambios menores en cualquiera de los recursos, la estrategia ptima (es decir, hacer el producto mixto) sigue siendo vlida. Cuando los cambios son mayores, esta estrategia ptima cambia y el Carpintero debe, hacer todas las mesas o las sillas que pueda. Este es un cambio drstico de estrategia; por lo tanto, tenemos que revisar la formulacin y resolver un nuevo problema.

Adems de la informacin necesaria que antes se mencion, tambin nos interesa saber cunto puede vender (o comprar) el Carpintero de cada recurso a un precio (o costo) "razonable". Es decir, hasta dnde se puede incrementar o disminuir el RHS(i) con un valor i fijo, mientras se mantiene la validez del precio sombra corriente del RHS(i)? Es decir, hasta dnde se puede incrementar o disminuir el RHS(i) con un valor i fijo mientras se mantiene la solucin ptima corriente para el problema dual?

Histricamente, el precio sombra se defini como la mejora en el valor de la funcin objetivo por incremento unitario en el lado derecho porque con frecuencia el problema se pone en la forma de mejora de maximizacin de utilidad (en el sentido de incremento).

Asimismo, con cualquier RHS, el precio sombra (tambin conocido como su valor marginal), es la cantidad de cambio en el valor ptimo proporcional a una unidad de cambio para ese RHS en particular. Sin embargo, en algunos casos no se permite cambiar tanto el RHS. El rango de sensibilidad del RHS proporciona los valores para los que el precio sombra tiene significado econmico y permanece sin cambios.

Hasta dnde se puede incrementar o disminuir cada RHS individual manteniendo la validez de los precios sombra? Esta frase equivale a preguntar cul es el rango de sensibilidad para el coeficiente de costo en el problema dual.

El dual del Problema del Carpintero es:

Minimice 40U1 + 50U2

La solucin ptima es U1 = 7/3 y U2 = 1/3 (que son los precios sombra).

El Problema del Carpintero:

Maximice 5X1 + 3X2

Clculo del Rango para RHS1: Las primeras dos restricciones son obligatorias, por lo tanto:

(40 + r1)/2 = 50/ 1, y (40 + r1) / 1 = 50/ 2.

De la resolucin de estas dos ecuaciones se obtiene: r1 = 60 y r1 = -15. Por lo tanto, el rango de sensibilidad para el primer RHS en el problema del carpintero es: [40-15, 40 + 60] = [25, 100].

De modo similar, para el segundo RHS, se obtiene: [50 - 30, 50 + 30] = [20, 80].

Qu es la Regla del 100% (regin de sensibilidad)
El rango de sensibilidad que se present en la seccin anterior es un anlisis del tipo "what-if" o de hiptesis del tipo de "un cambio por vez". Consideremos el problema del Carpintero; supongamos que queremos hallar los incrementos permisibles simultneos de RHS ( r³ 0). Existe un mtodo sencillo de aplicar que se conoce como "la regla del 100%" que establece que los precios sombra no cambian si se da la siguiente condicin suficiente:
Aqu, 60 y 30 son los incrementos permisibles de los RHS, basados en la aplicacin del anlisis de sensibilidad ordinario. Es decir, siempre que el primer y el segundo RHS aumentan r ₁, y r ₂ respectivamente, mientras esta desigualdad contine, los precios sombra para los valores del lado derecho permanecen sin cambios. Obsrvese que sta es una condicin suficiente porque, si se viola esta condicin, entonces los precios sombra pueden cambiar o an as seguir iguales. El nombre "regla del 100%" surge evidente cuando se observa que en el lado izquierdo de la condicin, cada trmino es un nmero no negativo menor que uno, que podra representarse como un porcentaje de cambio permisible. La suma total de estos cambios no debera exceder el 100%.

Aplicando la regla del 100% a los otros tres cambios posibles en los RHS se obtiene:
₁, r
La siguiente Figura ilustra la regin de sensibilidad de ambos valores RHS como resultado de la aplicacin de la regla del 100% al problema del Carpintero.
₂

Desde un punto de vista geomtrico, obsrvese que el poliedro con los vrtices (60, 0), (0, 30), (-15, 0) y (0,-30) en la Figura es slo un subconjunto de una regin de sensibilidad ms grande para los cambios en ambos RHS. Por lo tanto, permanecer dentro de esta regin de sensibilidad es slo una condicin suficiente (no necesaria) para mantener la validez de los precios sombra actuales.

Pueden obtenerse resultados similares para los cambios simultneos de los coeficientes de costos. Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la disminucin permisible simultnea en ₁ y los incrementos en ₂, , es decir, el cambio en ambos coeficientes de costo de ₁ £ 0 y c ₂ ³ 0.
La regla del 100% establece que la base corriente sigue siendo ptima siempre que:

Donde 3.5 y 7 son la disminucin y el incremento permisibles de los coeficientes de costo ₁ y C ₂, respectivamente, que se hallaron anteriormente mediante la aplicacin del anlisis de sensibilidad ordinario. , respectively, that we found earlier by the application of the ordinary sensitivity analysis.

La Figura anterior tambin ilustra todas las otras posibilidades de incrementar/disminuir los valores de ambos coeficientes de costos como resultado de la aplicacin de la regla del 100%, mientras se mantiene al mismo tiempo la solucin ptima corriente para el problema del Carpintero.

Como otro ejemplo numrico, consideremos el siguiente problema:

Maximice 5X1 + 3X2

Quizs recuerden que ya hemos calculado los rangos de sensibilidad con un cambio por vez para este problema en la seccin Clculo de Rangos de Sensibilidad. El rango de sensibilidad para el primer coeficiente de costo es [ 5 - 2, 5 + ¥] = [3, ¥], mientras que para el segundo coeficiente de costo es [3 - 8, 3 + 2] = [-5, 5]. Se debera poder reproducir una figura similar a la anterior ilustrando todas las otras posibilidades de incrementar/disminuir ambos valores de coeficientes de costos como resultado de la aplicacin de la regla del 100%, mientras al mismo tiempo se mantiene la solucin ptima corriente para este problema.

Claramente, la aplicacin de la regla del 100%, en la forma en que aqu se la presenta, es general y puede extenderse a cualquier problema de PL de mayor magnitud. Sin embargo, a medida que aumenta la magnitud del problema, este tipo de regin de sensibilidad se reduce y por lo tanto, resulta menos til para la gestin. . Existen tcnicas ms poderosas y tiles (que proporcionan condiciones necesarias y suficientes a la vez) para manejar cambios simultneos dependientes (o independientes) de los parmetros. Para realizar un estudio abarcador de los distintos tipos de anlisis de sensibilidad en PL con ejemplos numricos ilustrativos, consltese el siguiente artculo:

Arsham H., Perturbation analysis of general LP models: A unified approach to sensitivity, parametric tolerance, and more-for-less analysis, Mathematical and Computer Modelling, 12, 1437-1446, 1990.

Aadir una nueva restriccin
El proceso: Introduzca la solucin ptima corriente en la restriccin recin aadida. Si la restriccin no se viola, la nueva restriccin NO afecta la solucin ptima. De lo contrario, el nuevo problema debe resolverse para obtener la nueva solucin ptima.
Suprimir una restriccin
El proceso: Determine si la restriccin es obligatoria (es decir, activa, importante) hallando si el valor de holgura/excedente es cero. Si es obligatoria, la supresin puede cambiar la solucin ptima corriente. Suprima la restriccin y resuelva el problema. De lo contrario (si no es una restriccin obligatoria), la supresin no afectar la solucin ptima.
Reemplazar una restriccin
Supongamos que se reemplaza una restriccin por una nueva. Cul es el efecto de este intercambio?
El proceso: Determine si la restriccin previa es obligatoria (es decir, activa, importante) hallando si el valor de holgura/excedente es cero. Si es obligatoria, el reemplazo puede afectar la solucin ptima corriente. Reemplace la restriccin y resuelva el problema. De lo contrario (si no es una restriccin obligatoria), determine si la solucin corriente satisface la nueva restriccin. Si la satisface, entonces este intercambio no afectar la solucin ptima. De lo contrario (si la solucin corriente no satisface la nueva restriccin), reemplace la restriccin anterior por la nueva y resuelva el problema.
Aadir una variable (por ejemplo, introducir un nuevo producto)
El proceso: Construya la nueva restriccin del problema solucin ptima corriente es ptima), de lo contrario produzca el nuevo producto (la solucin ptima corriente ya no es ms ptima). Para determinar el nivel de dual. Inserte la solucin dual en esta restriccin. Si la restriccin se satisface, NO produzca el nuevo producto (la produccin del nuevo producto (es decir, una solucin ptima mejor) resuelva el siguiente problema.
Suprimir una variable (es decir, cancelar un producto)
El proceso: Si para la solucin ptima corriente, el valor de la variable suprimida es cero, entonces la solucin ptima corriente sigue siendo la ptima sin incluir la variable. De lo contrario, suprima la variable de la funcin objetivo y las restricciones, y luego resuelva el problema.
Problema de asignacin ptima de recursos
Como los recursos son siempre escasos, a los gerentes les preocupa el problema de la asignacin ptima de los recursos. Se recordar que en el Problema del Carpintero se trataron ambos recursos como parmetros, es decir, como valores numricos fijos:
Maximice 5 X1 + 3 X2

Recordarn asimismo que habitualmente las restricciones se clasifican como restricciones del tipo de recurso o de produccin. Es un hecho que en la mayora de los problemas de maximizacin, las restricciones de recursos forman parte natural del problema, mientras que en el problema de minimizacin, las restricciones de produccin son la parte ms importante del problema.

Supongamos que desea hallar la mejor asignacin del recurso mano de obra para el Carpintero. En otras palabras, cul es el mejor nmero de horas que el Carpintero debera asignar a su negocio?

Tomemos como R el nmero de horas asignadas, el cual se usar para determinar su valor ptimo. Por lo tanto, el modelo matemtico es hallar R1, de modo tal que:

Maximice 5 X1 + 3 X2

Obsrvese que ahora R1 se trata no como un parmetro sino como una variable de decisin. Es decir, la maximizacin se realiza con las tres variables, X1, X2 y R1:

Maximice 5 X1 + 3 X2

Con software de PL, la solucin ptima es X1 = 50, X2 = 0, con una asignacin ptima de la mano de obra de R1 = 100 horas. As, el valor ptimo es $250.

Asimismo, obsrvese que el valor ptimo de asignacin de recursos es siempre el mismo como lmite superior del rango de sensibilidad RHS1 generado por el software.

Por ejemplo, el incremento permisible en el nmero de horas es 100 - 40 = 60 horas, con el adicional 250 - 110 = 140.

Incluso se puede obtener el precio sombra para este recurso usando esta informacin. El precio sombra es el ndice de cambio en el valor ptimo con respecto al cambio en el lado derecho. Por lo tanto, (250 - 110)/(100 - 40) = 140/60 = 7/3, que es el precio sombra del RHS1, segn se hall por otros mtodos en las secciones anteriores.

Determinacin de la mnima utilidad neta del producto
En la mayora de los casos, la utilidad neta es un factor incontrolable en un entorno de negocios "tomador de precios". Es por ello que a los gerentes les importa conocer cul es la utilidad neta mnima de cada producto determinado, que indica que su produccin es rentable para empezar.
Se recordar que en el Problema del Carpintero ambas utilidades netas ($5 y $3) fueron consideradas como entradas incontrolables, es decir, que eran valores determinados por el mercado:

Maximice 5 X1 + 3 X2

Aqu, la estrategia ptima es X1 =10, X2 = 20, con un valor ptimo de $110.

Supongamos que el Carpintero desea conocer el valor mnimo del primer coeficiente en la funcin objetivo, que actualmente es $5, para poder producir con rentabilidad el primer producto (las mesas).

Supngase que la utilidad neta mnima es c1 dlares; por lo tanto, el problema consiste en hallar c1, de manera tal que:

Maximice c1 X1 + 3 X2

Ahora, el problema dual del carpintero es:

Se observa que ahora la utilidad neta c1 se trata como una variable de decisin. La minimizacin se hace sobre las tres variables; X1, X2 y c1:

La implementacin de este problema en el paquete de computacin muestra que la solucin ptima es U1 = $7/3, U2 = $1/3, y c1 = $1.5.

Se recordar que existen soluciones alternativas para este valor de frontera del rango de sensibilidad para el coeficiente de costo. La solucin correspondiente al lmite inferior se describe en el rango del anlisis de sensibilidad del coeficiente de costo, calculado con anterioridad en el Problema del Carpintero. Por lo tanto, la mnima utilidad neta es siempre la misma que el lmite inferior del rango de sensibilidad del coeficiente de costo generado por el software.

Indicadores de metas
En la mayora de las situaciones de la vida real, al decisor puede no interesarle la optimizacin, y desear en cambio alcanzar un cierto valor para la funcin objetivo. A la mayora de los gerentes les satisface una solucin "suficientemente buena". A este problema se lo conoce como "satisfacer" el problema de "alcanzar la meta".
Una de las razones por las cuales los gerentes de empresas sobrestiman la importancia de la estrategia ptima es que las organizaciones con frecuencia usan indicadores como "sustitutos" para satisfacer sus necesidades inmediatas. La mayora de los gerentes prestan atencin a indicadores tales como la utilidad, el flujo de fondos, el precio de la accin, etc. que indican ms una supervivencia que una meta de optimizacin.

Para resolver el problema de alcanzar la meta, se debe primero aadir la meta del conjunto de restricciones. Para convertir el problema de alcanzar la meta en un problema de optimizacin, se debe crear una funcin objetivo ficticia. Podra ser una combinacin lineal del subconjunto de variables de decisin. Si se maximiza esta funcin objetivo se obtendr una solucin factible (si es que existe). Si se minimiza, se podra obtener otra (habitualmente en el otro "lado" de la regin factible). Se podra optimizar con diferentes funciones objetivas.

Otro abordaje es usar modelos de "Programacin de Metas" que manejan con precisin problemas de satisfaccin de restricciones sin necesariamente tener un solo objetivo. Bsicamente, consideran medidas de violacin de restricciones e intentan minimizarlas. Se pueden formular y resolver modelos de programacin de metas en PL tradicional, usando cdigos de solucin de PL tradicionales.

En el algoritmo de solucin sin variables artificiales se puede usar una funcin objetivo ficticia de cero pero no en algunos paquetes de software, tales como el Lindo. Con los paquetes de software se puede maximizar o minimizar cualquier variable como una funcin objetivo.

Ejemplo numrico

Considere el Ejemplo 1 en la seccin Inicializacin del Mtodo Smplex en un sitio asociado a ste. En lugar de maximizar ahora queremos alcanzar una meta de 4, es decir,

Meta: -X1 + 2X2 = 4
sujeta a:
X1 + X2 ³ 2,
-X1 + X2 ³ 1,
X2 £ 3,
y X1, X2 ³ 0.

Si se aade esta meta al conjunto de restricciones y se convierten las restricciones a la forma de igualdad se obtiene:

X1 + X2 - S1 = 2, -X1 + X2 - S2 = 1, X2 + S3 = 3, y
X1, X2, S1, S2, S3 ³ 0.

Una solucin es X1 = 2, X2 = 3, S1 = 3, S2 = 0, y S3 = 0.

Para obtener detalles sobre los algoritmos de soluciones visite el sitio Web Artificial-Free Solution Algorithms.

Clculo de minimax y maximin en una sola corrida
Supongamos que quiere hallar el peor de varios valores de funciones objetivos definidas con un conjunto comn de restricciones en una sola corrida de computacin.
Como aplicacin, supongamos que en el Problema del Carpintero, sin prdida de generalidad, hay tres mercados con funciones objetivos de 5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, y 4X1 + 4X2, respectivamente. Al carpintero le interesa conocer el peor mercado. Es decir, la solucin del siguiente problema:

El problema del minimax:

Min Max {5X1 + 3X2, 7X1 + 2X2, 4X1 + 4X2}

El Problema del Minimax equivale a:

Maximice y

Sujeta a:
y £ 5x1 + 3X2
y £ 7X1 + 2X2
y £ 4X1 + 4X2
2X1 + X2 £ 40
X1 + 2X2 £ 50
Y todas las variables, X1, X2, y, son no negativas.

