# data[].attributes.body
clc;clear all;
s = %s
num = 400;
a = 1;
b = 12;
c = 400;
wn = sqrt(c)
zeta = b/(2*wn)
den = a*s^2+b*s+c
G = syslin('c',num/den)
disp(G)
disp("zeta =  ", zeta)
disp("Wn = ", wn )
figure(1)
H = 1;
MF = G/.H
plzr(MF)
figure(2)
t = 0.:0.001:2
u = ones(t)
y = csim(u,t,MF)
plot(t,y)

# data[].attributes.body
Sistema Subamortecido

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s = %s
num = 900;
a = 1;
b = 90;
c = 900;
wn = sqrt(c)
zeta = b/(2*wn)
den = a*s^2+b*s+c
G = syslin('c',num/den)
disp(G)
disp("zeta =  ", zeta)
disp("Wn = ", wn )
figure(1)
H = 1;
MF = G/.H
plzr(MF)
figure(2)
t = 0.:0.001:2
u = ones(t)
y = csim(u,t,MF)
plot(t,y)

# data[].attributes.body
Sistema Sobreamortecido

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s = %s
num = 225;
a = 1;
b = 30;
c = 225;
wn = sqrt(c)
zeta = b/(2*wn)
den = a*s^2+b*s+c
G = syslin('c',num/den)
disp(G)
disp("zeta =  ", zeta)
disp("Wn = ", wn )
figure(1)
H = 1;
MF = G/.H
plzr(MF)
figure(2)
t = 0.:0.001:2
u = ones(t)
y = csim(u,t,MF)
plot(t,y)

# data[].attributes.body
Sistema Sobreamortecido

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s = %s
num = 625;
a = 1;
b = 0;
c = 625;
wn = sqrt(c)
zeta = b/(2*wn)
den = a*s^2+b*s+c
G = syslin('c',num/den)
disp(G)
disp("zeta =  ", zeta)
disp("Wn = ", wn )
figure(1)
H = 1;
MF = G/.H
plzr(MF)
figure(2)
t = 0.:0.001:2
u = ones(t)
y = csim(u,t,MF)
plot(t,y)
//

# data[].attributes.body
Sistema não amortecido

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s=%s;
G=syslin ('c', ((s-1)*(s-2))/((s+2)*(s^2+2*s+2)));
H=1;
evans(G,100);
K = -1/real(horner(G,(-1.131*%i)))
disp(K)

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s=%s;
G=syslin ('c', (s+4)/(s*(s+1)*(s+2)));
H=1;
evans(G,100);
K = -1/real(horner(G,(-2.78*%i)))
disp(K)

# data[].attributes.body
clc;clear all;
s=%s;
G=syslin ('c', (s*(s+2))/((s+3)*(s^2-4*s+8)));
H=1;
evans(G,100);
K = -1/real(horner(G,(-2.44*%i)))
disp(K)

# data[].attributes.body
A diferença entre os dois sistemas reside nos valores de seu zeros, em G1 temos um zero adicional no semiplano esquerdo, e em G2 temho um zero adicional no semiplano direito.

Em regime permante, quanto mais próximo o zero estiver dos polos dominantes, maior é seu efeito na resposta, quanto mais afastado do polos, menor será seu efeito e a resposta irá se aproximar daquela do sistema com dois polos.

Existe, porém, outra maneira de se interpretar o efeito de um zero, considerando C(s) a resposta de um sistema T(s) com a unidade no numerador, ao acrescentarmos um zero à função de transferência, de modo que: (s+a)*T(s), a transformada de Laplace da resposta será:

(s+a)C(s) = sC(s) + aC(s)

Portanto, a respota de um sistema com um zero é composta de duas partes, a derivada da resposta original e uma versão em escala da respostoa original. Nos casos em que 'a', o negativo do zero, é muito grande, a transformada de Laplace é aproximadamente aC(s), ou uma versão em escala da resposta original. Caso contrário, a resposta possuirá uma componente adicional consistindo da derivdada da resposta original.

À medida em que a se torna menor, o termo derivativo irá contribuir para a resposta e tem um efeito maior.

Nas respostas ao degrau, a derividad é comumente positiva no início da resposta, deste modo, para pequenos valores de a, pode-se esperar uma ultrapassagem maior em sistemas de segundo ordem, visto que o termo derivativo será aditivo em torno da primeira ultrapassagem.

Um ponto interessante a salientar é o fenômeno que ocorre quando a é negativo, ou seja, posicionamos o zero no semiplano direito. Da transformada citada, pode-se constatar que o termo derivativo, normalmente positivo nos instantes iniciais, terá o sinal contrário ao termo da resposta em escala. Deste modo, caso o termo derivativo, sC(s), seja maior do que a resposta em escala, aC(s), a resposta irá inicialmente seguir a derivada no sentido oposto ao da resposta em escala. Resultando num sinal similar que pode ser observado no gráfico do sistema G2(s). Sistemas que apresentam esse comportamento são conhecidos como sistema de fase não mínima.

Como esses sistemas possuem um zero e apenas se aproximam de um sistema em segunda ordem, não é possível classificá-los seguindo os mesmos parâmetros de resposta.