Si se toman todas las variables a la izquierda de las restricciones y este problema se implementa en el paquete de computacin, la solucin ptima es X1 = 10, X2 = 20, y = $110. Esto significa que el primero y el segundo mercados son los peores (porque la primera y la segunda restricciones son obligatorias) aportando slo $110 de utilidad neta.

De modo similar, se puede resolver el minimax de varias funciones objetivos en una sola corrida.

Situaciones de ms por menos y menos por ms
Considere el siguiente problema de PL de produccin:
Maximice X1 + 3X2 + 2X3,
sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = 9, todas Xi son no negativas.

Los totales de mano de obra son 4 y 9. El valor ptimo para este problema es $7.

Ahora, si se cambia la segunda mano de obra disponible de 9 por 12, el valor ptimo sera $4. Es decir, que se ha trabajado ms horas por menos utilidad.

Esta situacin surgen frecuentemente y se conoce como "La Paradoja de Ms por Menos". El recurso nmero 2 tiene un precio sombra negativo!

Para hallar el mejor nmero de horas se debe trabajar para maximizar el ingreso, resolviendo la siguiente PL paramtrica:

Maximice X1 + 3X2 + 2X3
sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = L , L, y todas Xi son no negativas.

Con LINDO (o WinQSB) se debe resolver:

Maximice X1 + 3X2 + 2X3
sujeta a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 - L = 0.

La L ptima es 8 horas, y el valor ptimo es $8!

La condicin necesaria y suficiente para que se d la situacin de ms por menos/menos por ms es que existan restriccin(es) de igualdad con precio(s) sombra negativos para los valore(s) RHS.

Para obtener ms informacin sobre sta y otras paradojas visite:
Counterexamples and Explanations for LP Myths

El Mtodo Simplex Clsico

El Mtodo Simplex es la solucin algortmica inicial para resolver problemas de Programacin Lineal (PL). Este es una implementacin eficiente para resolver una serie de sistemas de ecuaciones lineales. Mediante el uso de una estrategia ambiciosa mientras se salta desde un vrtice factible hacia el prximo vrtice adyacente, el algoritmo termina en una solucin ptima.
Introduccin
El mtodo grfico resulta limitado cuando se resuelven problemas de PL que tienen una o dos variables de decisin. Sin embargo, este proporciona una clara ilustracin de donde se encuentran la regin de factibilidad y de no-factibilidad, as como tambin de los vrtices. El tener una comprensin visual del problema ayuda a un mejor proceso de pensamiento racional del mismo. Por ejemplo, hemos aprendido que: si una PL tiene una regin de factibilidad no-vaca y conectada, la solucin ptima siempre se encuentra en uno de los vrtices de la regin de factibilidad (una esquina.) Por lo tanto, lo que se necesita hacer es encontrar todos puntos de intercepcin (vrtices), ver cuales se encuentran dentro del rea de factibilidad, y luego examinar cada uno de ellos para cual proporciona la solucin ptima. Ahora, mediante el uso de los conceptos de Geometra Analtica podremos sobrellevar estas limitaciones de la visin humana. El mtodo algebraico esta diseado para extender los resultados del mtodo grfico a un problema de PL multidimensional.
Mtodo Algebraico:
Los modelos de PL con variables de decisin multidimensional
Estamos interesados en resolver el siguiente problema general:
Max( Min) C.X
sujeto a:
AX £ a
BX ³ b
DX = d
con la posibilidad de algunas variables restringidas: algunos Xi's ³ 0, algunos Xi's £ 0, y todos los dems sin restriccin en el signo.

Es utilizada la notacin comn: C = {Cj} para los coeficientes de la funcin objetivo (conocidos como los coeficientes de costo dado que histricamente, la primera PL fue un problema de minimizacin de costos), y X = {Xj } se utiliza para las variables de decisin.

A continuacin presentamos el procedimiento de cuatro pasos para la solucin algebraica del algoritmo:

1. Construccin de los lmites del conjunto de restricciones: Transformar todas las desigualdades (excepto la condicin de restriccin de cada variable, si existe alguna) a igualdades, mediante la adicin o sustraccin de variables de exceso o defecto. La construccin de los lmites de las variables de las variables restringidas es incluido en el prximo paso.

2. Encontrar Todos los Vrtices: Si el nmero de variables (incluyendo las de exceso y defecto) son mayores al nmero de ecuaciones, proceda a hacer ceros el siguiente nmero de variables:
[(Nmero total de variables incluyendo las de exceso y defecto) (Nmero de ecuaciones)]

Las variables llevadas a cero son las variables de exceso y defecto y las variables restringidas (cualquier Xi's ³ 0, Xi's £ 0) solamente. Luego de llevar todas estas variables a cero, proceda a encontrar las otras variables mediante la resolucin del sistema cuadrado de ecuaciones.

Note que si Xi ³ 0, entonces podra ser escrito como Xi - Si = 0, llevando los Si correspondientes a cero significa que Xi = 0, por lo tanto, no es necesario introducir explcitamente variables de exceso y defecto. Adicionalmente, note que cuando cualquier Xi no esta restringido en el signo, este no adiciona una restriccin.

3. Comprobar la Factibilidad: Todas las variables de defecto o exceso deben ser no-negativas, y compruebe por la condicin de restriccin (si existe alguna) en cada variable. Cada solucin factible es llamada una Solucin Factible Bsica, la cual es el punto en cada esquina de la regin de factibilidad.

4. Seleccionar una Esquina Optima: Entre todas las soluciones factibles (i.e., puntos en las esquinas factibles), encuentre el ptimo (si existe alguno) evaluando cada uno en la funcin objetivo. Podran existir soluciones ptimas mltiples.

Recuerde que: un sistema lineal AX=b tiene una solucin si y solo si el rango de A es igual al rango de la matriz argumento (A,B).

Definiciones a Saber:

Cada solucin para cualquier sistema de ecuaciones es llamada una Solucin Bsica (SB). Todos las SB, que son factibles se les llama Soluciones Factibles Bsicas (SFB).
En cada solucin bsica, las variables, que usted igualo a cero, son llamadas las Variables No-Bsicas (VNB), todas la otras variables que se calcularos mediante el sistema de ecuaciones son llamadas Variables Bsicas (VB).
Note que, la lista de las variables de decisin, las cuales son las VB para una solucin ptima, son absolutamente disponibles en la tabla de soluciones ptimas en QSB.

Los defectos son los sobrantes de insumos. Los excesos son los sobrantes en la produccin.

Nmero de Soluciones Bsicas: Despus de convertir todas las inigualdades en igualdades, dejemos que T = el nmero total de variables, incluyendo las de exceso y defecto, E = Nmero de ecuaciones, y R = el nmero total de las variables de exceso y defecto, as como tambin las variables de decisiones restringidas, por lo que el nmero mximo de soluciones bsicas es:

R! / [(T - E)! (R + E - T)!]

donde ! significa Factoriales. Por ejemplo, 4 ! = (1)(2)(3)(4) = 24. Note que por definicin 0 ! = 1.

Note que, si E > T T > R + E, la formulacin inicial de la PL podra estar equivocada. Los remedios para las acciones correctivas son discutidos en la seccin El Lado Oscuro de la PL: Herramientas para la Validacin de Modelos.

El resultado principal: Si un problema de PL no tiene solucin(es) acotadas, el mtodo algebraico generar las soluciones.

Ejemplo 1 : Un Problema sin Ninguna Variable Restringida:

Introduciendo las variables d defecto y exceso, obtenemos:

X1 + X2 - S1 = 10
X1 + S2 = 8
X2 + S3 = 12

Para este problema E = 3, T = 5, R = 3, por lo tanto, existen como mximo 3! / [2! . (3 - 2)! ] = 3 soluciones bsicas. Para encontrar las soluciones bsicas, sabemos que existen 3 ecuaciones con 5 incgnitas, dejando cualquier 2 = 5 - 3 variables de exceso o defecto a cero, y luego resolviendo el sistema de ecuaciones resultante de 3 incgnitas, obtenemos:

S1

S2

S3

X1

X2

X1 + X2

0

0

10

8

2

10

10

0

0

8

12

20*

0

10

0

-2

12

10

La solucin ptima es S1= 10, S2 = 0, S3 = 0, X1 = 8, X2 = 12, con un valor ptimo de 20.

Ejemplo 2: Un Problema con Una variable Restringida:

El siguiente problema es atribuido a Andreas Enge, y Petra Huhn.

Maximizar 3X1 + X2 - 4X3
sujeto a:
X1 + X2 - X3 =1,
X2 ³ 2,
X1 ³ 0

Luego de agregar la variable de exceso, tenemos:

Maximizar 3X1 + X2 - 4X3
sujeto a:
X1 + X2 - X3 =1,
X2 - S1 = 2,

Este problema de PL no puede ser resuelto por el mtodo grfico. Sin embargo, el mtodo algebraico es general en el sentido que no pone ninguna limitacin en la dimensionalidad del problema. Note que tenemos dos ecuaciones con una variable de exceso, y una variable de decisin restringida. Los parmetros para este problema son: T= 4, R = 2, y E = 2. Esto nos proporciona el nmero total de soluciones bsicas posibles: 2! / [(2!). (0!)] = 1. Haciendo las variables X1 y de exceso iguales a cero:

X1

X2

X3

S1

3X1 + X2 -4X3

0

2

1

0

-2*

Por lo tanto la solucin ptima es X1 = 0, X2 = 2, X3 = 1, con un valor ptimo de -2.

Ejemplo 3: El Problema del Carpintero:

Introduciendo las variables de exceso y defecto para convertir todas las inigualdades en igualdades, tenemos:

2X1 + X2 + S1 = 40
X1 + 2X2 + S2 = 50

Aqu tenemos 2 ecuaciones con 4 incgnitas. Dado que las variables X1 y X2 son ambas restringidas, debemos llevar otras dos variables incluyendo estas dos a cero. Resolviendo el sistema de seis ecuaciones resultante, tenemos:

0

0

10

20

110*

0

-30

0

40

no-factible

0

30

20

0

100

15

0

0

25

75

-60

0

50

0

no-factible

40

50

0

0

0

Por lo tanto, de la tabla anterior, obtenemos que la solucin ptima es S1= 0, S2 = 0, X1 = 10, X2 = 20, con un valor ptimo de $110.

Ejemplo 4: Un Problema con Restricciones Mixtas:

Introduciendo las variables de exceso y defecto, tenemos:

X1 + X2 - S1 = 4
-X1 + X2 + S2 = 2

Aqu tenemos 2 ecuaciones con 4 incgnitas. Dado que solo X1 es restringida, debemos hacer cero por lo menos dos de las variables S1, S2, y X1. Resolviendo el sistema de seis ecuaciones resultante, tenemos:

0

4

0

-2

no-factible

0

2

-2

0

no-factible

1

3

0

0

7*

Por lo tanto, de la tabla anterior vemos que la solucin ptima es X1 = 1, X2 = 3, S1= 0, S2 = 0, con un valor ptimo de 7.

Ejemplo 5: Un Problema de Transporte:

El objetivo es encontrar la forma mas efectiva de transportar bienes. La oferta y demanda de cada origen (por ejemplo, almacenes) O1, O2 y destinos (por ejemplo, mercados) D1 y D2, junto a los costos unitarios de transporte se encuentran resumidos en la tabla siguiente:

La Matriz de Costos Unitarios de Transporte

Dejemos que los Xij denoten la cantidad de transportacin que sale del origen i al destino j. La formulacin de la PL del problema de minimizacin del costo total de transporte es:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

sujeto a:
X11 + X12 = 200
X21 + X22 = 100
X11 + X21 = 150
X12 + X22 = 150
todos los Xij ³ 0

dado que este problema de transporte es balanceado (oferta total = demanda total), todas las restricciones estn en forma de igualdad. Adicionalmente, todas las restricciones son redundantes (agregando dos restricciones cualquiera y sustrayendo alguna otra obtendramos la restante.) Eliminemos una restriccin de tal forma que el problema se reduce a:

Min 20X11 + 30X12 + 10X21 + 40X22

sujeto a:
X11 + X12 = 200
X21 + X22 = 100
X11 + X21 = 150
para todos los Xij ³ 0

Este problema de PL no puede ser resuelto por el mtodo grfico. Sin embargo el mtodo algebraico no tiene limitaciones en las dimensiones del PL. Note que tenemos tres ecuaciones con cuatro variables de decisin restringidas. Haciendo cualquiera de las variables cero, tenemos:

0

200

150

-50

no-factible

200

0

-50

150

no-factible

150

50

0

100

8500

50

150

100

0

6500*

Por lo tanto, la estrategia ptima es X11 = 50, X12 = 150, X21 = 100, y X22 = 0, con por lo menos un coste total de transporte de $6,500.

Ejemplo 6: Un Problema con Muy Pocas Restricciones:

Asi como en nuestro ejemplo anterior, considere el problema siguiente:

Max X1 + X2
sujeto a:
X1 + X2 £ 5

Introduciendo la variable de exceso tenemos:

X1 + X2 + S1 = 5

Los parmetros para este problema son: T = 3, R = 1, y E = 1. Esto proporciona el nmero total de soluciones bsicas posibles 1! / [(1!). (0!)] = 1. Haciendo la variable de exceso cero, tenemos esta ecuacin simple X1 + X2 = 5 con dos variables a resolver. Por lo tanto, no existen esquinas; adicionalmente, la regin de factibilidad no se encuentra definida. Sin embrago, cualquier solucin arbitraria tal y como X1 = 0, X2 = 5 es una solucin ptima al problema de PL, con un valor ptimo de 5.

Pivoteando Operaciones en Filas
Como usted recuerda, el mtodo algebraico envuelve el resolver varios sistemas de ecuaciones lineales. Cuando el problema de PL tiene varias variables y restricciones, el resolver muchos sistemas de ecuaciones manualmente se vuelve tedioso y en algunos casos cuando son problemas de gran escala, se hace imposible de resolverlos. Por lo tanto, necesitamos que las computadoras hagan los clculos por nosotros. Uno de los algoritmos o aproximaciones computarizadas para resolver sistemas de ecuaciones lineales es conocido como las operaciones de pivoteo de Gauss-Jordan (GJ.)
El pivoteo de GJ ser tambin requerido posteriormente cuando utilicemos el Mtodo Simplex, por lo tanto, ahora es el momento preciso para desarrollar los hbitos necesarios para los tiempos futuros.

El pivoteo utiliza operaciones en fila (conocido como las operaciones en fila de Gauss-Jordan) para cambiar una matriz de entrada (la pivote) a "1", y luego cambiar todas las otras entradas en la columna pivote a cero.

Una vez que el pivote es elegido, las operaciones de pivotaje en fila debe ser como sigue:

Paso 1: Hacer un pivote "1" mediante la divisin de toda la fila pivote por el valor del pivote.

Paso 2: Hacer el resto de la columna pivote ceros agregando a cada fila a mltiplo confiable de la fila pivote.

Note: El nmero cambiando a "1" llamado pivote, es usualmente encerrado en crculo, nunca puede ser cero. Si este valor es cero, intercambie esta fila con otra fila mas abajo que tenga un elemento diferente de cero en esa columna (sino existe ninguno, entonces la conversin ser imposible.)

Un Ejemplo Numrico: Utilizando la operacin de filas de Gauss-Jordan, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

2X1 + X2 + X3 = 3
X1 + 3X3 = 1
2X1 + X2 = 2

El objetivo es convertir los coeficientes del sistema de ecuaciones en la siguiente matriz identidad. Los resultados de los elementos del Lado de la Mano Derecha (LMD) (?) proporcionan la solucin (si esta existe.)
Paso 1. Utilice las operaciones de fila columna por columna;
Paso 2. En cada columna:

a) Primero obtenga 1 en la fila apropiada mediante la multiplicacin del recproco. Note: Si existe un valor cero en esta posicin, intercambie con una fila mas abajo en la en la cual se encuentre un valor no-cero (si es posible.)

b) Reduzca todos los otros valores de la columna a cero mediante la adicin del mltiplo apropiado correspondiente desde la fila que contiene el uno, a cada fila subsiguiente.

Apliquemos el procedimiento anterior a nuestro ejemplo numrico.

Notaciones: Fila vieja [ ], Fila nueva { }. Colocando estas dos matrices una junto a la otra, la matriz argumentada es:

La solucin es X1 = -2, X2 = 6, y X3 =1, la cual puede ser verificada mediante sustituciones.

Visite adicionalmente las pginas web Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, Mquina Pivote, Resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales, y El Mdulo de Ecuador The Equator Module.

El Mtodo Simplex
El Mtodo Simplex es otro algoritmo para resolver problemas de PL. Recuerde que el mtodo algebraico proporciona todos los vrtices incluyendo aquellos que no son factibles. Por lo tanto, esta no es una manera eficiente de resolver problemas de PL con numerosas restricciones. El Mtodo Simplex es una modificacin del mtodo algebraico, el cual vence estas deficiencias. Sin embargo, el Mtodo Simplex tiene sus propias deficiencias. Por ejemplo, este requiere que todas las variables sean no-negativas (³ 0); Adems, todas las dems restricciones deben estar en la forma £ con un LMD de valores no-negativos.
As como el Mtodo Algebraico, el mtodo simplex es una solucin algortmica tabular. Sin embargo, cada tabla (de iteracin) en el mtodo simplex corresponde a un movimiento desde un Conjunto Bsico de Variables (CBV) (puntos extremos esquinas) a otro, asegurndose que la funcin objetivo mejore en cada iteracin hasta encontrar la solucin ptima.

La presentacin del mtodo simplex no es universal. En la Costa Oeste de los Estados Unidos, profesores disfrutan resolviendo problemas de minimizacin, mientras que en la Costa Este se prefiere la maximizacin. Igualmente dentro de estos dos grupos usted encontrar diferentes presentaciones de las reglas del mtodo simplex. El procedimiento siguiente describe todos los pasos envueltos en la aplicacin de la solucin algortmica del mtodo simplex:

1. Convertir la PL a la forma siguiente:
Convierta el problema de minimizacin a un problema de maximizacin (mediante la multiplicacin por 1 de la funcin objetivo).
Todas las variables deben ser no-negativas.
Todos los valores al LMD deben ser no-negativos (multiplique ambos lados por -1, si es necesario).
Todas las restricciones deben estar en la forma £ (excepto las condiciones de no-negatividad).Restricciones no estrictamente iguales ³ son permitidas.
Si esta condicin no puede ser satisfecha, utilice la Inicializacin del Mtodo Simples: Libre-Artificialidad.

2. Convierta las restricciones £ a igualdades mediante la adicin de diferentes variables de exceso para cada una de ellas.

3. Construya la tablatura simplex inicial con todas las variables de exceso en CBV. La ltima fila en la tabla de iteracin contiene el coeficiente de la funcin objetivo (fila Cj.)

4. Determine si la tabla de iteracin actual es ptima. Es decir: :
Si todos los valores al LMD son no-negativos (llamada, condicin de factibilidad)
Si todos los elementos de la ltima fila, es decir la fila Cj, son no-positivos (llamado condicin de optimalidad).
Si la respuesta a ambas preguntas es S, entonces detngase. La tabla de iteracin actual contiene una solucin ptima.
De otra forma, proceda al prximo paso.

5. Si el CBV actual es no es ptimo, determine cual variable no-bsica debera convertirse en variable bsica y viceversa. Para encontrar la nueva CBV con un mejor valor de funcin objetivo, realice el siguiente procedimiento:

Identifique la variable entrante: Esta es la que posee el valor positivo Cj ms grande (En el caso de que dos valores sean iguales en esta condicin, seleccione el valor mas a la izquierda de las columnas.)

Identifique la variable saliente: Esta es la variable con el ratio en columna no-negativa ms pequeo (para encontrar los ratio en columnas, divida los LMD de las columnas entre la variable de columna entrante, siempre que sea posible). En caso de que existan dos valores iguales, seleccionamos la variable correspondiente al valor mas arriba de la columna igualada.)

Generar la nueva tabla de iteracin: Realice la operacin de pivoteo de Gauss-Jordan para convertir la columna entrante en un vector columna identidad (incluyendo los elementos de la fila Cj.)
Siga al paso 4.

Una pequea discusin acerca de la estrategia del mtodo simplex: Al comienzo del procedimiento simplex; el conjunto de supuestos estn constituidos por las variables de exceso (holgura.) Recuerde que el primer CBV contiene solo variables de exceso. La fila Cj presenta un incremento en el valor de la funcin objetivo el cual resultar si una unidad de la variable j-sima columna correspondiente fue trada en los supuestos. Esta fila responde la pregunta: Podemos mejorar la funcin objetivo si nos movemos a una nueva CBV? Llamaremos a esta la fila indicadora (dado que esta indica si la condicin de optimalidad esta satisfecha).

El criterio para ingresar una nueva variable en el CBV causar el incremento por unidad mas alto de la funcin objetivo. El criterio para remover una variable del CBV actual se mantiene factible (asegurndose que el nuevo LMD, despus de los no-negativos restantes.)

Advertencia: Siempre que durantes las iteraciones en el Simplex tengan un LMD negativo, significa que se ha seleccionado la variable saliente errada. El mejor remedio es comenzar de nuevo.

Note que existe una solucin a cada tabla de iteracin en el simplex. Los valores numricos de las variables bsicas son los valores de LMD, mientras que las otras variables (no-bsicas) son siempre iguales a cero.

Interpretacin Geomtrica del Mtodo Simplex: El mtodo simplex siempre comienza al origen (esquina o punto extremo) y luego salta de esquina a esquina hasta que encuentra el punto extremo ptimo (si est bordeado.) Por lo tanto, en cada una de las iteraciones del simplex, estamos buscando una mejor solucin entre los vrtices de un Simplex. un simplex en un espacio n-dimensional es la forma ms fcil teniendo n + 1 vrtices. Por ejemplo, un triangulo es un simplex de espacio de 2 dimensiones mientras que una pirmide es un simplex en un espacio de 3 dimensiones. Estos movimientos pueden ser observados cuando se corresponde cada tabla de iteracin del simplex con un punto extremo especfico en el mtodo grfico, por ejemplo en el problema del carpintero, as como se muestra a continuacin:

Las Recetas Numricas sostienen que el algoritmo Simplex es casi siempre O(max(N,M)), lo cual significa que el nmero de iteraciones es factor del nmero de variables restricciones, el que sea mas grande.

Un Ejemplo Numrico: El Problema del Carpintero

Maximizar 5X1 + 3X2

Sujeto a:
2X1 + X2 £ 40
X1 + 2X2 £ 50
y ambos X1, X2 son no-negativos.

Luego de agregar las dos variables de exceso S1 y S2, el problema se hace equivalente a:

Maximizar 5X1 + 3X2

Sujeto a:
2X1 + X2 + S1 = 40
X1 + 2X2 + S2 = 50
Y las variables X1, X2, S1, S2 son todas no-negativas.

la tabla de iteracin inicial es:

La solucin mostrada por la tabla de iteracin es: S1 = 40, S2 = 50, X1 = 0, y X2 = 0. Esta solucin es el origen, mostrada en nuestro mtodo grfico.

Esta tabla de iteracin no es ptima dado que algunos elementos Cj son positivos. La variable entrante es X1 y la saliente es S1 (mediante la prueba de C/R). El elemento pivote se encuentra entre las llaves ({}). Luego de pivotear, tenemos:

La solucin para esta tabla de iteracin es: X1 = 20, S2 = 30, S1 = 0, y X2 = 0. Esta solucin es el punto extremo (20, 0), mostrado en nuestro mtodo grfico.

Esta tabla de iteracin no es ptima dado que algunos elementos Cj son positivos. La variable entrante es X2 y la saliente es S2 (mediante la prueba de C/R). El elemento pivote se encuentra entre las llaves ({}). Luego de pivotear, tenemos:

CBV

X1

X2

S1

S2

LMD

X1

1

0

2/3

-1/3

10

X2

0

1

-1/3

2/3

20

La solucin para esta tabla de iteracin es: X1 = 10, X2 = 20, S1 = 0, y S2 = 0. Esta solucin es el punto extremo (10, 20), mostrado en nuestro mtodo grfico.

Esta tabla de iteracin es ptima dado que todos los elementos Cj son no-positivos y todos los LMD son no-negativos. La solucin ptima es X1 = 10, X2 = 20, S1 =0, S2 = 0. Para encontrar el valor ptimo, sustituya estos valores en la funcin objetivo 5X1 + 3X2 = 5(10) + 3(20) = $110.

Visite tambin las pginas web tutOR, El Lugar Simplex, La Mquina Simplex, y Explorador -PL.

Programas lineales generales con enteros
La PL estndar asume que las variables de decisin son continuas. Sin embargo, en muchas aplicaciones, los valores fraccionarios pueden no servir de mucho (por ej., 2,5 empleados). Por otra parte, como a esta altura ya saben, como los programas lineales con enteros son ms difciles de resolver, quizs se pregunten para qu la molestia. Por qu no simplemente usar un programa lineal estndar y redondear las respuestas a los enteros ms cercanos? Desafortunadamente, esto genera dos problemas:

La solucin redondeada puede no ser factible, y

El redondeo puede no dar una solucin ptima.

Por lo tanto, el redondeo de resultados de programas lineales puede proporcionar respuestas razonables, pero para garantizar soluciones ptimas debemos aplicar programacin lineal con enteros. Por omisin, el software de PL asume que todas las variables son continuas. Con el software Lindo, convendr usar la sentencia de entero general - GIN. GIN seguida de un nombre de variable restringe el valor de la variable a los enteros no negativos (0,1,2,). El siguiente ejemplo sencillo ilustra el uso de la sentencia GIN.

Max 11X1 + 10X2
S.T. 2X1 + X2  £ 12
        X1 - 3X2  ³ 1
END
GIN X1
GIN X2


La salida despus de siete iteraciones es:


VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO 1) 66.00000 VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO X1 6.000000 -11.000000 X2 0.000000 -10.000000 FILA HOLGURA O EXCEDENTE 2) 0.000000 3) 5.000000

Si no hubiramos especificado X1 y X2 como enteros generales en este modelo, LINDO no habra hallado la solucin ptima de X1 = 6 y X2 = 0. En cambio, LINDO habra considerado a X1 y X2 como continuos y habra llegado a la solucin X1 = 5.29 y X2 = 1.43.

Observen asimismo que el simple redondeo de la solucin continua a los valores enteros ms prximos no da la solucin ptima en este ejemplo. En general, las soluciones continuas redondeadas pueden no ser las ptimas y, en el peor de los casos, no son factibles. Sobre esta base, uno se puede imaginar que puede demandar mucho tiempo obtener la solucin ptima en un modelo con muchas variables de enteros. En general, esto es as, y les convendr utilizar la caracterstica GIN slo cuando es absolutamente necesario.

Como ltimo comentario, el comando GIN tambin acepta un argumento de valor entero en lugar de un nombre de variable. El nmero corresponde al nmero de variables que uno desea que sean enteros generales. Estas variables deben aparecer primero en la formulacin. De tal modo, en este ejemplo sencillo, podramos haber reemplazado las dos sentencias GIN por la nica sentencia GIN 2.

Aplicacin mixta de programacin con enteros: restricciones "Y-O"
Supongan que una panadera vende ocho variedades de rosquillas. La preparacin de las variedades 1, 2 y 3 implica un proceso bastante complicado, por lo que la panadera decidi que no les conviene hornear estas variedades, a menos que pueda hornear y vender por lo menos 10 docenas de las variedades 1, 2 y 3 combinadas. Supongan tambin que la capacidad de la panadera limita el nmero total de rosquillas horneadas a 30 docenas, y que la utilidad unitaria de la variedad j es
Maximice Z = S P j X j
Sujeta a las restricciones: S X£ 30 j
X1 + X2 + X3 = 0, OR, X1 + X2 + X3 ³ 10
j dlares. Si xj, j = 1, 2, ,6 denote el nmero de docenas de la variedad j que se deben hornear, y luego la utilidad mxima puede hallarse resolviendo el siguiente problema (asumiendo que la panadera consigue vender todo lo que hornea):
Maximice Z = S P j X j
Sujeta a las restricciones: S X£ 30 j
X1 + X2 + X3 - 30y £ 0,
X1 + X2 + X3 - 10y³ 10
X³ 0, y = 0, or 1. j

Programas lineales con enteros 0 - 1
Con el comando INT en LINDO se restringe la variable a 0 o 1. A estas variables con frecuencia se las llama variables binarias. En muchas aplicaciones, las variables binarias pueden ser muy tiles en situaciones de todo o nada. Entre los ejemplos podemos incluir cosas tales como asumir un costo fijo, construir una nueva planta o comprar un nivel mnimo de algn recurso para recibir un descuento por cantidad.
Ejemplo: Considere el siguiente problema de la mochila

Maximice 11X1 + 9X2 + 8X3 + 15X4
Sujeta a:: 4X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 £ 8, and Xi either 0 or 1.

Con LINDO, la sentencia del problema es:

Max 11X1 + 9X2 + 8X3 + 15X4
S.T. 4X1 + 3X2 + 2X3 + 5X4 £ 8
END
INT X1
INT X2
INT X3
INT X4

Luego haga clic en SOLVE. La salida da la solucin ptima y el valor ptimo despus de ocho iteraciones "Branch-and-Bound" (de rama y frontera).

Observe que en lugar de repetir INT cuatro veces se puede usar INT 4. Las primeras cuatro variables aparecieron en la funcin objetivo.

         VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO

        1)      24.00000

    VARIABLE     VALOR          COSTO REDUCIDO
        X1         0.000000        -11.000000
        X2         1.000000         -9.000000
        X3         0.000000         -8.000000
        X4         1.000000        -15.000000


     FILA   HOLGURA O EXCEDENTE   PRECIOS DUALES
        2)         0.000000          0.000000

Nro. DE ITERACIONES =       8

Aplicaciones para formulacin de presupuestos de inversiones
Supongan que una compaa de Investigacin y Desarrollo dispone de una suma de dinero, D dlares, para invertir. La compaa ha determinado que existen N proyectos en los que conviene invertir, y por lo menos d j dlares deben invertirse en el proyecto j si se decide que ese proyecto j es aqul en el que vale la pena invertir. Asimismo, la compaa determin que la utilidad neta que puede obtenerse despus de invertir en el proyecto j es de
jdlares. El dilema de la compaa es que no puede invertir en todos los proyectos N, porque S d> D. Por lo tanto, la compaa debe decidir en cules de los proyectos invertir maximizando la utilidad. Para resolver este problema, el asesor formula el siguiente problema:
Xj
X
El monto total que se invertir entonces es de j = 1 si la compaa invierte en el proyecto j, y
S dj = 0 si la compaa no invierte en el proyecto j.
S dj Xj £ D

La utilidad total ser S P j X j. Por lo tanto, la compaa quiere el problema 0-1:

Maximice Z= S P j X j
Sujeta a: S d j X£ D, X j j = 0, OR 1.

Problemas de scheduling (planificacin de turnos)
Si se quiere utilizar la mano de obra lo ms eficientemente posible es importante analizar los requerimientos de personal durante las diversas horas del da. Esto es en especial as en las grandes organizaciones de servicios, donde la demanda de los clientes es repetitiva pero cambia de manera significativa segn la hora. Por ejemplo, se necesitan muchos ms operadores telefnicos durante el perodo del medioda a las dos de la tarde que desde la medianoche a las dos de la maana. Pero, sin embargo, debe haber algunos operadores de guardia durante la madrugada. Como los operadores habitualmente cumplen turnos de ocho horas es posible planificar las horas de trabajo de los operadores de modo tal que un solo turno cubra dos o ms "perodos pico" de demanda. Mediante el diseo de planes horarios inteligentes, la productividad de los operadores aumenta y el resultado es un plantel ms reducido, y por lo tanto, una reduccin en los costos salariales. Algunos otros ejemplos de reas donde los modelos de scheduling han resultado tiles son los conductores de mnibus, los controladores de trfico areo y las enfermeras. A continuacin analizaremos un problema de ejemplo y desarrollaremos un modelo de programacin con enteros para planificar el horario de trabajo de enfermeras.
Es un problema de rutina en los hospitales planificar las horas de trabajo de las enfermeras. Un modelo de planificacin es un problema de programacin con enteros que consiste en minimizar el nmero total de trabajadores sujeto al nmero especificado de enfermeras durante cada perodo del da.
j X

Perodo

Hora del da

Nmero requerido de enfermeras

j, y como este monto no puede ser superior a D dlares tenemos la siguiente restriccin:
Como cada enfermera trabaja ocho horas puede comenzar a trabajar al comienzo de cualquiera de los siguientes cinco turnos: 8:00, 10:00, 12:00, 2:00 o 4:00. En esta aplicacin no consideramos ningn turno que comience a las 9:00, 11:00, etc. Tampoco es necesario tener enfermeras que comiencen a trabajar despus de las 4:00, porque entonces su turno terminara despus de la medianoche, cuando no se necesitan enfermeras. Cada perodo tiene dos horas de duracin, de modo tal que cada enfermera que se presenta a trabajar en el perodo t tambin trabajar durante los perodos t + 1, t+ 2, y t + 3 --- ocho horas consecutivas. La pregunta es: "Cuntas enfermeras deberan comenzar su turno en cada perodo para satisfacer los requerimientos del recurso especificados en la tabla anterior?" Para formular el modelo de este problema. X t es una variable de decisin que denota el nmero de enfermeras que comenzarn su horario en el perodo t. La mano de obra total, que deseamos minimizar, es S X t. Durante el perodo 1, debe haber por lo menos 10 personas de guardia; entonces, debemos tener X ₁ ³ 10. De modo similar, los requerimientos del perodo 2 slo pueden satisfacerse con X ₁ + X³ 8. De esta manera denotamos los requerimientos de los perodos restantes: ₂

X ₁ + X ₂ + X ₃ ³ 9,
X ₁ + X ₂ + X ₃ + X ₄ ³ 11,
X ₂ + X ₃ + X ₄ + X³ 13, ₅
X ₃ + X³ 8, ₄ +X
X ₅ ³ 5,
X ₄ + X ₅ ³ 3,
Todas las variables son nmeros enteros. ₅

Observe que X ₁ no est incluida en la restriccin del perodo 5, ya que las enfermeras que comienzan en el perodo 1 ya no estn en servicio en el perodo 5. Asimismo, observe que puede resultar necesario tener ms que el nmero requerido de personas en algunos perodos. Por ejemplo, vemos con la primera restriccin que el nmero de enfermeras que comienzan a trabajar en el perodo 1 debe ser 10, como mnimo. Todas ellas estarn todava trabajando en el perodo 2, pero en ese momento slo se necesitarn ocho personas. Entonces, incluso si X ₂ = 0,

habr dos enfermeras extra de guardia en el perodo 2.

Programacin no lineal
La programacin lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la modelizacin de problemas de la vida real como en la teora matemtica de amplia aplicacin. Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimizacin son no lineales. El estudio de estos problemas implica una mezcla diversa de lgebra lineal, clculo multivariado, anlisis numrico y tcnicas de computacin. Entre las reas especiales importantes se encuentra el diseo de algoritmos de computacin (incluidas las tcnicas de puntos interiores para programacin lineal), la geometra y el anlisis de conjuntos convexos y funciones, y el estudio de problemas especialmente estructurados, tales como la programacin cuadrtica. La optimizacin no lineal proporciona informacin fundamental para el anlisis matemtico, y se usa extensamente en las ciencias aplicadas (en campos tales como el diseo de ingeniera, el anlisis de regresin, el control de inventario y en la exploracin geofsica).
Programacin con restricciones no binarias
A travs de los aos, la comunidad dedicada a la programacin con restricciones ha venido prestando considerable atencin a la modelstica y resolucin de problemas usando restricciones unarias y binarias. Ha sido slo desde hace poco que se viene prestando ms atencin a las restricciones no binarias, y se debe principalmente a la influencia del nmero creciente de aplicaciones en la vida real. Una restriccin no binaria es una restriccin que se define con k variables, donde k normalmente es mayor que 2. En tal sentido, la restriccin no binaria puede considerarse como una restriccin ms global. La modelizacin de (una parte de) un problema con una restriccin no binaria presenta dos ventajas principales: Facilita la expresin del problema y habilita una mayor propagacin ms poderosa de la restriccin a medida que se dispone de informacin ms global.
Los xitos logrados en aplicaciones para programacin de itinerarios, horarios de trabajo y rutas han demostrado que usar restricciones no binarias es una direccin de investigacin promisoria. De hecho, cada vez ms personas creen que este tema es crucial para que la tecnologa de las restricciones se convierta en una manera realista de modelizar y resolver problemas de la vida real.

Optimizacin combinatoria
Agrupar, cubrir y particionar (aplicaciones de los programas con enteros) son los principales temas matemticos que constituyen la interfaz entre la combinatoria y la optimizacin. La optimizacin combinatoria es el estudio de estos problemas. Aborda la clasificacin de problemas de programacin con enteros, de acuerdo con la complejidad de algoritmos conocidos para resolverlos, y con el diseo de algoritmos apropiados para resolver subclases especiales de problemas. En particular, se estudian problemas de flujos de red, correspondencias y sus generalizaciones matroides. Esta materia es uno de los elementos unificadores de la combinatoria, la optimizacin, la investigacin operacional y la computacin cientfica.
Herramientas para el Proceso de Validacin de Modelos:
El Lado Oscuro de la Programacin Lineal
Introduccin:Que podra salir mal en el proceso de construccin de un modelo de Programacin Lineal (PL)? Los obstculos potenciales siempre existen, los cuales afectan cualquier aplicacin de la PL; Por lo tanto, los tomadores de decisiones y los analistas deben estar concientes de las deficiencias de la PL al momento de crear el modelo.
Los obstculos potenciales siempre existen, los cuales afectan cualquier aplicacin de la PL. Las soluciones ptimas podran ser no-factibles, ilimitadas, podran existir soluciones mltiples. La degeneracin del modelo podra ocurrir. La figura siguiente proporciona una clasificacin de para el proceso de validacin de modelos de Programacin Lineal (PL):

Una Clasificacin de Soluciones de Programacin Lineal para el Proceso de Validacin de Modelos

Characteristics of the Feasible Region (FR)= Caractersticas de la Regin de Factibilidad (RF.)

Bounded FR = RF Limitada; Empty FR = RF Vaca; Unbounded FR= RF Ilimitada; No Solution= Sin Solucin.

Degenerate Solution= Solucin Degenerada; Multiple Solution= Soluciones Multiples; Unbounded Solution= Solucin Ilimitada; Unique Solution= Solucin Unica; Bounded Solution= Solucin Limitada.

Estos y otros obstculos no son mucho ms de las deficiencias en la programacin lineal pero son situaciones de las cuales los tomadores de decisiones deberan estar conscientes. Que podra salir mal en el proceso de construccin de un modelo de Programacin Lineal (PL)?

Problemas con los Paquetes de PL: La mayora de los software para resolver problemas de PL tienen problemas en reconocer el lado oscuro de la PL, y/o dar alguna sugerencia remedio para resolverlo. Resuelva el problema siguiente utilizando el WinQSB, y luego descubra y reporte los resultados obtenidos.

Ilimitacin
Identificacin: En el Algoritmo Simplex, si se introduce una columna j y todos los aij en esa columna son menores o iguales a cero, el ratio la columna (C/R) no puede ser determinado. Vea tambin el caso de degeneracin.
Por ejemplo, considere el siguiente problema:

Max Y1
sujeto a:
Y1 + Y2 -2T = 0
Y1 -Y2 = 2
todas la variables de decisin son ³ 0.

A continuacin por ejemplo, en el mtodo libre-artificial, obtenemos la tabla siguiente:

A pesar de que la variable Y2 debera entrar como una variable bsica, todos los elementos en esta columna son menores que cero, Por lo tanto, el problema de programacin lineal es ilimitado.

Aprenda que una solucin ptima ilimitada significa tener una regin de factibilidad cerrada ilimitada, sin embrago, la situacin inversa de este enunciado podra no ocurrir. Una solucin ptima ilimitada significa que las restricciones no limitan a la solucin ptima y que la regin de factibilidad se extiende hasta el infinito.

Resolucin: En la vida real, esta situacin es muy extraa. Revise la formulacin de las restricciones, faltan una o ms restricciones. Revise tambin alguna mala especificacin de las restricciones en cuanto a las direcciones de las inigualdades o errores numricos.

El Anlisis de Sensibilidad no es aplicable.

Los software WinQSB y Lindo establecen que el problema es ilimitado.

Regin de Factibilidad Ilimitada: Tal y como se mencion anteriormente, aprenda que una solucin ilimitada requiere una regin de factibilidad cerrada ilimitada. La situacin inversa de este enunciado podra no ocurrir. Por ejemplo, el siguiente problema de PL tiene una regin de factibilidad cerrada ilimitada, sin embargo, la solucin es limitada:

La solucin ptima es X1 = 4, y X2 = 0.

Soluciones Optimas Mltiples (soluciones ptimas Innumerables)
Identificacin: En la tabla de iteracin final del Simplex, si la fila Cj (la ltima fila en la tabla) es cero para una o ms de las variables no-bsicas, tendramos dos soluciones ptimas (por lo tanto muchas infinitas) Para encontrar la otra esquina ( si existe), se hace un pivote en una columna nobsica con Cj igual a cero.
La condicin necesaria para que exista un PL con mltiples soluciones: Si el nmero total de ceros en el Costo Reducido junto al nmero de ceros la columna de Precio Sombra exceden el nmero de restricciones, se podran tener mltiples soluciones. Si se realiza una corrida del problema anterior en un software como WinQSB Lindo, se encontrarn cuatro ceros. Sin embargo, debe darse cuenta que esta es simplemente una condicin Necesaria y no una condicin Suficiente, as como en el ejemplo numrico anterior. Desafortunadamente, el QSB utiliza esta condicin necesaria. Por lo tanto, proporciona mensajes Errneos.

Ejemplo: El problema siguiente tiene varias soluciones:

Utilizando el software QSB, usted obtendr dos soluciones, (X1 = 8, X2 = 0) y (X1 = 4, X2 = 6). Note que, la existencia de soluciones mltiples significa que tenemos soluciones ptimas innumerables (No solo dos).

Siempre que existan dos vrtices que sean ptimos, se pueden generar todas las otras soluciones ptimas mediante la "combinacin lineal " de las coordenadas de las dos soluciones. Por ejemplo, para el ejemplo anterior basado en dos soluciones obtenidas del QSB, todas las soluciones siguientes son por lo tanto ptimas:

X1 = 8a + (1 - a)4 = 4 + 4a, X2 = 0a + (1- a)6 = 6 - a, para todos los 0 £ a £ 1.

Resolucin: Revise los coeficientes dela funcin objetivo y las restricciones. Podran existir errores de aproximacin redondeo.

Anlisis de Sensibilidad No aplicable.

El WinQSB y Lindo sostienen que el problema es ilimitado.

Anlisis de Sensibilidad: El anlisis de sensibilidad se basado en una solucin ptima podra no ser vlida para las dems.

Advertencia al Usar Paquetes de Software: Desafortunadamente, Lindo, no proporciona ninguna advertencia directa sobre la existencia de soluciones mltiple. El WinQSB indica que una solucin ptima alternativa ha sido encontrada. Sin embargo, este tipo de enunciado podra ser confuso. Por ejemplo, el problema siguiente tiene una nica solucin ptima, cuando el WinQSB indica la existencia de mltiples soluciones.

Max 30X1 - 4X2
Sujeto a: 5X1 - X2 £ 30
X1 £ 5
X1 ³ 0
X2 is unrestricted.

La nica solucin es X1 = 5, X2 = -5 con un valor ptimo de 170.

Para el problema siguiente, el WinQSB proporciona 4 soluciones mltiples distintas:

Minimizar X1 + X2 + 2X3
Sujeto a:
X1 + X2 + X3 ³ 10
X1 + X2 + 2X3 ³ 13
X1, X2 son no-negativas.

El conjunto de soluciones ptimas para este problema constituye la mitad del plano. Es decir, todas las soluciones ptimas se encuentran en el plano X1 + X2 + 2X3 = 13, tal que X1 + X2 + X3 ³ 10, X1 ³ 0, X2 ³ 1, y X3 ³ 0.

No Soluciones (PL No-Factible)
Una solucin no-factible significa que las restricciones son demasiado limitantes y no han dejado espacio para la regin de factibilidad.
El problema siguiente por ejemplo, no tiene solucin:

Identificacin: Si no se puede traer ninguna variable mientras se mantiene la factibilidad (es decir, los valores de LMD restantes son no-negativos).

Resolucin: Revise las restricciones por cualquier mala especificacin en las direcciones de las inigualdades, y por errores numricos. Si no existen errores, entonces existen conflictos de intereses. Esto puede ser resuelto encontrando el IIS (vea la Nota de abajo) y luego reformule el modelo.

Anlisis de Sensibilidad: No aplicable.

Note: La mayora de los software comerciales tales como CPLEX y LINDO tienen una funcin llamada IIS (Irreducible Infeasible Subset= Subconjunto de Infactibilidad Reducible) es decir, el conjunto de restricciones mnimas necesarias a remover del problema de forma tal de hacerlo factible. Este conjunto de restricciones es no-factible, pero un subconjunto apropiado de un IIS es factible. Por lo tanto todas las restricciones en el IIS contribuyen a la no-factibilidad. Esto significa que se puede remover o modificar por lo menos una de las restricciones en la IIS de forma tal de proporcionar factibilidad al modelo. Por lo tanto, encontrar una IIS simplemente ayuda a enfocar los esfuerzos en el diagnstico. Podran existir varias IIS en el modelo y un simple error se podra presentar en diferentes formas de IIS. En consecuencia, se debe reparar el modelo de la forma siguiente:

Paso 1: encontrar una IIS,
Paso 2: reparar la infactibilidad en la IIS, y
Paso 3: revisar si el modelo es su totalidad es ahora factible, si no, realice el paso de nuevo.

En los Paquetes de Generacin de Horarios, por ejemplo, la eliminacin total de inconsistencias en los datos iniciales es una tarea ardua. Por lo tanto, algunos paquetes estn equipados con un mdulo de interfaz que acta como un depurador. Esto eliminar mucho de los problemas de infactibilidad durante el nivel superficial de la primera corrida. Como un acercamiento alternativo, los problemas de infactibilidad pueden ser manejados como un problema de optimizacin lineal, con el objetivo de minimizar el nmero de violaciones de restricciones (posiblemente ponderadas.) Cuando ninguna solucin satisface todas las restricciones, una solucin cercana es encontrada. Esta solucin cercana podra resaltar los datos de entrada que generan conflicto a los cuales se debe dirigir.

Degeneracin
Un vrtice degenerado es uno a travs del cual pasan mas de n hiper- planos si estamos en el n-simo espacio Euclideano, digamos 3 lneas en un espacio de 2 dimensiones. En dicho vrtice un mtodo como el Simplex puede cambiar de una representacin (con n hiper-planos) a otra, y podra terminar de forma cclica en el primero y luego repeir este ciclo. Ahora, agregando pequeas cantidades para (digamos, el LMD de las restricciones) mover ligeramente al hiper-plano correspondiente y perturbar el vrtice. En vez, existirn muchos vrtices cercanos donde solo hiper-planos se encuentran. Ahora, el mtodo puede ir de uno a otro (mejorando cada vez la funcin objetivo) y dejar esta rea de degeneracin. Luego, la perturbacin puede ser apagada de nuevo en implementaciones computacionales modernas del mtodo Simplex y sus muchas variaciones.
Un punto de esquina (vrtice) en un problema de variables de decisin n- dimensional es llamado vrtice de degeneracin si ms de n restricciones se hacen activas (relevantes a la solucin) en el punto de esquina. Esto es siempre que un punto de esquina se oscula. Por ejemplo, en un problema de 2 dimensiones, un punto de esquina es degenerado si en el 3 o mas restricciones se convierten en igualdades.

Por ejemplo, considere el siguiente problema de dos dimensiones:

Max X1 + X2
sujeto a:
X1 £ 1
X2 £ 1
X1 + X2 £ 2
todas las variables de decisin son ³ 0.

La solucin ptima es X1 = 1, y X2 = 1, en el cual todas las tres restricciones son activas.

Siempre que la solucin ptima sea degenerada, se obtendrn mltiples precios sombra. Para el problema anterior, los dos grupos de precios sombra son (1, 1, 0) y (0, 0, 1) como se podra verificar si se construye y soluciona el problema dual

Identificacin: Si existen por lo menos dos ratios de columna mas pequeos e iguales (b i/a ij) mientras se aplica el mtodo Simplex, la solucin es degenerada y arbitrariamente escoge una variable saliente.

En casos extraos, la degeneracin podra causar ciclismos, as como se muestra en el problema siguiente::

Max 6X1 + 3X2
sujeto a:
X1 £ 1
X2 £ 1
X1 - X2 £ 1
-X1 + X2 £ 1
todas las variables de decisin son ³ 0.

Ambos, el Lindo y el WinQSB toman 3 iteraciones para resolver este problema simple de degeneracin.

Resolucin: agregue al valor de LMD un nmero pequeo, como 0,001. Esto debera resolver el problema.

Anlisis de Sensibilidad: El anlisis de sensibilidad podra ser IN- valido y usted podra tener Precios Sombra Alternativos.

El problema siguiente y su dual son ambos degenerados:

Min X2
sujeto a:
X2 - 2X3 + X4 = 1
X1 + 2X2 - X3 = 0
X1 + X2 + 3X3 = 2
todas las variables de decisin son ³ 0.

Redundancia Entre las Restricciones
Redundancia significa que algunas de las restricciones no son necesarias dado que existen otras mas severas. Para un caso sencillo de PL con restricciones redundantes, considere el siguiente ejemplo numrico:
Maximice 5X1 + 6X2

sujeto a: 3X1 + 6X2 £ 8, 6X1 + 4X2 £ 24, and both X1, X2 ³ 0.

Identificacin: Por lo menos una fila en la tabla de iteracin tiene todos los elementos incluyendo los de LMD con valores iguales a cero.

Resolucin: Elimine dicha fila y prosiga. Sin embargo, la redundancia en las restricciones no es absoluta sino relativa. Adicionalmente, lo minimalista de un conjunto de restricciones, es decir, que no existen redundantes para describir una regin de factibilidad, no implica necesariamente que el nmero de restricciones es el mas pequeo.

Anlisis de Sensibilidad: El anlisis de sensibilidad de LMD podra ser invalido por que las restricciones redundantes no estn disponibles, adicionalmente se podran tener Precios Sombra Alternativos. Por ejemplo, en casi todos los Modelos de Redes una de las restricciones es siempre redundante, por lo tanto los resultados del anlisis de sensibilidad de paquetes de computadora (tales como el modulo de QSB) para este tipo de problemas podran ser invlidos.

PL sin Vrtices
La PL siguiente no posee vrtices:
Maximice X1 + X2

sujeto a: X1 + X2 £ 5, X1, X2 sin restriccin.

Este problema tiene una regin de factibilidad cerrada sin restriccin y sin vrtices. Sin embargo, todas las soluciones mltiples son los puntos sobre la lnea X1 + X2 = 5.

La Forma Estndar: Mediante la conversin de las inigualdades en igualdades con una variable de rezago S1, y restringiendo las variables por X1 - y, y X2 -y, encontramos la siguiente solucin bsica:

__________________________

Esto proporciona dos soluciones bsicas simples con valores objetivos iguales. Esto indica que, existen soluciones mltiples, sin embargo, la regin de factibilidad original se encuentra distorsionada!

Para este problema, el WinQSB proporciona dos soluciones ptimas distintas: (X1 = 5, X2 = 0), y (X1 = 0, X2 = 5) las cuales no son vrtices. Esto significa que, no solo cualquier combinacin convexa de estos dos puntos es ptima, sino que los puntos mas all de ellos son por lo tanto ptimos.

PL con Soluciones Optimas Ilimitadas y de Restriccin Mltiple
Considere el siguiente problema de PL:
Maximice X1 + X2

sujeto a: X1 + X2 = 5, ambos X1, y X2 son no-restringidos en signo.

Este problema tiene una regin de factibilidad cerrada e ilimitada. Existen soluciones ptimas mltiples, tanto limitadas como ilimitadas, las cuales son los puntos sobre la lnea X1 + X2 = 5.

Sobre Las Variables de Decisin Bsicas y no-Bsicas
Cuando se realizan las iteraciones del Simplex, se cumple que cuando una variable de decisin se hace una variable bsica, esta se mantiene bsica. Pues no!, no siempre es as. Una variable de decisin no-bsica puede convertirse bsica durante las iteraciones del Simplex, y en una iteracin siguiente convertirse no-bsica de nuevo. Considere el problema siguiente:
Maximice 5X1 + 6X2

sujeto: 3X1 + 6X2 £ 8, 6X1 + 4X2 £ 24, y ambos X1, X2 ³ 0.

Aplicando el mtodo Simplex para resolver el problema, la variable de decisin X2 se hace bsica luego de la primera iteracin. Sin embargo, en la segunda iteracin, la variable de decisin X1 reemplaza a X2 como nueva variable bsica. En la segunda iteracin para este problema, proporciona tambin la solucin ptima. Note que, una de las restricciones es redundante.

PL sin Ninguna Solucin Interior
Considere el problema siguiente:
Maximice X1 + 2X2

sujeto a: X1 + X2 = 2, X1 ³ 0, X2³ 0.

Este problema no tiene puntos interiores. Un punto interior es un punto de factibilidad, dado que usted dibuja un pequeo crculo alrededor de ese punto, y por lo tanto todos los puntos dentro del crculo son tambin factibles. No existen puntos factibles con tales propiedades. Consecuentemente, este problema posee un conjunto interior vaco. Sin embargo, el problema tiene dos vrtices en: (2, 0), y (0, 2) de donde el segundo es la solucin ptima con valor ptimo de 4.

PL sin Ninguna Solucin Interior ni Solucin Acotada
Considere el problema siguiente:
Maximice X1 + 2X2

sujeto a: X1 + X2 = 2, X1 - X2 = 0, X1³ 0, y X2 ³ 0.

El problema tiene una regin de factibilidad la cual es el punto simple (X1 = 1, X2 = 1), con un valor ptimo de 3. Por lo tanto, este problema no tiene punto interior ni punto limitado (acotado). Solo posee un vrtice.

PL con un Punto Interior como Optimo
Considere el problema siguiente:
Maximice X1 + X2 + X3 + X4

sujeto a: X1 + X2 = 100, X1 + X3 = 150, X3 + X4 = 200, todas las Xi ³ 0.

Por ejemplo, la solucin tima X1 = 50, X2 = 50, X3 = 100, X4 = 100, con valor ptimo de 300, es un punto interior de la regin de factibilidad para este problema. De hecho, cualquier solucin factible (no necesariamente bsica) es una solucin ptima tambin.

Para algunas situaciones adicionales interesantes, viste el sitio Web Mitos y Contraejemplos en la PL

Solucin Optima Generada por un Paquete de PL no es la Misma Obtenida por Otro Paquete
La Solucin obtenida por paquete de PL podra no ser la misma que se obtendra con otro paquete. Considere el siguiente ejemplo numrico:
Minimice X1 + X2 + 2X3
Sujeto a:
X1 + X2 + X3 ³ 10
X1 + X2 + 2X3 ³ 13
X1, X2 sin restriccin en el signo

WinQSB: Utilizando el paquete de WinQSB, se encontrarn las soluciones mltiples siguientes: A = (0, 7, 3) y B = (7, 0, 3). Esto sugiere que todos los puntos entre estas soluciones ptimas generadas son tambin ptimas. Todas las combinaciones lineales de estas dos soluciones son tambin ptimas:

X1 = 0a + (1 - a)7 = 7 - 7a,
X2 = 7a + (1- a)0 = 7a,
X3 = 3a + (1- a)3 = 3,
para todo 0 £ a £ 1.

Sin embargo, note que ambas restricciones son activas, por lo tanto las soluciones se encuentran sobre la intercepcin de estos dos planos, el cual es una lnea. Adicionalmente, cualquier punto sobre la lnea no esta restringido a los a estar entre los puntos A y B. En otras palabras, es cualquier punto sobre la lnea de intercepcin (en forma paramtrica):

X1 = t,
X2 = 7 - t,
X3 = 3,

son ptimos, para todo t, inclusive cuado t es una M-grande.

Por lo tanto, este problema de PL no tiene vrtices, tiene multiples soluciones limitadas, y soluciones ilimitadas.

Lindo: Para correr este problema en Lindo, primero se debe satisfacer las condiciones de no-negatividad mediante la sustitucin de para cada variable no-restringida Xi = xi - y. El resultado es:

min x1 + x2 + 2x3 - 5y
sujeto a:
x1 + x2 + x3 - 3y ³ 10
x1 + x2 + 2x3 - 5y ³ 13
Todas las variables son no-negativas.

Corriendo este problema en Lindo (o su WinQSB), se obtiene x1 = 13 y todas las dems variables son iguales a cero. En trminos de las variables originales, se obtiene: X1= 13, X2 = 0, y X3 = 0. Como se puede observar, la solucin obtenido por Lindo no es obtenible por WinQSB y viceversa. Obviamente, los resultados de sensibilidad para este problema utilizando cualquiera de estos paquetes no son validos. El conjunto de todas las soluciones ptimas es un medio plano, es decir:

{Todos los puntos sobre el plano X1 + X2 + 2X3 = 13 tal que X1 + X2 + X3 ³ 10}

Dado que el precio sombra del problema dual es una solucin al primal, observemos mas detenidamente el problema dual, el cual es:
Max 10U1 + 13U2
Sujeto a:
U1 + U2=1
U1 + U2=1
U1+2U2=2
Todas las variables son no-negativas.

Corriendo el problema dual en Lindo (o en su WinQSB), obtenemos U1 = 0, U2 = 1, con precios sombra de (0, 13, 0) los cuales son la solucin para el primal obtenidos previamente por el Lindo (o WinQSB). Sin embargo, eliminando la primera restriccin redundante en el problema dual, tenemos :

Max 10U1 + 13U2
Sujeto a:
U1 + U2=1
U1+2U2=2
Todas las variables son no-negativas.

Ahora, haciendo la corrida en el Lindo (o WinQSB), obtenemos U1 = 0, U2 = 1, con los precios sombra de (7, 3) los cuales son las soluciones del primal (0, 7, 3) obtenidas previamente por el WinQSB. La otra solucin es no producible.

Utilizando el WinQSB para el problema dual, obtenemos U1 = 0, U2 = 1, con los precios sombra de (0, 7, 3) el cual es una de las soluciones del primal obtenidas previamente mediante este software.

La Tabla Optima del Simplex Proporciona una Solucin Dual?
La utilidad de la tabla del simplex para aplicaciones gerenciales es obtenida por el hecho de que esta contiene toda la informacin necesaria para realizar anlisis de sensibilidad, asi como usted aprender posteriormente en este curso. Sin embargo, la tabla ptima del simplex no proporciona la solucin dual por si mismo. Los precios sombra son las soluciones del problema dual.
Como usted ahora sabr, los precios sombra pueden ser positivos, cero o igualmente negativos, sin embargo, en la tabla final del simplex la ltima fila debe ser siempre no-positiva (as como lo requiere los algoritmos de solucin). Por lo tanto, no podemos simplemente leer los valores de los precios sombra en la tabla final sin antes formular el problema dual.

Ejemplo Numrico: Considere problema siguiente,

Maximice 3X1 + 5X2

Sujeto a:
X1 + 2X2 £ 50,
-X1 + X2 ³ 10,
X1 ³ 0, X2 ³ 0.

Introduciendo variables de exceso y defecto S1 y S2 respectivamente, y siguiendo los pasos de la Solucin Algortmica Libre-Artificial, obtenemos la tabla final de simplex siguiente:

BVS

X1

X2

S1

S2

LMD

X1

1

0

1/3

2/3

10

X2

0

1

1/3

-1/3

20

Cj

0

0

8/3

1/3

Los precios sombra no son (8/3, 1/3). Como usted observa, despus de construir el problema dual, el cual es:

Minimice 50Y1 + 10Y2

Sujeto a:
Y1 - Y2 ³ 3,
2Y1 + Y2 ³ 5,
Y1 ³ 0,
and Y2 £ 0.

Obteniendo la formulacin del problema dual, ahora se pueden leer correctamente los precios sombra. Por lo tanto, los precios sombra son Y1 = 8/3, y Y2 = -1/3. De nuevo, cuando se construye el dual del problema se observa que Y2 tiene que ser £ 0, en signo. Esta es la razn por la cual se toma -1/3 en vez de 1/3 para Y2, de la tabla final del simplex.

La Conversin a la Forma Estndar Podra Distorsionar la Regin de Factibilidad
Considere el siguiente problema de PL:
Maximice X1 + X2

sujeto a: X1 + X2 £ 5, X1, X2 no-restringido.

Este problema tiene una regin de factibilidad cerrada ilimitada sin vrtices. Sin embargo, todas las soluciones mltiples son los puntos sobre la lnea X1 + X2 = 5.

Ahora veamos que obtenemos si convertimos este problema a forma estndar, el cual es un requerimiento para iniciar el Mtodo Simplex.

La Forma Estndar: Convirtiendo las inigualdades en igualdades con la variable de exceso S1 y restringiendo las variables mediante X1 - y, y X2 -y, obtenemos la forma estndar siguiente:

Maximice X1 + X2 -2y

sujeto a:
X1 + X2 -2y + S1 = 5, y todas las variables estn restringidas en signo.

Las soluciones bsicas son:

_________________________

Esto proporciona vrtices ptimos. Esto indica que existen soluciones mltiples. Sin embargo, la regin de factibilidad original se encuentra ahora distorsionada!, esto significa que no somos capaces de producir todas las soluciones mediante el uso de cualquier combinacin convexa de las dos soluciones (0, 5) y (5, 0).

Para encontrar la solucin a este problema, se necesitan saber las dos definiciones siguientes:

Raya: Una raya es la mitad de una lnea: {V + ah: a ³ 0}, de donde h es un vector no-cero contenido en S. El punto V es llamada la raz, por lo tanto se dice que la raya esta enraizada a V.

Raya Extrema: Una raya extrema de un conjunto cerrado de S es una raya que no puede ser expresada como combinacin lineal de cualquier otra raya de S.

Todos los puntos ptimos estn localizados en cualquiera de los dos extremos de la raya ambos arraizados a V = (0, 5), en las direcciones (1, -1), y (-1, 1):

(X ₁, X ₂) = (0, 5) + a1(1, -1) + a2(-1, 1) =
(a1 - a2, 5 - a1 + a2),

para todo a1 ³ 0, y a2 ³ 0.

En vez de (0, 5) cualquier punto sobre la lnea puede ser utilizado.

Sin embargo, para representar todos los puntos en la regin de factibilidad, se necesita un trmino adicional:

(X ₁, X ₂) = (0, 5) + a1(-1,1) + a2(1,-1) + a3(-1,-1),

para todo a1 ³ 0, a2 ³ 0, y a3 ³ 0.

El ltimo trmino necesario para todos los puntos por debajo de la lnea. Esto se obtiene del hecho de que ambas variables son no-restringidas en signo [en direcciones [(0, -1) y (-1, 0)].

La idea general para la representacin paramtrica es que comenzamos en el vrtice. Nos movemos es la direccin de factibilidad de cada borde al prximo punto factible. Si dicho punto existe (es decir, hemos encontrado oto vrtice). Si no, el poliedro no es restringido en esa direccin, lo que significa que dicha direccin es una raya extrema. Note que, un poliedro sin vrtices siempre contiene una lnea (o hiper-plano). Para dicho poliedro adicionamos una raya perpendicular a la lnea (o hiper-plano) si la restriccin tiene la forma de inigualdad ( ³, o £ como en el ejemplo anterior.

Remover las Restricciones de Igualdad Mediante la Sustitucin Podra Cambiar el Problema:
Siempre que exista cualquier restriccin en forma de igualdad en u problema de PL, existe la tentacin de reducir el tamao del problema removiendo las restricciones de igualdad mediante la sustitucin. El problema se mantiene igual si se eliminan la(s) variable(s) no-restringidas mediante la igualdad de restricciones (si es posible). Sin embargo, si no existen variables no-restringidas, se debe remover la restriccin de igualdad mediante la sustitucin dado que esto podra generar otro problema de PL totalmente diferente. Este es un ejemplo para remover una restriccin de igualdad:
Max X1

Este problema no tiene solucin. Sin embargo, sustituyendo, digamos X3 = -1 - X2 en todos lados, el problema cambia a:

Max X1

Sujeto a:
X1 - 3X2 £ 2
X1 + X2 £ 2
Todas las variables son no-negativas,

Obteniendo una solucin ptima de (X1 = 2, X2 = 0), con un valor ptimo de 2. por lo tanto, estos dos problemas No son equivalentes.

Sin embargo, usted se preguntar: Bajo que condiciones es seguro el eliminar una restriccin de igualdad por sustitucin? La respuesta es, ya sea bajo una variable no-restringida, como se mencion anteriormente, o si todos los coeficientes de una restriccin de igualdad tiene el mismo signo que LD, entonces sera seguro el eliminar cualquier variable por sustitucin de forma tal de reducir el nmero de variables y restricciones.

Interpretacin Errnea del Precio Sombra
El Precio Sombra nos dice en cuanto la funcin objetivo cambiar si cambiamos el lado derecho (LMD) de la restriccin correspondiente. Esto es llamado comnmente el valor marginal, precio dual o valor dual para la restriccin. Por lo tanto, el precio sombra no seria el mismo que el precio de Mercado.
Para cada LMD de las restricciones, el Precio Sombra dice exactamente en cuanto cambiar la funcin objetivo si cambiamos el lado derecho (LMD) de la restriccin correspondiente dentro de los lmites dados en el rango de sensibilidad del LMD.

Por lo tanto, para cada valor de LMD, el precio sombra es el ratio del cambio en el valor ptimo causado por cada incremento (descenso) permitido dentro del cambio permisible del LMD.

Desafortunadamente, existen malas interpretaciones en referencia al concepto del precio sombra. Una de estas es, en los problemas de PL el precio sombra de una restriccin es la diferencia entre el valor optimizado de la funcin objetivo y el valor de la funcin objetivo, evaluado en los trminos ptimos cuando el LMD de la restriccin es incrementado en una unidad. Este es el tpico de los siguientes sitios Web: Diseos de Sistema de Soporte de Decisiones,Mtodos Cuantitativos, yPrecios Sombra y Costos de Penalidad . El ltimo sitio Web contiene lo siguiente: los Precios Sombra para un problema de PL son la solucin de su dual. El i-simo precio sombra es el cambio en la funcin objetivo resultante del incremento de una unidad en la i-sima coordenada de b. Un precio sombra tambin es el monto que un inversionista tendra que pagar por una unidad adicional de recurso con el objetivo de comprar al fabricante.
Un Contraejemplo:
Considere la siguiente PL:
Max X2
sujeto a:
X1 + X2 £ 2
2,5X1 + 4X2 £ 10
donde ambas variables de decisin son no-negativas.

Este problema logra su solucin ptima en (0, 2) con un valor ptimo de 2.
Suponga que se desea calcular el precio sombra del primer recurso, lo cual es la LMD de la primera restriccn.

Cambiando la LMD de la primera restriccin incrementndolo en una unidad, obtenemos:

El nuevo problema tiene una solucin ptima de (0, 2,5) con un valor ptimo de 2,5.

Por lo tanto, esto parece como si el precio sombra para este recurso es 2,5 - 2 = 0,5. De hecho el precio sombra para este recurso es 1, el cual puede ser encontrado mediante la construccin y resolucin del problema dual.

La razn para este problema se hace evidente si se nota que la tolerancia incrementa para mantener la validez de que el precio sombra del primer recurso es 0,5. El incremento en 1 esta mas all del cambio permitido en el primer valor del LMD.

Suponga ahora que cambiamos el mismo valor de LMD por + 0,1 el cual es permisible, luego el valor ptimo para el nuevo problema es 2,1. Por lo tanto el precio sombra es (2,1 -2) / 0,1 = 1. Debemos ser cuidadosos cuando calculamos el precio sombra.

Si desea calcular el precio sombra de un LMD cuando su rango de sensibilidad no es disponible, usted lo podra obtener para por lo menos dos perturbaciones. Si la tasa de cambio para ambos casos le proporciona los mismos valores, esta tasa es por lo tanto el precio sombra. Como un ejemplo, suponga que perturbamos el LMD de la primera restriccin por +0,02 y 0,01. Resolviendo el problema despus de estos cambios utilizando su software para resolver su PL, los valores ptimos son 2,02, y 1,09, respectivamente. Dado que el valor ptimo para el problema nominal (sin ninguna perturbacin) es igual a 2, la tasa de cambio para estos dos casos son: (2,02 - 2)/0,02 = 1, y (1,09 - 2)/(-0,01) = 1, respectivamente. Dado que estas dos tasa son la misma, concluimos que el precio sombra para la LMD de la primera restriccin es por lo tanto igual a 1.

Es el Precio Sombra Siempre no-Negativo?
Usted podra preguntarse Es el precio sombra de un valor de LMD siempre no-negativo? Esto solo depende de la formulacin del primal y su dual. Lo que es importante para recordar es que el precio sombra de un LMD dado es la tasa de cambio en el valor ptimo con respecto a ese LMD, dado que el cambio se encuentra dentro de los lmites de sensibilidad de ese LMD.
Considere el siguiente ejemplo numrico:

Estamos interesados en encontrar el precio sombra de LMD2 = 10. el problema dual es:

Min 50U1 + 10U2
Sujeto a:
U1 - U2 ³ 3
2U1 + U2 £ 5
U1 ³ 0, mientras que U2 £ 0

Esto se puede verificar utilizando el software WinQSB. La solucin para el dual es U1 = 8/3, U2 = -1/3. Por lo tanto, el precio sombra para el LMD2 = 10 es U2 = -1/3. Esto significa que por cada unidad de incremento (descenso) en el valor de LMD2 el valor ptimo para el problema primal decrece (incrementa) en 1/3, dado el cambio en que el LMD2 se encuentra entre sus lmites de sensibilidad.

Para otro ejemplo del mismo problema primal, note que el problema puede ser escrito de forma equivalente mediante el cambio en la direccin de la segunda restriccin de inigualdad:

Max 3X1 + 5X2
Sujeto a:
X1 + 2X2 £ 50
X1 - X2 £ -10
X1, X2 son no-negativos.

El problema dual para este problema primal ahora es ahora:

De nuevo, la formulacin del dual puede ser verificada utilizando el software WinQSB software. La solucin a este problema dual es Y1 = 8/3 y Y2 = 1/3. Por lo tanto, el precio sombra para LMD2 = -10 es Y2 = 1/3. esto significa que para cada unidad de incremento (descenso) en el valor LMD2, el valor ptimo para el problema primal incrementa (decrece) en 1/3, dado que el cambio en LMD2 se encuentra dentro de los lmites de sensibilidad.

Como usted previamente not, ambos problemas duales son el mismo cuando se sustituye U1 = Y1, y U2 = -Y2. Esto significa que los precios sombra obtenidos por el LMD2 = 10, y LMD2 = -10 tienen el mismo valor con signos contrarios (como se esperaba). Por lo tanto, el signo del precio sombra depende de cuando se formula el problema dual, a pesar de que su significado e interpretacin son siempre los mismos.

Visite adicionalmente
Situaciones de Mas-por-Menos & Menos-por-Mas.

Precios Sombra Alternativos
Suponga que tenemos una PL y esta tiene una solucin ptima nica. Es posible encontrar mas de un conjunto de precios duales?
Si, es posible. Considere el problema siguiente:

Min 16X1 + 24X2
sujeto a:
X1 + 3X2 ³ 6
2X1 + 2X2 ³ 4
todas las variables de decisin son ³ 0.

Su solucin dual es:

Max 6U1 + 4U2
sujeto a:
U1 + 2U2 £ 16
3U1 + 2U2 £ 24
todas las variables de decisin son ³ 0,

Este problema dual tiene varias soluciones alternativas tales como, (U1 = 8, U2 = 0) y (U1 = 4, U2 = 6). Todas las combinaciones convexas de estos dos vrtices son soluciones tambin.

Existen casos generales para los cuales los precios sombra no son nicos. As como en el ejemplo anterior, siempre que exista redundancia entre las restricciones, o si la solucin ptima es degenerada, debera existir masa de un conjunto de precios duales. En general, la interdependencia lineal de las restricciones son una condicin suficiente para la unicidad de los precios sombra.

Considere el siguiente problema de PL con restricciones redundantes:

Max 10X1 + 13X2
Sujeto a:
X1 + X2 = 1
X1 + X2 = 1
X1+ 2X2 = 2
y todas las variables son no-negativas.

Haciendo la corrida del dual en Lindo (o su WinQSB ) se obtiene el resultado en X1 = 0, X2 = 1, con los precios sombra de (0, 13, 0).

Usando el WinQSB para este problema, obtenemos X1 = 0, X2 = 1 con diferentes precios sombra de (0, 7, 3).

En el caso de redundancia, el precio sombra obtenido por un paquete de PL podra no ser el mismo obtenido por otro.

Situaciones de Mas-por Menos & Menos-por Mas
Considere el siguiente problema de PL de produccin:
Maximizar X1 + 3X2 + 2X3
sujeto a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = 9, todos los Xi son no-negativos.

El total e horas de trabajo son 4 y 9. El valor ptimo para este problema es $7.

Ahora, si se cambia la segunda disponibilidad de trabajo desde 9 a 12, el valor ptimo sera $4. Esto significa que se ha trabajado mas horas por menos ingreso.

Esta situacin se encuentra con frecuencia y es conocida como La Paradoja de Mas-por Menos. El recurso nmero 2 tiene un precio sombra negativo!

Para determinar el mejor nmero de horas, se debe trabajar para maximizar el ingreso mediante la resolucin de la siguiente PL paramtrica:

Maximice X1 + 3X2 + 2X3
sujeto a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 = L , L, y todos los Xi son no-negativos.

Usando LINDO ( su WinQSB) debemos resolver

Maximice X1 + 3X2 + 2X3
sujeto a: X1 + 2X2 + X3 = 4, 3X1 + X2 + 2X3 - L = 0.

El L ptimo es 8 horas, y el valor ptimo es $8!

La condicin necesaria y suficiente para la situacin de existencia de mas-por-menos/ menos- por mas es tener restriccin (es) de igualdad con precio (s) sombra negativo (s) para los valores de LMD.

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Agradecera recibir comentarios, sugerencias e inquietudes por e-mail. Gracias.

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histoy operacionales de la investigacin de operaciones

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Apuntes del profesor Hossein Arsham, de la University of Baltimore, sobre Optimizacin: Programacin Lineal (PL); Problema Dual: Construccin y Significado; Manejo de Incertidumbres mediante Modelacin de Escenarios; y Programas lineales generales con enteros. Un modelo de Optimizacin Matemtica consiste en una funcin objetivo y un conjunto de restricciones en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones.

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En la mayoría de los casos encontramos en las bibliografías modelos matemáticos, por lo que es importante conocer que lo que se busca, mediante modelos matemáticos, es representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones. Un ejemplo que todos conocemos son los modelos de oferta o demanda que a menudo tratamos al hablar de economía.
Además, la utilidad de un modelo matemático es identificar o entender el comportamiento de ciertos fenómenos o variables dependiendo del objetivo buscado y del mismo diseño del modelo. Con esto podemos predecir el valor de las variables en un futuro, por ejemplo, en distintos escenarios que se busquen plantear o para evaluar los efectos de una determinada política o decisión.
Asimismo, un modelo matemático puede variar de acuerdo a su complejidad o extensión, sin embargo, estos cuentan con:
Variables: Estas son los conceptos/valores que se buscan entender o analizar.
Parámetros: Son valores constantes o valores controlables del modelo
Restricciones: Son limitaciones o fronteras razonables a las cuales se restringe un modelo.
Relación entre las variables: Se establece mediante las teorías o el contexto donde se desarrolla por ejemplo en economía la relación cantidad-precio
Representaciones simplificadas: Los modelos matemáticos y las relaciones entre sus variables se pueden representar de manera verbal, gráfica, algebraica o numérica.
Los tipos de modelos son de acuerdo a la información utilizada, tipo de representación, aleatoriedad o aplicación. Película recomendada: La gran apuesta
Esta película indica cómo cuatro inversionistas que intentan tomar ventaja de la crisis económica de 2008. Busca dar a conocer el lado oscuro del sistema bancario y la búsqueda de "hacer el negocio del ciclo" a expensas del colapso de grandes firmas financieras.

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Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables. La rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las cualidades y estructura de los modelos es la llamada "teoría de los modelos".

¿Para qué sirve un modelo matemático?

Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales, físicos, etc. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad, entre otros objetivos.

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Aunque parezca un concepto teórico, en realidad hay muchos aspectos de la vida cotidiana regidos por modelos matemáticos. Lo que ocurre es que no son modelos matemáticos enfocados a teorizar. Al contrario, son modelos matemáticos formulados para que algo funcione. Por ejemplo, un coche.

Elementos básicos de un modelo matemático

Los modelos matemáticos pueden variar en cuanto a su complejidad, pero todos ellos tienen un conjunto de características básicas:

Variables: Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar. Sobre todo con respecto a su relación con otras variables. Así por ejemplo, una variable puede ser el salario de los trabajadores y lo que queremos analizar son sus principales determinantes (por ejemplo: años de estudio, educación de los padres, lugar de nacimientos, etc.).

Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo.

Restricciones: Son determinados límites que nos indican que los resultados del análisis son razonables. Así por ejemplo, si una de las variables es el número de hijos de una familia, una restricción natural es que este valor no puede ser negativo.

Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en teorías económicas, físicas, químicas, etc.

Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemáticos es la representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales como: funciones, ecuaciones, fórmulas, etc.

Propiedades deseadas de un modelo matemático

Cuando se diseña un modelo matemático, se busca que este tenga un conjunto de propiedades que ayude a asegurar su robustez y efectividad. Entre estas propiedades se encuentran:

Simplicidad: Uno de los objetivos principales de un modelo matemático es simplificar la realidad para poder entenderla mejor.

Objetividad: Que no tenga sesgos ni teóricos ni de los prejuicios o ideas de sus diseñadores.

Sensibilidad: Que sea capaz de reflejar los efectos de pequeñas variaciones.

Estabilidad: Que el modelo matemático no se altere significativamente cuando hay cambios pequeños en las variables.

Universalidad: Que sea aplicable a varios contextos y no sólo a un caso particular.

Evidentemente existen muchas más, pero las anteriores son las más intuitivas.

Procesos para hacer un modelo matemático

En términos generales el proceso de elaboración de un modelo matemático es el siguiente:

1. Encontrar un fenómeno o problema.

2. Formular un modelo con elementos de matemáticas representando el problema elegido identificando las variables relevantes (dependientes e independientes).

3. Establecer hipótesis y un método de prueba de su veracidad.

4. Aplicar los conocimientos matemáticos para resolver el modelo y hacer predicciones si es necesario.

5. Hacer comparaciones de los datos obtenidos con datos reales.

6. Si los resultados no se ajustan a lo esperado, ir ajustando el modelo matemático.

Existen diversos tipos de modelos matemáticos. A continuación, vemos algunos de los tipos de modelos más relevantes:

De acuerdo a la información utilizada

Heurístico: Basado en posibles explicaciones sobre las causas de los fenómenos observados.

Empírico: Utiliza la información de la experimentación real.

Cualitativos o conceptuales: Se refieren a un análisis de la calidad o la tendencia de un fenómeno sin calcular un valor exacto.

Cuantitativos o numérico: Los resultados obtenidos tienen un valor concreto que tiene un cierto significado (puede ser exacto o relativo).

Determinista: No tiene incertidumbre, los valores son conocidos.

Estocástico: No se conoce con exactitud el valor de las variables en todo momento. Existe incertidumbre y por ende una distribución de probabilidad de los resultados.

Simulación o descriptivo: Simula o describe un fenómeno. Los resultados se enfocan a predecir qué sucederá una determinada situación.

Optimización: Se utilizan para encontrar una solución óptima a un problema.

De control: Para mantener el control de una organización o sistema y determinar las variables que deben ajustarse para obtener los resultados buscados.

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Modelo matemático - Definición, qué es y concepto | Economipedia

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Un modelo matemático es un modelo que utiliza fórmulas matemáticas para representar la relación entre distintas variables, parámetros y restricciones. Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de un fenómeno o de la relación entre dos o más variables.

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Vemos que dentro de las ciencias económicas muchas de las veces aplicamos los diferenciales, donde vemos que las funciones que se encuentras expuestas,  la incógnita se encuentra en una función de variable reales, el cálculo diferencial se usa como una herramienta para analizar y concretar resultados ya sean favorables o no. La maximización de la utilidad, así como la minimización de costos de transacción y optimización de distribución de riesgo, estos son algunos de elementos donde la derivación de funciones cumple un rol muy esencia

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Resumen

El artículo expone algunas ideas acerca de la revolución metodológica que se produjo a partir del proceso de formulación de las teorías económicas en términos matemáticos, haciendo énfasis en el período que va de finales del siglo xix hacia el cierre del siglo xx. Aludiéndose de continuo al entorno histórico y social, se muestran las posibilidades que ofrecen los métodos matemáticos para ampliar y profundizar la teoría económica y, a su vez, la manera como este proceso repercute en la propia matemática. Finalmente, se discuten algunos malentendidos que surgen de estas interacciones, tales como el peligro de calificar como avance todo intento de dar a las teorías de los economistas una forma matemática o el reduccionista de equiparar las metodologías de la economía con la metodología matemática.

Abstract

This paper approaches several points of view about the methodological revolution that emerged from the process of formulating economic theories in mathematical terms, paying more attention to the period from the late nineteenth century to the close of the twentieth century. In a historical and social context, the author shows the positive outcomes when using mathematical methods to deep the economic knowledge, and how this process is also positive to new mathematical areas. Finally some misunderstandings are cleared, such as the risk of thinking as a progress any attempt to obtain a mathematical shape to economic ideas or the belief that the methodologies of economics are reduced to mathematical methodology.

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Sobre la economía matemática: algunas reflexiones generales

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El artículo expone algunas ideas acerca de la revolución metodológica que se produjo a partir del proceso de formulación de las teorías económicas en términos matemáticos, haciendo énfasis en el período que va de finales del siglo xix hacia el cierre del siglo xx.

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Modelos de optimización dinámica y problemas de optimización. Dentro de las mismas definiciones de economía es muy común encontrarse con la palabra "optimización" pero, cómo es que esta infiere, describe, explica al fenómeno económico del mundo a través de ella? Al reconocer que se trata del estudio de recursos limitados (escasos) y que se debe asignar estos recursos de la mejor forma posible, sea que se esté produciendo o consumiendo, se está buscando un punto "óptimo"  del cual fiarse y poder estudiarlo. Sea cuando se trate de max/min funciones de utilidad o modelar sistemas en base a los supuestos que se establezcan. Derivación e igualación a cero, (a la par de fijarnos en el signo de la segunda derivada) es algo crítico para concebir las matemáticas dentro de la economía.

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By and

American Economic Review, October 2017

We extend search theory to multiple indivisible units and perfectly divisible assets, solving them respectively with induction and recursion. Buyer demands and prices are random, and the seller can partially exercise orders. With divisible assets, the Bel...

By , , and

Journal of Economic Literature, June 2020

We review research that measures time preferences-i.e., preferences over intertemporal trade-offs. We distinguish between studies using financial flows, which we call "money earlier or later" (MEL) decisions, and studies that use time-dated consumption/...

By , and

American Economic Review, December 2012

Recent crises have seen large spikes in asset price risk. We propose an explanation for such panics based on self-fulfilling shifts in beliefs about risk. A negative link between the current level and the future risk of an asset price leads to a circular ...

By and

American Economic Review, March 2015

In many economic, political, and social situations, circumstances change at random points in time, reacting is costly, and reactions appropriate to present circumstances may become inappropriate upon future changes, requiring further costly reaction. Wait...

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By and American Economic Review, October 2017 We extend search theory to multiple indivisible units and perfectly divisible assets, solving them respectively with induction and recursion. Buyer demands and prices are random, and the seller can partially exercise orders. With divisible assets, the Bel...

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Modelos estadísticos y matemáticos aplicados para analizar, interpretar y predecir diferentes variables. Además, usa la Teoría de Juegos para predecir eventos y evitar riesgos. El objetivo principal es validar la fiabilidad de una situación o una hipótesis a través de una serie de simulaciones. Por ejemplo, cuando se trata de predecir la subida o bajada de los precios, analizar el estado de la economía y el mercado o la simulación para controlar los valores óptimos que se encuentran en las variables. Estos son fundamentales sobretodo para cualquier compañía o empresario con bienes o que ofrezca servicios. La película "The Big Short" (2015), hace uso de ciertas herramientas relacionadas a la econometría.

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An econometric model is one of the tools economists use to forecast future developments in the economy. In the simplest terms, econometricians measure past relationships among such variables as consumer spending, household income, tax rates, interest rates, employment, and the like, and then try to forecast how changes in some variables will affect the future course of others.

Before econometricians can make such calculations, they generally begin with an economic model, a theory of how different factors in the economy interact with one another. For instance, think of the economy as comprising households and business firms, as depicted in Figure 1. Households supply business firms with labor services (as tailors, accountants, engineers, etc.) and receive wages and salaries from the business firms in exchange for their labor. Using the labor services, businesses produce various outputs (clothing, cars, etc.) that are available for purchase. Households, using the earnings derived from their labor services, become the customers who purchase the output. The products the businesses produce wind up in the households, and the wage and salary payments return to the businesses in exchange for the products the households purchase.

This chain of events, as shown by the activities numbered 1-5 in Figure 1, is a description-or diagrammatic model-of the operation of a private-enterprise economy. It is obviously incomplete. There is no central bank supplying money, no banking system, and no government levying taxes, building roads, or providing education or national defense. But the essentials of the economy's private sector-working, producing, and buying products and services-are represented in a useful way in Figure 1.

The diagrammatic model of Figure 1 has certain disadvantages when it comes to representing quantities such as the value of the wage and salary payments or the number of cars produced. To represent magnitudes more conveniently, economists employ a mathematical model, a set of equations that describe various relationships between variables. Consider household purchases of output, shown as activity 4 in Figure 1. If W is the value of the wages and salaries households earn, and C is household expenditures on clothing, then the equation C = .12 W states that households spend 12 percent of their wages and salaries on clothing. An equation could also be constructed to represent household purchases of cars or any other goods and services. Indeed, each of the activities pictured in Figure 1 can be represented in the form of an equation. Doing so may take a blend of economic theory, basic economic facts about the particular economy, and mathematical sophistication; but once done, the result would be a mathematical or quantitative economic model, which is but one important step away from an econometric model.

In the equation for clothing purchases, C = .12 W, "12 percent" was selected purely for illustrative purposes. But if the model is to say anything useful about today's American economy, it must contain numbers (econometricians and others applying similar statistical methods refer to such numbers as "parameters") that describe what actually goes on in the real world. For this purpose, we must turn to the relevant historical data to find out what percentage of household income Americans do, in fact, typically spend on clothing.

The column headed "Total" in Table 1 shows the percentage of (after-tax) income Americans spent on clothing (including shoes) for each of the years 1995-2002. One fact is immediately obvious: 12 percent was way off. If it had been left in the model, it would have led to a substantial overestimate of clothing purchases and would have been useless to understand or predict behavior in the American economy. Something closer to 4.21 percent, the average of the annual values in the "Total" column, would more accurately reflect total annual spending on clothing and shoes as a percentage of household income in the United States.

% of Household Income

A more careful look at the facts, however, reveals that 4.21 percent may not adequately represent the actual behavior. There has been substantial annual variation-from as much 4.5 percent to as little as 3.9 percent-in household income spent on clothing and shoes. What is more, there appears to be a downward trend, with the larger percentages coming in the mid-1990s and the smaller percentages coming more recently. The following simple statistical procedure takes care of these objections. Start with total annual spending on clothing and shoes, subtract $100 billion, and then calculate the balance-annual spending on clothing and shoes beyond the first $100 billion-as a percentage of household income. The column headed "Total − 100" in Table 1 shows the result-a very satisfactory result, with little annual variation around the average of 2.65 percent and no apparent trend over time.

You might well wonder what this subtraction of $100 billion represents. Here is a useful way to think about it. The U.S. population averaged 277.6 million persons during 1995-2002. Therefore, the value $100 billion represents, in round numbers, $360 per person ($100 billion divided by 277.6 million persons). The facts in Table 1 suggest that an expenditure on clothing and shoes averaging about $360 per person per year is a base, or minimally acceptable, amount in the United States these days. Once that minimum is accounted for, additional purchases of clothing and shoes will amount to 2.65 percent of household income.

In other words, Americans spend more on clothing and shoes the higher their household income, but they spend at least $100 billion per year. And the best forecast of the total that will be spent is: $100 billion plus an additional 2.65 percent of household income. In equation form, this is represented by C = 100 + .0265 W, a far cry from the C = .12 W we began with. The fact that the parameter values 100 and .0265 in the clothing equation were determined by using the relevant data is what gives us reason to believe that the equation says something meaningful about the economy. Using the data to determine or estimate all the parameter values in the model is the critical step that turns the mathematical economic model into an econometric model.

An econometric model is said to be complete if it contains just enough equations to predict values for all of the variables in the model. The equation C = 100 + .0265 W, for example, predicts C if the value of W is known. Thus, there must be an equation somewhere in the model that determines W. If all such logical connections have been made, the model is complete and can, in principle, be used to forecast the economy or to test theories about its behavior.

Actually, no econometric model is ever truly complete. All models contain variables the model cannot predict because they are determined by forces "outside" the model. For example, a realistic model must include personal income taxes collected by the government because taxes are the wedge between the gross income earned by households and the net income (what economists call disposable income) available for households to spend. The taxes collected depend on the tax rates in the income tax laws. But the tax rates are determined by the government as a part of its fiscal policy and are not explained by the model. If the model is to be used to forecast economic activity several years into the future, the econometrician must include anticipated future tax rates in the model's information base. That requires an assumption about whether the government will change future income tax rates and, if so, when and by how much. Similarly, the model requires an assumption about the monetary policy that the central bank (the Federal Reserve System in the United States) will pursue, as well as assumptions about a host of other such "outside of the model" (or exogenous) variables in order to forecast all the "inside of the model" (or endogenous) variables.

The need for the econometrician to use the best available economic judgment about "outside" factors is inherent in economic forecasting. An econometrically based economic forecast can thus be wrong for two reasons: (1) incorrect assumptions about the "outside" or exogenous variables, which are called input errors; or (2) econometric equations that are only approximations to the truth (note that clothing purchases beyond the minimum do not amount to exactly 2.65 percent of household income every year). Deviations from the predictions of these equations are called model errors.

Most econometric forecasters believe that economic judgment can and should be used not only to determine values for exogenous variables (an obvious requirement), but also to reduce the likely size of model error. Taken literally, the equation C = 100 + .0265 W means that "any deviation of clothing purchases from 100 plus 2.65 percent of household income must be considered a random aberration from normal or expected behavior"-one of those inherently unpredictable vagaries of human behavior that continually trip up pollsters, economists, and others who attempt to forecast socioeconomic events.

The economic forecaster must be prepared to be wrong because of unpredictable model error. But is all model error really unpredictable? Suppose the forecaster reads reports that indicate unusually favorable consumer reaction to the latest styles in clothing. Suppose, on this basis, the forecaster believes that next year's clothing purchases are likely to exceed the usual minimum by something closer to 3 percent than to the usual 2.65 percent of household income. Should the forecaster ignore this well-founded belief that clothing sales are about to "take off," and thereby produce a forecast that is actually expected to be wrong?

The answer depends on the purpose of the forecast. If the purpose is the purely scientific one of determining how accurately a well-constructed model can forecast, the answer must be: Ignore the outside information and leave the model alone. If the purpose is the more pragmatic one of using the best available information to produce the most informative forecast, the answer must be: Incorporate the outside information into the model, even if that means effectively "erasing" the parameter value .0265 and replacing it with .0300 while generating next year's forecast. Imposing such "constant adjustments" on forecasts was at one time disparaged as entirely unscientific. These days, many researchers regard such behavior as inevitable in the social science of economic forecasting and have begun to study how best-from a scientific perspective-to incorporate such outside information.

Much of the motivation behind trying to specify the most accurately descriptive economic model, trying to determine parameter values that most closely represent economic behavior, and combining these with the best available outside information arises from the desire to produce accurate forecasts. Unfortunately, an economic forecast's accuracy is not easy to judge; there are simply too many dimensions of detail and interest. One user of the forecast may care mostly about the gross domestic product (GDP), another mostly about exports and imports, and another mostly about inflation and interest rates. Thus, the same forecast may provide very useful information to some users while being misleading to others.

For want of anything obviously superior, the most common gauge of the quality of a macroeconomic forecast is how accurately it predicts real GDP growth. Real GDP is the most inclusive summary measure of all the finished goods and services being produced within the geographic boundaries of the nation. For many purposes, there is much value in knowing with some lead time whether to expect real GDP to be increasing at a rapid rate (a booming economy with a growth rate above 4 percent), to be slowing down or speeding up relative to recent behavior, or to be slumping (a weak economy with a growth rate below 1 percent or even a recessionary economy with a negative growth rate). The information contained in Figure 2 can be used to judge, in the summary fashion just indicated, the econometric forecasting accuracy achieved by the Research Seminar in Quantitative Economics (RSQE) of the University of Michigan over the past three-plus decades.

The RSQE forecasting project, dating back to the 1950s, is one of the oldest in the United States. Figure 2 compares, for each of the years 1971-2003, the actual percentage change in real GDP (the economy's growth rate) with the RSQE forecast published in November of the preceding year. There are several ways to characterize the quality of the RSQE forecasting record. Although the forecasts missed the actual percentage change by an average of only 1.1 percentage points (measured by the average forecast error without regard to sign), the forecast error was as small as 0.5 percentage point or less in thirteen of the thirty-three years shown. On the other hand, six years had forecast errors of 2 percentage points or more, and for 1982 and 1999, the forecast errors were 3.1 and 3.0 percentage points, respectively. But, despite some relatively large errors, there was never a boom year that RSQE forecast to be a weak year; never a weak year that RSQE forecast to be a boom year; and just a few instances-most recently, 1999 and 2001-in which the forecast really went "the wrong way" in the sense of missing badly on whether the economy's growth rate was about to increase or decrease relative to the preceding year's growth rate.

The discussion, so far, has focused on what is referred to as a structural econometric model. That is, the econometrician uses a blend of economic theory, mathematics, and information about the structure of the economy to construct a quantitative economic model. The econometrician then turns to the observed data-the facts-to estimate the unknown parameter values and turn the economic model into a structural econometric model. The term "structural" refers to the fact that the model gets its structure, or specification, from the economic theory that the econometrician starts with. The idea, for example, that spending on clothing and shoes is determined by household income comes from the core of economic theory.

Economic theories are both complex and incomplete. To illustrate:

How many years is "recent"?

This situation makes it far more difficult than implied to this point to specify the economic model one must begin with to wind up with a structural econometric model for use in forecasting. In recent years, econometricians have found that it is possible to do economic forecasting using a simpler, nonstructural, procedure without losing much forecast accuracy. Although the simpler procedure has significant costs, these costs do not show up in the normal course of forecasting. This will be explained after a quick introduction to the alternative procedure known as "time-series forecasting."

The idea of time-series forecasting is easily explained with the aid of Figure 3, which shows year-by-year changes in spending on clothing and shoes starting in 1981 and

Figure 2 RSQE Forecast Accuracy: Real GDP Growth, 1971-2003 (Actual vs. RSQE Forecast from the Preceding November)

Figure 3 Spending on Clothing and Shoes, Year-to-Year Changes, 1981-2002

going through 2002. The horizontal line marks the average annual change of $8.8 billion.

Most of the year-to-year changes are in the range of $4.4-$13.2 billion, and only one change, that of 2001, is well outside that range. The year-to-year changes, in other words, appear to be stable. Some are above $8.8 billion and some are below; 1983-1988 exhibited a string of changes that were all close to $11 billion, but that was unusual. More often, one year's change is little guide to the next year's change, as the changes jump around too much. So, a forecasting rule that says next year's spending on clothing and shoes will be $8.8 billion more than this year's spending makes good sense. And that, for this simple case, is the essence of time-series forecasting. Look carefully at the historical behavior of the variable of interest, and if that behavior is characterized by some kind of stability, come up with a quantitative description of that stability and use it to construct the forecast.

It is not always easy to "see" the stability that can be counted on to provide a reliable forecast, and econometricians have developed sophisticated procedures to tease out the stability and measure it. In general, the time-series procedure and the structural model procedure seem to produce comparably good, or bad, forecasts for a year or two into the future. But the time-series procedure has the distinct advantage of being far simpler. We can forecast spending on clothing and shoes without having to worry about the theoretical relationship between spending and household income. It need not be specified and its parameters need not be estimated; just focus on the clothing variable itself.

So, where are the significant costs in using the time-series forecasting procedure? They come from the fact that the procedure gives a numerical answer and nothing else. If the user of the forecast-for example, a clothing manufacturer-asks why the forecast says what it does, the time-series econometrician can answer only, "Because that's the way spending on clothing has behaved in the past," not, "Because household income is going to rise sharply in response to an expansionary monetary policy which is being conducted in order to . . ." In short, there is no economics in the analysis in the first place. If there were, the user would be able to respond, "That makes sense; I'll plan on the basis of the forecast"; or, alternatively, "I think that forecast is too good to be true because I'm convinced that expansionary monetary policy is about to be reversed, and so I'm shaving the forecast in my planning." Time-series forecasting leaves the user "hanging": just take it or leave it.

Because many forecasters work with structural models, users can acquire not only the various numerical forecasts, but also the economic analysis that accompanies and justifies, or explains, each forecast. A user who has to act on the basis of a forecast and can choose among the alternative forecasts available is surely getting much more information when those forecasts have a structural economic basis.

Finally, and related to the preceding discussion, structural models are the "only game in town" when it comes to the important area of econometric policy analysis or other "what if" calculations. Thus, a baseline forecast may be calculated using a structural econometric model and the best information available to the forecaster. And then someone asks, "What if Congress raises the income tax rate by five percentage points?" This single perturbation is then imposed on the original calculation, and the forecast is recalculated to show the model's evaluation of the effect on the economy of the posited change in government fiscal policy.

Economists commonly employ such calculations in the process of providing advice to businesses and units of government. The practical validity of such applications depends on how well the model's structure represents the economic behavior that is central to the "what if" question being asked. All models are merely approximations to reality; the issue is whether a given model's approximation is good enough for the question at hand. Thus, making structural models more accurate is a task of major importance. As long as model users ask "what if," structural econometric models will continue to be used and useful.

About the Author

Saul H. Hymans is an emeritus professor of economics and statistics and director of the Research Seminar in Quantitative Economics at the University of Michigan.

Further Reading

Howrey, E. Philip, Saul H. Hymans, and Michael R. Donihue. "Merging Monthly and Quarterly Forecasts: Experience with MQEM." Journal of Forecasting 10 (May 1991): 255-268.

Hymans, Saul H., Joan P. Crary, and Janet C. Wolfe. "The U.S. Economic Outlook for 2004-2005." In The Economic Outlook for 2004, Proceedings of the Fifty-first Annual Conference on the Economic Outlook, Ann Arbor, Mich., 2004. Pp. 1-84.

Kennedy, Peter. A Guide to Econometrics. 5th ed. Cambridge: MIT Press, 2003. Especially chaps. 18 and 19.

Klein, Lawrence R., ed. Comparative Performance of U.S. Econometric Models. Oxford: Oxford University Press, 1991. Especially chaps. 1, 3, 10, 11, and 12.

Klein, Lawrence R., and Richard M. Young. An Introduction to Econometric Forecasting and Forecasting Models. Lexington, Mass.: Lexington Books, 1980.

In the summer of 2007, I interviewed Paul Romer of Stanford University for EconTalk. Paul has been the driving force behind the "new growth theory" writing a series of influential papers that put the role of ideas at the center of growth theory. Our conversation focused on the importance of ideas, the role of institutions and the legal environment for creating incentives for new ideas and how ideas spread beyond national borders helping people around the world. Here are edited excerpts from tha...

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Forecasting and Econometric Models - Econlib

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An econometric model is one of the tools economists use to forecast future developments in the economy. In the simplest terms, econometricians measure past relationships among such variables as consumer spending, household income, tax rates, interest rates, employment, and the like, and then try to forecast how changes in some variables will affect the future ...

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Modelos matemáticos aplicados que nos ayuden a entender cómo deciden los agentes económicos en base a lo que hace otros agentes deciden. Por ejemplo,  cuando una empresa produce en base a cuánto produce su competidora.   Espero que vean la película "Mente Brillante" sobre la vida de John Nash, quien hizo aportes importantísimos en la Teoría Juegos.

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Un accidente de tráfico acabó el sábado con la vida de John Nash, el matemático y Premio Nobel de Economía 1994 que para muchos será recordado por haber inspirado la película "Una mente brillante".

Sin embargo, Nash pasará a la historia por su aporte fundalmental en la Teoría de los Juegos, en concreto, por ser el creador del "Equilibrio de Nash" o "equilibrio medio".

Se trata de un "concepto de solución" en el que todos los jugadores ejecutaron sabiéndolo la estrategia que maximiza sus ganancias dadas las estrategias de los otros actores de forma que carecen de incentivos para hacer un cambio individual de estrategia.

Nash revolucionó así la toma de decisiones en Economía y sobre todo la Teoría de los Juegos: el área de la matemática que a partir del uso de modelos estudia las tomas de decisiones y las interacciones en lo que se conoce como estructuras formalizadas de incentivos, lo juegos.

Es decir, la lógica que usamos siempre que interactuamos con otro ser humano cuando, por ejemplo, tratamos de quedarnos con el último pedazo de torta en la cafetería o le hacemos un favor a un colega que esperamos retorne en el futuro.

Esos "juegos" son vitales hasta para los animales, señala Antonio Cabrales, profesor de Economía del University College London, Reino Unido.

"Yo actúo de una manera, tú actúas de otra", explica Cabrales. "Algo sucede. Ese algo que sucede va a depender de lo que ambos hagamos".
Lea también: Muere John Nash, el matemático de la "mente brillante"
Un clásico

El juego es un tipo de modelo matemático para entender la toma de decisión y la interacción entre quienes toman las decisiones. Y el mejor conocido se llama "El dilema del prisionero".

Dos personas son arrestadas, encarceladas y se les fija la fecha del juicio.

El fiscal del caso habla con cada prisionero por separado y les presenta una oferta:

Si confiesa contra el socio, todos los cargos en su contra serán retirados y la confesión será usada como evidencia para condenar al otro. La sentencia que recibirá será de 20 años.

Si no confiesa y su socio lo hace, será condenado a 20 años y su socio quedará libre.

Si ambos confiesan, serán condenados a 5 años de prisión.

Si ninguno confiesa, serán condenados a 1 años de prisión.

En "El dilema del prisionero", el destino de cada uno depende de las acciones del otro. Individualmente, confesar sería la mejor opción, pero si ambos lo hacen el castigo es peor que si ambos callan.

"Cuando uno escoge algo, eso tiene un impacto en otras personas", señala Paul Schweinzer, catedrático en el departamento de Economía de la Universidad de York, Inglaterra.

"La Teoría de los Juegos es tener en cuenta el impacto de mis decisiones en los otros cuando las voy a tomar".

El "juego" es la interacción entre dos o más partes y depende de que la gente actúe racionalmente, consciente de los límites del "juego" y de que la otra parte también conoce las reglas.

Estas interacciones estratégicas forman el punto crucial de la Teoría de los Juegos. "A veces la usamos conscientemente y otras intuitivamente", anota Cabrales.

Incluso si la gente -y algunos animales- no razonan conscientemente sobre las estrategias que van a usar, otras fuerzas, como la evolución o la experiencia de errores pasados, a menudo la hace comportarse de la misma manera que si fueran jugadores fríamente racionales.

En muchos escenarios

Hoy en día, la Teoría de los Juegos es usada por muchas personas distintas en un amplio espectro de intereses.

"La principal razón de su éxito fue la variedad de escenarios en los que la gente empezó a darse cuenta que tenían que pensar formal y sistemáticamente sobre las interacciones estratégicas", explica Rakesh Vohra, profesor de Economía en la Universidad de Pensilvania y alto miembro de la Sociedad de la Teoría de los Juegos.

En 2001, la teoría entró en la cultura popular gracias a la laureada película "A Beautiful Mind" ("Una mente brillante" o "Una mente maravillosa"), en la cual el actor australiano Russell Crowe interpretaba a John Nash.

Nash fue ampliamente considerado como uno de los expertos en la Teoría de los Juegos y uno de los grandes matemáticos del siglo XX.

Aplicaciones

"La Teoría de los Juegos revolucionó el estudio de la economía".

Pero no sólo eso.

Desde licitaciones para proyectos de infraestructura, campeonatos de fútbol, hasta aplicaciones de citas románticas por internet dependen de ella.

Las firmas que venden bienes a los consumidores usan la Teoría de los Juegos para predecir cómo reaccionará la competencia -y los clientes- ante una guerra de precios.

Uno de los primeros usos codificados de esta teoría fue en la guerra. Los ejércitos estadounidense y británico utilizaron las primeras computadoras para probar modelos que utilizaban Teoría de los Juegos para ayudar a los comandantes a decidir si debían atacar al enemigo, dónde y cuándo.

Sin botón

Desde entonces, el concepto ha evolucionado. Vohra explica que "cuando la Teoría de los Juegos nació, había un grupo de personas que pensaba que si hacíamos un modelo lo suficientemente grande y complejo y apretábamos un botón, sabríamos qué hacer".

Eso resultó demasiado ambicioso, así que cambió. "Lo que tratamos de hacer es informar: no podemos decirte qué hacer, excepto en unas circunstancias limitadas, pero sí podemos decirte cuáles son las cosas importantes sobre las que debes decidir".

"En un mundo complejo, en el que hay muchas cosas a las cuales prestarles atención, es enormemente útil enfocar la atención".

El concepto no sólo se basa en conflicto y combate, también puede ayudar a cooperar.

"Hay juegos como el ajedrez, en el que si alguien gana el otro inmediatamente pierde. Pero hay juegos de producción conjunta: si tú y yo escribimos algo juntos, ambos podemos ganar. No hay ganador o perdedor, pero el acto de jugar juntos genera algo de lo que ambos nos podemos beneficiar", explica Schweinzer.

¿Se puede aplicar a la negociación de la deuda griega?

Las negociaciones que se están llevando a cabo entre Grecia y sus acreedores son un lugar ideal para desplegar la Teoría de los Juegos, no sólo porque el ministro de Finanzas de Grecia, Yanis Varoufakis, es un teórico en este campo.

"Algunos comentaristas se apresuraron a presumir que como nuevo ministro de Finanzas de Grecia yo estaba ocupado inventando pantomimas, estratagemas y opiniones extrañas, luchando por mejorar una posición débil", escribió Varoufakis en el New York Times esta semana.

"Si algo, mi formación en Teoría de los Juegos me convenció que sería una bobada pensar que las actuales deliberaciones entre Grecia y nuestros socios son un juego de negociación que se ganará o perderá por medio de pantomima o subterfugio táctico".

"Si uno piensa en la renegociación de los préstamos a Grecia, es un buen ejemplo en el que hay tensión entre competencia y cooperación", dice Vohra.

Pero no todo el mundo está de acuerdo.

Sean Hargreaves Heap, profesor de Economía Política en King's College London, quien coescribió una introducción crítica a la Teoría de los Juegos en 1990, cree que esta teoría es inútil en este caso.

"Si uno piensa en las negociaciones, se trata de quién va a parpadear primero: el gobierno griego o los alemanes. Eso es útil, pero la Teoría de los Juegos sólo te dice que hay tres cosas diferentes que se pueden esperar:

1. Que los alemanes parpadeen

2. Que los griegos parpadeen

3. Que ambas partes tiren la moneda a ver si parpadean o no.

La Teoría de los Juegos es una manera útil de caracterizar un problema, pero en términos de decirnos qué va a pasar, es inútil".

Hargreaves Heap escribió su libro sobre la Teoría de los Juegos con un joven académico nacido en Atenas y educado en Essex y Birmingham, Inglaterra.

¿El nombre del coautor? Yanis Varoufakis.

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Thomas Schelling

Uno de los primeros en aplicar la Teoría de los Juegos en relaciones internacionales en su libro "La estrategia de conflicto" que analizaba la carrera de armas nucleares

Argumentó que la capacidad de tomar represalias era más útil que la habilidad de resistir un ataque y que la amenaza de una represalia incierta eran más eficaz que una amenaza precisa.

Tanto EE.UU. como la antigua Unión Soviética adoptaron esa estrategia -conocida como destrucción mutua asegurada- durante la Guerra Fría.

*Este artículo fue publicado inicialmente en febrero de 2015, y actualizado tras la muerte del matemático y premio Nobel John Nash en mayo de 2015.

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¿Qué es exactamente la teoría de juegos?

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El estudio matemático de la toma de decisiones se usa en más campos de los que uno se imagina. Dio la clave de la estrategia de EE.UU. y URSS en la Guerra Fría, y ahora parece tener un rol en las negociaciones con Grecia.